Addytywne grupy pierścieni łącznych

Streszczenie rozprawy doktorskiej pt.

Grupy addytywne pier±cieni ª¡cznych

Mateusz Woronowicz

Niniejsza rozprawa doktorska dotyczy zagadnie« zwi¡zanych z grupami addytywnymi pier±cie- ni, gªównie ª¡cznych. Nie jest zakªadana ani unitarno±¢, ani przemienno±¢ rozwa»anych pier±cieni.

Zasadniczym celem przy±wiecaj¡cym powstaniu tej pracy byªa kontynuacja si¦gaj¡cych ko«ca pierwszej poªowy XX wieku bada« nad wpªywem struktury addytywnej na struktur¦ pier±cienia.

Byªa ona motywowana mnogo±ci¡ naturalnych pyta« zwi¡zanych z t¡ tematyk¡, które cz¦sto skorelowane s¡ z ª¡czno±ci¡ pier±cieni konstruowanych na grupach abelowych. Dodatkowym za- mysªem odgrywaj¡cym istotn¡ rol¦ przy tworzeniu tej pracy byªa idea porównania wyników uzyskiwanych w klasach pier±cieni ª¡cznych i ogólnych, czyli takich, których ª¡czno±ci si¦ nie zakªada.

W ramach rozprawy zostaªy przeanalizowane klasyczne zagadnienia z zakresu nil-grup, czyli grup abelowych mog¡cych by¢ grupami addytywnymi jedynie pier±cieni z zerowym mno»eniem, oraz ich wspóªczesne uogólnienia dotycz¡ce podgrupy kwadratowej grupy abelowej rozumianej jako grupa generowana przez kwadraty wszystkich mo»liwych pier±cieni o ustalonej grupie addy- tywnej. Rozwa»ano równie» grupy abelowe A, których struktura determinuje typowe wªasno±ci pier±cieniowe uzyskiwane w ka»dym pier±cieniu o grupie addytywnej A. Zaliczono do nich prze- mienno±¢, ª¡czno±¢ oraz przemienno±¢ pod rygorem ª¡czno±ci. Ponadto zbadano struktur¦ grup abelowych A takich, »e w dowolnym pier±cieniu R o grupie addytywnej A: ka»dy podpier±cie«

jest ideaªem, ka»da podgrupa grupy A jest podpier±cieniem w R, ka»da podgrupa grupy A jest ideaªem w R, relacja bycia ideaªem w R jest przechodnia, tzn. ka»dy ideaª dowolnego ideaªu pier±cienia R jest ideaªem w R.

Najwi¦kszy wpªyw na zakres problematyki poruszanej w niniejszej pracy wywarªy artykuªy autorstwa R. A. Beaumonta, R. J. Wisnera, S. Feigelstocka, A. M. Aghdama i A. Najazadeha.

Metodologia bada«, których wyniki przedstawione zostaªy w tej pracy, cz¦±ciowo opiera si¦ na wykorzystaniu klasycznych narz¦dzi u»ywanych do konstruowania mno»e« pier±cieniowych na grupach abelowych takich jak produkt tensorowy grup abelowych oraz teoria typów. Ze wzgl¦du na ich ograniczenia ujawniaj¡ce si¦ przy badaniu grup addytywnych pier±cieni ª¡cznych cz¦sto wykorzystywano tak»e niestandardowe, nowe narz¦dzia. Niejednokrotnie u»ywano metod ele- mentarnych, szczególnie w sytuacjach, w których upraszczano dowody klasycznych twierdze«

lub porz¡dkowano i doprecyzowywano znane wyniki.

Rozprawa zostaªa podzielona na sze±¢ rozdziaªów. Pierwszy z nich ma charakter wprowadzaj¡- cy i zawiera liczne rezultaty pomocnicze, które wykorzystywane s¡ w dalszej cz¦±ci pracy. Jednym spo±ród najwa»niejszych zamieszczonych w nim wyników jest charakteryzacja p-czystych podgrup grupy addytywnej pier±cienia liczb p-adycznych caªkowitych uzyskana przy wykorzystaniu metod elementarnych. Okazaªa si¦ ona kluczowa w przeprowadzonych w rozdziale drugim pierwszych konstrukcjach beztorsyjnych grup abelowych, dla których grupy ilorazowe wzgl¦dem podgrup kwadratowych nie s¡ nil-grupami (nawet w przypadku rozwa»ania jedynie pier±cieni ª¡cznych).

Do gªównych rezultatów zamieszczonych w rozdziale drugim zaliczaj¡ si¦ tak»e: znaczne upro- szczenie i uogólnienie analogicznego rezultatu dla mieszanych grup abelowych otrzymanego nie- dawno przez A. Najazadeha, opisy podgrup kwadratowych torsyjnej grupy abelowej i caªkowicie rozkªadalnej beztorsyjnej grupy abelowej oraz uogólnienie szeregu wa»nych rezultatów uzyska- nych w tym zakresie przez A. M. Aghdama.

