R dÉÆUÂ¾ ÆÃU½ Á ¾ Ä ÂÏ ½ Á(Å Æ½`ÃËÀÐ Ì7Â¾ Á4¿ Ç¿ ÏÁ ½ Ä Î Ð Å Â¿ ÀÐ ÀÃ Ì7½ Ð Á ÔUÄ ½ Ì9½ À Å Æ½!ÑUÄ ¿¾ ½ Á Á

(1)

!" #$%#& &$'(#) * +, - .

/102!34/5/7698 :<;169=>27:<02!?A@4:<01B4/0!698 /33C

:<D<E2!0GF>2!H1E6:I=>/E698 IJI:<;>690:<3

:<;K=>8 34D2!0!6LEB4/I92

M9NO9NP!QRGSUT

V W XY Z [\ X]^`_ab]] c dc

b]] c dc efgh(gi(g

jGk l m n o p m

q rs t uvwx wy z {|y`w z y v y r s4x!z y v} ~s4 rz y ~x x u~us 7 wx z sux ~~9

v y z y ! r s z ~w z ~y `v zur r us yG u4y rvu rx ~ vs tx v s uv v sy `vur

x7u~y zsGv wx y 9t uvuv4 su x s y 9s t y!x s4s tx s44y x v} z yG x ~} y

r s z ~v { x ~v( r |rGx vz y ~x y 4 r s z ~v { x z y u` } ~s s rvs z } s w z x

s u x ~~4x r4v( r y}v s ur } uz yuus uvw v vu ~ysx w w z u`x s ys t yv ~}

s u rv z z y vw r ur s4y x v } z y x ~} y G r sz ~v 4s t vy z z y v w r ur

s 4 z urx z G r s z ~v } z`x ur!z y v} ~suvs t y(zy ~x x s u r`s t y z y |t u t

v s x s y v(stx ss t y!v y s v ~} s u rv4 z z y vw r ur !s 7 z urx z r s z ~v(uv

|y x ~G y rvy(ur`s t yv y s v ~} su rv z z y v w r ur s 4z y ~x y ` r s z ~v

t uv uv w z y vy r s y 4ur`t y z y x s y z u ur v Gyy uvs y r yz y v } ~s v r

w s u`x ~ r s z ~v zs t y`ur r us y! uGy rv u rx ~Ux x uy }x s u r}v y 9 z

us vw z

! U4 n l wx z sux ~~< v y z y r sz ~{ur r usy9 u4y rvu rx ~(u~y z s

v wx y { z y ~x y ` r s z ~v {x x uUy }x s u r

! o m ¡ ¢o m £p l¤¥Uk¦ p mG§¨o l l £©p o m £ª« ¬ ® { « ¬® { « ¯ {

° « ± ²

³UN4´ µ ¶·¸T¹º¶»¸µ

¼½4¾ ¿ ÀÁ ÂÃU½ Ä(ÅÆ½Ç ¿ ÈÈ¿ É(ÂÀUÊ7¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÈ½ ÃÁ ËUÁ Å ½ ÌÍÊ¿ Î ½ Ä À½ Ã7ÏË9ÐGÑÐ ÂÄ(¿ ÇÁ Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾

ÃÂÒ½ Ä ½ ÀÅÂÐ È½ Ó ÔÐ Å Â¿ ÀÁÐ ÁÃU½ Á ¾ Ä ÂÏ ½ ÃÏ ½ È¿ ÉGÕ

(1.1) dx = Axdt + F (x)dt + B(x, u _t )dt + √

QdW, x(0) = x ₀

dy = h(x, y)dt + σ ₀ (y)dw ^o , y(0) = 0.

