Numeriek simulatieprogramma t.b.v. het analyseren van torsietrillingen

Numeriek Simulatieprogramma

t.b.v. het Analyseren

van Torsietrillingen

Bijlage I

Beschrijving van programma ROSS!

door :

A. Suyanto

Vakgroep Maritieme Werktuigkunde

Faculteit der Werktuigbouwkunde en Maritieme Techniek Technische Universiteit Delft

Programming = Mathematics + Mutphy's Law

Inhoudsopgave

I nhoudsopgave

symbolenkst iv voorwoord vi Inleiding 1 1.1. Modelleren 1

1.2. Doel van het programma 2

1.3. Gebruilcte programeertaal 2

Functionele opbouw 3

2.1. Structuur 3

2.2. Gegevensstroom 4

2.3. Mogelijke configuraties van een trillingssysteem 5

De werking van de programmatuur 6

3.1. Systeemvereiste en installatie 6

3.2. Werkfiles 7

3.3. Menu's 8

Beschrijving prograrnmatuur 11

4.1. Beschrijving structuurdiagaarn 11

4.2. Beschrijving van de functies in de initialisatiefase 12

4.2.1. Initialiseren van de systeemconfiguratie 12

4.2.2. Invoeren van de constructieve motorgegevens 13

4.2.3. Bepalen massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden 14

4.2.4. Toekennen parameters in de systeemconfiguratie 20

4.2.5. Invoeren dempingsgegevens 20

4.2.6. Reductie naar het equivalente systeem 21

4.2.7. Opstellen massa-, stijfheids- en dempingsmatrix 23

4.2.8. Statisch condenseren 30

4.3. Beschrijving van de functies in de simulatie 31

4.3.1. Bepalen eigenfrequenties en trillingsvorm 32

4.3.2. Generaliseren van de matrices t.b.v. modale analyse 33

4.3.3. Samenstellen configuratiegegevens met motorgegevens 34

4.3.4. Toepassen van aanstootmomenten 34

4.3.5. Momenten aanbrengen in de knooppunten 36

4.3.6. Bepalen van de asresponsies m.b.v. modale anal:se 37

4.3.7. Bepalen van de asresponsies m.b.v. directe methode 38

4.3.8. Berekenen van het spectrum van responsie of momenten 38

4.4. Beschrijving van de functies in de dataverwerking 38

4.4.1. Berekenen van het spectrum van responsie 39

2.

Inlay

4.4.2. Bepalen Campbeildiagram 39

4.4.3. Bepalen eigenfrequentie en dempingskonstante 39

symIxicratcs't

Symbolefilijst

breedte

absolute- of relatieve.demping dempingsmatrix

diameter van een as diameter van een as

Dec diameter equivalent

aanstootmoment

[F] vector van de aanstootmomenten glijdingsmodulus massatraagheidsmoment eenheidsmatrix Ip polair massatraagheidsmoment torsiestijfbeid [K] stufbeidsmatrix

1 lengte van een as

lengte van een as lengte equivalent

cti

massa

raft. roterende massa

mos, oscillerende massa

M] massamatrix

massamatrix bijdrage as massarnatrix bijdrage schijf

Pat cilinderdruk

omgevingsdruk

PT tangentiele druk

straal (meestal lcrukstraal) straal (meestal krukstraal)

dilcte, tijd

[Li matrix van de hoekverdraaingen

V volume

V, slagvolume

[X] vector van gegebetalkeede verplaatsitigeric hoek

excentriciteit

matrix van de trillingsvormen Icruk-drijfstang-verhouding hoelcverdraaing soortelijke massa eigenfrequentie, motortoerental iv [C] [I] [M.]

Symboladijst

EM matrix van de eigenfrequenties

Voorwoord

Voorwoord

Dit verslag is geschreven in de kader van het vierdejaars cursuswerk bij de vakgroep

Maritieme Werktuigkunde faculteit der Werktuigbouwkunde en Maritieme Techniek in Technische Universiteit Delft. De opdracht van het cursuswerk is het ontwikkelen van simulatie- programmatuur om ir eerste instantie de eigenfrequenties met bijbehorende trilvormen van een torsietrillingssysteem lcunnen te bepalen. In de tweede instantie, indien gegevens over excitatiemomenten en demping beschikbaar zijn, moet de responsie ook

bepaald kunnen worden.

De programmatuur moet beschikbaar zijn voor een systeem met demping zowel als zonder demping.

Met een torsietrillingssysteem wordt filer bedoeld een systeem bestaande uit aselementen en schijfelementen. Het is ook mogelijk om eventuele vertakkingen en/of overbrengingen in rekening te brengen. Voor de theoretische achtergrond van de simulatie wordt verwezen naar literatuur [Klein Woud, 19901 en [Hommel, 1982].

Het verslag is een beschrijving van het simulatieprogranarna. Dit houdt in dat de functionele opbouw, de beschrijving van de functies en de werking daarvan aan de orde zullen komen. Itnmers het is bedoeld als handleiding bij installatie en gebruik van het prograrnma.

De werking van het programma, waaronder begrepen hoe data in te voeren, hoe verkeerd ingevoerde data te veranderen en hoe het resultant wordt weergegeven, is ook in dit verslag behandeld.

Omwille van de overzichtelijkheid wordt het programma verdeeld in modules. Elke module Ikan ook, desgewenst, apart aangeroepen worden om zijn functie uit te voeren. De gehele

programmatuur is dus transparant. Het is geschikt voor eventuele aanpassingen en verbeteringen. Het programma is geschreven in Matlab.

Een deel van de modules is geschreven door Spoelstra

in het programma DIESEL

[Spoelstra, 1992] van het Koninklijk Instituut voor de Marine.

Tenslotte is het verslag met de vollcdige listing van het programma gecompleteerd.

Welding

1. INLEIDING

Model lereni

ROSSI is een numeriek simulatieprogramma gebaseerd op eindige-elementenmethode. Deze methode behandelt een mathematische model van een mechanisch systeem met een aanname

dat een continu systeem omgezet kan warden naar een verzameling van discrete elementen.

Het discrete systeem heeft een eindige aantal lcnooppunten waarbij de verplaatsingen tussen de

iknooppunten door verplaatsingsfuncties beschreven warden.

Het programma is bestemd voor torsietrillingsproblemen. De modelconfiguratie van het

itorsietrillingssysteem bestaat uit een aantal schijven met massatraagheidsmomenten, die door torsieveren (assen met torsiestijfheden en massatraagheidsmomenten) met elkaar verbonden

zijn.

leder lcnooppunt heeft daarbij eon vftjheidsgraad. Aangezien ROSSI ujtsluitend over

torsietrillingen

gut

is de vrijheidsgraad een hoelcverdraaiing.

De configuratie kan oak systemen met vertaldcingen en/of overbrengingen beschrifven.. Het voorschrijven van rotaties is mogelijk.

Kortotn, ROSSI kan toegepast worden voor een torsietrillingsprobleem van ieen, assenstelsel--systeem, zoals bij de voortstuwingsinstallatie van een schip.

Om het trillingsprobleem eenvoudig te maisen warden er bij het modelleren ten aantal aannamen gedaan :

De massatraagheidsmomenten zijn constant en dus Met afhankelijk van 'de hoek

waarover gedraaid is.

or Het massatraagheidsmoment komt onder andere voor in de. knooppunten Hier is.

meestal reeds een schijf aanwezig in de vorm van koppelingsflens, vliegwiel, krulcwang, enz. Oak komen massatraagheidsmomenten voor in de assen. De massa wordt verdeeld

Op twee manieren discreet consistent

Eleide bijdragen worden opgeteld bij het massatraagheidsmoment van de reeds aanwezige schijven. Algebraisch gezien levert de eerste verdeling een hoofddiagonaal

matrix en de tweede een massamatrix met een zekere bandbreedte.

si Er wordt uitgegaan van lineaire torsietrillingen. Dit houdt in dat het torsiemoment en de

dempingskrachten lineair verondersteld warden. Torsiemoment zijn evenredig met.

verplaatsingen en dempingskrachten zijn evenredig met snelheden.

Eventueel mogen de aanstootmomenten voor alle cilinders gelijk beschouwd warden. Er

wordt dan alleen een aanstootmomentmodel voor een cilinder gemodelleerd en

vervolgens toegepast op alle cilinders. Echter voor nauwkeurigere resultaten moeten

meer aanstootmomenten gemodelleerd warden.

Het programma beschilct niet over pre-processingsfaciliteiten ten behoeve van nauwkeurige bepaling van modelparameters. Enkele eenvoudige empirische benaderingsformules zijn wel

ingebouwd. Echter, dit is alleen bedoeld voor een indicatie. Voor nauwkeurigere bepaling

-.-n---1

1.1.

worth aangeraden om de statische metingen

,uit te voeren.. Dit geldt zowel voor de

massatraag- heidsmomenten als de torsiestijtheden.

1.2. Doel van het programma

Het progranuna is geschreven met de volgende doelstellingen :

I. het bepalen van de eigenwaarden (eigenfrequenties) alsmede de bijbehorende

eigen-vektoren (trilvormen) van een model van een torsietrillingssysteem.

.2. het definieren van de dynamische responsie indien op het systeem aanstootmomenten

en demping aangebracht worth.

3. het schatten van de demping in het systeem.

De bewegingsvergelijkingen van het model kurmen dan. geschreven worden in de vomi van n-gekoppelde homogene differentiaalvergelijkingen :

[M][U] + [C][U]) + [K][U] = [F(0]1, waafin

[M] massamatrix

[K] : stijfheidsmatrix

[C] dempingsmatrix

[U]' : vektor van verplaatsingen

[F(t)] : (tijdsafhankellike) vektor van excitatiemomenten

Kort samengevat is het doel .yan het programma het ,oplossen van de bovengenoemde

bewegingsvergelijlcingen.

