OPTYMALNA DYWERSYFIKACJA NA POLSKIM RYNKU INWESTYCYJNYM

(1)

ISSN 2083-8611 Nr 297 · 2016

Agata Gluzicka

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Informatyki i Komunikacji Katedra Badań Operacyjnych agata.gluzicka@ue.katowice.pl

OPTYMALNA DYWERSYFIKACJA NA POLSKIM RYNKU INWESTYCYJNYM

Streszczenie: Dywersyfikacja ryzyka jest nieodłącznym elementem każdego procesu inwestycyjnego. Jednym z powszechnie stosowanych mierników stopnia zdywersyfikowania portfela jest liczba jego składników. Jednak metoda ta powinna być stosowana jedynie w przypadku portfeli o równych udziałach. Innymi narzędziami stosowanymi do oceny stopnia zdywersyfikowania są indeksy definiowane za pomocą udziałów poszcze- gólnych walorów. Przykładem może być również indeks Herfindahla czy wykładnicza miara entropii. Jak pokazały liczne badania empiryczne, efekt dywersyfikacji jest zwią- zany z zależnością zachodzącą między korelacją a ryzykiem portfela. W artykule przedstawiono wskaźnik efektu dywersyfikacji uwzględniający taką zależność, a także model optymalizacyjny służący do konstrukcji portfeli o optymalnej dywersyfikacji. Zaprezen- towany model został zastosowany do wyznaczenia portfeli inwestycyjnych dla danych pochodzących z Giełdy Papierów Wartościowych w Warszawie.

Słowa kluczowe: dywersyfikacja, portfele najbardziej zdywersyfikowane, polski rynek inwestycyjny.

Wprowadzenie

Efekt dywersyfikacji jest jedną z własności ryzyka portfela inwestycyjnego, a głównym celem dywersyfikacji jest redukcja wielkości ryzyka. Według Mar- kowitza [1952] pojęcie „dywersyfikacja” odnosi się do związku między korela- cją i ryzykiem portfela. W podobny sposób Perold [2004] opisuje „efekt dywersyfikacji” jako wynik alokacji środków w takie aktywa, których stopy zwrotu są niedoskonale skorelowane.

(2)

Dotychczasowe prace związane z dywersyfikacją skupiały się głównie na różnych sposobach eliminacji ryzyka. Ich większość dotyczy portfeli naiwnych, czyli portfeli o równych udziałach [Evans i Archer, 1968; Newbould i Poon, 1993; Sharpe i in., 1997; Tang, 2004; Frahm i Wiechers, 2011]. Jednak efekt dywersyfikacji może być analizowany zarówno dla portfeli naiwnych, jak i dla portfeli ważonych. W wielu badaniach analizowano możliwości dywersyfikacji dla portfeli składających się ze spółek notowanych na rynkach różnych krajów lub różnych regionów, mówi się wówczas o tzw. dywersyfikacji międzynarodowej.

Problem dywersyfikacji ryzyka był również analizowany dla polskiego rynku inwestycyjnego. Obszerne badania dotyczące dywersyfikacji zostały omówione w pracach Tarczyńskiego i Łunarskiej [2004, 2006]. W pracach tych zostały przedstawione wyniki badań empirycznych przeprowadzonych z wykorzysta- niem popularnych narzędzi analizy dywersyfikacji; wprowadzone zostało rów- nież pojęcie dywersyfikacji pionowej i poziomej. Dywersyfikacja portfela może być także analizowana w kontekście dominacji stochastycznych [Reshetukha, 2005]. Najczęściej jednak analizy dotyczą wpływu stopnia dywersyfikacji na ryzyko portfela – przykłady takich analiz zostały przedstawione m.in. w pracy Welca [2010].

Najczęściej w badaniach nad efektem dywersyfikacji ryzyko portfela jest wyrażone jako odchylenie standardowe (wariancja), a zatem ryzyko portfela jest określane przez dwie charakterystyki: ważone indywidualne ryzyko instrumen- tów (odchylenie standardowe) i ważone zależności między instrumentami (ko- wariancja). Ryzyko akcji jest sumą dwóch składników: pierwszym jest ryzyko niesystematyczne (dywersyfikowalne), a drugim ryzyko systematyczne (niedywersyfikowalne). Zwiększanie dywersyfikacji portfela stopniowo eliminuje ryzyko niesystematyczne, pozostawiając jedynie ryzyko systematyczne lub ryzyko oparte na rynku.

W artykule przedstawiono wybrane metody pomiaru stopnia dywersyfikacji szeroko stosowane w badaniach empirycznych. Omówiono również nowy, w kon- tekście badań dotyczących polskiego rynku inwestycyjnego, indeks efektu dywersyfikacji, który jest również stosowany do wyznaczania tzw. portfeli najbardziej zdywersyfikowanych. W dalszej części artykułu zostały przedstawione własności głównych charakterystyk portfeli o optymalnym stopniu zdywersyfikowania. Głównym jego celem była analiza portfeli najbardziej zdywersyfikowanych konstruowanych dla danych z polskiego rynku inwestycyjnego. Wyniki z przeprowadzonych badań przedstawiono w ostatniej części.