(2)

Æ½UÄ Á Å<½ Ó ÔÐ Å Â¿ ÀÂÁÃU½ UÀ½ Ã¿ À Ð ÀÂÀUÀUÂÅ ½ÃÂÌ9½ ÀÁ Â¿ ÀÐ ÈÂÈÏ½ Ä Å<ÁÑÐ ¾ ½

H

ÃU½ Á ¾ Ä ÂÏUÂÀUÊ9Å Æ½GÃËÀÐ Ì!Â¾ Á¿ ÇÁ Å Ð Å ½GÐ ÀÃ9Å Æ½`¿ Å Æ½ ÄÂÁÃU½ UÀ½ Ã<¿ ÀÐ UÀUÂÅ ½`ÃÂÌ9½ À

Á Â¿ ÀÐ ÈÔ¾ È½ ÃÂÐ ÀÁ ÑÐ ¾ ½

R ^d

^ÉÆUÂ^¾ ^ÆÃU½ ^Á ^¾ ^Ä ^Â^Ï ½ ^Á(Å Æ½`ÃËÀÐ Ì7Â¾ Á4¿ Ç¿ ÏÁ ½ Ä Î Ð Å Â¿ ÀÐ ÀÃ Ì7½ Ð Á ÔUÄ ½ Ì9½ À Å Æ½!ÑUÄ ¿¾ ½ Á Á

x,

^ÉÆUÂ^¾ ^ÆÂ^Á4À¿ ^Å`ÃÂ^Ä ^½ ^¾ ^Å ^È^ËÐ ^¾ ^¾ ^½ ^Á ^Á ^Â^ÏUÈ^½ ^Â^ÁG¾ ^¿ ^ÀÅ ^Ä ^¿ ^È^È^½ ^Ã

Å ÆUÄ ¿ ÔUÊ Æ7Ð4¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÈ½ Ä

u

^É(ÆUÂ^¾ ^Æ7½ ^U½ ^Ä ^¾ ^Â^Á ^½ ^ÁÂ^Å ^Á¾ ^¿ ^ÀÅ ^Ä ^¿ ^ÈÐ ^¾ ^Å ^Â^¿ ^ÀÁ¿ ^À!Å ^Æ½ÏÐ ^Á ^Â^Á¿ ^ÇÐ ^Î ^Ð ^Â^È

Ð ÏUÈ½ÂÀUÇ¿ Ä Ì7Ð Å Â¿ À9Ð Ï¿ ÔUÅ

x

^Å ^ÆUÄ ^¿ ^ÔUÊ ^Æ7Å ^Æ½ÑUÄ ^¿¾ ^½ ^Á ^Á

y

^ÉÆUÂ^¾ ^Æ!Â^ÁÑUÆ ^ËUÁ ^Â^¾ ^Ð ^È^È^Ë7Ð ^¾ ^¾ ^½ ^Á ^Á ^Â^ÏUÈ^½

Å ¿!Å Æ½G¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÈ½ Ä Æ½GÇÔUÀÃUÐ Ì9½ À Å Ð È¿ Ï ½ ¾ Å ÂÎ½4ÂÁ(Å ¿ UÀÃ9ÇÄ ¿ Ì Ð7Á ÔUÂÅ Ð ÏUÈ½G¾ ÈÐ Á Á

¿ ÇÌ9Ð ÑÁ É(ÆUÂ¾ Æ<Ð Ä ½

F t ^y

Ð ÃUÐ ÑUÅ ½ ÃÐ`¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ È ÈÐ ÉÉ(ÆUÂ¾ ÆÌ!ÂÀUÂÌ7Â ½ Á(ÅÆ½4½ Ñ½ ¾ Å ½ Ã

¾ ¿ Á ÅÇÔUÀ¾ Å Â¿ ÀÐ È

(1.2) J(u) ≡ E

Z

I `(t, y(t), x(t), u _t )dt.