14: Gebruikte programeertaall

Het programma is geschreven in vierde generatietaal Matlab. De reden hiervoor is dat Matlab een goed gestructureerde taal is en matrix-georienteerd. Matlab is een toepassingsspecifieke taal bedoeld voor het numeriek (de latere versies ook symbolisch) oplossen van stelsels vergelijkingen, signaalanalyse, systeetnidentificatie, etc.. Dit maalct de taal bijzonder geschikt voor trillingsanalyse door de mogelijkheid van het oplossen van stelsels vergelijkingen en bewerken van signalen. Matlab kan met complexe getallen werken hetgeen zeer belangrijk is, voor berekeningen van een systeem met demping.

Bovendien is Matlab met uitgebreide ingebouwde functies uitgerust Belangrijke routines zoals een oplosroutine voor eigenwaardevergelijking en fast Fourier-transformatie kunnen direct aangeroepen worden.

Het is tevens een taal die grote bekendheid

InIciding

:

:

Functionele opbouvi

2. FUNCTIONELE OPBOUW

2.1. Structuur

Vanwege de overzichtelijkheid, is het programma zo veel mogelijk 'tit modules, die in Madab zelf als flinches aangeduid worden, opgebouwd. Een functie voert dan slechts een specifieke taak uit. Deze functies zullen in het volgende hoofdstuk uitgelegd worden, hoe werken ze, wat is de functionaliteit ervan en op welke theoretische gronden zijn ze gebaseerd.

Schematisch is de programmatuur als volgt gestructureerd.

Iconfiguratie demping berekening : eigenfrequentie trilfingsvorm bepaling : massatraagheidsmoment torsiestijfheid matrixopstelling : massamatrix systeemmatrix dempingsmatrix motorgegevrms aanstootmomenten responsie

Figuur 2.1. Structuurdiagniam van de programmatuur De piljtjes van het bovenstaande diagram duiden de gegevensstroom aan.

Functicueleopbouw_ 4

2.2..Gegeveritstroom

Globaal gezien kan het voorgaande schema in 2 hoofddelen verdeeld worden::

f1.

Inifialisatiefase

Hierin kan de gebruiker zijn invoerdata invoeren en worden de data gereed gemaalct voor

verdere verwerking in de simulatiefase. In deze fase komen het configureren van

het

torsietrillingssysteem en het invoeren van de constructieve motorgegevens aan de orde. Onder configureren wordt verstaan aangeven hoe het systeem is samengesteld. Behalve een aantal assen en schijven moet er bier ook ingevoerd worden of het systeem voorgeschreven rotaties en vertakkingeriloverbrengingen heeft. Daama worden de configuratiegegevens geconstrueerd tot een geheel systeem.

De coOrdinatie van het systeem wordt gerealiseerd met behulp van de knooppunten. De massatraagheid, de overbrenging en/of vertakking en het voorschrijven van rotaties worden in deze knooppunten uitgevoerd. De torsiestijfheid wordt dan tussen de knooppunten geplaatst. De constructieve gegevens van de motor zijn behalve voor het bepalcn van de dynamische eigenschappen van het systeem, eq. massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden, ook nodig voor de aanstootmomenten in de cylinders.

Eventuele dempingsgegevens lcunnen ook in de initialisatiefase ingevoerd worden. Alleen als het proportionele dempingsmodel gebruikt worth moet eerst de simulatiefase afgehandeld

worden om de eigenfrequenties van het betreffende systeem te bepalen.

Ms het system overbrengingen en/of vertaldcingen heeft, wordt het equivalente systeem eerst bepaald. Daama wordt de opstelling van de massa-, stijfheids- en dempingsmatrix uitgevoerd.

Indien in een knooppunt geen massatraagheid aanwezig is of verwaarloosbaar Ideine

massatraagheid heeft, is

het nodig om de matrices

statisch

te condenseren om 'de

vrijheidsgraad zonder massatraagheidsmoment te elirnineren. De statische condensatie moet dan uitgevoerd worden.

In het programma zitten expliciete invoercontroleprocedures. Deze voeren een controle uit naar de consistentie van de invoergegevens. Zijn sommige gegevens tegenstrijdig of niet correct, dan wordt de gegevens als lout gekenmerkt.

2. Simulatiefase

In deze fase kan ten trillingssysteem sgesimuleerd worden. Hier worden de volgende

handelingen uitgevoerd :

Het berekenen van de eigenwaarden en de eigenvektoren van de bovengenoemde matrices. Om een visuele inzicht mogelijk te maken kunnen de eigenvektoren ook geplot worden.

Het genereren van de aanstootmothentenfunaie van de gasdrukken en oscillerende

massa's.

Het bepalen van de responsie modaie analyse. Dit is bestemd voor een systeem met proportionele demping. Echter eventueel kan het ook toegepast worden voor een systeem met niet-proportionele demping. In dit geval moet de dempingsmatrix eerst

'gemodaliseerd' worden om een hoofddiagonaalmatrix van de dempingsmatrix te maken. Het bepalen van de responsie m.b.v. de directe On het frequentielomein) methode. Dit is bestemd voor een systeem met niet-proportionele demping.

Eventuele informatie over het spectrum kan ook gegenereerd worden. Dit kan toegepast worden voor zowel het aanstootmoment als de responsie van een bepaalde knooppunt. Het resultaat van de simulatie wordt in deze fase gepresenteerd. Gedurende de executie wordt

Ftmctionele opbainv

belangrijk geachte uitvoer visueel, zowel numeriek als grafisch, weergegeven.

Deze uitvoer, zowel grafisch als numeriek, worth daama weggeschreven in werkfiles

2.3. Mogelijke configuraties van een trillingssysteern

Al de progranunatuur is voomamelijk bestemd voor het simuleren van dieselmotoren (met

bijbehorende aggregaten), het is echter ook toepasbaar voor grotere tursietrillingsystemen.

Bijvoorbeeld een dieselmotor verbonden met een assenstelsel met vertalcicingen en over-brengingen. Verder is het ook toepasbaar voor ,een voortstuwingsinstallatie an boord van

schepen

De modelconfiguratie zal beperkt moeten blifven tot maximaal 50 vrijheidsg-raden, 5 over-brengingen of vertaldcingen en, 5 voorgeschreven rotaties. In de praktijk zal dit vrijwel altijd voldoende zijn.

In het programma zijn de te gebruiken eenheden de iSheenheden

De waking van de programmatuur 6

3. DE WERKING VAN DE PROGRAMMATUUR

3.1. Systeemvereiste en installatie

De simulatie dient binnen Matlab gedraaid te worden. De systeemvereisten (hardware en

software) zijn dus de systeemvereisten van Matlab. Dit zijn de volgende :

IBM PC en compatibles systeem werkt op MS DOS numerieke co-processor mirnima.al CGA monitor

eventueel een printer voor de hardcopy

Belangrijk is dat het systeem eerst Matlab moet lcunnen draaien. De programmatuur is al getest onder Matlab versie 4.2 voor MS Windows.

De pakket bestaat uit de volgende files/directory's :

LEES.ME, omvat een korte beschrijving van de programmatuur en een handleiding voor de installatie.

ROSS!, omvat de functies van de programmatuur. WERK, omvat werkfiles van de JENBACH dieselmotor. De installatieprocedure van de programatuur is als volgt :

I. Maak een directory in de harde schijf, aanbevolen wordt dat dat cinder de directory Matlab zelf staat, bijv. C:\MATLAB\ROSSI.

Copieer alle bestanden vanaf de installatiediskette naar deze directory.

Maak nog een directory voor de werkfiles van invoer- en uitvoergegevens, voor gemaakte figuren enz., aanbevolen wordt dat dit ook binnen de bovengenoemde

directory staat, bijv. CAMATLAB\ROSSI\WERK.

Zet een werkpad in de file matlabrc.m twee directories erbij als volgt :

SET MATLABPATH=C:\MATLAB\ROSSI;C:\MATLAB\ROSSI\WERK

5 Voeg vervolgens jade autoexec.bat de volgende regels toe,:

SET ROSS DIR=ischrifft de plaats van de bovengenoemde werkdirectoryi

SET MEETDIR='schrijft de plaats waar de gemetendatabewaard worden'

De simulatie kan aangeroepen worden vanuit de Matlab-prompt met het intypen van ROSSI gevolgd door de ENTER-toets

De werking van de progra nanatuur 7

3.2. Werkfi les

ROSSI werIct met datafiles, deze worden verder werkfiles genoemd. De bedoeling hiervan is dat het werkgeheugen wordt gespaard door het wegschrijven van alle variabelen naar de harde schijf Tevens zijn, met deze werkwijze, alle werkfiles ieder moment toeganIcelijk voor

eventuele bewerkingen. Daardoor is echter het executieproces langzarner.

Deze werkwijze wordt gekozen om de prog,rammatuur toe te kunnen passen voor grotere

aantallen vrijheidsgraden bij een beperkt werkgeheugen.

De geproduceerde werkfiles worden geklassificerd door hun extensie als initiahsatie werkfiles en simulatie werkfiles. De eerste zijn de files die gemaakt en gebruikt worden tijdens de initialisatiefase en de tweede zijn die gebruikt en gemaakt worden tijdens de simulatiefa-;e. Tevens worden alle resultaten in de simulatiefiles geschreven. Echter plot-files word( ri bewaard met andere extensie. Deze worden namelijk bewaard met een al bekende extensie, bijvoorbeeld WMF voor MS Windows metafile-formaat.

Verder gebruilct de extensie de volgende afspraak :

i gevolgd door een nummer is voor de initialisatie werkfiles $ gevolgd door een nummer is voor de simulatie werkfiles. De nummers zelf hebben de volgende betekenis :

De gegevens van de systeemconfiguratie worden bewaard met dit nummer (ii). Deze werkfile omvat de gegevens over het aantal elementen, knooppunten, voorgeschreven rotaties, schijven en overbrengingen/vertakkingen. Tevens warden de gegevens over de nummering van de knooppunten ook hier bewaard.

