14.1. OPIS SYGNAŁU ODKSZTAŁCONEGO

(1)

14. OBWODY LINIOWE POBUDZONE SYGNAŁEM ODKSZTAŁCONYM

PRZYPOMNIENIE

A) Funkcja wykładnicza pełni wyjątkową rolę, ponieważ:

• każdy sygnał występujący w praktyce może być zawsze wyra- żony w postaci sumy funkcji wykładniczych;

• w przypadku obwodów liniowych odpowiedź obwodu na wy- muszenie wykładnicze jest także wykładnicza.

B) Metoda symboliczna zapisu przebiegów sinusoidalnych po- zwala traktować je jako przebiegi wykładnicze

14.1. OPIS SYGNAŁU ODKSZTAŁCONEGO

A) TRYGONOMETRYCZNY SZEREG FOURIERA

Dowolną funkcję okresową x(t) o okresie T, spełniającą warunki Diri- chleta – wyrażone następująco:

• przedział o długości T można podzielić na skończoną liczbę prze- działów otwartych, w których funkcja jest ciągła i monotoniczna;

• w punktach nieciągłości funkcja x(t) ma granice lewo i prawostronne i jej wartość jest równa średniej arytmetycznej tych granic;

można przedstawić w postaci szeregu harmonicznego nieskończonego zwanego szeregiem trygonometrycznym Fouriera.

(2)

Szereg trygonometryczny Fouriera:

( ) ∑

^∞

( )

=

+ +

=

1 1

0 sin

k Fmk k t k

F t

x ω Ψ (14.1)

Szereg zawiera wyraz niezależny od czasu i SUMĘ harmonicznych funkcji czasu o pulsacjach będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej (pulsacji funkcji x(t) równej ω1=2π/T). Wielkość sinusoidalną o k=1 nazywamy harmoniczną podstawową (pierwszą harmoniczną). Wielkości o k>1 nazywamy wyższymi harmonicznymi

Interpretacja:

0

T

t x t( )

x(t) = F0 + Fm1 sin(ω1t+Ψ1) + Fm2 sin(2ω1t+Ψ2) + ...

0

F_m1

T₁=T

t ωt Ψ₁

Ψ₂ F_m2

F₀

T2=T/2

k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera gdzie:

ω1 =2π/T – pulsacja podstawowa k – rząd harmonicznej

F_mk – amplituda k-tej harmonicznej Ψk – faza początkowa k-tej harmonicznej składowa stała

(3)

Wiadomo jednak, że

(

_k

)

_m_k

(

_k _k

)

k

m k t F k t k t

F sin ω₁ +Ψ = sin ω₁ cosΨ +cos ω₁ sinΨ (14.2) Jeśli oznaczymy

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

k k

k m

k k k

m

B F

A F

Ψ Ψ cos

sin (14.3)

to F_m_k sin

(

kω₁t +Ψ_k

)

= A_k cos kω₁t+ B_k sin kω₁t (14.4) Gdy amplitudę k-tej harmonicznej przedstawimy jako wektor wirują-

cy, to z zależności trygonometrycznych wynikają wzory

Re Im

F_mk Ψ_k A_k

B_k

2

2 k

k k

m A B

F = + (14.5)

mk k k

F B F

A =

= Ψ

Ψ ,cos

sin (14.6)

Uwzględniając powyższe zależności możemy szereg (14.1) przedstawić

( ) ∑

^∞

( )

=

+ +

=

1

1 1

0 cos sin

k

k k t B k t

A A

t

x ω ω (14.7)

Współczynniki A0 , Ak , Bk wyznacza się ze wzorów:

wartość średnia x

( )

t dt

A T

T t

t

∫

⁺

= ⁰

0

1

0 (14.8)

skład. kosinusoidalna 2

( )

cos 1,2,_K

1

0

=

= _T

∫

⁺^x ^t ^k ^t ^dt ^dla ^k

A

T t

t

k ω (14.9)

skład. sinusoidalna 2

( )

sin 1,2,_K

1

0

=

= _T

∫

⁺^x ^t ^k ^t ^dt ^dla ^k

B

T t

t

k ω (14.10)

k-ta harmoniczna rozwinięcia Fouriera składowa stała

(4)