Rozdziaª trzeci po±wi¦cony jest (A)CR-grupom, czyli grupom abelowym, na których ka»de (ª¡czne) mno»enie pier±cieniowe jest przemienne. Zawiera on szczegóªow¡ charakteryzacj¦ bez- torsyjnych (A)CR-grup rangi dwa porz¡dkuj¡c¡ i doprecyzowuj¡c¡ obecn¡ wiedz¦ na temat tych grup, opis wszystkich beztorsyjnych ACR-grup rangi dwa nie b¦d¡cych CR-grupami, cz¦±cio-

1

w¡ charakteryzacj¦ mieszanych ACR-grup oraz opis niemal wszystkich zale»no±ci zachodz¡cych mi¦dzy warunkami CR, ACR i AR dla grup torsyjnych, beztorsyjnych i mieszanych, przy czym ostatni warunek oznacza ª¡czno±¢ wszystkich pier±cieni mo»liwych do okre±lenia na ustalonej grupie abelowej.

W rozdziale czwartym prezentowane s¡ wyniki z zakresu SI-grup, czyli grup abelowych mo- g¡cych by¢ grupami addytywnymi jedynie takich pier±cieni, w których ka»dy podpier±cie« jest ideaªem. Zostaªy w nim poprawione bª¦dy wyst¦puj¡ce w artykule S. Feigelstocka pt. Additive groups of rings whose subrings are ideals [Bull. Austral. Math. Soc. 55: 477481], które maj¡

zwi¡zek z subtelnymi rozwa»aniami dotycz¡cymi ª¡czno±ci konstruowanych pier±cieni. W konse- kwencji wprowadzono ogólniejsze poj¦cie SI

-grupy, czyli grupy abelowej speªniaj¡cej warunek SI ograniczony do klasy pier±cieni ª¡cznych. Ponadto przedstawione zostaªy nowe wyniki doty- cz¡ce nietorsyjnych SI

-grup, w tym twierdzenia strukturalne oraz konstrukcja nierozszczepial- nej SI

-grupy, dla której grupa ilorazowa wzgl¦dem podgrupy kwadratowej nie jest nil-grup¡

w klasie pier±cieni ª¡cznych (nierozszczepialno±¢ grupy oznacza, »e jej cz¦±¢ torsyjna nie wydziela si¦ jako skªadnik prosty). Zostaªo równie» wykazane, »e klasa SI

-grup jest wªa±ciw¡ podklas¡

klasy ACR-grup, za± klasa SI-grup jest wªa±ciw¡ podklas¡ klasy CR-grup.

Rozdziaª pi¡ty po±wi¦cony jest opisowi T I-grup b¦d¡cych naturalnym uogólnieniem SI

-grup.

Rozwa»ane s¡ w nim mianowicie grupy abelowe A speªniaj¡ce warunek: je»eli R jest ª¡cznym pier±cieniem o grupie addytywnej A, to pier±cie« R jest lialny, tzn. ka»dy ideaª dowolnego ideaªu pier±cienia R jest ideaªem w R. Nieoczekiwane zastosowania pier±cieni lialnych ujawniªy si¦ przy okazji bada« podgrupy kwadratowej mieszanej SI-grupy oraz beztorsyjnych CR-grup.

W rozdziale tym zostaªy sklasykowane torsyjne T I-grupy oraz beztorsyjne T I-grupy nie b¦d¡ce nil-grupami w klasie pier±cieni ª¡cznych. Opisano w nim tak»e struktur¦ cz¦±ci torsyjnej mieszanej T I -grupy, która okazaªa si¦ identyczna jak w przypadku mieszanej SI

-grupy, oraz wskazano przykªady mieszanych T I-grup nie b¦d¡cych SI

-grupami. Ponadto zbadano zwi¡zki mi¦dzy warunkami T I, ACR i CR.

W rozdziale szóstym podana jest klasykacja S-grup, czyli grup abelowych A takich, »e ka»da podgrupa grupy A jest podpier±cieniem w dowolnym ª¡cznym pier±cieniu o grupie addytywnej A . Przedstawiony opis nie uwzgl¦dnia jedynie struktury beztorsyjnych nil-grup w klasie pier-

±cieni ª¡cznych. Co zaskakuj¡ce, jest on równie» klasykacj¡ grup abelowych A takich, »e ka»da podgrupa grupy A jest ideaªem w dowolnym ª¡cznym pier±cieniu o grupie addytywnej A.

Zdaniem autora niniejszej rozprawy doktorskiej, spo±ród sygnalizowanych wy»ej wyników naj- wa»niejszymi rezultatami s¡ konstrukcje grup abelowych, dla których grupa ilorazowa wzgl¦dem podgrupy kwadratowej nie jest nil-grup¡ w klasie pier±cieni ª¡cznych. Stanowi¡ one odpowied¹ na pytanie postawione w 1980 roku przez A. E. Strattona i M. C. Webba dotycz¡ce istnienia takich grup. Motywowane byªo ono wcze±niejszymi badaniami S. Feigelstocka dotycz¡cymi tzw. abso- lutnych anihilatorów grup abelowych wzgl¦dem ustalonych podgrup. W szczególno±ci, jedna ze wspomnianych wy»ej konstrukcji pozwoliªa wskaza¢ nowe przykªady stosunkowo sªabo zbadanych nierozszczepialnych grup abelowych.

2