½ À½ Ä Ð ÈÈË

A

^Â^ÁÐ ^ÀÔUÀ ^Ï¿ ^ÔUÀÃU½ ^Ã¿ ^Ñ½ ^Ä ^Ð ^Å ^¿ ^Ä9ÉÂ^Å ^ÆÅ ^Æ½ÃU¿ ^Ì7Ð ^Â^À ^Ð ^ÀÃ ^Ä ^Ð ^ÀUÊ ^½Â^ÀÐ

Á ½ ÑÐ Ä Ð ÏUÈ½ÂÈÏ ½ Ä Å!Á ÑÐ ¾ ½

H

F

^Â^Á!ÐÀ¿ ^ÀUÈ^Â^À½ ^Ð ^Ä9¾ ^¿ ^ÀÅ ^Â^À ^Ô¿ ^ÔÁ!Ï ¿ ^ÔUÀÃU½ ^Ã>¿ ^Ñ ½ ^Ä ^Ð ^Å ^¿ ^Ä

ÂÀ

H

^Ð ^ÀÃ

B

^Â^Á4Ð ^È^Á ^¿Ð9¾ ^¿ ^ÀÅ ^Â^À ^Ô¿ ^ÔÁGÏ ¿ ^ÔUÀÃU½ ^Ã<Ì7Ð ^ÑÇ^Ä ^¿ ^Ì

H × Z

^Å ^¿

H

^É(Æ½ ^Ä ^½

Z

ÂÁ`ÐÁ ÔUÂÅ Ð ÏUÈ½7Á ½ ÅGÇÄ ¿ Ì É(ÆUÂ¾ Æ>¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÁ`Ð Á Á ÔUÌ7½!Å Æ½ ÂÄGÎ Ð ÈÔ½ Á Æ½!Ì7Ð Ñ

Q

^Â^Á`Ð

Á ËÌ!Ì9½ Å Ä Â¾!Ñ ¿ Á ÂÅ ÂÎ½!¿ Ñ½ Ä Ð Å ¿ Ä4ÂÀ

H

^Ð ^ÀÃ

W

^Â^ÁGÐ9¾ ^ËÈ^Â^ÀÃÄ ^Â^¾ ^Ð ^ÈÄ ^¿ ^ÉÀUÂ^Ð ^ÀÌ9¿ ^Å ^Â^¿ ^À

É(ÂÅ Æ`Î Ð ÈÔ½ Á ÂÀ

H.

^Æ½¿ ^Ñ½ ^Ä ^Ð ^Å ^¿ ^Ä

h

^Â^ÁÐ¾ ^¿ ^ÀÅ ^Â^À ^Ô¿ ^ÔÁÏ¿ ^ÔUÀÃU½ ^ÃGÌ7Ð ^ÑGÇ^Ä ^¿ ^Ì

H ×R ^d

^Å ^¿

R ^d

^Ð ^ÀÃ

σ ₀

^Â^ÁÐ!¾ ^¿ ^ÀÅ ^Â^À ^Ô¿ ^ÔÁÏ ¿ ^ÔUÀÃU½ ^Ã9Ì7Ð ^ÑÇ ^Ä ^¿ ^Ì

R ^d

^Å ^¿!Å ^Æ½GÁ ^ÑÐ ^¾ ^½4¿ ^ÇÁ ^ËÌ7Ì7½ ^Å ^Ä ^Â^¾

d × d

^Ì9Ð ^Å ^Ä ^Â^¾ ^½ ^Á9Ð ^ÀÃ

w ^o

^Â^Á7Ð

d

^ÃÂ^Ì9½ ^ÀÁ ^Â^¿ ^ÀÐ ^ÈGÁ ^Å ^Ð ^ÀÃUÐ ^Ä ^ÃÄ ^¿ ^É(ÀUÂ^Ð ^ÀÌ7¿ ^Å ^Â^¿ ^À

ÑUÄ ½ ¾ Â Á ½4ÆËÑ ¿ Å Æ½ Á ÂÁ(ÉÂÈÈÏ ½4ÂÀ Å Ä ¿ÃÔ¾ ½ Ã<Á Æ¿ Ä Å ÈË

Ð Ä Å ÂÐ ÈÈË>¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ ÃUÀUÂÅ ½7ÃÂÌ9½ ÀÁ Â¿ ÀÐ È(¾ ¿ ÀÅÄ ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì9Á4ÆÐ Î½!Ï ½ ½ À>Á Å ÔÃ

Â½ Ã ½ Å ½ ÀÁ ÂÎ½ ÈË>ÏËÌ9Ð ÀË Ð ÔUÅ Æ¿ Ä Á7¿ Î½ Ä!Å Æ½9ÈÐ Á Å!Å É(¿ÃU½ ¾ Ð ÃU½ Á ! " # $ &%ÔUÈÈË

¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã ÂÀUÀUÂÅ ½<ÃÂÌ9½ ÀÁ Â¿ ÀÐ ÈG¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì7Á7ÆÐ Î½<Ð ÈÁ ¿Ï½ ½ À ½ Å ½ ÀÁ ÂÎ½ ÈË