B) WYKŁADNICZY (ZESPOLONY) SZEREG FOURIERA Jeśli w rozwinięciu w szereg Fouriera danym wyrażeniem (14.7) za- stosujemy podstawienie wynikające z wzorów Eulera

cos ₁ ¹ 2 ¹

t jk t

jk e

t e k

ω

ω = ω ⁺ ⁻ ,

j e t e

k

t jk t

jk

sin ₁ ¹ 2 ¹

ω

ω = ω ⁻ ⁻ (14.11)

to otrzymamy

( ) ∑

^∞

=

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ + + −

+

=

1

0 2 2

1 1

k

t jk t

jk k t jk t

jk

k j

e B e

e A e

A t x

ω ω

(14.12) Wprowadzając oznaczenia

, 2 , 2

0

0 k k

k k

k k A jB

jB C C A

A

C +

− =

=

= ₋ (14.13)

stąd

( ) _∑

^∞

[ ]

=

− −

+ +

=

1

0 ¹ ¹

k

t k jk

t

k ejk C e

C C

t

x ^ω ^ω (14.14)

i ostatecznie

( ) ∑

^∞

−∞

=

k

t k ejk

C t

x ^ω¹ (14.15)

którą to postać nazywamy postacią zespoloną szeregu Fouriera.

∫

⁺

( )

⁻

=

T t

t

t k

k x t e j dt

C T ⁰

0

1 _ω1

= C_k e^j^η^k dla k =0,±1,±2,K (14.16)

Uwaga: C_k =C^*₋_k

k k

k

k C i

C = ₋ η =−η₋

k-ty współczynnik wykładniczego szeregu Fouriera

moduł k-tego współczynnika wykładniczego szeregu Fouriera

argument k-tego współczynnika wykładniczego szeregu Fouriera

(5)

C) WIDMO AMPLITUDOWE I FAZOWE Wprowadzenie:

0

Fm1

t Ψ₁ ωt

Ψ₂ Ψ₃ Fm2

Fm3 F₀

x(t) = F0

+ Fm1 sin(ω1t+Ψ1) + F_m2 sin(2ω₁t+Ψ₂) + Fm3 sin(3ω₁t+Ψ₃) kω₁

F_mk F_m1 F_m2 Fm3

F0

1 2 3

+ ....

kω₁ 1 2 3

Ψ₃ Ψ₂

Ψ₁ Ψ_k π

−π/2

−π

(6)

Wykres, w układzie współrzędnych prostokątnych, stanowiący

• zbiór modułów C_k współczynników zespolonego szeregu Fouriera lub

• zbiór amplitud F_mk poszczególnych harmonicznych

określony dla odpowiednich pulsacji ω=kω1 (bądź częstotliwości f=kf1) nazywamy dyskretnym WIDMEM AMPLITUDOWYM sygnału x(t).

o zbiór argumentów ηk współczynników zespolonego szeregu Fo- uriera

lub

o zbiór faz początkowych ψk poszczególnych harmonicznych

określony dla odpowiednich pulsacji ω=kω1 (bądź częstotliwości f=kf1) nazywamy dyskretnym WIDMEM FAZOWYM sygnału x(t).

Pomiędzy współczynnikami rozwinięcia w trygonometryczny i w zespolony szereg Fouriera zachodzą następujące związki:

,K 2 , 2 1

2

2 + =

=

= ₋ F A B dla k

C

C_k _k ^m^k ^k ^k (14.17)

,K 2 ,

2 =1

−

= _k dla k

k Ψ π

η _(14.18)

Znajomość obydwu widm, amplitudowego i fazowego jedno- znacznie określa sumę częściową szeregu Fouriera czyli z za- łożoną dokładnością opisuje analizowany sygnał x(t). Widma (częstotliwościowe) są równoważnym opisem do analitycznego zapisu w dziedzinie czasu tego sygnału - jest to jego reprezen- tacja widmowa.

(7)

Wyjaśnienie:

WIDMO AMPLITUDOWE

SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:

TRYGONOMETRYCZNĄ ZESPOLONĄ

F_mk

kω1

0 1 2 3 4

C_k

kω1

0 1 2 3 4

-1 -2 -3 -4

WIDMO FAZOWE

SPORZĄDZONE W OPARCIU O POSTAĆ:

TRYGONOMETRYCZNĄ ZESPOLONĄ

Ψ_k

kω1

1 2 3

4 π

−π/2

−π

π/2

π

−π/2

−π

kω1

1 2

3 4

-1 -2 -3 -4

ηk

π/2

Widmo amplitudowe sygnału okresowego jest funkcją parzystą a widmo fazowe funkcją nieparzystą. Prawostronne widma amplitudowe i fazowe stanowią reprezentację sygnału okresowego w dziedzinie częstotliwości.