(3)

1. Wybrane metody pomiaru stopnia dywersyfikacji

Najbardziej elementarnym podejściem pomiaru stopnia dywersyfikacji ryzyka aktywów portfela jest określenie liczby składników w portfelu. Badania empiryczne prowadzone w tym kierunku wykazały [Evans i Archer, 1968;

Fisher i Lorie, 1970], że ryzyko portfela zmniejsza się podczas zwiększania się liczby instrumentów finansowych w portfelu. Kiedy zwiększamy liczbę akcji w portfelu, całkowite ryzyko jest stopniowo obniżane, aż do momentu osiągnię- cia poziomu ryzyka, które nie może już być dalej redukowane, bez względu na dodatkowe akcje dokładane do portfela [Frahm i Wiechers, 2011]. Jednakże ta metoda pomiaru efektu dywersyfikacji może być stosowana tylko dla portfeli o równych udziałach.

Innym narzędziem wykorzystywanym do pomiaru poziomu zdywersyfikowania są macierze współczynników korelacji [Conover i in., 2002; Abraham i in., 2001]. Wysoka (niska) korelacja sugeruje niski (wysoki) poziom efektu dywersyfikacji. Ponieważ jednak macierze te są zbiorem współczynników korelacji wszystkich możliwych par aktywów danego portfela, dlatego metoda ta może być uciążliwa w praktycznym zastosowaniu.

Coraz częściej do pomiaru efektu dywersyfikacji są stosowane bardziej skomplikowane metody. Przykładem są badania, w których do ilościowego określenia efektu dywersyfikacji został zastosowany model czynnikowy i współczynnik determinacji [m.in. Sharpe, 1992]. Z kolei Mills [1996] wyko- rzystał kointegrację do pomiaru tendencji dla dwóch stacjonarnych szeregów czasowych, poruszających się wspólnie w stanie długoterminowej równoważno- ści. Inną metodą zastosowaną do ilościowego pomiaru dywersyfikacji zysku z oczekiwanych stóp zwrotu jest alokacja z portfeli bezpiecznych w portfele ulokowane na tym samym poziomie ryzyka na granicy efektywnej. Podejście to zostało przedstawione m.in. w pracach Li i in. [2003], Kandel i in. [1995]. Rudin i Morgan [2006] zaproponowali natomiast indeks dywersyfikacji portfela kon- struowany za pomocą analizy głównych składowych.

W literaturze przedmiotu są prezentowane różne indeksy, które przyjmuje się jako wskaźniki poziomu dywersyfikacji rozumianego jako poziom ryzyka możliwego do wyeliminowania. Poniżej przedstawiono wybrane indeksy najczę- ściej stosowane w badaniach empirycznych.

Według Tanga [2004] dla skończonej liczby akcji na danym rynku część maksymalnego potencjalnie dywersyfikowalnego ryzyka można określić wzorem:

( )

(

1

)

1

1 −

= − N n

N DI n

(1)

(4)

gdzie:

DI₁ – wskaźnik dywersyfikacji (część ryzyka dywersyfikowalnego portfela), n – liczba akcji w portfelu,

N – całkowita liczba akcji na rynku.

Kolejnym indeksem wykorzystywanym do oceny poziomu dywersyfikacji jest dopełnienie często stosowanej miary ekonomicznej koncentracji zwanej indeksem Herfindahla. Ten indeks dywersyfikacji jest określany następującym wzorem:

∑

=

−

=

−

= ⁿ

i

wi

HI DI

1

2 1 1 (2)

gdzie:

HI – index Herfindahla,

wi – część wartości portfela rynkowego zainwestowana w i-tą spółkę.

Dopełnienie indeksu Herfindahla jest indeksem przyjmującym wartości z przedziału [0, 1]. Portfel o zerowym indeksie jest portfelem z całkowitym bra- kiem dywersyfikacji (portfel złożony z jednej akcji), natomiast wartość indeksu równa 1 informuje o najwyższym stopniu zdywersyfikowania.

Następna miara dywersyfikacji była szeroko analizowana w pracy Marfelsa [1971]. W podejściu tym Marfels zastosował rangowanie spółek według maleją- cego udziału w portfelu (i-ta spółka pod względem wielkości udziału otrzymuje rangę i). Indeks dywersyfikacji jest określany wzorem:

1 2

1 1

1

3 −

−

=

∑

= n i

iwi

DI (3)

Do pomiaru dywersyfikacji są również stosowane indeksy opracowane na podstawie miar entropii. Jako indeks dywersyfikacji przyjmuje się miarę entropii zdefiniowaną przez Harta [1971]:

∑ ( )

=

−

= ⁿ

i

iln w

w DI

1

4 (4)

Natomiast Marfels [1971] zaproponował indeks dywersyfikacji, w którym zasto- sował „wykładniczą miarę entropii”:

∏

=

−

= ⁿ

i

i i^w w DI

2

5 1 (5)

(5)

Miara entropii jest odrębną formą od pozostałych przedstawionych indeksów dywersyfikacji, ponieważ wartości nie zawierają się w przedziale [0, 1]. Słabą stroną wszystkich wspomnianych powyżej indeksów dywersyfikacji jest fakt, że żaden z nich nie uwzględnia zależności między korelacją a ryzykiem portfela, czyli zasadniczego związku, który decyduje o stopniu zdywersyfikowania portfela.

