Geometria z algebrą liniową I, 2019/2020 ćwiczenia 24.
9 lub 10 stycznia 2020
Zadania
1. Oblicz wyznaczniki macierzy:
3 6 0 6 3
4 5 0 4 2
5 4 3 3 2
4 3 1 2 2
1 2 1 2 1
.
2 3 0 0 0 0
3 2 3 0 0 0
0 3 2 3 0 0
0 0 3 2 3 0
0 0 0 3 2 3
0 0 0 0 3 2
.
2. (·) Oblicz wyznacznik macierzy:
0 3 6 7 7 9 2 8 3 1 0 0 5 1 0 0
.
3. (··) Niech
A =
6 1 0 4 2 0 0 0 7 0 0 1 6 0 1 0
,
B =
0 0 0 2 0 0 1 2 0 5 6 6 1 5 5 7
.
Oblicz det(A · B), det(A + B), det(A7), det(A−3· B9).
4. Niech A ∈ Mm×n(K), B ∈ Mn×m(K). Wykazać, że jeśli m > n, to det A · B = 0.
5. Obliczyć wyznaczniki następujących macierzy
n × n w zależności od parametrów s, t ∈ R.
0 1 1 1 . . . 1
1 0 s s . . . s
1 s 0 s . . . s
. . . . . . . . .
1 s s s . . . s
1 s s s . . . 0
,
2 t 0 0 . . . 0
0 2 t 0 . . . 0
0 0 2 t . . . 0
. . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . t
t 0 0 0 . . . 2
.
6. Permutacja zbioru X to bijekcja X → X. Sn
to zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, . . . , n}.
Transpozycja to permutacja τ ∈ Sn taka, że dla pewnych 0 < i < j ¬ n, τ (i) = j, τ (j) = i oraz τ (k) = k dla k 6= i, j, 0 < k ¬ n. Udowodnij, że każda permutacja jest złożeniem pewnej liczby transpozycji.
7. Permutacja jest parzysta jeśli jest złożeniem pa- rzystej liczby transpozycji, zaś nieparzysta, jeśli jest złożeniem nieparzystej liczby transpozycji.
Wykaż, że każda permutacja jest parzysta albo nieparzysta.
8. Niech A = [aij] ∈ Mn×n(K). Wykaż, że
det A = X
σ∈Sn
sgn(σ) ·
n
Y
i=1
aiσ(i),
gdzie sgn(σ) = 1 lub −1 gdy σ jest odpowiednio parzysta i nieparzysta.
9. (?) Niech A = [aij] ∈ Mn×n(K) będzie taka, że dla każdego m = 1, . . . , n oraz 1 ¬ j1 ¬ . . . ¬ jm ¬ n, wyznacznik macierzy [ajk,jl]k,l=1,...,m
wynosi zero. Udowodnij, że An = 0 oraz, że istnieje permutacja σ ∈ Sn taka, że macierz [aσ(i),σ(j)]i,j=1,...,nma wszystkie swoje niezerowe wyrazy powyżej przekątnej.
1
Praca domowa 6
1. Niech A = {(−2, 1), (−1, 1)}, B = {(3, 2), (2, −2)}, C = {(1, 0, 1, 0), (0, 0, −1, 0), (0, 2, 0, 1), (0, 1, 0, 1)} oraz niech φ, ϕ : R2→ R2 i ψ : R2→ R4 będą zadane tak, iż:
• ψ((x, y)) = (x + y, −x, −3y, −x + 2y),
• M (φ)stA=
1 1 2 0
,
• M (ϕ)BA=
−1 0
−2 3
,
Oblicz:
a) M (id)Cst, b) M (ψ)stst, c) M (ϕ)stA,
2. Dla przekształceń i baz z poprzedniego zadania, oblicz:
a) M (ψ ◦ (ϕ + 3φ))CA,
b) współrzędne wektora ψ(ϕ(v) + 3φ(v)) w bazie C, jeśli wektor v ma w bazie A współrzędne 1, 1.
3. Niech będą dane baza A = {(1, 2, 4), (1, 1, 1), (0, 0, 1)} przestrzeni R3, oraz przekształcenia ψ : R2 → R i ϕ : R3→ R2zadane wzorami ψ(y1, y2) = y1+ 2y2oraz ϕ(x1, x2, x3) = (x1− x2+ x3, 2x1+ x2− x3). Znajdź współrzędne funkcjonału ϕ∗(ψ) w bazie sprzężonej do bazy A.
4. Niech V będzie przestrzenią liniową wymiaru 3 oraz ϕ1, ϕ2∈ V∗. Czy zawsze istnieje wektor α ∈ V \ {0}
taki, że ϕ1(α) = ϕ2(α)? Odpowiedź uzasadnij!
5. Oblicz wyznacznik macierzy n × n:
1 2 0 0 . . . 0
1 3 2 0 . . . 0
0 1 3 2 . . . 0
. . . . . . . . .
0 0 0 0 . . . 3
.
2
