Geometria z algebrą liniową, 2019/2020 ćwiczenia 3.
10 lub 11 października 2019
Zadania
1. Sprawdź, że p ∈ N \ {0, 1} jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy Zp jest ciałem.
2. Niech K będzie ciałem oraz a, b, c ∈ K. Wykaż, że
(a) jeśli a + c = b + c, to a = b.
(b) jeśli ac = bc oraz c 6= 0, to a = b.
(c) a · 0 = 0 oraz (−1) · a = −a.
3. Niech K będzie ciałem oraz L będzie podciałem ciała K. Wykaż, że
(a) jeśli K = R, to Q ⊆ L.
(b) jeśli K = R oraz√
2 ∈ L, to Q(√ 2) ⊆ L.
(c) jeśli K = Q to L = Q.
(d) jeśli K = Zp, to L = Zp. 4. (··) W Z5 znaleźć:
(a) −3 oraz 4−1,
(b) wszystkie rozwiązania równania 2x2+ 3 = 0 (c) wszystkie rozwiązania równania x5− 1 = 0.
5. (·) Dla których liczb p = 2, 3, 5, 7 ciąg (1, 1, 1, 1) jest rozwiązaniem następującego układu równań w Zp?
x + y + t = 0 y − z + t = 1 x + y + z = 0
6. Znaleźć rozwiązanie ogólne następującego układu równań o współczynnikach w Z5.
2x + 3y + z + 4t = 1 3x + y + 2z + 4t = 2 3x + 3y + z + 3t = 1 7. Skonstruuj ciało złożone z 4 elementów.
8. (?) Rozstrzygnij czy istnieją ciała zawierające do- kładnie 6 i 8 elementów.
Praca domowa 1
Uwaga: wszystkie napotkane układy równań liniowych należy rozwiązywać sprowadzając macierze do postaci schodkowej zredukowanej!
1. Wyznacz trójmian kwadratowy w(x), który w punkcie −1 przyjmuje wartość −2, zaś w punkcie
−2 wartość −6, oraz przyjmujący swoją minimal- ną wartość dla x = −52 .
2. Następnie znajdź wszystkie pierwiastki wielomia- nu v(x) = 2x3− w(x).
3. Zbadać dla jakich wartości s, t ∈ R następujący układ równań:
x + y + z = 1
3x + (2 − t)y + 7z = −s + 3
−2x − 3y = −3
jest oznaczony, dla jakich nieoznaczony, a dla ja- kich sprzeczny.
4. W przypadku, gdy t = 1 oraz s = 2 znaleźć roz- wiązanie ogólne powyższego układu równań oraz podać dowolne przykładowe rozwiązanie.
5. Niech K będzie ciałem oraz a, b ∈ K. Wykaż, że (−a) · b = a · (−b) oraz (−a) · (−b) = ab.
1
