ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

127

ANALIZA WPŁYWU ROZMIESZCZENIA I LICZBY PUNKTÓW KOLOKACJI NA DOKŁADNOŚĆ METODY PURC DLA ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W OBSZARACH WIELOŚCIENNYCH 3D

Eugeniusz Zieniuk

^1a

, Krzysztof Szerszeń

^1b

1

Zakład Metod Numerycznych, Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet w Białymstoku e-mail

^a

ezieniuk@ii.uwb.edu.pl,

^b

kszerszen@ii.uwb.edu.pl

Streszczenie

Celem niniejszej pracy jest zbadanie wpływu liczby oraz sposobu rozmieszenia punktów kolokacji na dokładność i stabilność rozwiązań uzyskiwanych za pomocą parametrycznych układów równań całkowych (PURC). Analizę przeprowadzano dla brzegowych zagadnień 3D modelowanych równaniami Naviera-Lamégo z obszarami wielościennymi. Numeryczne rozwiązywanie PURC sprowadza się do rozwiązywania układów równań algebraicznych, które są zapisywane w punktach kolokacji. Liczba tych punktów oraz ich rozmieszczenie ma istotny wpływ na dokładność i stabilność rozwiązań.

ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF ARRANGEMENT AND NUMBER OF COLLOCATION POINTS ON THE ACCURACY OF THE PIES METHOD FOR LINEAR

ELASTICITY PROBLEMS IN 3D POLYHEDRAL DOMAINS

Summary

The purpose of this paper is to study the influence of number and arrangement of collocation points on the accuracy and stability obtained by parametric integral equation method (PIES). This analysis has been performed for 3D boundary value problems modeled by Navier-Lamé equations in polyhedral domains. Numerical solution of the PIES comes down to solving algebraic equations, written at collocation points. The number of these points and their arrangement have a significant impact on the accuracy and stability of the solutions.

1. WSTĘP

Poprawa dokładności rozwiązań numerycznych w klasycznych metodach elementowych (MES, MEB) realizowana jest poprzez zwiększenie liczby wprowadzonych elementów lub też zastosowanie elementów wyższego rzędu. W obydwu przypadkach prowadzi to do konieczności deklarowania dużej liczby węzłów, na podstawie których budowana jest siatka

elementowa przyjętego schematu dyskretyzacji brzegu lub obszaru. Takie podejście wydaje się szczególnie nieefektywne w odniesieniu do zagadnień przestrzennych, w których niejednokrotnie duża liczba elementów może być zbędna z punktu widzenia dokładności odwzorowania modelowanego obszaru [1].

Rozpatrywane w pracy alternatywne podejście dotyczące numerycznego rozwiązywania zagadnień brzegowych realizowane jest na podstawie parametrycznych układów równań całkowych (PURC). Metoda PURC charakteryzuje się rozdzieleniem aproksymacji brzegu od aproksymacji funkcji brzegowych [5]. W wyniku tego możliwym okazało się wyeliminowanie w PURC konieczności dyskretyzacji brzegu i obszaru w procesie numerycznego rozwiązywania zagadnienia brzegowego.

Kształt brzegu został w tym przypadku uwzględniony w sposób analityczny bezpośrednio w funkcjach podcałkowych PURC i matematycznie zdefiniowany za pomocą dowolnych funkcji parametrycznych.

Z kolei rozwiązania na brzegu zostały zdefiniowane z wykorzystaniem szeregów aproksymujących. Takie zdefiniowanie rozwiązań na brzegu i samego kształtu obszaru powoduje, że poprawa dokładności rozwiązań jest procesem niezależnym od poprawy dokładności modelowania obszaru. Poprawa dokładności rozwiązań numerycznych w PURC sprowadza się do zwiększenia liczby wyrazów w szeregach aproksymujących. Liczba wyrazów w szeregach z kolei jest związana z liczbą deklarowanych w dziedzinach poszczególnych płatów powierzchni tzw. punktów kolokacji. Obecność