2. Portfele optymalne pod względem dywersyfikacji i ich podstawowe własności

W dalszej części artykułu przedstawiono wskaźnik efektu dywersyfikacji, który jest przykładem nowej miary w badaniach dotyczących polskiego rynku inwestycyjnego. Miara ta jest również stosowana do wyznaczania portfeli opty- malnych ze względu na stopień zdywersyfikowania rozumianego jako część ryzyka dywersyfikowalnego.

Omówiony poniżej indeks dywersyfikacji został skonstruowany zgodnie z ideą, że efekt dywersyfikacji tkwi w różnicy między średnią ważoną odchyleń standardowych alokowanych aktywów a średnią ważoną odchyleń standardowych i korelacji wszystkich potencjalnych aktywów portfela [Cheng i Roulac, 2007; Choueifaty i Coignard, 2008].

Miara zaproponowana przez Chenga i Roulaca [2007] jest równa ilorazowi średniej ważonej odchyleń standardowych aktywów o niezerowych udziałach i odchylenia standardowego portfela:

p

DE a

σ

=σ (6)

gdzie:

σ_p – odchylenie standardowe portfela ważone przez alokacje i korelacje między stopami zwrotu pojedynczych aktywów,

σa – średnia ważona odchyleń standardowych tylko alokowanych aktywów.

Postać średniej ważonej odchyleń standardowych aktywów o niezerowych udziałach jest identyczna z formą odchylenia standardowego portfela, z wyjątkiem tego, że przyjmuje się współczynnik korelacji równy 1. Postać średniej ważonej od- chyleń standardowych alokowanych aktywów można wyrazić zależnością:

∑

=

= ⁿ

i i i

a w

1

σ

(7)

(6)

gdzie:

w_i – waga i-tej akcji,

σ_i – odchylenie standardowe i-tej akcji.

Z powyższego wzoru wynika, że współczynnik dywersyfikacji jest współ- czynnikiem średniej ważonej zmienności spółek dzielonej przezzmienność portfela. Przedstawiony współczynnik został zastosowany m.in. w analizie efektu dywersyfikacji na rynku nieruchomości, w badaniach dotyczących dywersyfikacji geograficznej [Cheng i Roulac, 2007]. Z kolei Choueifaty i Coignard [2008]

zastosowali ten współczynnik do pomiaru efektu dywersyfikacji w przypadku portfeli złożonych z różnych instrumentów finansowych. Mankamentem oma- wianego wskaźnika jest to, że przyjmuje wartości większe niż jeden. W pracach dotyczących stosowania powyższego współczynnika w badaniach empirycznych podkreśla się zatem, że współczynnik ten nie ma żadnej interpretacji odnośnie do wielkości ryzyka, jaka jest redukowana w procesie konstrukcji portfela. Wia- domo tylko, że im wyższa wartość współczynnika, tym wyższa dywersyfikacja.

Korzystając z zależności zaproponowanej przez Chenga i Roulaca, Hight [2009]

przedstawił zmodyfikowaną wersję współczynnika dywersyfikacji przy założe- niu wspomnianej wcześniej idei:

a

DE p

σ

−σ

1 = 1 (8)

W tej postaci indeks dywersyfikacji zawsze przyjmuje wartości większe niż zero i mniejsze niż jeden. Wówczas wyższe wartości wskaźnika wskazują na wyższy poziom zdywersyfikowania, natomiast niskie wartości informują o ni- skim stopniu zdywersyfikowania. Zaproponowany przez Highta współczynnik efektu dywersyfikacji wskazuje, jaka część całkowitego ryzyka może być zdy- wersyfikowana poprzez formowanie portfela.

Zdecydowana większość dotychczasowych badań była skoncentrowana głównie na eliminacji ryzyka dywersyfikowalnego. Dlatego też ryzyko niedywersyfikowalne powinno być wyeliminowane z postaci efektu dywersyfikacji.

Niedywersyfikowalne ryzyko może być wyeliminowane jako najniższe odchylenie standardowe obliczane dla spółek tworzących portfel. Efekt dywersyfikacji może być zatem obliczany jako:

( ) ( )

min DE min

p a

p p

σ σ

−

− −

2 = 1 (9)

gdzie σ_p(min) – najniższe odchylenie standardowe pomiędzy wszystkimi spół- kami tworzącymi portfel.

