C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. LXII 1991 FASC. I

VOL. LXII 1991 FASC. I

SUR CERTAINS SOUS-GROUPES DE R LI ´ ES ` A LA SUITE DES FACTORIELLES

PAR

JEAN-PIERRE B O R E L (LIMOGES)

§1. Pr´ esentation des r´ esultats

1.1. Soit U = (u n ) n≥0 une suite croissante (au sens large), vers +∞, d’entiers naturels. Si kyk d´ esigne la distance du nombre r´ eel y ` a l’entier le plus proche, on peut associer ` a la suite U un sous-groupe de R, en consid´erant

G(U ) := {x ∈ R : lim

n→∞ kxu _n k = 0} .

Pour certains types particuliers de suites U , le sous-groupe G(U ) a des propri´ et´ es particuli` eres, concernant sa taille (d´ enombrabilit´ e, dimension de Hausdorff, etc...) : voir par exemple [EGG] et [ERD]. Dans tous les cas, c’est un sous-groupe mesurable de R, donc de mesure nulle s’il est propre.

1.2. Soit G la famille de tous les sous-groupes de R de la forme G(U ) pour une certaine suite U . Dans [BOR], j’ai montr´ e que tout sous-groupe d´ enombrable de R, et contenant Z, appartient `a G. Cependant, le “d´enom- brable” n’est pas n´ egligeable par rapport ` a l’appartenance ` a G. Plus pr´ eci- s´ ement, si hG, ξi d´ esigne le sous-groupe de R engendr´e par G ∪ {ξ}, nous obtenons :

Th´ eor` eme 1. Il existe G ∈ G et ξ ∈ R tels que hG, ξi 6∈ G.

1.3. Il est possible de pr´ eciser le rˆ ole des op´ erations usuelles sur les groupes vis-` a-vis de G. Par exemple, G est clairement stable par intersection finie. Il n’est cependant pas stable pour l’addition des sous-groupes : en effet, hG, ξi = G + hξi, et hξi ∈ G d’apr` es [BOR]. Le th´ eor` eme 1 fournit donc un contre-exemple ` a cette propri´ et´ e.

1.4. G permet de d´ efinir une op´ eration sur l’ensemble des sous-groupes de R, par

G := \ G ⁰ ,

intersection portant sur tous les G ⁰ ∈ G qui contiennent G. Les propri´ et´ es suivantes sont imm´ ediates:

G 1 ⊂ G ₂ ⇒ G ₁ ⊂ G ₂ , G ∈ G ⇒ G = G, G = G .

Th´ eor` eme 2. Il existe un sous-groupe G de R tel que G 6∈ G , G 6= R.

Cela entraˆıne en particulier que G n’est pas stable par inclusion.

1.5. Les ´ el´ ements de G sont des sous-groupes satur´ es de R (voir [MEL1]

pour la d´ efinition de cette propri´ et´ e). En effet, si µ est une probabilit´ e concentr´ ee sur G(U ), µ(u n ) tend vers 1. La non stabilit´ e de G par inclusion entraˆıne qu’il existe des sous-groupes satur´ es de R qui n’appartiennent pas

`

a G (un sous-groupe d’un groupe satur´ e est lui aussi satur´ e, ce qui est imm´ ediat ` a montrer).

1.6. Enfin, il peut ˆ etre not´ e que G n’a pas d’´ el´ ement maximal. Plus pr´ ecis´ ement, pour tout ξ ∈ R et G ∈ G, le sous-groupe hG, ξi est propre.

Si G = G(U ), il suffit de prendre une sous-suite u k telle que u k ξ a une limite modulo 1. Soit V la suite croissante des u k

− u _k (ces termes ´ etant cons´ ecutifs dans la sous-suite); on a alors hG, ξi ⊂ G(V ).

§2. Groupes contenant G((n!))

2.1. Dans toute la suite, G 1 d´ esignera le sous-groupe G((n!)). Tout nombre r´ eel x s’´ ecrit, de fa¸con unique, sous la forme

(1) x = [x] +

∞

X

p=1

b p

(p + 1)! , 0 ≤ b p ≤ p, b _p ∈ N,

avec la condition b p 6= p pour une infinit´ e de valeurs de p. On a alors (2) x ∈ G 1 ⇔ min{b _p , p − b p } = o(p) .

