∫∫∫ Zadanie 3. Zadanie 2. Zadanie 1.

Zadanie 1.

Dla rozkładu Poissona µ =λ =2 oraz σ = λ = 2

Dla dostatecznie dużego n, na mocy Centralnego Twierdzenia S_n ≈N(nµ; nσ), gdzie 72

2 36⋅ = µ =

n

2 6 2 36⋅ = ⋅ σ =

n

A zatem: S₃₆ ~ N(72;6 2).

Obliczamy prawdopodobieństwo, uwzględniając poprawkę na dyskretny charakter przybliżanego rozkładu:

=

−

≤

−

=



 



 + −

≤

−

=

≤

−

=

> 1 ( 1,355)

2 6

72 5 , 0 1 60

) 60 (

1 ) 60

(S₃₆ P S₃₆ P Z P Z

P

0.912 )

355 , 1 ( ) 355 , 1 (

1−Φ − =Φ =

=

Zadanie 2.

Dane: σ =450, n=225

(

)

P

Dla dostatecznie dużego n, na mocy Centralnego Twierdzenia S_n ≈N(nµ; nσ), a stąd )

; (

n n N

X Sⁿ σ

µ

≈

= .

U nas 30

15 450 = n =

σ . Zatem

( )

0,9924 1

- 0,9962 2

1 ) 67 , 2 ( 2

) 67 , 2 ( ) 67 , 2 30 (

80 30

80 80 80

80

=

⋅

=

− Φ

⋅

=

=

− Φ

− Φ

=



 



− < <

=

<

−

<

−

=

<

− P X P Z

X

P µ µ

Zadanie 3.

( ) 5

4 4 4

1

0 4 1

0

3 = =

⋅

=

⋅

=

= ^+∞∫ ∫ ∫

∞

−

dx x dx x x dx x f x µ EX

( ) 3 4 2

4

1

0 5 1

0

3 2 2

2 =^+∞∫ ⋅ =∫ ⋅ = ∫ =

∞

−

dx x dx x x dx x f x EX

75 ) 2

( ²

2

2 =EX − EX =

σ

Parametry rozkładu zmiennej losowej przybliżającej rozkład łącznego czasu montażu wynoszą:

5 80 100⋅4 = µ =

n

3 2 2 75 100⋅ 2 = ⋅ σ =

n

Wobec tego rozkład sumy S100 jest rozkładem normalnym ) 3 2 2

; 80

( ⋅

N .

Obliczamy zatem prawdopodobieństwo:

(1,22) 0,8888 2

3 2

3 3

2 2 80 ) 82

82

( ₁₀₀ =Φ =







 Φ

=











 ≤

=

















⋅

≤ −

=

≤ P Z P Z

S P

Zadanie 4.

Ilość Polaków posiadających kartę kredytową zmienną losową o rozkładzie dwumianowym.

Parametry rozkładu wynoszą:

n = 400 p = 0,25

Dla próby o dużej liczności korzystamy z twierdzenia Moivre’a-Laplace’a, na mocy którego rozkład dwumianowy przybliżamy rozkładem normalnym. Możemy przybliżenie to stosować, gdy np≥5 oraz n(1− p)≥5.

Sprawdzamy, czy są spełnione warunki przybliżenia:

np = 400·0,25 = 100 ≥ 5 – warunek spełniony, 5

300 75 , 0 400 ) 1

( − p = ⋅ = ≥

n - warunek spełniony.

Wobec tego rozkład dwumianowy przybliżyć możemy rozkładem normalnym )

) 1 ( ,

(np np p

N − .

Parametry rozkładu przybliżającego:

=100 np ,

3 5 75 75 , 0 25 , 0 400 )

1

( − p = ⋅ ⋅ = =

np .

Wobec tego: S₄₀₀ ~ N(100;5 3)

Obliczamy prawdopodobieństwo, uwzględniając poprawkę na dyskretny charakter przybliżanego rozkładu:

=

−

≤

≤

−

=



 



 −

≤

− ≤

=

≤

≤

=

= ( 10,45 10,33)

3 5

100 5 , 10 3

5 100 5 , ) 9 5 , 10 5

, 9 ( ) 10

(S₄₀₀ P S₃₀₀ P Z P Z

P

0 ) 33 , 10 ( ) 45 , 10 ( ) 45 , 10 ( ) 33 , 10

(− −Φ − =Φ −Φ ≈

Φ

=