De algemene motorgegevens worden bewaard met dit nummer (i2). De lijst van

bewaarde variabelen wordt in 4.4.4 behandeld.

De specificatie van de massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden wordt bewaard met dit nummer (13). De massatraagheidsmomenten en de torsiestijfheden met gelijke grootte worden gearoepeerd en toegekend aan de zogenaamde groepsnummers. Dit voorkomt herhaalde invoerprocessen.

Om een complete systeembeschrijving te maken worden de waarden van de 12-files toegekend aan een systeemconfiguratie van de II-files. Deze wordt in een file met

extensie 14 bewaard.

De dempingsgegevens worden in een ander programmadeel geinitialiseerd dan de massatraagheidsmomenten en torsiestijtheden, zie fiauur 2.1 De dempingsaegevens worden als volgt bewaard :

met i5-extensie voor de proportionele demping, met i6-extensie voor de niet-proportionele demping.

6. Indien vertakIcingen/overbrengingen voorkomen, kunnen de gegevens gereduceerd worden naar equivalente grootheden. Er zijn hiervoor vier mogelijkheden, zie verder 4.2.6:

als gereduceerde massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden rechter-gedeelte van het systeem is, dan wordt het resultaat bewaard in 112.

als gereduceerde dempingskonstanten rechtergedeelte van het systeem is, dan wordt het resultaat bewaard in 113.

voor het reduceren van linkergedeelte worth beide bewaard in dezelfde

extensie zoals boven.

7.

Met de bovengenoemde gegevens worden de matrices (massa-,

_{stijfheids- en}

dempings- matrix) opgesteld. De matrices worden bewaard met de volgende extensies

De waking van de progranunathur

17 -,.00r de gediscretiseerde massamatrix i8 voor de consistente massamatrix 19 voor de stijfheidsmatrix

i10 voor de proportionele dempingsmatrix ill voor de niet-proportionele dempingsmatrix.

Mocht een

statische

condensatie uitgevoerd moeten worden dan worden de

oorsprontcelijke matrices overschreven met de gecondenseerde matrices. De simulatie fase zelf heeft de volgende werkfiles :

sl voor de file die resulterende gegevens bevat van ongedempte trilling

(eigen-frequenties, trilvormen inclusief de desbetreffende massa- en stijfheidsmatrix). De gegevens van gedempte trilling worden bewaard in een file met s2-extensie.

In de modale analyse worth alle matrices gegeneraliseerd, zie 2.6 in het hoofdverslag over modale analyse. Deze files worden dan in een file met s3-extensie bewaard.

Om de genoemde files met de motorgegevens te lcunnen combineren wordt een file gemaakt met extensie s4, indien de matrices niet gegeneraliseerd worden, of s5, indien wel gegeneraliseerd.

Gegevens van het drukverloop binnen de cilinder wordt in de werkfile met s6-extensie bewaard.

Gegenereerde momenten wordt in de s7-file bewaard.

Per cilinder de momenten aanbrengen om de gegevens voor de excitatiemomenten klaar te maken. Dit wordt in s8 (voor gegeneraliseerde matrices) en s9 (voor

niet-gegeneraliseerde matrices) bewaard.

De responsies die m.b.v. modale analyse bepaald worden, worden in de s10-file

wegge- schreven en die m.b.v. direkte analyse in de s11-file.

Belangrijk is dat het programma gebruik maakt van een gemeenschappelijke projectfile. Deze projectfile wordt gebruikt voor alle filenamen van gehele proces. Dus de organisatie van de files is geautomatiseerd. Dit heeft tot gevolg dat het totale systeem altijd geinitialiseerd wordt door consistente werkfiles. Tijdens de executie mag de gebruiker vrij kiezen welke items eerst aangemaakt moeten worden. Indien een betreffende file al bestond op de harde schijf, wordt dit eerst aangegeven en vervolgens wordt de gebruiker gevraagd of hij deze file zal gebruiken of dat een andere file aangemaakt moet worden.

De invoer kan dus op twee manieren, ten eerste door het direct invoeren van de gegevens en ten tweede vanuit bestaande werkfiles.

Alle werkfiles worden bewaard in binair-formaat in de werkdirectory's.

3.3. Menu's

Gedurende de executie worth ROSSI gestuurd met behulp van een getrapte menustructuur met een hoofdmenu en submenu's. In elk menu kan d.m.v. een getal de gewenste mogelijkheid gekozen worden. Voor de gebruiker is zodoende een eenvoudige schil geconstrueerd, waarin

een zo logisch mogelijke werkwijze is aangebracht.

Het hoofdmenu bestaat uit twee belangrijke onderdelen welke onderscheiden worden naar het proces, dat zijn het invoeren van de benodigde gegevens, de initiahsati-lase, en het uitvoeren van simulatie, de simulatiefase. Het derde menu is nodig voor de dataverwerking van de gemeten data. Hiervan worden de benodigde submenu's aangeroepen. Door de submenu's

worden de benodigde routine's aangeroepen om een bepaalde taak uit te voeren. Het

beeindigen van de executie kan gerealiseerd worden vanuit de hoofdmenu. Bij elke handeling

Desverkin van de programmatuur

wordt van de belangrijk geachte resultaten automatisch een plot aangemaakt, wellce

desgewenst bewaard kan worden. Ook van de rekenresultaten worden, databestanden

aangemaalct, dat zijn de eerder genoemde werIcfiles.

Alle submenu's zijn in principe willekeurig te doorlopen. Echter, enkele submentes hebben

bepaalde gegevens nodig die door andere submenu's gegenereerd worden. In dit geval moeten

de betreffende voorgaande submenu's eerst aangeroepen worden.

Voordat het menusyteem geactiveerd wordt, wordt de gebruiker gevraagd naar de naam van

de projectfile. Deze naam worth gebruilct voor alle werkfiles. Na de invoering van de

projectfile wordt eerst gecheck-t of deze naam al eerder gebruilct is. Indien dit het geval is dan worden alle reeds gegenereerde werlcfiles aan de gebruiker getoond. Indien niet dan wordt gemeld dat het een nieuwe projectfile is.

Het hoofdmenu ziet dan er als volgt uit

HOOFDMENU

'Welke Mandelingen wilt u verrichten

Initialisatie van trillingssysteem Simulatie en analyse van de responsie Dataverwerking

Oc Sind&

Kies een mummer

INITIALISATIEMENU

Welke handelingen wilt u verrichten Invoeren systeemconfiguratie Invoeren algemene motorgegevens

Bepalen massatraagheidsmomenten en torsiestijfteden Toekennen parameters in de systeemconfiguratie

Invoeren dempingsgegevens

Reduceren naar equivalent systeem

Opstellen van de massa-, stijfheids- en dempingsmatrix Statisch condenseren

O. Terug naar hoofdmehiii!

Kies een nummer =

Figuur 3. L Hoofchneint

waarbij het iriitialisatiemenu er als volgt uit ziet

Figuur 3.1. Hetinitialisatiemenu

ear

9

De werking van de programmatuur 10

Het simulatiemenu wordt in figuur 3.3. weergegeven.

SIMULATIE MENU

Welke handelingen wilt u verrichten

Bepalen eigenfrequenties en trillingsvormen Uitvoeren modale analyse

Samenstellen configuratiegegevens met motorgegevens Omzetten van massa- en gaskrachten naar momenten Momenten per cilinder aanbrengen

Berekenen van het spectrum Bepalen van de asresponsie

Bepalen de bijdrage van de eigentrillingsvormen Uitvoeren directe integratie

0. Terug naar de hoofdmenu

Kies een nummer

Figuur 3.3. Het simulatiemenu

De derde menu heeft geen directe relatie met de berekening. Dit submenu omvat namelijk routine's voor het verwerken van gemeten data. De belangrijkste taak van dit onderdeel is om de proportionele demping van het systeem te lcunnen bepalen. Het menu ziet er als volgt uit

DATAVERWERKING MENU

Welke handelingen wilt u verrichten Schatten spectrum van gemeten signaal Genereren Campbelldiagram

Bepalen eigenfrequentie en dempingskonstante 0. Terug naar de hoofdmenu

Kies een nummer

Figuur 3.4. Net dataverwerking menu

Bmdriiving van de prognimmatuur 11

4. BESCHRIJVING PROGRAMATUUR

4.1. Beschrijving structuurdiagram

Het schematische structuurdiagram dat in het figuur 2.1. afgebeeld is, wordt in de programma-tuur als volgt gerealiseerd

INTT.M initialisatie INITCONF.M INITMOTR. M INITPRMT.M ENITDYN M INITDEMP M INITEQS M INITMATR.M1 STATCOND M ROSSI.M het hoofdprogramma PROJECT.M initialiseren de naam van de rojectfile WERKFILES AFSLUITEN SIMUL.M simulatie EIGTYPE M MODTYPE.M SAMENST M INITDRUK.M CILVUL M SYSTEM .M INTEGRA.M LAADFOURM

Ek%thuijving van de programmatuur 12

De programmatuur wordt opgestart door het intypen van ROSSI in de Matlab-prompt. Deze functie fungeert slechts als starter en geeft een koptekst weer. Hierna wordt de functie

PROJECT .M aangeroepen. Deze regelt de projectfile, c.q. traceert of de gegeven projectfile

al dan met eerder gemaalct is, door het opsporen van de werkfiles. Indien wet dan worden de bewaarde werkfiles weergegeven.

De volgende stap is vrij te kiezen, initialiseren van de benodigde gegevens of simuleren van de ingevoerde gegevens. Hier wordt opgemerkt dat de simulatie pas begonnen kan worden indien de initialisatie-werkfiles al beschikbaar zijn.