Il est cependant plus utile ici de consid´ erer l’´ ecriture li´ ee au choix de l’entier le plus proche (et de [x] si {x} = 1/2) plutˆ ot qu’` a la partie enti` ere. D’o` u une ´ ecriture de la forme

(3) x = entier +

∞

X

p=1

a p

(p + 1)! , |a _p | ≤ p + 1

2 , a p ∈ Z .

Sous cette forme, il n’y a plus unicit´ e. Cela ne pose pas de probl` eme pour la suite, dans la mesure o` u l’unicit´ e d’une telle ´ ecriture n’intervient pas. On a alors

(4) x ∈ G 1 ⇔ a _p = o(p) .

2.2. Le r´ esultat qui est ` a la base de ce travail est une caract´ erisation des suites U telles que G(U ) contienne G 1 . Pour cela, on remarque que tout nombre entier u peut s’´ ecrire

(5) u =

K

X

k=1

r k k! , |r _k | ≤ k + 1

2 , r k ∈ Z, r K > 0,

´

ecriture qui n’est pas en g´ en´ eral unique.

Proposition 1. Soit U une suite telle que G 1 ⊂ G(U ). Alors il existe une suite j = j(n) born´ ee par J , telle que l’on peut ´ ecrire

(6) u n = k j,n ! ± k j−1,n ! ± . . . ± k 1,n ! avec (7) k 1,n ≤ . . . ≤ k _j,n , lim

n→∞ k 1,n = +∞ .

Cela donne donc une caract´ erisation des suites U telles que G 1 ⊂ G(U ).

En effet, si u n a la forme donn´ ee en (6) et si x est ´ ecrit sous la forme (3), on a kxu n k ≤

j

X

i=1

kxk i,n !k ≤

j

X

i=1

 a k

k i,n + 1 + o(1)



≤

 ^j X

i=1

a k

k i,n + 1



+ o(1) , qui tend vers 0 lorsque x ∈ G 1 , d’apr` es (4), puisque les k i,n tendent vers +∞ et j est born´ e. Une premi` ere version de ce r´ esultat, sous une forme incompl` ete, est parue dans [BOR].

2.3. D ´ e m o n s t r a t i o n d e l a p r o p o s i t i o n. On ´ ecrit u n sous la forme (5), c’est-` a-dire

u n =

K

X

k=1

r k,n k! , |r _k,n | ≤ k + 1 2 .

Il s’agit alors de montrer que si les conditions (7) ne sont pas satisfaites, alors il existe x appartenant ` a G 1 , mais pas ` a G(U ).

C a s 1. On suppose qu’il existe une suite k = k(n) ≤ K n telle que lim n→∞ |r k,n | = +∞. En prenant une sous-suite de U (ce qui grossit le sous-groupe G(U ), donc ne pose pas de probl` eme pour la d´ emonstration), on peut supposer que l’on travaille avec une suite telle que k croˆıt avec n, ainsi que r k,n , et k(n) ≥ K n−1 + 2.

On construit alors une suite d’entiers a p de proche en proche, en par- tant de a p = 0 pour p ≤ K 0 . Supposons a p connu pour p ≤ K n−1 , ce qui d´ etermine donc le nombre r´ eel

(8) x n−1 := X

p≤K

a p

(p + 1)! . Trois sous-cas sont alors ` a ´ etudier :

(i) Si kx n−1 u n k ≥ 1/4, on pose a _p = 0 pour K n−1 + 1 ≤ p ≤ K n (il est

`

a noter que u n croˆıt avec n, donc aussi K n ).

(ii) Si 0 ≤ {x n−1 u n } < 1/4, on pose a _p = 0 pour K n−1 + 1 ≤ p ≤ K n , p 6= k = k(n). D’autre part, |r k,n |/(k + 1) < 1/2, et il existe donc un entier m tel que

(9) {x _n−1 u n } + m |r _k,n |

k + 1 ∈ [1/4, 3/4] .

On choisit alors m minimal v´ erifiant (9), et on pose a k := m sgn r k,n . On a alors

x n u n = x n−1 u n + a k

(k + 1)!

K

X

p=1

r p,n p!

= x n−1 u n + a k r k,n

k + 1 + a k

(k + 1)!

K

X

p=1

r p,n p! , ce qui donne

x n u n = x n−1 u n + m |r _k,n |

k + 1 + a k

(k + 1)!

K

X

p=1

r p,n p! . Or on a les majorations suivantes :

K

X

p=1

r p,n p! ≤ 1 2

K

X

p=1

(p + 1)! ≤ (K n−1 + 1)! ,

|a _k | (k + 1)! = 1

k! · m

k + 1 ≤ 1 k!|r k,n |

 3

4 − {x _n−1 u n }



≤ 1

2k!|r k,n | ≤ 1 2k!