punktów kolokacji wynika z zastosowanej metody pseudospektralnej (kolokacji) do numerycznego rozwiązania PURC. Numeryczne rozwiązywanie PURC sprowadza się do rozwiązywania układów równań algebraicznych, które są zapisywane w punktach kolokacji. Ponadto z przeprowadzonych badań okazuje się, że na dokładność rozwiązań ma też wpływ sposób ich rozmieszczenia w dziedzinie płatów powierzchni. Dlatego też w pracy przebadano trzy warianty ich rozmieszczenia w celu wyciągnięcia wniosków, dla jakiego wariantu rozmieszczenia i dla jakiej ich liczby otrzymywane rozwiązania charakteryzują się największą dokładnością.

Dotychczasowe badania analizujące wpływ liczby i rozmieszczenia punktów kolokacji w metodzie pseudospektralnej zastosowanej do numerycznego rozwiązywania PURC realizowane były głównie w zagadnieniach płaskich [5,6]. Celem niniejszej pracy jest przeprowadzenie szczegółowej analizy ich rozmieszczenia dla zagadnień 3D matematycznie modelowanych równaniami Naviera-Lamégo.

Prezentowane testy przeprowadzono dla zagadnień brzegowych z obszarami wielościennymi.

2. APROKSYMACJA ROZWIĄZAŃ NA BRZEGU W PURC

Cechą charakterystyczną MEB jest podział brzegu na elementy i równoczesne aproksymowanie kształtu brzegu i funkcji brzegowych na tych elementach [1].

Przy założeniu izoparametryczności elementów brzegowych modelowanie funkcji brzegowych w MEB na tych elementach odbywa się w identyczny sposób jak samej geometrii brzegu i sprowadza się do znalezienia wartości tych funkcji wyłącznie w węzłach poszczególnych elementów brzegowych. Mówi się w tym przypadku o dyskretyzacji brzegu i funkcji brzegowych utożsamianych z zadawanymi warunkami brzegowymi i poszukiwanymi rozwiązaniami na brzegu. Wartości funkcji brzegowych w pozostałych punktach na brzegu można wyznaczyć za pośrednictwem z góry zdefiniowanych funkcji kształtu na poszczególnych elementach brzegowych. Przyjęcie właśnie takiej formy aproksymowania funkcji

brzegowych powoduje, że w celu uzyskania poprawy dokładności rozwiązań na brzegu należy zagęścić liczbę węzłów, co jest ściśle związane z fizyczną deklaracją tych węzłów. Niejednokrotnie liczba wprowadzonych w takim przypadku elementów jest nadmiarowa w stosunku do wymaganej w celu dokładnego i jednoznacznego zamodelowania brzegu.

Istotną korzyścią płynącą z zastosowania PURC jest wspomniane już rozdzielenie sposobu deklaracji kształtu brzegu od sposobu aproksymacji funkcji brzegowych w celu uzyskania rozwiązania na brzegu.

Daje to możliwość niezależnej poprawy dokładności modelowania kształtu brzegu bez ingerencji w aproksymację rozwiązań na brzegu i odwrotnie.

Formuła PURC w przypadku problemów brzegowych 3D opisanych równaniami Naviera-Lamégo przedstawiana jest w następującej postaci [7]

}

{ ^{( , , , ) ( , ) ( , , , ) ( , ) ( , ) ,}

) , ( 5 . 0

1

1 1 1

1 1

1

1 1

dvdw w v J w v w v w v w

v w v w v w

v

n

j v

v

j j

lj j

lj w

w l

j

j j

j

∑ ∫ ∫

=

∗

∗

− −

−

= U p P u

u

(1)

przy czym

ν

_l−1

< ν

₁

< ν

_l

, w

_l−1

< w

₁

< w

_l

,

j

j

ν ν

ν

₋₁

< <

,

w

_j−1

< w < w

_j,

l = 1 , 2 , 3 ,..., n

oraz

J

_j

( w v , )

jest jakobianem, natomiast

) , ( ), ,

( v w

_j

v w

j

u

p

są to parametryczne funkcje brzegowe na poszczególnych płatach powierzchni

modelujących brzeg. Jedna z tych funkcji będzie zadana w postaci warunków brzegowych, natomiast druga będzie poszukiwana w wyniku rozwiązania (1).