Normaliter is de volgende stap de initialisatie. Deze wordt georganiseerd door INIT .M. De functie heeft een achttal subfuncties waarbij iedere subfunctie een item in het initialisatiemenu vertegenwoordigt. Ms de initial;satie uitgevoerd is, kan met de simulatie begonnen worden. De hoofdfunctie is hier S IMUL .14 welke ook een achttal subfuncties heeft. Iedere subfunctie

vertegenwoordigt een item in het simulatiemenu.

De gehele programmatuur is dus opgebouwd uit nineties. Een grote functie wordt uitgesplitst tot kleine functies die alleen een specifieke taak uitvoert. Alle nineties worden geschreven in

de zogenaamde M-file. Een M-file heeft een vorm van een script dat door Matlab

geinterpreteerd wordt. Ze zijn dus toegankelijk voor eventuele aanpassingen en uitbreidingen. In paragrafen 4.2. en 4.3. zullen de belangrijke functies beschreven worden aan de hand van de

boven- staande structuur van de programmatuur. Waar nodig zullen de theoretische

achtergronden worden toegelicht.

Hieronder worden de functies van de initialisatie en de simulatie gedetailleerd beschreven.

4.2. Beschrijving van de functies in de initialisatiefase

De bedoeling van de initialisatie is het specificeren van alle benodigde gegevens zodat de

massa-, stijfheids- en dempingsmatrices opgesteld kunnen worden.

De hoofdfunctie is IN IT .M. Deze geeft een achttal keuzes aan de gebruiker waarbij iedere

keuze vertegenwoordigd wordt door een subfunctie.

Er zijn acht initialisatie subfuncties waarbij hieronder de beschrijving, de organisatie en waar nodig ook de theoretische achtergrond daarvan aan de orde gekomen.

4.2.1. Initialiseren van de systeemconfiguratie

Hierin is de hoofdfunctie INITCONF.M M. Deze functie roept andere functies aan voor verdere handelingen. INITCONF .M roept onder andere LAADCONF.M aan voor het inladen van

reeds aangemaakte files en VI EWCONF . Mvoor het bekijken daarvan.

De volgende functies horen bij INI TCONF . M :

TYPECONF . M

Deze functie yraagt naar de invoerdata van de basisconfiguratie van het torsietrillingssysteem. Bovendien wordt er ook gevraagd naar de globale coordinatie van alle elementen.

De configuratie van een torsietrillingssysteem heeft de volgende gegevens nodig : aantal aselementen

aantal knooppunten

aantal voorgeschreven rotaties aantal schijven

ri r

flesciiii.2Wlelanrarmtuur

aantal overbrengingen en/of vertakkingen

De schijven Loeven niet altijd aanwezig te zijn op alle knooppunten. Het aafital vrijheidsgraden van het torsietrillingssysteem wordt bepaald door het aantal knooppunten.

Om de samenhang tussen de elementen te definieren, wordt een knooppuntennununering ingevoerd, hierbij wordt voor alle aselementen gevraagd naar het linker en de rechter knoop-puntnummer.

Flier zijn een aantal invoercontroles ingebouwd. Dit som te voorkomen dat het systeem verkeerd geconfigureerd wordt of dat de toegestane maximale waarden overschreden worden. De maximale waarden van de configuratie zijn :

aantal aselementen : 25

aantal knooppunten : 50

aantal voorgeschreven rotaties : 5

aantal schijven 50

aantal overbrengingen/vertalckingen . 5

Het voorschrijven van de rotaties moeten plaatsvinden aan de uiteinden van het systeem.

VOORROT.M

Deze vraagt naar de knooppunten waar de voorgeschreven rotatie nul aanwezig is. Dit

knooppunt dient aan de uiteinden van het systeem aanwezig te zijn. Dit om te voorkomen dat het systeem in twee aparte configuraties verdeeld zou worden.

Deze functie werkt pas indien het antwoord van aantal voorgeschreven rotaties geen nul is. Met andere woorden als het systeem een verbinding heeft met vaste wereld.

.Efier worth dan gevraagdin welke knooppunten komen de voorgeschreven rotaties nut vopr.

422. Mvoeren Van de constructieVe motorgegevens

De hoofdfunctie is INT TMOTR . Mwelke een tweetal doelstellingen heeft :

I. Het vragen naar constructieve motorgegevens voor het bepalen van de dynatnisdfie parameters (torsiestijfheid en massatraagheidsmoment) van het Lillingssysteem.

2. Het vragen naar gegevens voor het bepalen van de aanstootmomenten, c.q. het

oscillerende deel van van de zuiger-drijfstang-krukas- mechanisme.

Deze functie worth uitgesplitst naar kleinere functies, dat zijn TYPEMOTR .M *Jot het

invoeren over belangrijke gegevens, LAADMOTR . M

voor het

inladen van de reeds

aangemaakte file enVI EWMOTR .Mvoor het bekijken daarvan.

TYPEMOTR M

De volgende gegevens zijn nodig voor de invoer naarn van de motor/fabrikant

type/serie taktgetal

maximum toerentall

ontstekingsvolgorde, merk op dat de cilindersnummers dezelfde moeten zijn als ide, knooppuntnummers van d. configuratie

aantal cilinders cilinder diameter zuigerslag lengte drijfstang 13 :

Rdthjving van de progrartenatuur 14

oscillerende massa massa zuigerpen massa zuiger

compressie verhouding

inlaatklephoek na SOP open en dicht uitlaatldephoek na BDP open en dicht

4.2.3.. Bepalen massatraagheidsmomentenr en torsiestijfheden

Bekend is al dat het massatraagheidsmoment van elke cilinder gelijk is aan het

massatraagheidsmoment van de bij de cilinder behorende roterende delen, inclusief

balanceergewichten en een deel van de drijfstang, plus het massatraagheidsmoment dat veroorzaakt zou worden indien de helft van het gewicht van de op- en neergaande delen op de Icrukstraal diameter werd aangebracht. Het (totale) massatraagheidsmoment wordt konstant aangenomen gedurende de gehele omwenteling. Thervoor wordt het gemiddelde massatraagheidsmoment van het cilindersysteem over een hele omwenteling bepaald.

In het geval van een V-motor worden de massatraagheidsmomenten van de op ten Icruic aangebrachte zuigers samengenomen tot een massatraagheidsmoment.

Het berekenen van de torsiestijfheid van de assen tussen deze massatraagheidsmomenten echter Met eenvoudig wegens de gecompliceerde vorrn. Indien mogelijk moeten de gegevens van de fabrikant van de motor gebruikt worden. Anders moet een benaderingsformule toegepast worden. In dit geval gebruilct de programmatuur de formule van de BICERA

[Nestorides, 1958].

Een andere mogelijkheid dat, indien de gegevens bekend zijn, een: directe invoer.

De hoofdfunctie is bier INITPRMT .M M.

TYPE PRMT . M

Bij het invoeren naar de specifieke parameters zijn de volgende parameters nodig aantal ir.voergroepen van torsiestijfheid van aselementen

aantal invoergroepen van massatraagheidsmoment van zowel schijven als aselementen

Om herhaalde invoer van dezelfde waarden te voorkomen, wordt een zogenaamde

groepinvoer gebruikt. Alle gelijke waarden worden hierin gegroepeerd. Het is voomamelijk

bedoeld voor 'de bepaling van de massatraagheidsmomenten van de cilinders en de

torsiestijfheid van een krukas waar wel veel gelijke waarden voorkomen.

Deze functie regelt de invoer van de massatraagheidsmomenten en de torsiestijfheden Eerst worth het aantal invoergroepen van de massatraagheidsmomenten en van de torsiestijfheden gevraagd. Daarna wo-it per groep gevraagd of de invoer al bekend is of Met. Indien wet bekend dan kan deze direct ingevoerd worden. Zo Met dan worden verdere berekeningi-procedures aangeroepen.

Om het massatraagheidsmoment telkunnen bepalen wordt ten benaderingsformule toegepast. In de prograrnmatuur worden de massatraagheidsmomenten in drie verschillende typen

verdeeld, dat zijn :

I. cilinder (Icrulcwang,zuiger,drijfstang, enz). Hiervoor wordt MTCYL M gebruikr.

vliegwiel of &citify zie hiervoor MTVL I EGW. M

as (krukas, cylindrische as), zie hiervoor wordt MTAS .M

Net zoals bij het massatraagheidsmoment, geeft de progranunatuur look de mogelijkheid omide torsiestijfheid van ten element te lcunnen bepalen.

- II

is

is

Beschrifring vat& prograrturnatuut 15P,

Er rill dfie verschillende types assen waarvan de torsiestijfheid bepaald kan wog] Jen.: cylindrische as

krukas

combinatie Icrukas-cylindrische as

Om de torsiestijfheid en het massatraagheidsmoment van de lcrukas te kunnen 'bepalen zifn de gegevens van krukstraal nodig.

Hiervoor worth eerst gecheckt of de werkfile van

motorgegevens al aanwezig is of niet. Indien wel aanwezig dan worder. de gegevens van .krukstraal hiervan overgenomen. Zijn de motorgegevens nog niet ingevoerd dan is het

mogelijk om deze direct in te voeren

MTCYL

Deze functie berekent het massatraagheidsmoment van een cilinder. Dit massatraagheids-moment is een sommatie van massatraagheidsmassatraagheids-momenten van :

lcrukpen, zie hiervoorMTKRUKP .M

krulcwang, zie hiervoorMTKRUKW .M

drijfstang, zie hiervoorMTDSTANG .M

zuiger, zie hiervoorMT Z U I GER M

zuigerpen, zie hiervoorMT ZU I GER M

Elk van de bovengenoemde elementen heeft eenxeigerr functie.