≤ 1

2(K n−1 + 2)! , ce qui entraˆıne donc

{x _n u n } ∈ [1/4 − ε _n , 1/4 + ε n ] avec ε n = 1 2(K n−1 + 2) .

(iii) Si 3/4 < {x n−1 u n } < 1, le raisonnement est analogue ` a (ii), le seul changement concerne l’entier m : les entiers v´ erifiant (9) sont ici n´ egatifs, et on prend m maximal v´ erifiant (9). Le reste est sans changement, en particulier l’encadrement de {x n u n }.

On a donc d´ efini une suite infinie (a p ) p≥0 . Les seuls a p non nuls corres- pondent ` a p = k = k(n) n´ ecessairement, et on a alors

a p = a k = O ((k + 1)/|r k,n |) = o(k + 1)

puisque |r k,n | tend vers +∞. Cela permet donc de d´ efinir un nombre r´ eel x par

(10) x :=

∞

X

p=0

a p

(p + 1)! ,

et x ∈ G 1 , d’apr` es (4). D’autre part, pour tout entier n, on a xu n = x n u n +

 ^∞

X

p=K

+2

a p

(p + 1)!



u n car k(n + 1) ≥ K n + 2

= x n u n + O

 1

(K n + 2)! (K n + 1)!



= x n u n + o(1) .

Comme kx n u n k ne tend pas vers 0, il en est de mˆ eme pour kxu n k. Donc x 6∈ G(U ), et la conclusion dans ce cas.

C a s 2 . Les |r k,n | sont born´ es par R, et lim n→∞ P K

k=1 |r _k,n | = +∞.

On peut extraire de U une sous-suite U ⁰ telle que K _n ⁰ (associ´ e ` a u ⁰ _n ) croisse avec n et telle que

(11)

K

X

k=K

+1

|r ⁰ _k,n | ≥ 3n + 2R ,

puis de U ⁰ une nouvelle suite U ⁰⁰ telle que K _n ⁰⁰ ≥ n ² . La propri´ et´ e (11) reste donc valable pour U ⁰⁰ .

Comme dans le cas 1, rempla¸cons U par U ⁰⁰ , not´ ee maintenant U (cela n’est pas gˆ enant pour la d´ emonstration). On a alors K n ≥ n ² , et il existe un ensemble K = K n = {k 1 , . . . , k m } avec m = m(n), tel que

(12)

K n−1 + 3 ≤ k 1 , k i + 3 ≤ k i+1 (1 ≤ i ≤ m − 1) , k m ≤ K _n ,

∀k ∈ K, r _k,n 6= 0, X

k∈K

|r _k,n | ≥ n .

Cette derni` ere propri´ et´ e entraˆıne donc n/R ≤ m. On peut de plus supposer que m ≤ n, en rempla¸ cant au besoin K par un sous-ensemble adapt´ e. Les propri´ et´ es (12) sont alors encore v´ erifi´ ees. Comme dans le cas 1, on cherche

`

a construire de proche en proche une suite d’entiers a p . On choisit encore a p = 0 si p ≤ K 0 .

Supposons maintenant a p connu pour p ≤ K n−1 , et x n−1 d´ efini par (8).

Les mˆ emes trois sous-cas apparaissent.

(i) Si kx n−1 u n k ≥ 1/4, on pose a _p = 0 pour K n−1 + 1 ≤ p ≤ K n . (ii) Si 0 ≤ {x n−1 u n } < 1/4, on pose

a p =







 p + 1 2mr p,n



si p ∈ K = K n ,

0 si p 6∈ K et K n−1 + 1 ≤ p ≤ K n , ce qui donne x n u n = x n−1 u n−1 + Σ 1 + Σ 2 + Σ 3 avec

Σ 1 := X

k∈K

 k + 1 2mr k,n

 r k,n

k + 1 , Σ 2 := X

k∈K

 k + 1 2mr k,n

 1

(k + 1)!

X

p<k

r p,n p!

 ,

Σ 3 := X

k∈K

 k + 1 2mr k,n

 X

p>k

r p,n

p!

(k + 1)!



.

Il est clair que Σ 3 est un nombre entier, et que l’on a

|Σ ₂ | ≤ R 2m

X

k∈K

 1 k!

X

p<k

p!