Jawna postać funkcji podcałkowych

) , , ,

( v

₁

w

₁

v w

lj

U

∗ ,

P

_lj^∗

( v

₁

, w

₁

, v , w )

jest przedstawiona w pracy [7]. Ogólnie funkcje te są zależne od rozwiązywanego równania różniczkowego,

129 dla równania Laplace'a są one przedstawione w pracy [8], natomiast dla równania Helmholtza w [9]. Funkcje te w swoim formalizmie matematycznym uwzględniają kształt brzegu zdefiniowany za pomocą dwuwymiarowych funkcji parametrycznych. W odniesieniu do analizowanych w niniejszej pracy zagadnień 3D modelowanie brzegu opiera się na

wykorzystaniu prostokątnych płatów powierzchni Coonsa. Za pomocą odpowiedniego połączenia tych płatów można bardzo łatwo zdefiniować kształt obszaru bezpośrednio w PURC. Przykład wykreowanego sześcioma płatami Coonsa brzegu sześcianu bezpośrednio w PURC przedstawiono na

rys. 1.

Rys. 1. Modelowanie kształtu brzegu płatami powierzchni Coonsa, schematyczne rozmieszczanie punktów kolokacji w lokalnych płaszczyznach odwzorowania

v, w

dla składowych płatów powierzchni Coonsa, realizacja aproksymacji funkcji brzegowych

wielomianami Czebyszewa

Bezpośrednie uwzględnienie w formule PURC kształtu brzegu wprowadza dużą swobodę w określeniu aproksymacji funkcji brzegowych

) , ( w v

u

j oraz

p

_j

( w v , )

w formule (1). W trakcie numerycznej realizacji PURC funkcje brzegowe na każdym z modelujących brzeg płatów powierzchni są

aproksymowane za pomocą szeregów z funkcjami bazowymi Czebyszewa pierwszego rodzaju

) ( ),

(

^{( )}

)

(

v T w

T

_j^p _j^r . Szeregi aproksymujące dla obu funkcji są przedstawione w podobny sposób

∑∑

= =

=

N

p

r j M

r

p j pr j

j

v w T v T w

0

) ( 0

) ( )

(

( ) ( )

) ,

( u

u

, (2)

∑∑

= =

=

N

p

r j M

r

p j pr j

j

v w T v T w

0

) ( 0

) ( )

(

( ) ( )

) ,

( p

p

, (3)

gdzie

) ( ) (_j^pr

, p

_j^pr

u

- są zadanymi lub poszukiwanymi współczynnikami,

M

N,

- są liczbami wyrazów szeregu zdefiniowanego w dziedzinie płata (obszarze).

Po podstawieniu tych szeregów (2,3) do formuły PURC (1) dla równania Naviera-Lamégo otrzymamy następujące wyrażenie

. ) , ( ) ( ) (

) , , , ( )

, , , ( )

, ( 5 . 0

) ( ) (

1 0 0

1 1 )

( 1

1 )

( 1

1

1 1 1

1

dvdw w v J w T v T

w w w

w w

j r j p j n

j N

p M

r

w

w

w

w lj v

v pr j lj

v

v pr j l

j

j

j

j j

j j

j

∑∑∑ ∫ ∫ ∫ ∫

= = =

∗

∗



 





 



−

=

− − −

−

ν ν ν

ν

ν p U u P

u

(4)

Do numerycznego rozwiązywania (4) zastosowano metodę pseudospektralną [2]. Zapisując formułę (4) w punktach kolokacji, otrzymuje się układ równań liniowych względem niewiadomych współczynników

) ( ) (_j^pr

, p

_j^pr

u

z (2,3). Poszukiwane są w tym

przypadku nie wartości rozwiązań w węzłach jak w MEB, lecz wyłącznie wartości współczynników

) ( ) (_j^pr

, p

_j^pr

u

w szeregach, które nie mają fizycznej interpretacji.