(7)

Za pomocą przedstawionego powyżej wskaźnika poziomu dywersyfikacji (DE) jest możliwa konstrukcja portfeli najbardziej zdywersyfikowanych (MDP – the most diversified portfolio). Portfele o optymalnym stopniu dywersyfikacji są konstruowane poprzez rozwiązanie następującego zadania optymalizacyjnego [Choueifaty i Coignard, 2008; Choueifaty, Froidure, Reynier, 2013]:

n ..., , , i dla w

w

max DE

i n

i i

p a

2 1 0

1

=

≥

=

→

=

∑

=

σ σ

(10)

Portfel najbardziej zdywersyfikowany maksymalizuje odległość między dwoma miarami zmienności portfela, tzn. odległość między średnią ważoną zmienności aktywów portfela a zmiennością całego portfela. Powyższe zadanie optymalizacyjne rozwiązujemy konstruując następujące zastępcze zadanie optymalizacyjne:

n ..., , , i dla u

u min

i n

i i i

p

2 1 0

1

=

≥

=

→

∑

=

σ σ

(11)

gdzie ui oznacza udział i-tej spółki w portfelu. Rozwiązaniem wyjściowego za- dania optymalizacyjnego jest następujący wektor wag portfela MDP:

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

∑ ∑ ∑

=

n i

i n n

i i n

i

i u

..., u , u , u u w u

1 1

2

1

1 (12)

Założenie o braku krótkiej sprzedaży (wi ≥ 0) redukuje potencjalny wpływ na błędy estymacji oraz zapewnia, że portfel będzie miał dodatnią wartość kapitału jako premię za ryzyko.

Powyższy model optymalizacyjny został dotychczas zastosowany m.in.

w badaniach porównawczych z portfelami naiwnymi czy portfelami o minimalnej wariancji. Na podstawie tych nielicznych badań empirycznych zostało usta- lonych kilka własności charakterystycznych dla portfeli najbardziej zdywersyfikowanych, które przedstawiono poniżej.

Jeśli wszystkie składniki portfela mają ten sam współczynnik Sharpe’a, to współczynnik Sharpe’a najbardziej zdywersyfikowanego portfela osiąga naj-

(8)

wyższy możliwy poziom. W przypadku gdy wszystkie potencjalne składniki portfela mają tę samą zmienność, to portfel najbardziej zdywersyfikowany jest równocześnie portfelem globalnym o minimalnej wariancji.

Dowolna spółka, która nie jest składową portfela najbardziej zdywersyfi- kowanego (MDP), jest silniej skorelowana z portfelem MDP niż spółki, które należą do portfela MDP. Ponadto wszystkie spółki należące do portfela MDP charakteryzują się tą samą wartością współczynnika korelacji z portfelem. Stąd wynika, że portfel MDP bez krótkiej sprzedaży to taki portfel, którego korelacja z dowolnym innym portfelem bez krótkiejsprzedaży jest większa lub równa ilorazowi ich współczynników dywersyfikacji, tzn.:

( ( )

^MDP

)

w

w DE w

w DE

MDP ≥

ρ

, (13)

gdzie:

DE(w) – indeks dywersyfikacji dla dowolnego portfela z założeniem o braku krótkiej sprzedaży,

DE(w^MDP) – indeks dywersyfikacji dla portfela najbardziej zdywersyfikowanego, wyznaczonego przy założeniu o braku krótkiej sprzedaży, ρ – współczynnik korelacji między portfelami.

Choueifaty i in. [2013] wykazali, że współczynnik dywersyfikacji można zdefiniować za pomocą dwóch intuicyjnych składników: współczynnika koncen- tracji portfela (CR) i średniej ważonej korelacji portfela (ρ – portfolio volatility- weighted average correlation):

DE = (ρ (1-CR) + CR)^-0,5(14) gdzie:

( )

∑

≠

= ≠ j i

j i j i

ij j

i

j i j i

w w

σ σ

ρ σ σ

ρ

oraz

( )

2 2

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∑

i i i

w w CR

σ σ

Współczynnik koncentracji (CR) jest prostą miarą koncentracji portfela, w której bierzemy pod uwagę tylko zmienności poszczególnych składników portfela. Re- dukując koncentrację z portfela, otrzymujemy wyższy stopień zdywersyfikowania portfela. Wartość współczynnika dywersyfikacji można również podwyższyć poprzez redukcję średniej ważonej korelacji portfela.

(9)

3. Empiryczna analiza portfeli o optymalnej dywersyfikacji na polskim rynku inwestycyjnym

Poniżej został przedstawiony przykład empiryczny, w którym były anali- zowane portfele najbardziej zdywersyfikowane dla danych pochodzących z GPW w Warszawie. Portfele były konstruowane za pomocą przedstawionego modelu optymalizacyjnego (10)-(12). W analizie wykorzystano dzienne stopy zwrotu lo- sowo wybranych 60 spółek. Dane z okresu styczeń 2012-grudzień 2013 posłuży- ły do konstrukcji portfeli, natomiast na podstawie danych z pierwszego kwartału 2014 roku obliczono zyski, jakich można się było spodziewać po sprzedaży ana- lizowanych portfeli. Głównym celem badania była analiza podstawowych charakterystyk portfeli najbardziej zdywersyfikowanych. W szczególności badano wpływ liczby składników oraz sposobu wstępnej selekcji spółek na wartość współczynnika dywersyfikacji, ryzyko oraz zysk portfela.