 1 m

X

k∈K

1

k ≤ 1

K n−1 + 3 = o(1) , 

Σ 1 − 1 2    

=    

X

k∈K

 k + 1 2mr k,n

 r k,n

k + 1    

≤ R X

k∈K

1

k  m

K n−1

≤ n

K n−1

= o(1) . Cela entraˆıne donc {x n u n } = {x _n−1 u n } + 1/2 + o(1) et donc, pour n assez grand,

(13) kx _n u n k ≥ 1/5 .

(iii) Si 3/4 < {x n−1 u n } < 1, la m´ ethode est analogue, en posant cette fois a p = −

 p + 1 2mr p,n



lorsque p ∈ K.

La minoration (13) est ici aussi valable pour n assez grand.

Comme m tend vers +∞ avec n (m ≥ n/R) , a p = o(p) dans tous les cas.

Comme dans le cas 1, (10) d´ efinit donc un nombre r´ eel x qui appartient ` a G 1 . D’autre part, deux a p cons´ ecutifs non nuls ont des indices qui diff` erent au moins de 3. Comme dans le cas 1, on a donc

xu n = x n u n + o(1) , et comme kx n u n k ne tend pas vers 0, x 6∈ G(U ).

2.4. Donc, si G 1 ⊂ G(U ) , u _n s’´ ecrit sous la forme (6), avec j born´ e. Il reste donc ` a d´ emontrer que k 1,n tend vers +∞ avec n. Cela se d´ emontre par r´ ecurrence sur J = max(j(n)).

Si J = 1, le r´ esultat est clair puisque k 1,n ! = u n tend vers +∞.

Si J ≥ 2, on pose

u ⁰ _n =  u _n si j(n) = 1,

|u _n − k _j,n !| si j(n) ≥ 2.

La suite U ⁰ ainsi construite v´ erifie donc J ⁰ = J − 1. Comme u n tend vers +∞, il en est de mˆ eme pour k j,n !, donc pour k j,n . On a donc

x ∈ G 1 ⇒ lim kxu _n k = 0 x ∈ G 1 ⇒ lim kxk _j,n !k = 0

)

⇒ lim kxu ⁰ _n k = 0 .

Donc u ⁰ _n tend vers +∞ (sinon G(U ⁰ ) est au plus d´ enombrable, alors que G 1 ne l’est pas d’apr` es (2) ou (4)); on peut la r´ eordonner pour la rendre croissante et en conservant la propri´ et´ e G 1 ⊂ G(U <sup>0</sup> ). Donc par hypoth` ese de r´ ecurrence, k _1,n ⁰ tend vers +∞. La suite des k _1,n ⁰ ´ etant la suite des k 1,n

`

a l’ordre pr` es, on obtient donc bien

n→∞ lim k 1,n = +∞ .

Cela termine la preuve de la proposition.

2.5. Il est possible d’am´ eliorer ce r´ esultat, en construisant dans les cas 1 et 2 un nombre r´ eel x 6∈ G(U ), et tel que la s´ erie

∞

X

p=1

(a p /p) ²

converge : pour cela, il suffit de prendre beaucoup plus de a p nuls, de fa¸ con

`

a assurer la convergence de la s´ erie, et en passant une infinit´ e de fois par les cas (i), (ii) on (iii), ce qui assure alors que kxu n k ne tend pas vers 0. Si on note H 1 le sous-groupe de R form´e par tous les nombres r´eels x tels que la s´ erie de terme g´ en´ eral kxn!k ² converge, cela se traduit donc par le r´ esultat suivant, plus fort que la proposition 1 :

Proposition 2. Soit U une suite telle que H 1 ⊂ G(U ). Alors on peut ´ ecrire u n sous la forme (6), avec j born´ e, et les conditions (7) ´ etant satisfaites.

H 1 est un sous-groupe de type H 2 , introduit par M´ ela, [MEL2]. Ces sous-groupes sont satur´ es, ce qui donne donc un exemple de sous-groupe satur´ e qui n’appartient pas ` a G : en effet, H 1 = G 1 d’apr` es la proposition 2, et H 1 6= G ₁ . Donc H 1 6∈ G.