Á Å ÔÃÂ½ Ã`ÂÀ7Á ½ Î½ Ä Ð ÈUÑÐ Ñ½ Ä ÁÅ ÆUÄ ¿ ÔUÊ Æ'4Ð Ì7ÂÈÅ ¿ À ( Ð ¾ ¿ ÏUÂ)(½ ÈÈÌ7Ð À7½ Ó ÔÐ Å Â¿ ÀÁ* !

+, $ -UÆÔÐ ÀÃ'ÆUÌ9½ Ã., $ ¾ ¿ ÀÁ ÂÃU½ Ä ½ Ã'/( ½ Ó ÔÐ Å Â¿ ÀÁ(¿ À'(Ð ÀÐ ¾ ÆÁ ÑÐ ¾ ½ ÁÄ ½

ÈÐ Å ½ Ã7Å ¿GÇÔUÈÈË7¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã9Á Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì9Á Ð Å Ð Ä ½ 07Ð ÀÃ

¿ ÈÃËUÁ* $

ÆÐ Î ½Á Å ÔÃÂ½ Ã`ÇÔUÈÈË!¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã!¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈUÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì ÔÁ ÂÀUÊ4Å Æ½Ì7½ Å Æ¿Ã!¿ Ç Á ÔUÏÁ Å ÂÅ ÔUÅ Â¿ À

¿ ÇÃÄ ÂÇÅ ÁGÎÂÐ ÂÄ Á Ð À¿ ÎÅ Ä Ð ÀÁ Ç¿ Ä Ì9Ð Å Â¿ À 1ÀÄ ½ ¾ ½ À Å`Ë ½ Ð Ä Á ÂÀUÀUÂÅ ½7ÃÂÌ9½ ÀÁ Â¿ ÀÐ È

ÑÐ Ä Å Â Ð ÈÈË7¿ ÏÁ ½ Ä Î½ Ã!¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈUÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì7ÁÆÐ Î ½(Ï½ ½ À7¾ ¿ ÀÁ ÂÃU½ Ä ½ Ã!ÂÀ# +2 ! $

1 À $Å Æ½(Ð ÔUÅ Æ¿ Ä¾ ¿ ÀÁ ÂÃU½ Ä ÁÐÑÐ Ä Å ÂÐ ÈÈË!¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã!¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈUÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì Ç¿ ÄÁ Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾

ÃÂÒ½ Ä ½ ÀÅÂÐ ÈÂÀ¾ ÈÔÁ Â¿ ÀÁÔÁ ÂÀUÊ7ÁÅ ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾4Ð ÑUÑUÄ ¿ Ð ¾ ÆÐ ÀÃ7Å Æ½Å Æ½ ¿ Ä Ë9¿ ÇÌ9¿ À¿ Å ¿ À½

¿ Ñ½ Ä Ð Å ¿ Ä Á 1 À. $ 34Ð Ä Ð Å ¿`Ð ÀÃ'- Ð Ï¾ Ë07ÃU½ Î ½ È¿ Ñ½ Ã7ÐGÊ ½ À½ Ä Ð Å Â¿ À9Å Æ½ ¿ Ä ½ ÌÍÇ ¿ Ä

4¿ ÈÌ9¿ Ê¿ Ä ¿ Î¿ Ñ½ Ä Ð Å ¿ Ä Á4¿ À<Å Æ½5ÂÈÏ½ Ä Å4Á ÑÐ ¾ ½

H

^¾ ^¿ ^ÀÁ ^Å ^Ä ^Ô¾ ^Å ^Â^ÀUÊÐ

C ₀

^Á ^½ ^Ì7Â^Ê ^Ä ^¿ ^ÔUÑ

¿ Ç Ï¿ ÔUÀÃU½ Ã7ÈÂÀ½ Ð Ä(¿ Ñ ½ Ä Ð Å ¿ Ä Á¿ À

L ₂ (H, µ ^r )

^ÉÆ½ ^Ä ^½

µ ^r

^Â^ÁÐ4Ä ^½ ^Ç ^½ ^Ä ^½ ^À¾ ^½Ì7½ ^Ð ^Á ^ÔUÄ ^½4¿ ^À

H.