Punkty kolokacji w PURC, jak przestawiono to na rys. 1, nie są deklarowane bezpośrednio na brzegu, ale w lokalnej prostokątnej dziedzinie

v, w

oddzielnie dla każdego z płatów modelujących brzeg. Jak zaprezentowano na rys. 1, dla każdego ze składowych płatów powierzchni, obok rozmieszczenia punktów kolokacji, następuje także aproksymacja funkcji brzegowych za pomocą funkcji bazowych będących wielomianami Czebyszewa.

3. ANALIZA STABILNOŚCI ROZWIĄZAŃ

NUMERYCZNYCH

Przedstawiony w poprzednim punkcie algorytm numerycznego rozwiązywania PURC poddano analizie dotyczącej dokładności uzyskiwanych rozwiązań.

Z uwagi na fakt, że funkcje brzegowe zostały przybliżane w postaci szeregów (2) i (3), niewątpliwie czynnikiem wpływającym na dokładność rozwiązań w PURC będzie liczba niewiadomych współczynników w szeregach, zapisywana jako

n = ( N + 1 )( M + 1 )

. Liczba ta jest zgodna z liczbą punktów kolokacji.

Zapisanie PURC w każdym z punktów kolokacji ostatecznie sprowadza PURC do układu równań algebraicznych. W wyniku rozwiązania tego układu otrzymywane są niewiadome współczynniki w jednym z szeregów aproksymujących.

W pracy analizowano wpływ liczby punktów kolokacji

n

oraz różne warianty ich rozmieszczenia w dziedzinie płata powierzchni. Rozpatrywano rozmieszczenie równomierne, rozmieszczenie ze skrajnymi punktami umiejscowionymi bliżej krańców obszaru (dziedziny płata) oraz w trzecim wariancie w miejscach odpowiadających pierwiastkom wielomianów Czebyszewa.

a) b) c)

wariant 1 wariant 2 wariant 3

Rys. 2. Warianty rozmieszczenia odpowiednio 9 oraz 16 punktów kolokacji: a) równomierne, b) z punktami skrajnymi

bliżej krawędzi, c) w miejscach pierwiastków wielomianów Czebyszewa

Trzy rozpatrywane warianty rozmieszczenia punktów kolokacji wygenerowane odpowiednio dla

9

=

n

oraz

n = 16

punktów kolokacji w dziedzinie

w

v,

, dla prostokątnych płatów powierzchni Coonsa modelujących brzeg, przedstawiono na rys. 2.

Zaletą PURC jest to, że omawiane sterowanie liczbą oraz rozmieszczeniem punktów kolokacji odbywa się bez jakiejkolwiek ingerencji w zamodelowany parametrycznymi płatami powierzchni kształt brzegu rozpatrywanego obszaru.

Odrębnym problemem było także opracowanie efektywnego i dokładnego sposobu obliczania pojawiających się w matematycznej formule PURC całek powierzchniowych. Całki te dla zagadnień 3D zostały zdefiniowane w dziedzinach odpowiadających parametrycznym płatom powierzchni modelującym brzeg. Występują tam całki regularne i osobliwe, najbardziej uniwersalnym sposobem ich obliczania są kwadratury numeryczne. Problematykę dotyczącą wpływu liczby współczynników wagowych w kwadraturze numerycznego całkowania na dokładność rozwiązań uzyskiwanych za pomocą PURC przedstawiono już wcześniej w [10].