W pierwszej kolejności utworzono 3 grupy danych, w skład których wcho- dziło 40 spółek najlepszych według różnych kryteriów. Do pierwszej grupy spółki były wybierane według rosnącej wartości współczynnika korelacji. Pro- cedurę wyboru spółek rozpoczęto od obliczenia współczynników korelacji mię- dzy wszystkimi analizowanymi spółkami. Następnie wybrano dwie spółki, dla których odnotowano najniższą (ujemną) wartość korelacyjną. W kolejnym kroku analizowano współczynniki korelacji liczone między spółkami już wybranymi a pozostałymi spółkami. Jako trzecią spółkę przyjęto tę, dla której otrzymano najniższą wartość korelacji z dwoma wcześniej wybranymi składnikami. Na- stępne składniki były wybierane w podobny sposób – decydowała najniższa wartość korelacji ze spółkami już będącymi wybranymi składnikami portfela.

W drugiej grupie wybrano 40 spółek o najwyższej stopie zwrotu, które uporząd- kowano według malejącej wartości stóp zwrotu. Natomiast w trzeciej grupie spółki były dobierane według wartości ryzyka. W tym przypadku spółki uszere- gowano według malejącej wartości ryzyka. W dalszej kolejności, dla każdej grupy danych, zostały wyznaczone portfele najbardziej zdywersyfikowane. Port- fele były konstruowane przy założeniu różnej liczby składników – od 2 do 40.

Dla wyznaczonych portfeli zostały obliczone wartości współczynników dywersyfikacji (ER), średniej stopy zwrotu oraz odchylenia standardowego (tabela 1). Analizując otrzymane portfele pod względem stopnia zdywersyfikowania, najlepszym kryterium doboru spółek do portfela okazał się współczynnik korelacji. Portfele, których składniki były dobierane według korelacji, charakte- ryzują się wyższym wskaźnikiem zdywersyfikowania niż odpowiadające im portfele o tej samej liczbie składników, ale dobieranych według innych charakte-

(10)

rystyk. Głównie dla małych portfeli, liczących 2-10 składników, odnotowano znaczne różnice. Przykładowo dla portfela złożonego z 3 składników dobieranych według korelacji, wartość wskaźnika zdywersyfikowania przekracza 45%, podczas gdy odpowiadające im portfele, których składniki dobierano według wartości ryzyka czy stopy zwrotu, charakteryzują się wskaźnikiem zdywersyfikowania o 10-12% niższym. Dla portfeli o tej samej liczbie składników (więcej niż 21), ale dobieranych według różnych kryteriów, różnice między wartościami wskaźników zdywersyfikowania nie przekraczają 6%. Wartość efektu dywersyfikacji oczywiście wzrasta poprzez dodawanie kolejnych składników do portfela, a postępując w ten sposób zwiększamy część ryzyka dywersyfikowalnego. Naj- większe zmiany w poziomie dywersyfikacji otrzymujemy dla małych portfeli złożonych z 2-8 składników. W przypadku tych portfeli, po dodaniu kolejnego składnika do portfela, poziom dywersyfikacji zmieniał się nawet o 10%. Mak- symalna wartość ryzyka dywersyfikowalnego to niewiele ponad 70%. Aby osią- gnąć taki poziom w przypadku portfeli konstruowanych według współczynnika korelacji, wystarczyło 17 składników. Natomiast dla portfeli o składnikach dobieranych według odchylenia standardowego czy stopy zwrotu ryzyko dywersyfikowalne na poziomie 70% osiągnięto dopiero dla portfeli złożonych z 32 składników.

