Zadanie 1 Niech zmienną losową będzie liczba oczek wyrzuconych na sześciennej kostce . Zmienna przyjmuje wartości 1,2,3,4,5,6

SiOD SN Ćwiczenia 2

Zmienne losowe; wyznaczanie ich rozkładu, funkcji gęstości, dystrybuanty i obliczanie wartości parametrów rozkładu

Zadanie 1

Niech zmienną losową będzie liczba oczek wyrzuconych na sześciennej kostce . Zmienna przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6, każdą z takim samym prawdopodobieństwem.

Narysować wykres rozkładu i wykres dystrybuanty tej zmiennej. Obliczyć i zaznaczyć na wykresie wartość średnią i odchylenie standardowe.

Zadanie 2

Eksperyment polega na rzucie dwiema sześciennymi kostkami do gry. Zmienną losową jest suma wyrzuconych oczek.

a) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej i narysować jego wykres

b) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych oczek nie przekroczy 4 c) Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma wyrzuconych oczek będzie dwucyfrowa d) Narysować wykres dystrybuanty

e) Obliczyć oczekiwaną sumę oczek i wariancję tej zmiennej.

Zadanie 3

Prawdopodobieństwo, że student nie jest przygotowany do ćwiczeń wynosi p=1/3 . Do odpowiedzi wywołano 4 studentów. Niech X oznacza liczbę studentów, którzy spośród wybranych nie są przygotowani do ćwiczeń. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wywołanych studentów

a) nieprzygotowanych było trzech

b) co najmniej jeden był nieprzygotowany.

Zadanie 4

Robotnik obsługuje 4 maszyny pracujące automatycznie i niezależnie od siebie.

Prawdopodobieństwo, że w ciągu godziny maszyna będzie wymagać interwencji robotnika wynosi p=0,9.

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny

a) żadna maszyna nie będzie wymagać interwencji robotnika

b) co najmniej jedna maszyna nie będzie wymagać interwencji robotnika c) dokładnie jedna maszyna będzie wymagać interwencji robotnika d) więcej niż jedna maszyna będzie wymagać interwencji robotnika

e) jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba maszyn wymagających interwencji robotnika f) jaka jest oczekiwana liczba maszyn wymagających interwencji robotnika.

Zadanie 5

Przy masowych prześwietleniach prawdopodobieństwo trafienia na osobę chorą na gruźlicę wynosi

0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, ze wśród 2000 prześwietlonych liczba chorych na gruźlicę jest

nie mniejsza niż 3. Jaka jest oczekiwana liczba chorych wśród 2000.

SiOD SN Ćwiczenia 2

Zadanie 6

W skład złożonej aparatury wchodzi m.in. 𝑛 = 1000 elementów określonego rodzaju.

Pawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku każdego z tych elementów wynosi 𝑝 = 0,001 i nie zależy od stanu pozostałych lamentów.

Obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu rok:

a) dokładnie 2 elementów b) nie mniej niż 2 elementów.

Zadanie 7

Wyznaczyć stałą 𝐴 tak, aby funkcja

𝑓(𝑥) = { 0 𝑒

𝑑𝑙𝑎 < 0 𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 0

była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Wyznacz wykres funkcji gęstości i dystrybuanty.

Następnie oblicz prawdopodobieństwo 𝑃(𝑋 > 1).

Zadanie 8

Pociągi miejskie przyjeżdżają na stację dokładnie, co 10 minut. Pasażer przychodzi na stację w pewnym przypadkowym momencie czasu. Przyjmując, że X jest zmienną losową oznaczającą czas oczekiwania na przyjazd pociągu określić rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej znajdując jej funkcję gęstości i dystrybuantę.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że

a) Pasażer nie będzie czekał dłużej niż 5 minut na przyjazd pociągu b) Pasażer musi poczekać co najmniej 8 minut.

c) Wyznaczyć średni czas oczekiwania i odchylenie standardowe

Zadanie 9

Po wprowadzeniu oszczędnościowego programu zużycia energii elektrycznej, służby energetyczne odnotowały, że ilość energii zaoszczędzonej przez indywidualnych odbiorców w ciągu miesiąca średnio wynosi 10,4 𝐾𝑊ℎ z odchyleniem standardowym 7,8 𝑘𝑊ℎ. Zakładając że rachunek jednego użytkownika był wybrany losowo z rachunków dostarczonych przez służby energetyczne i że oszczędności układały się według rozkładu normalnego, znajdź następujące prawdopodobieństwa:

a) użytkownik zaoszczędził więcej niż 5 𝑘𝑊ℎ

b) użytkowni k miał oszczędności w zużyciu energii w granicach 7,5 ÷ 12,5 𝑘𝑊ℎ c) oszczędności były między 5 𝑎 15 𝑘𝑊ℎ

d) użytkownik zaoszczędził mniej niż 5 kWh.

Zadanie 10

Czas bezawaryjnej pracy automatycznej zmywarki ma rozkład normalny ze średnią 3,1 i odchyleniem

standardowym 1,2 roku. Zakładając, że zmywarka m jeden rok gwarancji (tzn. że w razie awarii klient

może zażądać wymiany zmywarki), określ, jaki procent kupujących może zażądać wymiany zmywarki?