§3. Applications

3.1. Revenons au d´ eveloppement donn´ e en (1). Dans ce qui suit, lim ^∗ signifie limite lorsque l’on consid` ere les quantit´ es comme ´ el´ ements du tore R/Z. La propri´ et´ e (2) s’´ ecrit

G 1 = {x ∈ R : lim ^∗

n→∞ b n /n = 0 . Dans ce qui suit, je consid´ ererai:

• le sous-groupe de R, G 2 := {x ∈ R : lim ^∗ n→∞ b n /n existe} ;

• les suites U ^(q) , q ≥ 1 entier fix´ e, suites croissantes de tous les entiers de la forme soit qn!, soit n! − (n − 1)! , n parcourant N ;

• les nombres r´ eels ζ c := P ∞ n=0

[nc]

(n+1)! , avec 0 < c < 1.

3.2. Soit G c le sous-groupe hG 1 , ζ c i engendr´ e par G 1 ∪ {ζ _c }.

Proposition 3. Si c est rationnel , soit c = p/q avec (p, q) = 1, alors G c = G(U ^(q) ); si c est irrationnel , G c = G 2 .

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons c = p/q. On a alors kqn!ζ _c k =

q n

 n p

q

 + o(1)

= kp + o(1)k = o(1)

et

kn!ζ c − (n − 1)!ζ c k = p

q + o(1) − p q + o(1)

= o(1) , ce qui entraˆıne ζ c ∈ G(U ^(q) ) et donc G c ⊂ G(U ^(q) ).

Soit maintenant x un ´ el´ ement de G(U ^(q) ), et consid´ erons le d´ eveloppe- ment de x donn´ e en (1). Alors kqn!xk tend vers 0, c’est-` a-dire que qb n /n tend vers 0 dans le tore. On peut donc ´ ecrire

qb n = ni n + nε n avec i n ∈ N et ε n tendant vers 0 . On a donc

o(1) = kn!x − (n − 1)!xk = i n + ε n

q − i n−1 + ε n−1

q + o(1) ,

d’o` u i n − i <sub>n−1</sub> = o(1), c’est-` a-dire que la suite (i n ) est stationnaire. Donc i n = i pour n ≥ n 0 ≥ q, et si p ^∗ est un inverse de p modulo q, on a

lim ^∗

n→∞

[np/q]

n = p

q , lim ^∗

n→∞

b n

n = i q , et donc

(14) lim ^∗

n→∞

b n − ip ^∗ [np/q]

n = 0 .

Si on pose a n = b n − ip ^∗ [np/q], la condition |a n |  n et la propri´et´ e (14) entraˆınent que la s´ erie P a n /(n + 1)! appartient ` a G 1 . Donc x − ip ^∗ ζ c ∈ G 1 , et x ∈ G c .

Supposons maintenant c irrationnel. Si G(U ) contient G c , u n a la forme donn´ ee par la proposition 1. D’autre part, kζ c u n k tend vers 0. On a donc, en reprenant les notations (6) de la proposition 1,

kk _i,n ζ c k = c + o(1)

(d’apr` es la forme de ζ c , et car k i,n croˆıt vers +∞), d’o` u, dans le tore, o(1) = ζ c u n ≡

j(n)

X

i=1

±k _j,n ! ζ c ≡ 

j(n)

X

i=1

±c  + o(1)

car j est born´ e. Puisque c est irrationnel, cela n’est possible que si, pour n assez grand, on a

(15)

j(n)

X

i=1

±1 = 0 ,

les ± ´ etant les signes intervenant dans (6). Si on prend x ∈ G 2 − G 1 , et si on consid` ere son d´ eveloppement donn´ e par (1), on a dans le tore

xn! ≡ b n /n + o(1) = ` + o(1) avec ` = lim ^∗ b n /n ∈ ]0, 1[ ,

d’o` u

xu n ≡

j(n)

X

i=1

(±` + o(1)) = o(1)

car j est born´ e. Donc x ∈ G(U ). On a donc montr´ e que G 2 ⊂ G(U ), d’o` u G 2 ⊂ G _c .

Il reste ` a montrer l’inclusion inverse.

Lemme. G 2 = G 2 .

D ´ e m o n s t r a t i o n. Soit y 6∈ G 2 , et (b n ) son d´ eveloppement associ´ e donn´ e en (1). Alors b n /n n’a pas de limite dans le tore, donc il existe deux suites disjointes n 1 = n 1 (k) et n 2 = n 2 (k) telles que

0 ≤ ` 1 = lim ^∗

k→∞ b _n

_(k) /n 1 (k) < ` 2 = lim ^∗

k→∞ b _n

_(k) /n 2 (k) < 1 .

Pour k donn´ e, soit k ⁰ = k ⁰ (k) le plus petit indice tel que n 2 (k ⁰ ) ≥ n 1 (k) + 1.

