Ekonometria, lista zadań nr 4
We wszystkich zadaniach zakładamy, że spełnione są założenia modelu liniowego Gaussa-Markowa.
1. Dokonano estymacji modelu liniowego Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi na podstawie rocznych danych z lat 2006-2014 i otrzymano następujące wyniki: (X0X)−1 = (uij), gdzie u11= 1, u21 = 0, u23 = −3, u22 = 2, u31 = −2, u33 = 9 oraz ¯Y = 1, P Yi2 = 20, P xi1Yi = 5, P xi2Yi = 3. Przetestuj łącznie istotność (na poziomie 0,1) parametrów strukturalnych modelu testem cząstkowym oraz istotność każdego z nich testem brzegowym. Sprawdź też na tym samym poziomie istotności, czy β1 = β2.
2. W wyniku estymacji parametrów modelu liniowego postaci Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi
otrzymano następujące wyniki cząstkowe:
(X0X)−1 = 1 60
61 −35 −5
−35 25 −5
−5 −5 25
,
P Yi = 30, P xi,1Yi = 49, P xi,2Yi = 11 Y0Y = 110.
Oblicz współczynnik determinacji. Przetestuj istotność każdego z parametrów struktu- ralnych na poziomie istotności 0,01. Przetestuj też hipotezę H : β1 = β2 = 0 przeciwko alternatywie K : β1 6= 0 ∨ β2 6= 0.
3. Na podstawie informacji zawartych w tabeli
Y: 1 3 0 3 5 6
X1: 0 2 0 0 0 2 X2: 0 2 2 2 2 0 oszacowano parametry modelu liniowego postaci:
Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ εi, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 i otrzymano: ˆyi = 2, 4 + 1, 1xi,1− 0, 1xi,2. Wiadomo, że
(X0X)−1 =
0.7 −0.2 −0.3
? 0.2 0.05
? 0.05 ?
, X0Y =
18 18 22
.
Przetestuj łącznie istotność parametrów β1 i β2. Następnie przetestuj istotność każdego z tych parametrów na poziomie istotności 0,05. Najpierw uczyń to za pomocą testu brze- gowego, potem za pomocą testu cząstkowego. Porównaj wyniki. Sprawdź także na tym samym poziomie istotności, czy można przyjąć, że β1 > 0.
4. Dla danych z zad. 8 z listy 3 sprawdź na poziomie istotności 0,05, czy można przyjąć, że β2 = 7.
5. W oparciu o roczne dane z lat 2005-2014 rozważano model liniowy postaci Yi = β0 + β1xi,1+ β2xi,2+ εi. Otrzymano cząstkowe wyniki postaci:
(X0X)−1 = 1 18
5 −4 ?
? 8 −2
4 ? 8
, X0Y =
10
7
−10
, Y0Y = 55.
Oblicz współczynnik determinacji. Przetestuj istotność każdego z parametrów w modelu.
Wykonaj test cząstkowy łącznie dla parametrów oprócz wyrazu wolnego. Sprawdź także, czy β1+ β2 = 0. Za poziom istotności przyjmij 0,01.
6. Dla następującego zestawu danych:
Y: 2,39 8,23 2,34 9,52 11,59 9,79 6,44 16,52 6,48 12,76
X1: 8 6 8 3 8 3 7 10 9 4
X2: 2 6 2 7 1 10 5 8 2 6
oszacuj parametry modelu liniowego Y = β0 + β1x1 + β2x2 + ε. Oblicz współczynnik determinacji. Przetestuj istotność każdego z parametrów za pomocą testu brzegowego oraz testu cząstkowego. Przetestuj też hipotezę H : β1 = β2 = 0 przeciwko alternatywie K : β1 6= 0 ∨ β2 6= 0. Testy przeprowadź na poziomie istotności 0,1.
7. Na podstawie danych dla województwa mazowieckiego zebranych w ramach BAEL (http://www.ekonometria.wne.uw.edu.pl/index.php?n=Main.Dane, Badanie Aktyw- ności Ekonomicznej Ludności) w roku 2000 skonstruowano bardzo uproszczony model uzależniający wysokość zarobków (netto, PLN) od płci i wieku (w latach, w pierwszej i drugiej potędze). Rozważany model ma następującą postać:
ln(placa) = β0+ β1· plec + β2· wiek + β3· wiek2+ ε.
(a) Przetestuj istotność wszystkich parametrów modelu (oprócz wyrazu wolnego).
(b) Przetestuj istotność każdego parametru za pomocą testu brzegowego.
(c) Przetestuj, czy w rozważanym modelu płaca zależy istotnie od wieku.
(d) Przetestuj, czy na podstawie rozważanego modelu i rozważanych danych można przy- jąć, że kobiety zarabiają średnio mniej od mężczyzn.
Testy wykonaj na poziomie istotności 0,05.
8. Na podstawie tych samych danych rozważmy jeszcze inny model. Tym razem będziemy badali liniową zależność logarytmu płacy od wieku, płci, wykształcenia, wielkości miej- scowości zamieszkania i stanu cywilnego.
(a) Zakoduj zmienne jakościowe w odpowiedni sposób. Zapisz równanie opisujące model.
(b) Przetestuj jednocześnie istotność wszystkich parametrów modelu (oprócz wyrazu wolnego).
(c) Przetestuj istotność każdego parametru za pomocą testu brzegowego.
(d) Przetestuj, czy w rozważanym modelu płaca zależy istotnie od stanu cywilnego.
(e) Czy i w tym modelu na podstawie rozważanych danych można przyjąć, że kobiety zarabiają średnio mniej od mężczyzn? Podobnie jak w poprzednim zadaniu testy wykonaj na poziomie istotności 0,05.
9. W modelu linowym
Yi = β0+ β1xi,1+ β2xi,2+ β3xi,3+ β4xi,4+ εi, i = 1, 2, . . . , 17,
współczynnik determinacji wynosi 0,6. Wykonaj test istotności regresji liniowej tzn. prze- testuj
H : β1 = β2 = β3 = β4 = 0 przeciwko K : ∃j βj 6= 0.