Tabela 1. Podstawowe charakterystyki portfeli najbardziej zdywersyfikowanych

Liczba spółek

Portfele konstruowane dla spółek uporządkowanych

według korelacji

według ryzyka

według stóp zwrotu ER ryzyko zysk ER ryzyko zysk ER ryzyko zysk 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 32,48% 0,0164 0,9998 25,71% 0,0147 1,0007 25,28% 0,0300 1,0027 3 45,10% 0,0140 0,9999 35,73% 0,0132 1,0007 33,22% 0,0269 1,0024 4 50,89% 0,0127 1,0001 43,90% 0,0121 1,0003 41,88% 0,0207 1,0021 5 55,62% 0,0119 1,0004 50,24% 0,0111 1,0003 47,82% 0,0190 1,0020 6 59,01% 0,0106 1,0003 54,02% 0,0105 1,0003 49,99% 0,0175 1,0018 7 60,74% 0,0104 1,0001 55,67% 0,0103 1,0004 54,49% 0,0155 1,0018 8 62,63% 0,0105 1,0003 59,06% 0,0097 1,0005 54,82% 0,0153 1,0017 9 63,73% 0,0107 1,0002 60,03% 0,0096 1,0004 56,90% 0,0131 1,0016 10 64,86% 0,0105 0,9999 61,36% 0,0094 1,0005 59,42% 0,0122 1,0015 11 66,34% 0,0107 0,9996 63,08% 0,0091 1,0005 60,32% 0,0124 1,0015 12 67,35% 0,0105 0,9997 63,99% 0,0090 1,0005 61,14% 0,0120 1,0015 13 67,92% 0,0104 0,9997 64,08% 0,0090 1,0005 62,67% 0,0114 1,0014 14 68,29% 0,0100 0,9998 64,77% 0,0089 1,0005 62,85% 0,0114 1,0014 15 68,59% 0,0100 0,9998 64,96% 0,0089 1,0005 63,97% 0,0109 1,0013 16 69,29% 0,0099 0,9998 66,37% 0,0087 1,0006 64,15% 0,0108 1,0013 17 70,05% 0,0095 1,0000 66,60% 0,0086 1,0006 64,44% 0,0105 1,0012 18 70,56% 0,0093 1,0000 67,43% 0,0085 1,0004 64,62% 0,0104 1,0012 19 70,67% 0,0093 1,0000 67,43% 0,0086 1,0004 65,00% 0,0104 1,0012 20 71,01% 0,0091 0,9999 67,45% 0,0086 1,0004 65,00% 0,0104 1,0012 21 71,09% 0,0091 0,9999 68,09% 0,0085 1,0003 65,75% 0,0100 1,0011

(11)

cd. tabeli 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 71,32% 0,0092 0,9998 68,15% 0,0085 1,0003 66,23% 0,0099 1,0011 23 71,50% 0,0091 0,9998 68,23% 0,0085 1,0003 67,17% 0,0098 1,0010 24 71,50% 0,0091 0,9998 67,38% 0,0095 1,0003 67,68% 0,0095 1,0009 25 71,54% 0,0091 0,9999 68,57% 0,0085 1,0003 67,70% 0,0095 1,0009 26 71,75% 0,0089 0,9999 68,57% 0,0085 1,0003 68,00% 0,0094 1,0009 27 71,77% 0,0089 0,9999 68,81% 0,0085 1,0002 68,24% 0,0093 1,0008 28 71,82% 0,0089 0,9999 69,26% 0,0085 1,0001 69,03% 0,0092 1,0007 29 71,82% 0,0089 0,9999 69,26% 0,0085 1,0001 69,09% 0,0092 1,0007 30 71,82% 0,0089 0,9999 69,31% 0,0085 1,0001 69,09% 0,0092 1,0007 31 71,82% 0,0089 0,9999 69,50% 0,0085 1,0001 69,45% 0,0092 1,0006 32 71,82% 0,0089 0,9999 69,50% 0,0086 1,0001 69,45% 0,0092 1,0006 33 71,83% 0,0089 0,9999 69,99% 0,0085 1,0001 70,13% 0,0089 1,0005 34 71,83% 0,0089 0,9999 70,15% 0,0086 1,0001 70,13% 0,0089 1,0005 35 71,83% 0,0089 0,9999 70,15% 0,0086 1,0001 70,24% 0,0088 1,0005 36 71,91% 0,0089 0,9999 70,59% 0,0086 1,0001 70,44% 0,0088 1,0004 37 71,91% 0,0089 0,9999 70,59% 0,0086 1,0001 70,44% 0,0088 1,0004 38 71,91% 0,0089 0,9999 70,81% 0,0086 1,0001 70,44% 0,0088 1,0004 39 71,91% 0,0089 0,9999 70,98% 0,0087 1,0000 70,81% 0,0087 1,0003 40 71,91% 0,0089 0,9999 71,03% 0,0087 1,0001 71,12% 0,0087 1,0002

Porównując otrzymane portfele pod względem wartości odchylenia standardowego, zaobserwowano, że najmniej ryzykownymi portfelami są te, których składniki były dobierane według wartości ryzyka. Z kolei najwyższe wartości odchylenia standardowego otrzymano dla portfeli o składnikach dobieranych na podstawie stóp zwrotu. Podobnie jak w przypadku analizy wartości wskaźnika zdywersyfikowania, również pod względem ryzyka największe różnice otrzymano dla portfeli o małej liczbie składników (2-7).

Analizując otrzymane portfele pod względem stóp zwrotu, zaobserwowano, że portfele, których składniki były dobierane na podstawie współczynnika korelacji, charakteryzowały się niższymi stopami zwrotu niż odpowiadające im portfele o składnikach selekcjonowanych według odchylenia standardowego czy stopy zwrotu. Należy zauważyć, że większość portfeli najbardziej zdywersyfikowanych konstruowanych w ten sposób w badanym okresie przynosiła straty.