Soit U la suite croissante de tous les entiers n 2 (k ⁰ )! − n 1 (k)!, k d´ ecrivant N.

Alors U croˆıt vers +∞, et on a

G 2 ⊂ G(U ) car n 2 (k ⁰ ) et n 1 (k) tendent vers + ∞ avec k ; y 6∈ G(U ) car lim

m→∞ kyu _m k = ` <sub>2</sub> − ` ₁ > 0 .

Donc y 6∈ G 2 . Cela montre donc que G 2 ⊂ G ₂ , d’o` u l’´ egalit´ e G 2 = G 2 . Mais il est clair que ζ c ∈ G <sub>2</sub> , donc G c ⊂ G <sub>2</sub> , d’o` u la mˆ eme inclusion pour leur adh´ erences : G c ⊂ G 2 = G 2 . Cela termine la d´ emonstration de la proposition 3.

3.3. Lorsque c est irrationnel, l’adh´ erence de G c est bien plus grosse que G c . Plus pr´ ecis´ ement, on a

G 2 /G c ' R/h1, ci . Proposition 4. G ² 6∈ G.

D ´ e m o n s t r a t i o n. Supposons qu’il existe une suite U telle que G(U ) = G 2 . Donc G(U ) contient G 1 , et U peut s’´ ecrire sous la forme (6).

On peut alors construire de proche en proche une suite d’entiers p m , comme suit : p 0 = 0; si p m est connu, p m+1 est construit de la fa¸ con suivante : puisque k 1,n

tend vers +∞ avec n ⁰ , il existe n minimal tel que

∀n ⁰ ≥ n , k 1,n

≥ p _m , et on pose alors p m+1 = k j,n + 1.

Pour tout entier n, l’intervalle [k 1,n , k j,n ] rencontre au plus deux inter- valles [ p m , p m+1 ], alors n´ ecessairement cons´ ecutifs. Posons

x =

∞

X

n=0

a n

(n + 1)! avec a n = n{Log m} pour p m < n ≤ p m+1 .

Il est clair que x 6∈ G 2 , puisque {Log m} n’a pas de limite.

D’autre part, lorsque n tend vers +∞, on a dans le tore xu n ≡

j

X

i=1

± a k

k i,n

+ o(1) ≡

j

X

i=1

± Log m _i,n + o(1) .

D’apr` es la construction des a n , m i,n prend pour n fix´ e au plus deux valeurs, soit m n et m n + 1. D’o` u

xu n ≡

j

X

i=1

± Log m _n + O(J Log(1 + 1/m n )) + o(1) .

Comme m n tend vers +∞, le terme en O est un o(1). De plus, G(U ) contient G 2 , et donc en utilisant (15), on a

j

X

i=1

± Log m _n = (Log m n )

j

X

i=1

±1 = 0 . Donc x ∈ G(U ), et G 2 6= G(U ).

3.4. Les th´ eor` emes 1 et 2 se d´ eduisent imm´ ediatement des propositions 3 et 4, qui entraˆınent respectivement hG 1 , ζ ^√ ₂₋₁ i 6∈ G et hG ₁ , ζ ^√ ₂₋₁ i 6∈ G.

BIBLIOGRAPHIE

[BOR] J.-P. B o r e l, Sous-groupes de R li´es ` a la r´ epartition modulo 1 de suites, Ann.

Fac. Sci. Toulouse 5 (1983), 218 –235.

[EGG] E. H. E g g l e s t o n, Sets of fractional dimensions which occur in some problems of number theory , Proc. London Math. Soc. (2) 54 (1952), 42–93.

[ERD] P. E r d ˝ o s and S. J. T a y l o r, On the set of points of convergence of a lacunary trigonometric series and the equidistribution properties of related sequences, ibid. 7 (1957), 598–615.

[MEL1] J.-F. M ´ e l a, Groupes de valeurs propres des syst` emes dynamiques et sous- groupes satur´ es du cercle, C. R. Acad. Sci. Paris 296 (1983), 419–422.

[MEL2] —, Sous-groupes remarquables du cercle en analyse harmonique et en th´ eorie ergodique, Groupe de travail de th´ eorie ergodique, CIRM Luminy, septembre 1988.

FACULT ´ E DES SCIENCES UNIVERSIT ´ E DE LIMOGES 123, AVENUE ALBERT THOMAS F-87060 LIMOGES CEDEX FRANCE

Re¸ cu par la R´ edaction le 16.3.1990