^ÆUÂ^ÁG¿ ^Ñ½ ^À½ ^Ã<ÔUÑÅ ^Æ½`ÑUÄ ^¿ ^Á ^Ñ ½ ^¾ ^Å ^ÁG¿ ^ÇÅ ^Ä ^½ ^Ð ^Å ^Â^ÀUÊÂ^ÀUÀUÂ^Å ^½!ÃÂ^Ì7½ ^ÀÁ ^Â^¿ ^ÀÐ ^ÈÀ¿ ^ÀUÈ^Â^À½ ^Ð ^Ä

UÈÅ ½ Ä ÂÀUÊ<ÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì9Á`Ð ÀÃÑÐ Ä Å ÂÐ ÈÈË¿ ÏÁ ½ Ä Î½ ÃÁ Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾7¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì7ÁGÔÁ ÂÀUÊ

Ð À>Ð ÀÐ ÈËÅ Â¾7Ð ÑUÑUÄ ¿ Ð ¾ Æ ) !) + $ÂÀ>¾ ¿ À Å Ä Ð Á Å`Å ¿Å Æ½7Á Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾7Ð ÑUÑUÄ ¿ Ð ¾ Æ

(3)

# $ (Ð Á ½ Ã>¿ À>Å Æ½Ð ÀÐ ÈËÅ Â¾Ð ÑUÑUÄ ¿ Ð ¾ ÆÄ ½ ¾ ½ ÀÅ ÈË Á ¿ Ì9½7Ä ½ Á ÔUÈÅ Á7¿ À>ÑÐ Ä Å ÂÐ ÈÈË

¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã¾ ¿ ÀÅÄ ¿ È`ÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì9Á9ÑUÄ ¿ ÎÂÀUÊ ½ ÂÁ Å ½ À¾ ½¿ Ç!¿ ÑUÅ ÂÌ9Ð ÈGÄ ½ ÈÐ U½ Ã %Ì9½ Ð Á ÔUÄ ½

Î Ð ÈÔ½ Ã'!¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÁ7Ð ÀÃ>À½ ¾ ½ Á Á Ð Ä Ë ¾ ¿ ÀÃÂÅ Â ¿ ÀÁ7¿ Ç4¿ ÑUÅ ÂÌ7Ð ÈÂÅË>É(½ Ä ½ÃU½ Î ½ È¿ Ñ½ Ã>ÂÀ

2 ! $

1 ÀÅ ÆUÂÁÑÐ Ñ ½ Ä É(½`ÔÁ ½GÅ Æ½`Ä ½ Á ÔUÈÅ ÁG¿ Ç* ! + $Ð ÁÅ Æ½`Á Å Ð Ä Å ÂÀUÊ9Ñ ¿ ÂÀÅ4Å ¿

Á Å ÔÃË7Å Æ½4Ó Ô½ Á Å Â¿ À¿ ÇÄ ½ ÈÐ UÐ ÏUÂÈÂÅË¿ ÇÀ¿ À¾ ¿ ÀÎ ½ 9ÑÐ Ä Å ÂÐ ÈÈË¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ ÃÁ Å ¿¾ ÆÐ Á Å Â¾

¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì9ÁÂÀ!ÂÀUÀUÂÅ ½ÃÂÌ9½ ÀÁ Â¿ À 1À7¿ Å Æ½ ÄÉ(¿ Ä ÃUÁ Ê ÂÎ½ À7Å Æ½½ ÂÁ Å ½ À¾ ½(¿ Ç

¿ ÑUÅ ÂÌ9Ð ÈÄ ½ ÈÐ U½ Ã!¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÁÇ ¿ ÄÐ4À¿ À¾ ¿ ÀÎ ½ 7ÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì % ¾ ¿ À Î½ Â½ Ã' Å Æ½Ó Ô½ Á Å Â¿ À