Najwyższe stopy zwrotu odnotowano natomiast dla portfeli najbardziej zdywersyfikowanych, których składniki były dobierane według wartości stóp zwrotu.

Na rysunkach 1-4 zostały przedstawione procentowe zyski ze sprzedaży portfeli najbardziej zdywersyfikowanych o różnej liczbie składników w wybranych dniach w okresie styczeń 2014-marzec 2014. Zaobserwowano, że w przypadku portfeli o małej liczbie składników (2-8 składników) najwyższe zyski otrzymano dla tych portfeli, których składniki były dobierane według odchylenia standardowego. Najniższymi zyskami charakteryzowały się natomiast portfele skon- struowane ze spółek wybieranych według wartości stóp zwrotu. W przypadku

(12)

p z z t l d p

R

R port zna zdy tału lekc dard port

Rys

Rys tfel aczn ywe u na cjon dow tfel

s. 1.

s. 2.

li o nych

rsy ajwy

now weg

le o

Wa

Wa o w

h w fiko yżs wan go.

skł

arto

arto więk

wnio owa ze z ne n

Ty ładn

ości

ości ksze

oskó any zys na p ylko nik

zys

zys ej li

ów, ych ski o pods o w ach

sku n

sku n iczb , kt

jes odn staw w k

h do

najb

najb bie tóre st na noto

wie kilk obie

bard

bard sk e z k

ajle owa wa ku p

eran

dzie

dzie ładn kry epsz ano arto przy nych

ej zd

ej zd nik yteri ze.

dla ości ypa h w

dyw

dyw ków

ium W a du stó adk wedł

wersy

wersy w (w

m do pos uży óp z

ach ług

yfik

yfik więc

obo szc ch p zwr h n ws

kow

kow cej oru zeg por rotu ajb spół

wany

wany niż spó góln rtfel u alb

ard łczy

ych

ych ż 1 ółek nych

li, k bo dziej

ynn

por

por 0) k do

h d któr war j z nika

rtfel

rtfel nie o po dnia

rych rtoś zysk a ko

i w

i w e ot

ortf ach h sk ści kow orel

w dn

dni trzy feli

bad kład odc wne acji

niu 8

iu 5 yma

ma dan dnik chy

ok i.

8.01

.02.

ano aksy nego ki b ylen

kaz

1.20

.201 jed yma o kw były nia s zały

014

14 dno alni war y se stan y si o- ie r- e- n- ię

(13)

R

( W n z Rys

Rys

(bez W k niej zost

s. 3.

s. 4.

W z w kole j dla tałe

Wa

Wa Wart

wzgl ejny a dw e dn

arto

arto to z

lędu ych wóc ni an

ości

ości zauw

u n h dw

ch k nali

zys

zys waż na k

wóc kry izow

sku n

sku n żyć kryt ch m

teri wan

najb

najb , że teriu mie iów neg

bard

bard e w um esią w do

go o dzie

dzie w pi do cac obor okre

ej zd

ej zd ierw obor ch ta

ru s esu

dyw

dyw wsz ru s

aka spół otr

wersy

wersy zym

skła a sy

łek rzym

yfik

yfik m m adn ytua otr man

kow

kow miesi nikó acja rzym no p

wany

wany iącu ów) a już

myw pod

ych

ych u 2 to ż n wan dobn

por

por 014

po ie w no p ne w

rtfel

rtfel 4 ro

rtfe wys por wni

i w

i w oku ele

stęp rtfel

iosk dni

dni u wi prz pow le z ki.

iu 5

iu 2 ięks zyno wała

zysk .03.

6.03 szo osz a – kow

.201

3.20 ość zące

prz wne

14

014 por e str zyna . W

rtfe raty ajm W po li y.

m- o-

(14)

Podsumowanie

Podsumowując, dla portfeli z GPW w Warszawie można zredukować co najwyżej 70% ryzyka. Najwyższe wartości wskaźnika dywersyfikacji dla portfeli o optymalnej dywersyfikacji otrzymujemy konstruując portfele ze spółek wybieranych według wartości współczynnika korelacji. Z drugiej strony badania pokazały, że są to portfele o niskiej stopie zwrotu – większość tych portfeli w badanym okresie przynosiła stratę.

Najwyższy efekt dywersyfikacji otrzymano dla małych portfeli złożonych z 2-8 składników. Dla spółek o ujemnie skorelowanych stopach zwrotu metoda doboru spółek do portfeli nie wpływa znacząco na poziom dywersyfikacji. Pod względem zyskowności najlepszym rozwiązaniem jest inwestycja w małą liczbę spółek – wraz ze wzrostem liczby spółek spada wartość zysku tego portfela. Dla portfeli złożonych ze spółek dobieranych według odchylenia standardowego lub stopy zwrotu otrzymano zdecydowanie lepsze efekty jeśli chodzi o zysk niż w przypadku portfeli konstruowanych ze spółek selekcjonowanych według war- tości współczynnika korelacji.