Analizę dokładności rozwiązań w zależności od wariantu rozmieszczenia punktów kolokacji i ich liczby

n

przeprowadzono dla dwóch przedstawionych na rys. 3a,b obszarów wielościennych z brzegiem zamodelowanym odpowiednio 14 oraz 13 płatami Coonsa zdefiniowanymi w obszarach prostokątnych.

a)

b)

Rys. 3. Rozpatrywane obszary zamodelowane odpowiednio:

a) 14 oraz b) 13 płatami Coonsa

Zamodelowane w ten sposób obszary traktowano jako obszary w zagadnieniach brzegowych matematycznie modelowanych równaniami Naviera-

131 Lamégo. Warunki brzegowe zostały zadane na podstawie znanych rozwiązań analitycznych w przestrzeni

R

³dla równań Naviera-Lamégo.

Rozpatrywano w obu przypadkach przemieszczeniowe warunki brzegowe, wyznaczone dla dwóch znanych analitycznych rozwiązań tych równań (przemieszczeń) [3,4]

) 2

( 5 .

0

_{1 2 3}

1

x x x

u = + +

,

) 2

( 5 .

0

_{1 2 3}

2

x x x

u = + +

,

) 2 (

5 .

0

_{1 2 3}

3

x x x

u = + +

, (5)

oraz

2 3 2 3 2

1

x 3 x x

u = −

,

2 1 3 3 3

2

x 3 x x

u = −

,

2 2 1 3 1

3

x 3 x x

u = −

. (6)

Po uwzględnieniu współrzędnych odpowiadających krawędziom rozpatrywanych obszarów (rys. 3) do (5) i (6) otrzymywane są warunki brzegowe na krawędziach brzegu. Na podstawie (5) i (6) można też w podobny sposób wyznaczyć warunki brzegowe Neumanna (siły powierzchniowe). Mając tak otrzymane warunki na brzegu rozpatrywanych obszarów, za pomocą PURC można otrzymać rozwiązania w obszarze. Rozwiązania w obszarze można porównać ze znanymi rozwiązaniami analitycznymi reprezentowanymi przez gradienty wyznaczone odpowiednio dla funkcji (5) oraz (6).

O dokładności rozwiązań numerycznych decyduje

liczba

n

punktów kolokacji oraz wariant ich rozmieszczenia (rys.2). Dla rozpatrywanych obszarów i rozwiązań przeprowadzono testy numeryczne, których wyniki zestawiono w tabelach.

W tabelach 1 i 2 zestawiono błędy rozwiązań w PURC dla

n

={1, 4, 9, 16, 25} punktów kolokacji dla każdego z modelujących brzeg płatów Coonsa rozmieszczonych w ich dziedzinach oraz wszystkich trzech wariantów ich rozmieszczenia.

Liczba przyjętych punktów kolokacji przekłada się bezpośrednio na liczbę rozwiązywanych równań algebraicznych zestawionych w kolumnie drugiej tych tabel. Porównywano miary błędów na podstawie normy

L

₂ otrzymane dla rozpatrywanych trzech wariantów ich rozmieszczenia oraz różnej liczby punktów kolokacji.

Obliczenia zrealizowano przy przyjęciu 1024 współczynników wagowych w kwadraturach Gaussa- Legendre'a dla całek osobliwych oraz regularnych na każdym ze składowych płatów powierzchni brzegu.

Tab. 1. Miara błędu rozwiązań w PURC na podstawie normy

L

₂ w zależności od liczby oraz rozmieszczenia punktów kolokacji dla kształtu obszaru z Rys. 3a

n

iczbaL równań oe wkdłaS rozwiązań Sposoby rozmieszczenia punktów kolokacji

Funkcja (5) Funkcja (6)