ÂÁÉÆ½ Å Æ½ ÄÅ Æ½ Ä ½½ ÂÁ Å ÁÐ4Ä ½ Ê ÔUÈÐ Ä¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ È Á Å Ð Å ½(ÑÐ ÂÄÐ ÑUÑUÄ ¿ ÂÌ9Ð Å ÂÀUÊ`Å Æ½Ä ½ ÈÐ U½ Ã

¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ È Á Å Ð Å ½<ÑÐ ÂÄ!Å ¿Ð À Ë ÑUÄ ½ Á ¾ Ä ÂÏ½ Ã ÃU½ Ê Ä ½ ½¿ ÇGÐ ¾ ¾ ÔUÄ Ð ¾ Ë (ÆUÂÁ!Â Á!Å Æ½9Ì9Ð ÂÀ

¾ ¿ À¾ ½ Ä À¿ Ç4Å ÆUÂÁ7ÑÐ Ñ½ Ä9Ð ÀÃ ÐÄ ½ Á ÔUÈÅ7ÂÀ Å ÆUÂÁ9ÃÂÄ ½ ¾ Å Â¿ À ÂÁ!Ê ÂÎ ½ À ÂÀ½ ¾ Å Â¿ À,

¿ Ì9½9Ð Á Á ÔUÌ7ÑUÅ Â¿ ÀÁ`ÂÀ ! $(Ð Ä ½7Ä ½ ÈÐ U½ ÃÐ Å`Å Æ½7½ Ñ½ ÀÁ ½7¿ ÇÁ ¿ Ì7½9¿ Å Æ½ Ä Á`ÔÁ ÂÀUÊ

É(½ Ð 0<Á ¿ ÈÔUÅ Â¿ ÀÁÂÀÁ Å ½ Ð Ã<¿ ÇÌ7ÂÈÃÁ ¿ ÈÔUÅ Â¿ ÀÁ

Æ½Ä ½ Á Å¿ ÇÅ Æ½ÑÐ Ñ½ ÄÂÁ¿ Ä ÊÐ ÀUÂ ½ Ã`Ð Á Ç¿ ÈÈ¿ É4Á Õ)1 À½ ¾ Å Â¿ À Á ¿ Ì7½À¿ Å Ð Å Â¿ ÀÁ

Ð Ä ½(ÂÀÅÄ ¿ÃÔ¾ ½ Ã ÂÀ½ ¾ Å Â¿ À'! ÏÐ Á Â¾(Ð Á Á ÔUÌ!ÑUÅ Â¿ ÀÁÐ ÀÃ7Á ¿ Ì9½(ÏÐ ¾ 0Ê Ä ¿ ÔUÀÃ7Ä ½ Á ÔUÈÅ Á

ÃÔ½4Å ¿ 3GÐ Ä Ð Å ¿7Ð ÀÃ.-Ð Ï ¾ Ë0 $ 2ÆUÌ7½ ÃÐ ÀÃ.-Ð Ï ¾ Ë0 $ Ð ÀÃÆUÌ7½ Ã

%ÔUÆUÄ Ì7Ð À- Ð Ï¾ Ë0 + $`Ð Ä ½Ó Ô¿ Å ½ ÃÇ ¿ Ä<¾ ¿ ÀÎ ½ ÀUÂ½ À¾ ½¿ Ç`Å Æ½Ä ½ Ð ÃU½ Ä Á 4½ Ä ½

Ð ÃÌ7ÂÁ Á ÂÏUÈ½¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÁÐ Ä ½ÂÀÅ Ä ¿ÃÔ¾ ½ Ã`Ð ÀÃ4Å Æ½ÑÐ Ä Å ÂÐ ÈÈË`¿ ÏÁ ½ Ä Î½ ÃG¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÑUÄ ¿ ÏUÈ½ Ì