Literatura

Abraham A., Fazal J., Seyyed A. (2001), Analysis of Diversification Benefits of Investing in the Emerging Gulf Equity Markets, “Managerial Finance”, 27 (10/11), s. 47-57.

Alekneviciene V., Alekneviciute E., Rinkeviciene R. (2012), Portfolio Size and Diversi- fication Effect in Lithuanian Stock Exchange Market, “Engineering Economics”, 23(4), s. 338-347.

Cheng P., Roulac S.E. (2007), Measuring the Effectiveness of Geographical Diversifica- tion, “Journal of Real Estate Management”, 13, s. 29-44.

Choueifaty Y., Coignard Y. (2008), Toward Maximum Diversification, “Journal of Port- folio Management”, 35, s. 40-51.

Choueifaty Y., Froidure T., Reynier J. (2013), Properties of the Most Diversified Portfo- lios, “Journal of Investment Strategies”, Vol. 2, No 2, s. 49-70.

Conover C.M., Friday H.S., Sirmans G.S. (2002), Diversification Benefits from Foreign Real Estate Investments, “Journal of Real-Estate Portfolio Management”, 8, s. 17-25.

Evans J., Archer S. (1968), Diversification and the Reduction of Dispersion, “Journal of Finance”, 23 (5), s. 761-767.

Fisher L., Lorie J.H. (1970), Some Studies of Variability of Returns on Investments in Common Stocks, “The Journal of Business”, 43 (2), s. 99-134.

Frahm G., Wiechers C. (2011), On the Diversification of Portfolios of Risky Assets,

“Seminar of Economic and Social Statistic University of Cologne”, 1/11.

(15)

Hart P.E. (1971), Entropy and Other Measures of Concentration, “Journal of the Royal Statistical Society”, 134, s. 73-85.

Hight G. (2009), A New Way to Look at Correlations: The Incremental Diversification Effect Measure, “Journal of Indexes”, s. 44-49.

Kandel S., McCulloch R., Stambaugh R. (1995), Bayesian Inference and Portfolio Effi- ciency, “Review of Financial Studies”, 8, s. 1-53.

Li K., Sarkar A., Wang Z. (2003), Diversification Benefits of Emerging Markets Subject to Portfolio Constraints, “Journal of Empirical Finance”, 10 (1), s. 57-80.

Marfels Ch. (1971), Absolute and Relative Measures of Concentration Reconsidered,

“Kyklos”, 14, s. 753-766.

Markowitz H. (1952), Portfolio Selection, “Journal of Finance”, 7, s. 77-91.

Newbould G.D., Poon P.S. (1993), The Minimum Number of Stocks Needed for Diversi- fication, “Financial Practice and Education”, 3, s. 85-87.

Perold A.F. (2004), The Capital Asset Pricing Model, “Journal of Economic Perspec- tives”, 18 (3), s. 3-24.

Reshetukha O. (2006), Dywersyfikacja portfela zgodnie z koncepcją dominacji stocha- stycznej [w:] Modelowanie preferencji a ryzyko’05, red. T. Trzaskalik, Katowice, s. 161-174.

Rudin A.M., Morgan J.S. (2006), A Portfolio Diversification Index, “The Journal of Portfolio Management”, s. 81-89.

Sharpe W. (1992), Asset Allocation: Management Style and Performance Measurement,

“Journal of Portfolio Management”, Winter, s. 7-19.

Tang G.Y.N. (2004), How Efficient Is Naive Portfolio Diversification? An Educational Note, “The International Journal of Management Science”, 32, s. 155-160.

Tarczyński W., Łuniewska M. (2004), Dywersyfikacja ryzyka na polskim rynku kapita- łowym, Wydawnictwo Placet, Warszawa.

Tarczyński W., Łuniewska M. (2006), Ograniczanie ryzyka inwestycyjnego na rynku ka- pitałowym – dywersyfikacja ryzyka pionowa i pozioma [w:] Modelowanie preferen- cji a ryzyko’05, red. T. Trzaskalik, Katowice, s. 219-228.

Welc J. (2010), Wpływ stopnia dywersyfikacji na ryzyko portfela akcji na przykładzie wybranych strategii kontrariańskich [w:] Prace Naukowe Uniwersytetu Ekono- micznego we Wrocławiu, nr 117, “Inwestycje finansowe i ubezpieczenia – tenden- cje światowe a polski rynek”, Wrocław, s. 441-449.

THE OPTIMAL DIVERSIFICATION ON THE POLISH INVESTMENT MARKET

Summary: Each investment is associated with the risk. The main goal of the investor is allocate the capital in that way to reduce the non-systematic (diversified) risk. The term

„diversification effect” refers to the relationship between correlations and portfolio risk.

(16)

About the diversification effect we can talk when capital is allocated to the assets whose returns have imperfect correlations. In this paper will be presented the new index of diversification which can be applied to construction the most diversified portfolios. Some properties of these type portfolios will be discussed. Presented methods will be applied to selection the most diversified portfolios on the Polish investment market.

Keywords: diversification, most diversified portfolio, Polish investment market.