(8)

D) RODZAJE SYMETRII SYGNAŁÓW

1) SYMETRIA WZGLĘDEM POCZĄTKU UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH

Funkcję nazywamy symetryczną względem początku układu współ- rzędnych lub funkcją nieparzystą jeśli spełnia ona zależność

( )

t x

( )

t

x =− − (14.19)

x(t)

t

0 ,

0 =0 A_k =

A Ψ_k =π lub Ψ_k =0

( ) ∑

^∞

=

1

sin 1 k

k k t

B t

x ω (14.20)

2) SYMETRIA WZGLĘDEM OSI RZĘDNYCH

Funkcję nazywamy symetryczną względem osi rzędnych, lub funkcją parzystą jeśli spełnia ona zależność

( ) ( )

t x t

x = − (14.21)

x(t)

t

=0 Bk

lub 2 2

Ψ π Ψ_k =π _k = −

( ) ∑

^∞

=

+

=

1

0 cos

k

k k t

A A

t

x ω (14.22)

3) SYMETRIA WZGLĘDEM OSI ODCIĘTYCH

Funkcję nazywamy antysymetryczną (symetryczną względem osi odciętych), jeśli rzędne funkcji okresowej powtarzają się co pół okresu ze zmienionym znakiem, tzn.

( )

⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

−

= 2

t T x t

x (14.23)

x(t)

t

0 =0

A i A₂_n = B₂_n =0 dla n =1,2,K

(9)

E) WIDMO MOCY SYGNAŁU

Moc średnia sygnał

( )

x

( )

t dt t T

x P

T

∫

=

0 2

2 1

Moc sygnału okresowego x(t), można również wyznaczyć w dziedzi- nie częstotliwości obliczając wartości mocy zawartej w każdej składowej harmonicznej. Przykładowo dla n-tej składowej harmonicznej:

( )

sin 2

1 ²

0

2 1

2 mn

T

n n

m n

dt F t

n T F

P =

∫

^ω +^Ψ = ^(14.24)

Wyrażając funkcję okresową x(t) za pomocą jej rozwinięcia w szereg trygonometryczny Fouriera otrzymujemy:

( ) _∑

∑

^∞

=

∞

=

+ + =

+

=

1 2 2

0 1

2 2 2

0 2 _k 2

mk k

k

k F

B F A A

P (14.25)

Wyznaczając widmo mocy przebiegu okresowego x(t) za pomocą wykładniczego szeregu Fouriera, korzysta się z twierdzenia Parsevala

( ) ( ) ∑

^∞

−∞

=

k C k C k

t x t

x₁ ω₁ ₂ ω₁ ₁ ^*₂ (14.26)

mówiącego: wartość średnia za okres iloczynu dwóch funkcji okresowych o tym samym okresie jest równa sumie od -∞ do +∞ szeregu nieskończonego, którego wy- razami są iloczyny współczynników rozwinięcia wykładniczego jednej z tych funkcji przez współczynniki sprzężone rozwinięcia wykładniczego drugiej

Czyli wartość średnia kwadratu funkcji okresowej zakładając

( )

t x

( ) ( )

t x t

x₁ ω₁ = ₂ ω₁ = wynosi

( ) ∑ ∑

^∞

−∞

=

∞

−∞

=

k k

k

k C C

C t

x² ^* ² (14.27)

Zatem:

∑

^∞

−∞

=

k

Ck

P ² (14.28)

Wówczas WIDMEM MOCY sygnału nazywamy wykres zmienności kwa- dratów modułów współczynników wykładniczego szeregu Fouriera.

(10)

F) APROKSYMACJA SYGNAŁU

W zagadnieniach praktycznych często zachodzi konieczność ograni- czenia się do reprezentacji sygnału okresowego skończoną liczbą wyrazów szeregu Fouriera (do aproksymacji sygnału sumą częściową szeregu).

Ograniczamy się do uwzględnienia w rozwinięciu N-harmonicznych.

Zapiszemy to następująco:

( ) ∑

⁼⁺

−

=

≅ ^k ^N

N k

t kejk

C t

x ^ω¹ (14.29)

Jako kryterium dokładności aproksymacji sygnału x(t) sumą częścio- wą jego rozwinięcia przyjmuje się błąd względny

%

⋅100

= X

N N

εsk

δ_ε (14.30)

gdzie:

X – wartość skuteczna sygnału x(t) : x

( )

t dt x

( )

t P X T

T = =

=

∫

²

0

1 2

skN

ε - wartość skuteczna błędu :

∑ ∑

^∞

+

= +

=

−

=

−

=

1 2 2

2 2

N

k k

N k

N

k k

sk_N X C C

ε

Jeśli a priori założymy pewną wartość błędu aproksymacji, to przy znajomości X, możemy ustalić ten rząd harmonicznej N, której uwzględ- nienie w sumie częściowej zapewnia wymaganą dokładność. Mówimy wówczas, że sygnał x(t) zajmuje pasmo Nω1 (N⋅f₁).