ÂÁ9Ç¿ Ä Ì`ÔUÈÐ Å ½ ÃÐ Á9Ð À½ Ó ÔUÂÎ Ð È½ À ÅÇ ÔUÈÈË ¿ ÏÁ ½ Ä Î ½ Ã¿ À½ 1 À½ ¾ Å Â¿ À+4ÐÑUÄ Â¿ Ä Â

Ï ¿ ÔUÀÃUÁ`Ð ÀÃÐÄ ½ ¾ ½ ÀÅ`Ä ½ Á ÔUÈÅ' $(¿ ÀÅ Æ½7½ ÂÁ Å ½ À¾ ½7¿ ÇÐ9É(½ Ð 0Á ¿ ÈÔUÅ Â¿ ÀÅ ¿Å Æ½

¾ ¿ ÀÅ Ä ¿ ÈÈ½ Ã&- Ð 0 Ð Â½ Ó ÔÐ Å Â¿ À>ÂÁ4Ê ÂÎ½ À '1À½ ¾ Å Â¿ À ,Ð ÇÅ ½ Ä`Ð9ÏUÄ Â½ ÇÃÂÁ ¾ ÔÁ Á Â¿ À>¿ Ç

Å Æ½4½ ÂÁ Å ½ À¾ ½4¿ Ç¿ ÑUÅ ÂÌ9Ð È¾ ¿ À Å Ä ¿ ÈÁ Å Æ½Ì7Ð ÂÀ9Ä ½ Á ÔUÈÅ(¿ Ç Å ÆUÂÁÑÐ Ñ½ Ä(¿ À7Ä ½ ÈÐ UÐ Å Â¿ À

ÂÁ(ÑUÄ ½ Á ½ À Å ½ Ã

N »º>µ¸¶ ¶»¸µ

½ Å

H

^ÃU½ ^À¿ ^Å ^½ÐÁ ^½ ^ÑÐ ^Ä ^Ð ^ÏUÈ^½Â^È^Ï½ ^Ä ^ÅÁ ^ÑÐ ^¾ ^½ ^)%U¿ ^ÄÐ ^À ^Ë(Ð ^ÀÐ ^¾ ^Æ!Á ^ÑÐ ^¾ ^½

E, C(I, E)

^ÃU½

À¿ Å ½ Á Å Æ½JÁÑÐ ¾ ½J¿ Ç ¾ ¿ ÀÅ ÂÀ Ô¿ ÔÁ ÇÔUÀ¾ Å Â¿ ÀÁL¿ À

I

^ÉÂ^Å ^Æ ^Î ^Ð ^È^Ô½ ^Á ^Â^À

E

C _b (H)(B _b (H))

^Â^Á`Å ^Æ½9Á ^ÑÐ ^¾ ^½9¿ ^ÇÏ ¿ ^ÔUÀÃU½ ^Ã>¾ ^¿ ^À ^Å ^Â^ÀÔ¿ ^ÔÁ<%^Ì7½ ^Ð ^Á ^ÔUÄ ^Ð ^ÏUÈ^½ ^'`Ç^ÔUÀ¾ ^Å ^Â^¿ ^ÀÁ

¿ À

H

M b (H)

^Â^ÁÅ ^Æ½!Á ^ÑÐ ^¾ ^½!¿ ^Ç¾ ^¿ ^ÔUÀ ^Å ^Ð ^ÏUÈ^ËÐ ^ÃUÃÂ^Å ^Â^Î ^½`Ï¿ ^ÔUÀÃU½ ^ÃÁ ^Â^Ê ^À½ ^Ã<Ì7½ ^Ð ^Á ^ÔUÄ ^½ ^Á

¿ ÀÅ Æ½4Ì9½ Ð Á ÔUÄ Ð ÏUÈ½GÁÑÐ ¾ ½

(H, B(H))

^Ð ^ÀÃ

M 1 (H) ⊂ M b

ÂÁÅ Æ½4Á ÑÐ ¾ ½4¿ ÇÑUÄ ¿ Ï

Ð ÏUÂÈÂÅËÌ9½ Ð Á ÔUÄ ½ Á .%¿ Ä

µ ∈ M b (H)

^Ð ^ÀÃ

φ ∈ B b (H)

^É(½7ÔÁ ^½

µ(φ)

^Å ^¿<ÃU½ ^À¿ ^Å ^½

Å Æ½!ÇÔUÀ¾ Å Â¿ ÀÐ È

R

H φ(x)µ(dx).