Wariant 1 Wariant 2 Wariant 3 Wariant 1 Wariant 2 Wariant 3

1 39

¹

u u2

u3

8.54557 26.2805 10.3291

7.12478e-9 6.46038e-9 8.34486e-9

7.0756e-9 6.48367e-9 8.29261e-9

8.54557 26.2805 10.3291

8.54557 26.2805 10.3291

8.54511 26.2803 10.329

4 156

u1

u2

u3

0.920398 2.51222 0.582034

0.016802 0.029615 0.021319

0.000271 0.000148 0.000358

0.509294 1.79028 0.444248

0.920398 2.51222 0.582034

0.711464 2.01985 0.512744

9 351

u1

u2

u3

0.007165 0.011527 0.006896

0.026862 0.030705 0.018603

0.56519 0.659864 0.406903

1.13986e-8 1.7824e-8 1.08254e-8

0.007165 0.011527 0.006896

0.147252 0.281627 0.140911

16 624

u1

u2

u3

0.014396 0.024381 0.005180

0.032765 0.030227 0.026753

8.58113 5.7706 6.38169

2.13841e-6 4.18549e-6 1.33926e-6

0.014396 0.024381 0.005180

5.08447 9.50427 2.22449

25 975

u1

u2

u3

0.008961 0.013539 0.009435

0.030640 0.020788 0.029000

11.2978 8.26719 11.8871

4.68474e-5 7.47524e-5 5.29427e-5

0.008961 0.013539 0.009435

10.0918

10.9981

5.34462

4. WNIOSKI

Dokładność uzyskiwanych rozwiązywanych za pomocą metody PURC zależy od dokładności zamodelowania obszaru oraz od zastosowanego algorytmu do jego numerycznego rozwiązywania.

Rozpatrywano obszary takie, które można było potraktować, że zostały one zamodelowane w sposób bardzo dokładny. Przy takim założeniu na błąd otrzymanych rozwiązań ma wpływ tylko zastosowany algorytm do numerycznego rozwiązywania PURC.

Testowano metodę kolokacji, ponieważ jest to metoda dość efektywna w rozwiązywaniu klasycznych równań całkowych. Niemniej jednak było wiadomo [6], że o stabilności rozwiązań decyduje sposób rozmieszczenia punktów kolokacji oraz ich liczba.

Dlatego też w pracy przebadano trzy warianty ich rozmieszczenia dotyczące różnej ich liczby na poszczególnych dziedzinach płatów.

Ogólnie można stwierdzić, że we wszystkich przypadkach, poza niektórymi wyjątkami, uzyskano bardzo małe błędy wyliczane na podstawie normy L₂. Na podstawie przeprowadzonych badań

zamieszczonych w tabelach trudno jest wyciągnąć jednoznaczne wnioski. Zauważalny jest wzrost błędów dla większej liczby punktów kolokacji w trzecim wariancie ich rozmieszczenia. Dlatego też w celubardziej jednoznacznego wyciągnięcia wniosków należałoby przeprowadzić więcej testów na innych przykładach.

Niemniej jednak w celu upewnienia się o wiarygodności uzyskanych wyników dotyczących zagadnień niemających rozwiązań analitycznych sensowne jest ponowne rozwiązanie zagadnienia dla innego wariantu rozmieszczenia punktów kolokacji.

W przypadku braku stabilności numerycznej rozwiązań można też sterować liczbą punktów kolokacji, ale ma to bezpośredni wpływ na liczbę rozwiązywanych równań algebraicznych. Istotny jest fakt, że sterowanie liczbą oraz rozmieszczeniem punktów kolokacji odbywa się bez jakiejkolwiek ingerencji w zamodelowany parametrycznymi płatami powierzchni brzeg rozpatrywanego obszaru.

Praca finansowana ze środków na naukę w latach 2010-2013 jako projekt badawczy.

n

iczbaL równań oe wkdłaS rozwiązań Sposoby rozmieszczenia punktów kolokacji

Funkcja (5) Funkcja (6)