MTVLIEGW .M

Deze functie berekent het massatraagheidsmoment van een vljegwiel toy. de hartiljn Van de krukas.

Het vliegwiel wordt hiertoe verdeeld in een aantal segmenten met gelijke dikte. Voor elk segment moeten de buiten- en de binnendiameter ingevoerd worden. Het totale massatraag-heidsmoment is dan een sommatie van alle segmenten.

MTAS .M

Deze ftutctie iberekent het tnassatraagheidsmoment van een icilindrische as, in dit geval een

Icrukas.

Er itin twee mogelijkheden de as is massief, of de as is hot.

Indien de as masSief is dan wardt het miSsatriagheidsmoritent-als volgt' bepaald

(

\ 4 1p = pl waarbij D : diameter

p

: soortelijk massa 111: aslengte

Indica de as hot is dan wordt het massatraagheidsmomept

_If

4 ('

\ 4 AP Lc,

2 )

)

wagbij Dbuitee buitendiameter (4.1) (4.2) : :

waarbij

Dbuitca

Dbinnen

1

z

: soortelijk massa van de materiaal : krukpendiameter

: diameter van de boring in krukpen krukpenlengte

excentriciteit boring

: krukstraal

MTKRUKW M

Deze functie bepaalt het massatraagheidsmoment van de krukwang toy. de hartlijn van de krukas gebaseerd op semi-grafische methode van BICERA.[Nestorides, 1958].

Deze methode is gebaseerd op gedetailleerde tekeningen en wordt gebruikt voor een niet-cirkelvormige object als de krukwang en het contragewicht. Het op schaal getekende object wordt hiervoor verdeeld in een aantal segmenten van veschillende stralen met de hartlijn van de Krukas als middelpunt. Zie ook onderstande figuur

as e (L)-

384110Mt

rozymm-katri.

.vri,,Ngp. - NTWOJ

r111.11.

r W.

iWN

Figuur 4.2. Sq,Ymentverdehng van een gedeehe van de krukwang

(4.3)

Beschnrang van de pnIrammatuur 16

Dbicinen binnerdiameter

soortelijk massa

1 : aslengte

MTKRUKP M

Deze functie bepaalt het massatraagheidsmoment van de krukpen ten opzichte van de hartlijn van de krukas.

Dit wordt als volgt bepaald [Nestorides, 1958] :

(DIL.h.,,-DLnen)

1r = 1p7r1L

Beschrifring van* programrnatuur _

Vanuit het ,tniddelpunt tot de gemiddelde straal van de segmenten, dit zijn de gestippelde lijnen in de bijgaande tekening, wordt de traagheidsstraal van elke segment. getrokken.

Deze traagheidsstraal R, wordt. als volgt geformuleerd

Rt, =

gift!

+It?)

waarbij

R. buitendiameter van de segment

It; binnendiameter

Het volume van het betreffende segment wordt bepaald door

V =

ir(e

L

waarbij

: de dilcte van het beschouwde segment op de gemiddelde straal

a

hoek welke de cirkelboog op de gemiddelde straal van de segment beschrijft in graden

Met dit volume kan de massa van de segment bepaald warden en we!

m = pV

0.6),

waarin p het soortelijke massa van het krukasmaterial.

Het massatraagheidsmoment van het object wordt nu als volgt gedefineerd

2

I = E

Mo

i=

waarbij

het beschouwde segment

z aantal, segmenten

(4.4)

(4.5)

Uit deze methode volgt duidelijk dat hoe meer het object In ,segmenten verdeeld wordt des te nauwkeuriger het resultaat is.

Het massatraagheidsmoment moet nog verminderd worden .iiv.m een gat t.pN. lcrukpen Pit wordt als volgt bepaald

1=-2 pED

T

f)?

i

= Mci + X )

waarbij

: diameter van de gat : aftand gat-krukas

: dikte van lcrulcwang t.p.v. gat Het totale massatraagheidsmoment wordt dan

(4.4

17 : (4.7) : m t :

13(..-schrijving van de progrannnatuur 18

MTDSTANG.M

Deze functie berekent het massatraagheidsmoment van een drijfstang t.o.v. de hartlijn van de krukas.

Het bepalen van het massatraagheidsmoment is niet eenvoudig vanwege de complexiteit van de beweging van de stang. De massa van de stang wordt geconcentreerd in twee eindpunten. Deze pralctische benadering geeft in het algemeen een voldoende nauwkeurig resultaat.

De drijfstang wordt dus verdeeld in twee geconcentreerde massa's, dat zijn de roterende massa en de oscillerende massa mo, zie ook de volgende figuur.

1

Ip =

_(MrI

_{P 2 °SC})r2

waarbij

mo.,c oscillerende massa

mmt roterende massa

krukstraal

IP = Imr22

waarbij

in massa van de zuiger

r : krukstraal

Figuur 4.3. Massaverdeling 60 de drystang Het massatraagheidsmoment wordt als volgt bepaald

(4.10)

MTZUIGER .M

Hiervoor wordt de massa van de zuiger gevraagd. Het massatraagheidsmoment daarvan toy. de hartlijn van de krukas wordt als volgt berekend :

(4.11)

MTZUIGP .M

Net als MTZUIGER .M, zie verg. (4.11), maar nu moet de massa van de zuiger met massa van de zuigerpen vervangen worden.

= 1p1 + 1p2 (4.9)

osc massa

zuigereinde krukaseinde rot. massa :

Beschrijving van de programmatuur 19

T SAS .M

Deze functie geldt alleen voor een cilindrische as. Hier worden de parameters van de as ten behoeve van de bepaling van torsiestijfheid gevraagd. De parameters zijn aslengte, diameter, soon as (hot of massief) en de knooppunten aan de beide einden van de

as. Ms

de as hot is

dan worden de buiten- en de binnendiameter gevraagd. Is de as massief clan wordt alleen de

buitendiameter gevraagd.

Met de diameter wordt het (constante) polair traagheidsmoment van de dwarsdoorsnede van de as bepaald. Flier is dus aangenomen dat de diameter een constante waarde heeft over de

hele lengte van de as.

Voor het bepalen van het polaire traagheidsmoment zie MTAS .M hierboven.

Nadat het traagheidsmoment bekend is wordt gevraagd naar de glijdingsmodulus. Dcaml

wordt de torsiestijfheid bepaald met de formule

Glp

-r

waarbi;

k : torsiestijfheid

G : glijdingsmodulus

Ip : het polaire traagheidsmoment:

11 aslengte in meter

De glijdingsmodulus heeft een default-waarde ter grootte van 8.08E+10, N/nre. Er wordt dus

van uitgegaan dat de as van staal is. TSKR .M

Deze functie bepaalt de torsiestijfheid van de krukas. Naast het feit dat de krukas een herleide

as is, wordt er in de berekening de zogenaamde lengte-equivalent en diameter-equivalent

gebruikt [Nestorides, 1958].

Stel dat de diameter-equivalent de Icrukasdiameter is.. De Iengte-equivalent is dan als volgt geformuleerd :

legD4

( I"as 4_ 11014= 0.071Likpai

+ 4 + k (4.13) eq DL ' r2Dhukpen ty,,kwangbjuuans waarin k = 1 f1,58x+ 0.439 en, b' X = tkrukwang 4 rDkruka I : lengte krukas tkrgpcc : lengte Icrukpen : dikte krukwang : breedte krukwang D : diameter krulcas diameter krukpen

En voor de. torsiestijfheid geldtieru

(4.12)

)

tkrukwaag

Beschrnving van de prop-ammatuur 20 k = _ma,134 G waarbij : lengte-equivalent diameter-equivalent glijdingsmodulus TSCOMB .M

De combinatie van de stijfheden van cilindrische as en Icrukas wordt hiermee berekend.

4.2.4. Toekennen parameters in de systeemconfiguratie

De gegenereerde parameters dienen vervolgens toegekend worden aan de systeemconfiguratie. De systeembeschrijving is hiermee compleet. Hierbij wordt de configurati.: gespecificeerd door

groepnummers, Met door de waarden zelf (eq. dit kan i.v.m. groepinvoer). Door de

programmatuur worden de gegevens terugvertaald naar de oorspronkelijke waarden.

De hiergenoemde fiinctie specificeert alle benodigde gegevens

in de configuratie. De

hoofdfunctie hiervan is INITDYN.M.

ASSEN.M

Deze functie vraagt naar de specificatie van de assen t.b.v. de bepaling van de torsiestijfheden. De volgende parameters zijn hiervoor gevraagd :

asnummer groepsnummers SCHIJVEN.M

Deze functie vraagt naar de specificatie t.b.v. de bepaling van het massatraagheidsmoment zowel van de schijven zelf als van de aselement.

De volgende parameters zijn hiervoor gevraagd : knoopunt

groepsnummers

4.2.5. Invoeren dempingsgegevens

Er zijn twee dempingsmodellen beschikbaar, dat zijn het niet-proportionek dempingsmodel, de demping is hier opgebouwd uit absolute- en relatieve demping van elk element, en het proportionele dempingsmodel, de demping is proportioneel met massa- en stijfheidsmatrix,

volgens C=ccM+I3K, zie voor een gedetailleerde beschrijving hoofdstuk 3 in het hoofdverslag.

Nadat het dempingsmodel vastgesteld is, wordt er naar globale dempingsconfiguratie

gevraagd, dat zijn :

aantal absolute dempingskonstanten en aantal relatieve demp agskonstanten, voor het niet-proportionele dempings- model, of

aantal dempingsverhoudingen, voor het proportionele model.

Deze aantallen hoeven niet overeen te komen met het aantal vrijheidsgraden van het systeem. De niet gespecificeerde plaatsen zullen dan met nullen ingevuld worden.

