1 (Wymiana). Każdy z dwóch graczy otrzymuje los z loterii. Na każdym z losów napisany jest numer ze skończonego zbioru S ⊆ [0, 1]. Numer to wysokość wygra- nej. Obie wysokości wygranej są identycznie i niezależnie rozłożone z rozkładem z dystrybuantą F . Każdy graczy jest pytany (niezależnie i jednocześnie) czy chce się wymienić losem z drugim graczem (przed zrealizowaniem nagrody). Jeżeli obaj gracze wyrażą chęć wymiany, to do niej dochodzi. Jeżeli nie to każdy pozostaje ze swoim oryginalnym losem. Każdy z graczy maksymalizuje oczekiwaną wypłatę.
(a) Przedstaw formalny model tej gry jako gry z niepełną informacją.
(b) Znajdź wszystkie równowagi Bayesowskie tej gry (c) Znajdź wszystkie równowagi Ex post tej gry
2 (Więcej informacji może być szkodliwe). Skonstruuj grę w której więcej informacji jest szkodliwe. Niech gra ma dwóch graczy, gdzie gracz 1 ma pełną in- formację o świecie zaś gracz 2 nie (w jednym wariancie) oraz tak (w wariancie z którym będziemy się porównywać). Gra ma mieć unikalną równowagę Bayesowską (zarówno w wariancie, gdzie gracz 2 jest częściowo jak i w wariancie, gdzie jest w pełni poinformowany). W wariancie, gdzie obaj gracze są w pełni poinformowanie gracz 2 ma mieć niższą wypłatę niż gdy ma niepełną informację.
Wskazówki: To zadanie może nie być łatwe. Poniżej znajduje się rozwiązanie z książki Osborne’a i Rubinstein’a, z której zadanie pochodzi.
Rozważmy następującą grę z niepełną informacją. Jest dwóch graczy, 1 i 2, ze zbiorami strategii S1 = {U, D} oraz S2 = {L, M, R}. Gracz 1 może być jednego z dwóch typów, Θ1 = {t1, t2}, zaś gracz 2 jest zawsze tego samego typu. Obaj gracze mają przekonania, że oba typy gracza 1 są równoprawdopodobne. Wypłaty graczy są następujące (ε ∈ (0, 1/2)):
L M R
U 1, 2ε 1, 0 1, 3ε D 2, 2 0, 0 0, 3
L M R
U 1, 2ε 1, 3ε 1, 0 D 2, 2 0, 3 0, 0
3 (Walka o wyspę).
Generałowie A i B walczą o wyspę, która jest początkowo we władaniu generała B. Generał A ma początkowo a batalionów zaś generał B ma początkowo b batalio- nów (a i b są dodatnimi liczbami całkowitymi). W każdej rundzie gry generał który nie włada wyspą podejmuje decyzję czy zaatakować drugiego generała czy wybrać pokój. W przypadku ataku każdy z generałów traci po jednym batalionie wojska.
1
Napastnik przejmuje kontrolę nad wyspą, jeżeli zostaniu mu co najmniej jeden ba- talion wojska. Każdy z generałów maksymalizuje liczbę batalionów wojska, które pozostaną w jego posiadaniu, przy czym władanie wyspą jest równe wartości dwóch batalionów. Jeżeli na końcu gry każdy z graczy ma 0 batalionów, obaj dostają wy- płatę zero. Proszę zdefiniować opisaną interakcję jako grę (w postaci ekstensywnej) i znaleźć wszystkie jej równowagi doskonałe w podgrach. Czy ta gra ma równowagę Nasha, która nie jest równowagą doskonałą w podgrach? Jeżeli tak, podaj przykład takiej równowagi
2