^%U¿ ^Ä`Ð ^ÀË<ÑÐ ^Â^Ä`¿ ^Ç(Ð ^ÀÐ ^¾ ^ÆÁ ^ÑÐ ^¾ ^½ ^Á

X, Y

L(X, Y )

É(ÂÈÈÃU½ À¿ Å ½GÅ Æ½GÁ ÑÐ ¾ ½`¿ ÇÈÂÀ½ Ð ÄG¿ Ñ½ Ä Ð Å ¿ Ä ÁÇÄ ¿ Ì

X

^Å ^¿

Y

^%¿ ^ÄGÐ ^ÀËÈ^¿¾ ^Ð ^È^È^Ë<¾ ^¿ ^À

Î ½ >Å ¿ Ñ ¿ È¿ Ê Â ¾ Ð ÈÎ ½ ¾ Å ¿ Ä9Á ÑÐ ¾ ½

Z, 2 ^Z \ ∅

^ÉÂ^È^ÈÃU½ ^À¿ ^Å ^½9Å ^Æ½Á ^ÑÐ ^¾ ^½¿ ^Ç4À¿ ^À½ ^Ì7ÑUÅ^Ë

Á ÔUÏÁ ½ Å Á9¿ Ç

Z

^(Ð ^ÀÃ

c( Z)

^G%^¾ ^Ï% ^-'!¾ ^¾ ^%^-'

cbc( Z)

kc( Z)

^'7ÃU½ ^À¿ ^Å ^½ ^Á!Å ^Æ½¾ ^È^Ð ^Á ^Á7¿ ^Ç

À¿ À½ Ì7ÑUÅ Ë ¾ È¿ Á ½ Ã %¾ È¿ Á ½ Ã Ï ¿ ÔUÀÃU½ Ã¾ È¿ Á ½ Ã ¾ ¿ À Î½ (¾ È¿ Á ½ Ã Ï ¿ ÔUÀÃU½ Ã ¾ ¿ ÀÎ ½

¾ ¿ Ì7ÑÐ ¾ ÅG¾ ¿ ÀÎ ½ '(Á ÔUÏÁ ½ Å Á¿ Ç

R dÉÆUÂ¾ ÆÃU½ Á ¾ Ä ÂÏ ½ Á(Å Æ½`ÃËÀÐ Ì7Â¾ Á4¿ Ç¿ ÏÁ ½ Ä Î Ð Å Â¿ ÀÐ ÀÃ Ì7½ Ð Á ÔUÄ ½ Ì9½ À Å Æ½!ÑUÄ ¿¾ ½ Á Á

(1.1) dx = Axdt + F (x)dt + B(x, u t )dt + √

QdW, x(0) = x 0

dy = h(x, y)dt + σ 0 (y)dw o , y(0) = 0.

H

R d

x,

u

x

y

F t y

(1.2) J(u) ≡ E

Z

I `(t, y(t), x(t), u t )dt.

A

H

F

H

B

H × Z

H

Z

Q

H

W

H.

h

H ×R d

R d

σ 0

R d

d × d

w o

d

H

C 0

L 2 (H, µ r )

µ r

H.

H

E, C(I, E)

I

E

C b (H)(B b (H))

H

M b (H)

(H, B(H))

M 1 (H) ⊂ M b

µ ∈ M b (H)

φ ∈ B b (H)

µ(φ)

R

H φ(x)µ(dx).

X, Y

L(X, Y )

X

Y

Z, 2 Z \ ∅

Z

c( Z)

cbc( Z)

kc( Z)

Z

(1.1) dx = Axdt + F (x)dt + B(x, u _t )dt + √

QdW, x(0) = x ₀

dy = h(x, y)dt + σ ₀ (y)dw ^o , y(0) = 0.

R ^d

F t ^y

I `(t, y(t), x(t), u _t )dt.

H ×R ^d

R ^d

σ ₀

R ^d

w ^o

C ₀

L ₂ (H, µ ^r )

µ ^r

C _b (H)(B _b (H))

Z, 2 ^Z \ ∅