Wariant 1 Wariant 2 Wariant 3 Wariant 1 Wariant 2 Wariant 3

1 42

u1

u2

u3

7.9176e-7 6.0337e-6 6.7873e-6

7.91766e-7 6.0337e-6 6.78735e-6

7.9176e-7 6.0337e-6 6.78735e-6

13.001 23.6507 15.1102

13.001 23.6507 15.1102

13.0008 23.6502 15.1097

4 168

u1

u2

u3

0.00057 0.00062 0.00044

0.05449 0.02781 0.07902

0.00057 0.00062 0.00044

2.44067 4.40461 1.47807

2.64924 5.84888 1.96842

2.33111 4.89472 1.64277

9 378

u1

u2

u3

0.00471 0.01653 0.01926

0.06317 0.52404 0.46995

0.004716 0.016538 0.019268

0.00058 0.00115 0.00127

0.00551 0.08422 0.04505

0.08045 0.44918 0.15474

16 672

u1

u2

u3

0.02343 0.06354 0.07271

0.37478 0.22361 0.43235

0.02343 0.06354 0.07271

0.00186 0.01759 0.00557

0.02723 0.05363 0.07472

2.32854 1.62511 1.47027

25 1050

u1

u2

u3

0.06963 0.13818 0.12353

0.17695 0.67925 0.49266

0.06963 0.13818 0.12353

0.01194 0.01996 0.02017

0.01951 0.09623 0.04763

5.33495 6.68033 4.83543

Tab. 2. Miara błędu rozwiązań w PURC na podstawie normy

L

₂ w zależności od liczby oraz rozmieszczenia punktów kolokacji dla geometrii kształtu

obszaru z rys. 3b

133

Literatura

1. Becker A.A.: The boundary element method in engineering: a complete course. Cambridge: McGraw-Hill Book Comp., 1992.

2. Gottlieb D., Orszag S.A.: Numerical analysis of spectral methods: theory and pplications. SIAM, Philadelphia 1977.

3. Mukherjee Y.X., Mukherjee S., Shi X., Nagarajan A.: The boundary contour method for three-dimensional linear elasticity with a new quadratic boundary element. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 1997, 20, p.

35–44.

4. Zhang J., Yao Z.: The regular hybrid boundary node method for three-dimensional linear elasticity. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2004, 28, p. 525–534.

5. Zieniuk E.: A new integral identity for potential polygonal domain problems described by parametric linear functions. “Engineering Analysis with Boundary Elements” 2002, Vol. 26/10, p. 897-904.

6. Zieniuk E., Szerszeń K., Bołtuć A.: Numeryczne rozwiązywanie metodą kolokacji Czebyszewa parametrycznego układu równań całkowych (PURC) zastosowanego dla równania Laplace’a z warunkami brzegowymi Dirichleta na wielokątnych obszarach. „Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej” 2004, t. 16, z. 1, s. 17 – 31.

7. Zieniuk E., Szerszeń K., Bołtuć A.: PURC w rozwiązywaniu trójwymiarowych zagadnień brzegowych modelowanych równaniami Naviera-Lamégo w obszarach wielokątnych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 42, s. 487- 494.

8. Zieniuk E., Szerszeń K.: Liniowe płaty powierzchniowe Coonsa w modelowaniu wielokątnych obszarów w trójwymiarowych zagadnieniach brzegowych definiowanych równaniem Laplace’a. „Archiwum Informatyki Teoretycznej i Stosowanej” 2005, 17(2), s. 127-142.

9. Zieniuk E., Szerszeń K.: Triangular Bézier patches in modelling smooth boundary surface in exterior Helmholtz problems solved by PIES. “Archives of Acoustics” 2009, 34, p. 1-11.

10. Zieniuk E., Szerszeń K.: Numeryczne obliczanie całek powierzchniowych dla zagadnień przestrzennych w PURC.

„Modelowanie Inżynierskie” 2010, nr 39, s. 217-224.

Proszę cytować ten artykuł jako:

Zieniuk E., Szerszeń K.: Analiza wpływu rozmieszczenia i liczby punktów kolokacji na dokładność

metody PURC dla zagadnień teorii sprężystości w obszarach wielościennych 3D. „Modelowanie

Inżynierskie” 2013, nr 46, t. 15, s. 127 – 133.