(4.14)

L

0

a systeem met overbrenging bL Systeerti met vertakking Figuur 4.4. Torsietrillingssysteem met overbrenging of vertakking

1

Beschrijving van de progranunatuur 211

Daarna wordt er gevraagd naar de specificaties van de dempingsgrootheden. Hierbij warden

de volgende gegevens gevraagd :

absolute- en relatieve dempingsconstanten, voor niet-proportionele demping, of dempingsverhoudingen, voor proportionele demping.

Echter, in het geval van proportionele demping zijn de gegevens van de eigenfrequenties nodig

voor het bepalen van de desbetreffende dempingsmatrix. Het is dus belangrijk om eerst de

(ongedempte) eigenfrequenties te bepalen.

De invoer van de dempingskonstante wordt gestuurd door TYPEDEMP .M M. Afhankelijk van

het gekozen dempingsmodel, warden twee nadere functies aangeroepen :

MODDMATR .M, als het am proportionele demping gaat

DEMPNPRO .M, als het am niet-proportionele demping gaat

MODDMATR M

Deze functie vraagt naar (rninimaal 2) dempingsverhoudingen van het trillingssysteem. Deze dempingsverhouding client gerelateerd te warden met een bepaalde trillingsvorm.

DEMPNPRO .M

Deze functie wordt aangeroepen indien tfiet-proportionele demping in het systeem wordt aangebracht. Deze vraagt naar de parameters van zowel absolute als relatieve

dempings-konstanten. De absolute demping wordt gerelateerd met het massatraagheidsmoment en wordt dus geplaatst in de lcnoopunten, de relatieve demping wordt gerelateerd met de torsiestijtheid en worth dus overeenkomstig als de stijtheidsmatrix geplaatst.

De aantallen van beide dempingsgrootheden behoeven niet evenveel te zijn als die van de basisconfiguratie. Het aantali kan echter Met grater zijn als die van de basisconfiguratie. De

Met gespecifeerde elementen warden ingevuld met nullen. De invoerprocedure gaat dus als volgt :

aantal ingevoerde dempingskonstanten, zowel absoluut als relatief A iplaatsen van deze demping.

4.2.6. ,Reductie naar Ihetequivalente systeem

INITEQS.M

In een torsietrillingssysteem lcunnen ioverbrengingen voorkomen. Er warden twee types van overbrenging behandeld, dat zijn de overbrenging die uit twee schijven bestaat (verder wordt dit overbrenging genoemd) en de overbrenging die uit drie schijven bestaat (verder wordt dit vertakking genoemd). Zie ook de volgende figuur.

Bi...Netuijving van de prop;ranttnatuur 22

De functie wordt pas aangeroepen als het aantal vertakkingen of overbrengingen in de systeem configuratie niet nul is. Hierbij worden nadere gegevens opgevraagd, zoals het type van de overbrenging, uit welke schijven bestaat de overbrenging en de overbrengingsverhouding. Om het werkelijke systeem wiskundig oplosbaar te maken, wordt het zogenaamde equivalente vervangingssysteem toegepast. Het equivalente model heeft dan dezelfde

trillingseigen-schappen als het werkelijke systeem. Er zijn twee opties aanwezig, dat zijn :

het linker gedeelte van het systeem blijft ongewijzigd en het recht gedeelte wordt gereduceerd op de linker as.

het omgekeerde van 1.

Aangezien in de programmatuur het reduceren van het massatraagheidsmoment en de torsie-stijfheid onderscheiden worden met die van de niet-proportionele demping, zijn er vier functies beschikbaar om de taak uit te voeren :

I. Het reduceren van rechter gedeelte massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden wordt gedaan door EQSYS1 .M.

2. Het reduceren van rechter gedeelte absolute en relatieve dempingskonstanten wordt gedaan door EQSYS2 .M.

Het reduceren van linker gedeelte massatraagheidsmomenten en torsiestijfheden wordt gedaan door EQSYS2 .M.

4 Het reduceren van linker gedeelte absolute en relatieve dempingskonstanten wordt gedaan door EQSYS2 .M.

EQSYS* .M (* = 1,2,3 en 4)

Deze functie vraagt naar de gegevens van de overbrenging/vertakking zelf. Eerst wordt gevraagd of het am een overbrenging of om een vertakking gaat. Ms het om een overbrenging gaat worden hierbij twee schijven betrokken en als het om een vet takking gaat dan worden er drie schijven bij betrokken.

De invoerprocedure gaat als volgt :

aantal betrokken knooppunten. Dit

is eigenlijk het vragen naar de type van de

overbrenging. 2 is namelijk bestemd voor de overbrenging en 3 voor de vertakking. de desbetreffende knooppuntnurnmers. Dit moet een speciale procedure volgen. Indien het gereduceerde deel is het rechter gedeelte van het systeem is dan moet het het kooppunt dat met linker gedeelte een verbinding heeft als zerste ingevoerd wordt en andersom.

Ads deze gegevens gespecificeerd

zijn, worden de functies voor verdere handelingen

aangeroepen. In dit geval komen de volgende functies aan de orde :

OMZET* .M (* -=1,2, 3 en 4) ZRESTR.M ZOEKRECH .M ZRESTL .M ZOEKLINK .M OMZET* .M

De functie berekent het equivalente massatraagheidsmoment, de torsiestijfheid, de absolute- en konstante demping t.p.v. de overbrenging en/of vertakking. De resterende parameters worden getraceerd door ZRESTR.M en ZOEKRECH_{.M voor het rechter gedeelte of} ZRESTL.M en

ZOEKL INK .M voor het linker gedeelte.

1.

2.

.2.

Eieschnjving van de prograrranatuur 23

4.2.7. Opstellen massa-, stijfheids- en dempingsmatrix

INIMATR .M

De functie fimgeert als een menu om de benodigde matrices te kunnen opstellen. De volgende matrices kunnen opgesteld worden :

discrete massamatrix, zie DMMATRIX .M

consistente massamatrix, zieCMMATR I .M

stijfheidsmatrix, zie SHMATRIX .M

proportionele dempingsmatrix, zie DPPMATR .M

niet-proportionele dempingsmatrix, zie DNPMATR .M

DMMATRIX M

DMMATRIX .M is de hoofdfunctie voor het opstellen van de discrete massamatrix. Afhankelijk van de configuratie van het systeem worden een tweetal functies, DMMDYN .M en DMMEQS. M.

aangeroepen. DMMDYN.M stelt de gediscretiseerde massamatrix op voor systemen zonder overbrenging of vertakking en DMMEQS M stelt de gediscretiseerde massamatrix op voor systemen met overbrenging of vertakking. De opstelling door beide functies is dezelfde, alleen wordt DMMEQS .Maangeroepen als het systeem gereduceerd wordt.

De opstelling van de massamatrix voor systemen zonder vertakking en/of overbrenging wordt als volgt beschreven. Voor het theoretische achtergrond wordt verwezen naar hoofdstuk 2 in het hoofdverslag.

Beschouw nu de volgende figuur

In

1m+1

In+1

Fignur 4.5. Massatraagheidsmomettten van een geschematiseenie .systeem

Stel dat de knooppuntnummers van het systeem n-1, n en n+1 zijn waarbij de

massatraagheids-momententen I, I. en In., reeds bekend zijn. De aselementen worden genummerd als m en m+1 en deze bezitten de massatraagheidsmomenten I. en

De totale massamatrix van de bijdrage van de schijven wordt opgebouwd nit de massatraagheidsmomenten van de schijven. De plaatsing van deze massatraagheidsmomenten in de totale massamatrix is als volgt :

1,, waarbij i=n-1, n+1, wordt geplaatst in de M...0(i,i) Hiermee worden de massa-traagheidsmomenten geplaatst op de hoofddiagonaal.

De elementen buiten het hoofddiagonaal zijn nul. Dus de resulterende matrix is een hoofddiagonaalmatrix en is

Beschrijving van de progranunatuur 24

EMsehijfI

De totale massamatrix bijdrage van de aselementen wordt opgebouwd door de massatraag-heidsmomenten van de assen m en m+1. Hiervoor moeten de lokale massamatrices van de elementen eerst opgesteld worden en daarna geplaatst worden in de totale massamatrix m. Zie voor het theoretische achtergrond in hoofdstuk 2 van het hoofdverslag

De lokale massamatrix van de aselement m is

Wand =

Aangezien element m tussen de knooppunten n-1 en n ligt, worden de elementen van de lokale matrix geplaatst in de totale matrix als volgt

M.(n-1,n-1) = mTs(1, 1) =

M.(n,n) = mTs(2, 2) =

Mis(n-1,n) miL(1,2) = M.(rt,n-1) = miTs(2, 1) =

De lokale massamatrix van de aselement m+1 is

I

[1111:.1s+ m+I

Dus de totale massamatrix van de bijdragen van de assen is de sommatie van alle lokale massa-matrices en wel ,+1 [Mac] = E [rn:,1 1=111 [mad ₌ yr 0 0 In 0 0 0 In+i

l0

01

10

0 1 0 + 0 0 0 jilm+1 (4.15) (4.16) (4.17) (4,18) (4.19)

Om de totale massamatrix te verkrijgen moet de massamatrix van de bijdrage van de schijven (4,15) opgeteld worden met de massamatrix van de bijdragen van de aselementen (4.19).

=

-Beschrijving van de progranunatuur 25

CMATR I X . M

De hoofdfunctie voor het opstellen van de consistente massamatrix is CMMATR IX .M daarbij worden een tweetal fiincties, CMMDYN .M en CMMEQS .M, aangeroepen voor het verdere werk.

CMMDYN M stelt de consistente massamatrix op voor systemen zonder overbrenging of vertakking en CMMEQS M stelt

de consistente massamatrix op voor systemen met

overbrenging of vertakking.

Net zoals bij de discrete massamatrix, stellen beide functies de matrices op volgens dezelfde procedure De massamatrix van de bijdrage van de schijven wordt opgesteld op dezelfde wijze als de discrete massamatrix. Deze matrix is dus een hoofddiagonaalmatrix.