Sens fizyczny tak określonego pasma wiąże się z mocą średnią sygna- łu a mianowicie, jeśli przyjęliśmy kryterium dokładności δε_N to oznacza, że N uwzględnionych w rozwinięciu harmonicznych niesie (100 - δεN)%

mocy jaką reprezentuje sobą sygnał x(t).

(11)

PRZYKŁAD 1: Dany jest sygnał u(t) będący ciągiem impulsów prosto- kątnych o okresie T=1ms, czasie trwania t_i=0,25ms oraz amplitudzie U_m=10V. Wyznaczyć widmo amplitudowe i fazowe sygnału.

1) Opisujemy sygnał u(t) analitycznie w przedziale czasu odpowiada- jącym okresowi:

( )

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−

<

= −

2 0 2

2 2

i i

i m i

T t t t

dla

t t dla t

t U u

2) Wybieramy postać szeregu Fouriera, dla której będziemy rozwijali sygnał

( ) ∑

^∞

( )

=

+ +

=

1

1 1

0 cos sin

k

k k t B k t

A A

t

u ω ω

3) Sprawdzamy rodzaj symetrii sygnał u(t)

Występuje symetria względem osi rzędnych ( f

( )

t = f

( )

−t ). Po- nieważ jest to funkcja parzysta znikają wyrazy z sinusami (B_k = 0).

Zatem:

( ) ∑

^∞

=

+

=

1

0 cos

k

k k t

A A

t

u ω

4) Obliczamy składową stałą u

( )

t dt A T

U

T t

t

∫

⁺

=

0

0 1

0

[ ]

^V

T U t t

t U T

t T U dt T U

U _m ⁱ ⁱ _m ⁱ

t m t t

t m

i i i

i

5 , 4 2 10 1 2

2 1 1

1 ₂

2 2

2

0 ⎟ = = ⋅ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

= −

−

∫

(12)

5) Obliczamy współczynniki 2

( )

cos 1,2,_K

1

0

=

=_T

∫

⁺^u ^t ^k ^t ^dt ^k

A

T t

t

k ω

( )

²

2 1 1

1 2

2

1 sin cos 2

2 ⁱ

i i

i

t m t

t

t m

k k t

k T dt U

t k T U

A −

−

=

∫

^ω _ω ^ω

T k t

k t k

T

A_k U^m ω ⁱ ω ⁱ ω π

ω

2 sin 2

sin 2 2 1

1 1

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⎟−

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

sin 4 sin 4

sin 4

sin π4 π π π

π ^k ^k ^k ^k

k U_m

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ + ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

sin 4 37 , 6 sin 4

2 sin 4

sin 4 π π

π π

π

π k k ^k

k k U

k k

U_m _m

6) Obliczamy wartości amplitud i faz początkowych N-harmonicznych

k Ak F_m_k = A_k²

k m

k F k

arcsin A Ψ =

1. 4,502 4,502 90^o

2. 3,183 3,183 90^o

3. 1,501 1,501 90^o

4. 0 0 -

5. -0,9 0,9 -90^o

6. -1,061 1,061 -90^o

7. -0,643 0,643 -90^o

8. 0 0 -

9. 0,5 0,5 90^o

(13)

7) Przedstawiamy widmo amplitudowe i fazowe sygnału

F_mk

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5

2,5

f [kHz]

Ψk

1 2 3 4

5 6 7

8 9 90^o

-90^o

f [kHz]

(14)

PRZYKŁAD 2: Wyznaczyć widmo mocy sygnału z przykładu 1. Okre- ślić błąd względny aproksymacji sygnału sumą czę- ściową dla N=3.

k -3 -2 -1 0 1 2 3

F_mk - - - 2,5 4,502 3,183 1,501

2

k m k

C = F 0.75 1,591 2,251 2,5 2,251 1,591 0.75

k2

C 0,563 2,533 5,067 6,25 5,067 2,533 0,563

∑

=− 3

3 2 k

Ck 22,576

wartość skuteczna sygnału x(t) : 1

( )

5

0

2 = =

= _T

∫

^x ^t ^dt ^P

X

T

wartość skuteczna błędu : ³ 1,557

3 2

2 − =

=

∑

⁼

−

= k

k k

sk_N X C

ε

błąd względny: = ⋅100% =31,14% X

N N

εsk

δ_ε

Czyli rozwinięcie sygnału z przykładu 1, uwzględniające składową stałą oraz trzy pierwsze harmoniczne niesie 68,86% mocy jaką reprezentuje so- bą ten sygnał.

