Model Browna

1

Model Browna SURVW\PRGHOZ\JáDG]DQLDZ\NáDGQLF]HJR

=Z\NOHVWRVXMHP\WHQPRGHOGODV]HUHJyZF]DVRZ\FKRVWDá\PSR]LRPLHOXEEDUG]RVáDE\P trendzie i umiarkowanych wahaniach przypadkowych.

0RGHOSR]ZDODZ\]QDF]\üSURJQR]ZJZ]RUX

∗−

∗

=

+ ( 1 − )

t y y

y

α α

SURJQR]DMHVWNRPELQDFMZ\SXNáUHGQLZD*RQSU]HV]áHMZDUWRFL]MDZLVNDLSU]HV]áHM prognozy. α∈ 0,1 ±SDUDPHWUZ\JáDG]DQLD

:DUWRüαGRELHUDP\QSQDSRGVWDZLHNU\WHULXPQDMPQLHMV]HJREáGXUHGQLRNZDGUDWRZHJR SURJQR]Z\JDVá\FKs* tzn. min_α s*(α) gdzie

∑= −

= 



 

 n 

t *( )

yt yt

* n s

1

1 α 2

-HOLQLHPDP\PR*OLZRFLZ\]QDF]HQLDRSW\PDOQHMZDUWRFLSDUDPHWUXZ\JáDG]DQLD]Z\NOH ]DOHFDVLVWRVRZDQLDZDUWRFL±

Uwaga

5yZQRZD*Q\Z]yUQDSURJQR]ZW\PPRGHOXPDSRVWDü

)

( _{1 1}

1

∗

−

−

∗

−

∗ = _t + _t − _t

t y y y

y α

]DWHPGODPDá\FKαSURJQR]DZPDá\PVWRSQLXXZ]JOGQLDEáGH[SRVWSURJQR]SU]HV]á\FK

Uwaga

-DNRZDUWRüy1^∗SU]\MPXMHP\MHGQ]ZDUWRFL

a) SLHUZV]ZDUWRüV]HUHJXF]DVRZHJRy1^∗ = y1,

b) UHGQL]WU]HFKSRF]WNRZ\FKZDUWRFLV]HUHJXF]DVRZHJR

3

3 2 1 1

y y

y y + +

∗ =

, c) UHGQL]SLFLXSRF]WNRZ\FKZDUWRFLV]HUHJXF]DVRZHJR

5

5 4 3 2 1 1

y y y y

y y + + + +

∗ = .

Model %URZQDMHVWUR]ZLQLFLHPPHWRG\UHGQLFKZD*RQ\FK

:DJLPDOHMZ\NáDGQLF]RSU]\FRUD]VWDUV]\FKGDQ\FK

:LGDüWRJG\SU]HNV]WDáFLP\Z]yUQDSURJQR]ZW\PPRGHOX

∗−

∗

=

+ ( 1 − )

n y y

y

α α

SRGVWDZLDMF ∗ − ^∗−

−₁

=

+ ( 1 − )

n y y

y

α α

∗−

−

∗ −

−

−

∗

=

+ − + − = + − + −

2 2

1 2

2

1

( 1 )(

( 1 )

)

( 1 )

( 1 )

n

n y y y y y y

y

α α α α α α α α

QDVWSQLHSRGVWDZLDMF ∗ − ^∗−

−2

=

+ ( 1 − )

n y y

y

α α

2

∗−

−

−

−

∗

−

−

−

−

∗

− +

− +

− +

=

=

− +

− +

− +

=

3 3 3

2 2

1

3 3

2 2

1

) 1 ( )

1 ( )

1 (

) ) 1 ( (

) 1 ( )

1 (

n n

n n

n n

n n

n

y y

y y

y y

y y

y

α α

α α

α α

α α

α α

α α

ostatecznie

...

) 1 ( ....

) 1

(

1

+ − + + − +

=

∗

k n k n

n

n

y y y

y α α α α α

Wagi przy poszczególnych elementach szeregu czasowego

...

) 1 ( ....

) 1

( − > > − >

> α α α α

α

VWDQRZLNROHMQHZ\UD]\FLJXJHRPHWU\F]QHJRRLORUD]LH^0<1−α ^<1'ODGX*\FKQLFK suma jest prawie równa 1 bowiem

) 1 1 ( ... 1

) 1 ( ....

) 1

( =

−

= − +

− + +

−

+ α

α α α α

α

α

Uwaga.

a) MHOLZ\JáDG]HQLHV]HUHJX F]DVRZHJR]ZáDV]F]DGODGX*\FK αQLHMHVW]DGDZDODMFHWR PR*HP\SRZ\*V]HZ\JáDG]DQLHSRZWyU]\ü

b) FKRFLD*GODPDá\FKαZ\JáDG]HQLHMHVWOHSV]HWRQLH]DZV]HZWHG\MHVWQDMPQLHMV]\EáG

UHGQLRNZDGUDWRZ\GODSURJQR]SU]HV]á\FKZLGDüWRZQDVWSXMF\PSU]\NáDG]LH 3U]\NáDG (L. Kowalski, „Statystyka”, 2003), .

/LF]EDVSU]HGDQ\FK*DUyZHNW\VV]WZKXUWRZQLÄ/80(1´ZNROHMQ\FKNZDUWDáDFKODW 1998-2000:

37, 36, 34, 33, 34, 33, 35, 34, 35, 33, 34, 36

%DGDMFZLHONRüEáGXUHGQLRNZDGUDWRZHJRGODUy*Q\FKZDUWRFLα otrzymamy:

α 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

EáG 1,47 1,39 1,36 1,35 1,35 1,36 1,37 1,38 1,41

-DNZLGDüQDMOHSV]H]WHJRSXQNWXZLG]HQLDZDUWRFLαVZSU]HG]LDOH·

L.Kowalski, 26.02.2005.