Echter is het opstellen van de matrix van de bijdrage van de aselementen anders dan het

voorgaande.

Deze opbouw wordt nader toegelicht voor een knooppunt met vertakking, zie figuur 4.6. Dit is de nieest algemene situatie die in het model voorkomt.

Figuur 4.6. Massatraagherdsmomenten van een geschematiseerde sysieem

De totale massamatrix van de bijdrage van de aselementen wordt opgebouwd uit de massa-traagheidsmomenten van de assen m, m+1 en m+2. Hiertoe moeten de lokale massamatrices

van de elementen eerst opgesteld worden en daarna geplaatst worden in de totale

massamatrix. Zie ook hoofdstuk 2 van het hoofdverslag.

De lokale massamatrix van het aselement m is

frriTs1 = kIm

21

₁₂

Aangezien element m tussen de knooppunten n-1 en n ligt, worden de elementen van de lokale matrix als volgt in de totale matrix geplaatst

Nt(n-1,n-1) = mZ(1, 1) = II M.(n,n) = mT(2, 2) = II

(4.2 fl' Mu(n-1 n)

=m(l,2) =Im

M.(n,n-1) = tra(2, 1) = Im

De lokale massamatrix van het aselement m+1 is

(4.20)

Beschrijving van de programmatuur26

[

2 41

[nlru]

= linyfi 1 2

En de ilokale massatnatrix van het aselement m+2 is

EFfirs+21 = _{!Im+2[ '2}

1 2

11

De totale massamatrix van de bijdrage van de assen is de ,Isommatie van alle lokale

massa-matrices en wet

aria

[Mad

=j

[nit's]

win

[

Om de totale massamatrix te verkrijgen moet de massamatrix met de bijdragen van de schijveri opgeteld worden met de massamatrix van de bijdrage van de aselementen (4.24).

SHMATRIX .M

Deze functie is de hoofdfunctie voor het opstellen van de stijfheidsmatrix. Net als bij de

massamatrices worden hier een tweetal functies aangeroepen, dat zijn SHDYN.M voor het opstellen van de matrix als het systeem g,een vertalcking en/of overbrenging heeft en

SHEQS .M indien we! aanwezig.

Net als de consistente massamatrix wordt deze opbouw nader toegelicht voor een knooppufit met vertalcking, zie figuur 4.7. Dit is de meest algemene isituatie die in het model voorkotnt.

??,* I'm lim b + +iin+2] rn+1 Im+I6' I 0 m4.1 0 0

14)+2V

(4.22) (4.23) (4.24)

Figuur 4 7. Tarsiestiffheden in een geschematiseerde systeem

Stet dat de knoopputanummers \rail het systeem n, 11+41 en n+2 zijn. De aselernenten

ind

km = 3i1m+2 n-1, km km+2 n+2

Besdirijving van dc programrnainur 27

worden genummerd als m, m+1 en m+2 en bezitten de torsiestijfheden km, km,, en km+2.

De totale stijfheidsmatrix [K] wordt opgebouwd door deze torsiestijfheden. De plaatsing van de torsiestijfheden in de totale stijfheidsmatrix zijn net als bij de opstelling van de massamatrix bijdragen van de assen d.w.z. dat de lokale stijfheidsmatrices van de elementen eerst opgesteld worden en daarna geplaatst worden in de totale massamatrix.

De lokale stijfheidsmatrix van het aselement m is

[km] =

km km

km lcm

Evenzo als bij de massamatrix, aangezien element m tussen de knooppunten n-1 en r ligt,

worden de elementen van de lokale matrix geplaatst in de totale matrix en wel als volgt : K(n-1,n-1) = km( 1,,1) = km

K(n,n) = km(2,2) = km

K(n-1,n) = km(1,2) = -km

K(n,n-1) = km(2,1) = -km

De lokale stijfheidsmatrix van het element m+1 is als volgt

[km.1 =

waarbij de plaatsing in de totale stijtheidsmatrix daarvan dezelfde procedure volgt als boven. En voor de aselement m+2 is [km+2] = [K] = km+1 km+, km+i km+, km+2 krn+2 km4.2 km4.2

De totale stijfheidsmatrix is de sommatie van alle lokale stijfheidsmatrices (4.25) en we!

m+2 [K] =

[kJ

km

km

0 0 km krn + km+, +km+2 km-s-i 0 km+1 km., 0 0 km+2 0 km-t-2 (4.25) (4.26) (4.27) (4.28) (2.46) DPPMATR.M

Bij het proportionele dempingsmodel, wordt de dempingsmatrix [C] uitgedrukt als een lineaire combinatie van de massamatrix [M] en de stijfheidsmatrix [K]

E

:

&Salk

valduzrograinrf"uL 28

PITEcip:Di = [aoicd

waarbiji

: matrix van de eigenvektoreni

co : de eigenfrequentie

: dempingsfactor

: 1, 2, 3, .. , n

'Substitueren van verg44.47) in (4.48)1eidt tot

PITi(aM REKDEO)

in Verband diet orthogonaliteit geldt PITNIP:11 = El

PITEKTDI = fro?1 waarbij [1] de eenheidsmatrix is

Substitueren van deze vergelijking in (4.49) Eleven.,

I co [ a₀

= [2(04], voor i = 1,2,

waarin n het aantallvrijheidsgraden is en [I] de eenheidsvelctor.

Stel dat [A] = [I (023 een n x 2 matrix is en [B] = [2toic 3 een n x 1 matrix.. Dus

tk]nx21:10 = [13Lx_1

0.48)

(4.49) (450) (4.51) (4.52) = auvil (4.47)

Het opstellen van .de matrix is thisin feite het bepalen van de evenredigheidskonstanten a en ft

Aangezien er twee te bepalen variabelen zijn, zijn teruninste twee vergeffildngen nodig om de vergeffildng (4.47) te lcunnen oplossen. Het systeem moet dus teruninste twee vrijheidsgraden bezitten. Voor systemen met meer dan twee vrijheidsgraden moeten twee waarden bepaald worden die representatief zijn voor het totale systeem in het gehele frequentiebereik.

De invoerdata van deze functie zijn de matrix van de eigenfrequenties, de modale dempingsy verhoudingen, de massa- en de stijtheidsmatrix.

Flieronder worden een viertal inethoden besproken om de konstanten a en 13 te kunne,n bepalen.

Kleinste Invadraten imethode

Bij

het toepassen van de modale analyse wordt de gegeneraliseerde dempingsmatrix

lopgebouwd uit de imodale demping van elke triffingsvorm, zodanig dat geldt

[01

= [2(04]

[ . ,n

van de 29

Dit 'kan opgelost warden door linker- en rechterterm van de vergelijking met de

getransponterde van [A] (= [A]) voor te vermenigvuldigen. Dit ievert

10m de vanabelen a en 13 te kunnen bepalen wordt [X] naar de rechterterm, verplaatst door middel van inversie

a

= [X]-1[A]T[1310 (4.55),

Frequentiedistributie

Dew methode wordt beschreven in [Bathe, 1982]. Eiji de frequentiedistributie worden de (eigen-)frequenties verdeeld naar lage frequenties (oL) en hoge frequenties (a). Indien alle

frequenties gerangschilct warden en geldt co12, o22, , c0.2 dan kan verondersteld warden dat

de grens tussen coL en coil ligt bij (o11-c)1)/2 =

Voor de lage frequenties wordt het gerniddelde van de modale demping (= cm.,), en het

gerniddelde van de frequenties o ) bepaald met

ca. 1. oil,

cgern,L 'en ogenu, =

waarin

: sommatie van alle modale dempingskonstanten beneden C3,

E wit : sommatie van alle lage (eigen-) frequenties

: aantal lage frequenties

1. ;LHMLR

gen-LK = nil en gern.FI = nn

waarin

(4.5(i)

Voor hoge frequentie wordt de gemiddelde van de imodale demping (= en de

gemiddelde van de frequenties (= co,)geth bepaald met.

(4,57)

E : sommatie van alle modale dempingskonstanten boven cro sommatie van alle hoge (eigen-) frequenties

I

aantal hoge frequenties

Met beide vergelijkingenizijn nu de vergelijIcingenlbeschikbaar voor de berekening van a en. 13. Caughey-reeks

Voor een systeem dat meer dan 2 vrijheidsgraden heeft, kan de dempingsmatrix [C] oak met de Caughey reeks bepaald wordt. Deze methode is te vinden in [Bathe, 1982].

(4.53)

cto

,[A]T[A][ = [A]T[B]

Stel [MT [Al = [X],danseldt dUs verder

(4.54) = TAITEBI Beschrijving programmatuur dat [X] (=

Beschnjving van de programmatuur

I no 3 2n-3

= 21\coi + a tC0i, a2COil ap-10);

30

(4.59)

DNPMATR . M

Deze functie is de hoofdfunctie voor het opstellen van (niet-proportionele) de dempings-matrix. Een tweetal andere functies wordt hieraan geroepen voor het uitvoeren van een

specifieke taak. Dit zijn DPMDYN . M voor de matrixopstelling indien het systeem geen

vertakkingen en/of overbrengingen bent enDPMEQS .Mindien wel aanwezig.

De matrix wordt opgebouwd uit de absolute- en relatieve dempingskonstanten. De dempings-matrix bijdrage van de absolute demping wordt opgesteld analoog aan de opstelling van de gediscretiseerde massamatrix en de dempingsmatrix bijdrage van de relatieve demping wordt opgesteld analoog aan de opstelling van de stijfheidsmatrix.

Beide bijdragen worden gesonuneerd tot de totale dempingsmatrix.