12

2 a3 t( ) a9 t( )

1.875 0.125

0.125 0.875

t 5

10

N = 3 N = 9

(15)

PRZYKŁAD 3: Ilustracja wpływu dwukrotnego zwiększenia okresu na widmo amplitudowe ciągu impulsów prostokątnych

t

t U(t)

t_i1 T₁

t_i1

T₂

U(t)

U_i

T₂ = 2T₁

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5 12,0

f [kHz]

Um [mV]

T1 T2=2 T1

(16)

PRZYKŁAD 4: Ilustracja wpływu dwukrotnego zmniejszenia czasu trwania impulsu na widmo amplitudowe ciągu impul- sów prostokątnych

t U(t)

t_i2

T₁ Ui

U_i t_i1 t

T₁ U(t)

U_i

t_i2 = 0,5t_i1

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

f [kHz]

Um [mV]

ti1

ti2=0,5 ti1

(17)

14.2. ANALIZA OBWODÓW SLS PRĄDU ODKSZTAŁCONEGO

Załóżmy, że do dwójnika zawierającego elementy R, L w połączeniu szeregowym przyłożono napięcie odkształcone u(t). Wielkością poszuki- waną jest prąd płynący przez elementy dwójnika. Rozwinięcie rozpatry- wanego wymuszenia w szereg Fouriera ma postać

( ) ( )

( ) ( ) ( )

∑ ( )

∑

∞

=

∞

=

+

=

+ +

=

+ +

=

1 0

3 2

1 0

1 1

0 sin

k k

k mk uk

t u U

t u t u t u U

t k U

U t u

K Ψ ω

(14.31)

Stosujemy zasadę superpozycji w sposób następujący:

1. Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa na obwód jest źródło napięcia stałego U₀ i rozpatrywany obwód obliczamy za pomo- cą metod dotyczących obwodów prądu stałego, wyznaczając prąd I0; 2. Przyjmujemy, że jedynym wymuszeniem jakie działa jest k-te źródło

napięcia harmonicznego o napięciu

( )

_m_k

(

_uk

)

k t U k t

u = sin ω₁ +Ψ

i za pomocą metod obliczania obwodów prądu harmonicznego wy- znaczamy prąd obwodu

( )

_m_k

(

_ik

)

k t I k t

i = sin ω₁ +Ψ ,

obliczenie to powtarzamy wielokrotnie, przyjmując kolejno k=1,2,3,...

Zgodnie z zasadą superpozycji przez elementy obwodu płynie prąd

( ) ( )

( )

∑

∞

=

∞

=

+ +

= +

=

1 1

0 0 1

sin

k mk ik

k k

t k I

I

t i I

t i

Ψ ω

(14.32)

(18)

R L u(t)

i(t)

u (t)₁

i(t)

R L

U₀

u (t)_k

R L I₀ ω=0

U₀

R L ω=ω₁ u (t)₁

i (t)₁

...

^R

L ω= ωk ₁ i (t)_k

...

u (t)_k

R

I₀ =U⁰ u_k

( )

t =U_m_k sin

(

kω₁t+Ψ_uk

)

j uk

mk Umk e

U = ^Ψ

k mk Zmk

I =U

( )

^⎜^⎝^⎛ ^⎟^⎠^⎞

+

= +

= ^R

L arctg k j

k R jk L R k L e

Z

ω

ω ² ²

( )

^ik

uk j

R mk L arctg k mk j

k e I e

L k R

I U ^Ψ

Ψ ω

ω ⁼

= + ^⎥⎦

⎢⎣ ⎤

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

2 2

( )

_m_k

(

_ik

)

k t I k t

i = sin ω₁ +Ψ

Obwody prądu harmonicznego Obwód prądu stałego

(19)

PRZYKŁAD 5: Ilustracja wpływu przenoszenia sygnału odkształconego przez układ liniowy o znanej strukturze

Filtr dolnoprzepustowy RC I-rzędu , f_g = 5kHz

Parametry ciągu imp. prostokątnych : T = 1 ms , ti = 10 μs

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

f [kHz]

h2n/h1n Ku