4.2.8. Statit'ch coridensereli

STATCOND .M

In sommige ipraktische toepassingenikunnen enige hoofddiagonaalterrnen van de massamatrix [M] nut zijn ofwel aan de corresponderende vrijheidsgraden is geen massa verbonden. In het

geval van een gediscretiseerde massaverdeling geeft dit een singuliere massamatrix.

Stel dat de massamatrix [M] nu een nulelement op de hoofddiagonaal bevat, dan kan

oplossing van cre vergelijking

leiden tot een oneindig grootte eigenwaarde ter plaats van het nulelement. De bijbehorende

trillingsvorm heeft de waarde I t.p.v. het nulelement en de waarde 0 bij de resterende

elementen, zie voor gedetailleerde beschrijving in "Bathe,1982].

On deze situatie te vermijden, wordt de zogenaamde statisch condensatie toegepast. M.b.v. de condensatie wordt ha nulelement geelimeneerd en de massamatrix wordt hiermee singulier.

Statisch condensatie wordt ook gebruilct in het geval dat een hoofddiagonaalterrn in de massa- matrix heel klein is toy. de resterende hoofddiagonaaltermen. In dit geval wordt de

condensatie gebruikt om het aantal vrijheidsgraden te reduceren. Het is inuners nuttig om bij een dynatnisch probleem het aantal benodigde vrijheidsgraden te beperken, gezien het felt dat dynamische problemen, bij eenzelfde aantal vrijheidsgraden, veel meer rekentijd nodig dan

statische problemen. Het uitgangspunt hierbij is dat voor de berekening van de eigenfrequenties en bijbehorende eigenvelctoren volstaan kan worden met het concentreren van de massa van het beschouwde systeem, in een beperkt aantal vrijheidsgraden. In praktijk komt

dit vaak neer op een verhouding tussen het totale aantal vrijheidsgraden en het aantal

vrijheidsgraden met massa van 2 tot 10. De reeks wordt als, volgt gedefineerci

[C] = EM] ak[N]-11[K1],k (4.58)

waarbij de coefficienten at, 'k n (n = aantal vfijheidsgraden) door de volgende

polynomen bepaald wordenrt

1E1[0] = Effl[m][011 ,(4.60)

= 1,

,

+ + ...

Beschrijving van de progranunatuur 31

Met statisch condensatie worden dus de massa- en stijfheidsmatrix gereduceerd.

Een eis aan de statische condensatie is dat, bij het berekenen van de eigenfrequenties en eigen-waarden van de gereduceerde massa- en stijfheidsmatrices, de nauwkeurigheid gehandhaafd

blijft.

Er zijn hiervoor verschillende methoden beschikbaar. Het meest algemene methode is het herrangschikken van de matrices [M] en [K] zodat de vergelijking (4.60) er als volgt uit ziet :

Kaa Kac

KccJL cl)c (4.61)

waarin de

[1

en

[k]

de hoekverdraaiingen van respectievelijk met massa en zonder mass.. verbonden knooppunten. [Mj is een diagonaalmatrix zonder nullen op de hoofddiagonaal. Uit de vergelijking (4.61) volgt :

[K.1[0.]+ [K.][0c]

= [0]

Hiermee 'can [4)jgeelimineerd worden, namelijk met,

ia

= --EK.1-1[1(.][0.]

(4.62)

(4.63) De substitutie van deze vergelijking in (4.61) ley( rt een gereduceerde eigenwaardevergelijking

[Ka][C] = _{[S21[Ma][0a], waarin}

Deze berekeningswijze zal in de praktijk nooit zo gedaan worden. limners inverteren is numeriek gezien zeer tijdrovend. Een andere methode voor de berekening van [KJ is de Gauss-eliminatie. De methode is gebruikt in [Kanchi, 1993] met aanpassi...gen. Deze

aangepaste Gauss-methode wordt groepseliminatie van de variabelen genoemd en

is

geimplementeerd in de programmatuur. Het directe voordeel van de methode is dat de inversie van de verg.(4.64) voorkomen wordt. Tevens is de methode eenvoudig en snel omdat alleen de naburige elementen van de gecondenseerde elementen omgerekend moeten worden tot de nieuwe matrix.

4.3. Beschrijving van de functies in de simulatie

Deze fase kan gebruilct worden voor het analyseren van een trillingssysteem. Hier worden trillingsaspecten zoals het oplossen van het eigenwaardeprobleem, het toepassen van de

modale analyse, het schatten van het spectrum van de signalen zowel

van de

excitatiemomenten als van de responsies, enz. worden behandeld

De belangrijk geachte resultaten en figuren zullen bewaard worden.

[Kai = [Kaa] [KadiKccri [K., (4.64)

Beschrijving van de programmatuur 32

4.3.1. Bepalen eigenfrequenties en trillingsvormen

Het eerste doel van de simulatie is het bepalen van de eigenfrequenties met de bijbehorende

trilvormen door het oplossen van de karalcteristieke vergelijking. Hierbij zijn twee opties

mogelijk : gedempte of ongedempte trillingen.

Verder worden de eigenfrequenties en de trilvormen geordend inaar opklimrnende grootte. Bij het gedempte trillingssyteem worden complexe eigenfrequenties met complexe trilvormen gegenereerd. Omwille van de overzichtelijkheid worden de trilvormen mar absolute waarden

met bijbehorende fasehoeken vertaald.

Visuele resultaten van de trilvormen zijn ionic rthogelijk. Hiervoor worden de ieerste vijf

trilvormen over elkaar geplot.

De hoofdfunctie isE I GTYPE .M, _{deze kan het volgende uitvoerenjz,}

oplossen eigenwaardeprobleem zonder demping oplossen eigenwaardeprobleem met demping

plotten van het resultaat

Bij het oplossen van het eigenwaardeprobleem wordt een ingebouwde functie van MatlaIN

El G .M, gebruikt. Matlab gebruikt de zogenaamde QR-methode. De matrices van de

eigen-waardevergelijlcing worden eerst geklassificeerd naar twee groepen :

Voor een reeek matrix in standaard vorrn [A][X]=[X][X], worden drie stappen

uitgevoerd. Ten eerste wordt de matrix omgezet in Hessenberg's vorm m.b.v.

orthogonaal similarity transformations. Daarna wordt hij herrangschikt. Tenslotte

worden de eigenwaarden en de eigenvektoren bepaald m.b.v. QR methode

Voor de gegeneraliseerde vorm [A][X] = P.1[8][X] is de oplossing afhankelijk van de

matrix [B]. Is [B] een niet-singuliere matrix, dan kan de vergelijking gereduceerdi

worden tot de standaard vorm door

[B]' [A][X]r

= {AIX] (4.65)

waarbij [A] in standaard vorm vervangen wordt met [B]-1[A]. Is [B] singulier, dan wordt

het probleem opgelost worden via het zogenaamde QZ algorittune. De volgende functies worden bij het oplossen van het probleem gebruilct.

LAADMATR.M

Om de eigenwaardevergelijking, opyte kunnen aossen, worden de benodigde matrices 'hiervoor ingevoerd.

De stijfheidsmatrix wordt volgens slechts een model opgesteld.. Dit is alders vdor de massa-, en de dempingsmatrix. De volgende combinaties zijn mogelijk :

'I. Discrete massamatrix en proportionele dempingsmatrix Consistente massamatrix en proportionele dempingsmatrix Discrete massamatrix en niet-proportionele dempingsmatrix Consistente massamatrix en niet-proportionele dempingsmatrix EIGZOND .M

Echter de dempingsritatrix hoeft niet altijd ingevoerd te worden. Als het om een ongedempt trillingssysteem gaat, zijn de invoerdata alleen de massa- en de stijfheidsmatrix.

Deze functie berekent de eigenwaarden. en de eigenvektoren van een trillingssysteern zonder

demping.

[M][U] + [K][U] = [01

waarbij

[M]! ". de massamatrix

[K] : de stijfheidsmatrix

[U] de vektor van de hoekverdraiiingery

[

mo mc

OM K0 1[°1

UEj J=f0J

Zie voor de afleiding van deze vergeliking in hoofdstuk 2 van het hoofdverslag.

4.3.2. Generaliseren van de matrices t.b.v. de modale analyse

Om de modale analyse te kunnen toepassemdienen de matrices gemodaliseerd te worden. Dit

wordt uitgevoerd door MODTYPE .M. Hierin worden de matrices gegeneraliseerd m.b.v. de genormeerde matrix van de trilvormen.

Stel dat 'de oorspronkelijke matrix van de trillingsvormen [X] is

[XI = VI X2 X3; Xnj (4)69),

waarbij X, velctor van de trillingsvormen behorende bij een eigenfrequentie is en nIS het. aantal

vrijheidsgraden.

Nu wordt gedefinieerd een 'hoofddiagonaalmatrix [S] door, zie hoofdstuk 2 van het

hoofd-verslag

(4.66)

EIGDEMP.M

Ms het om een gedempte trillingsysteem gaat moet de invoer gecompleteerd worden met de

dempingsmatrix.

Deze functie berekent de eigenwaarden en de eigenvelctoren van een trillingssysteefii met idemping. De invoerdata zijn de massa-, de stijfheids- en de dempingsmatrix.

De eigenvergelijkingvan het systeem is :

1[M][U] + [C][U] + [K][U] = [0] (4.67)

Dit kan omgezet worden naar eersteorde ve-rgelijking. De vergelijlcing wordt

(4.68)

Merk op dat de niet-proportionele dempingsmatrix ook gegeneraliseerd mag worden. Alle

residuele elementen buiten de hoofddiagonaal worden nul gesteld. Hiermee kan de modale

[S] = ([X]T[M][X])1 (4.70

waarin [M] de massamatrix is.

De genormeerde matrix van de trilvormen [0] wordt bepaald met

2 x31 _(4.71)

S(I,I) 5(2,2) 5(3,3) ' S(n,n)

L

Beschrifring van de prograrnmatuur 33

: C = 0 ... :