ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 150
2008 N r k o l. 1796
W o jc ie c h B O Ż E J K O P o lite c h n ik a W ro cła w ska
M a c ie j W A L C Z Y Ń S K I, M ie c z y s ła w W O D E C K I U n iw e rs y te t W ro c ła w s k i
P R O B L E M D Y S T R Y B U C J I Z T E R M I N A M I D O S T A W
S treszczenie. W p ra cy przedstaw iono a lg o ry tm o pa rty na m etodzie p rze szu ki
w an ia z tabu, ro z w ią z y w a n ia p ro b le m u d y s try b u c ji z te rm in a m i dostaw. Jest on ró w n o w a ż n y pew nem u jed no m aszyn ow e m u p ro b le m o w i szeregowania, k tó ry w lite ra tu rze je s t oznaczany przez l|s i,|£w ,T; i należy do kla sy p ro b le m ó w s iln ie N P -tru d n ych . W y ko n a n o o bliczen ia na reprezentatyw nej g ru pie danych, a otrzym ane w y n ik i porów nano z n ajlep szym i znanym i w literaturze.
D IS T R I B U T IO N W I T H D U E D A T E S P R O B L E M
S u m m a ry . A tabu search a lg o rith m is proposed in the paper to solve a d is trib u tio n p ro b le m w ith due dates. It is equ iva len t to a single m achine scheduling p ro ble m , w h ic h is described b y l|Sy|£w/7) in the literature and it belongs to s tro n g ly N P -ha rd class. C alculations w ere done on representative group o f test instances, obtained results w ere com pared to the best kn ow n solutions fro m the literature.
1. W p ro w a d z e n ie
Jedną z d y na m iczn ie ro z w ija ją c y c h się dziedzin gospodarki je s t p rzem ysł sp ożyw czy zw iąza ny z p ro d u k c ją w y ro b ó w bez ko nse rw a ntó w o k ró tk im okresie przydatności do spożycia. Są to p ro d u k ty niem agazynow ane, któ re producent bezpośrednio dostarcza do o db io rcy. Stosowane są tam bardzo rygo rystyczne n o rm y i standardy dotyczące procesu p ro d u k c ji, k tó ry często je s t w p e łn i zdeterm inow any przez technologię. Stąd obniżenie ko sztów może nastąpić g łó w n ie przez optym aliza cję d y s try b u c ji. T y m bardziej że czasam i s ta no w ią one naw et k ilk a d z ie s ią t procent o g ó ln ych k o sztó w p ro du ktu . P row adzi to do interesujących, ale i tru d n ych p ro ble m ó w o p ty m a liz a c y jn y c h bazujących na is to tn y c h uog ólnie nia ch klasycznego problem u ko m iw ojażera.
W pra cy ro zp a tru je m y p ro ble m , w k tó ry m należy je d n y m kursem rozw ieźć pew ien p ro d u k t z m agazynu do w ie lu o db io rców . Znane są czasy przejazdu pom iędzy m agazynem a ka żdym z o d b io rc ó w oraz p o m ię d zy o db io rcam i. Ze w zglę du na specyfikę p ro d u ktu (czas niezbędny na rozprow adzenie), należy go dostarczyć do
o d b io rc y przed z g ó ry u sta lo n ym te rm in e m dostaw y. W p rzyp a d ku je g o przekroczenia naliczana je s t kara za spóźnienie. N a le ż y ta k zaplanow ać trasę pojazdu, aby dostarczyć p ro d u k t każdem u z o db io rc ó w , a suma e w e ntua ln ych k a r b y ła m in im a ln a . W dalszej części p rze d sta w im y a lg o ry tm ro z w ią z y w a n ia opisanego p ro b le m u o pa rty na m etodzie p rze szukiw an ia z tabu ( Tabu Search, w skrócie TS). W je g o k o n s tru k c ji zastosowano m eto dy przeglądu pośredniego, e lim in u ją c e naw et do 50% elem entów otoczenia generowanego przez klasyczne ru c h y ty p u w s ta w {insert). E ksp erym en ty o b lic z e n io w e w ykon an o, ko rzystając z danych re fe re n c y jn y c h zam ieszczonych na stron ie [5 ], a otrzym ane w y n ik i porów nano z w y n ik a m i najlepszych obecnie znanych a lg o ry tm ó w .
2. P ro b le m d y s tr y b u c ji
D an y je s t z b ió r n o d b io rc ó w S - {1 ,2 ,...,« } oraz spełniająca w arun e k tró jką ta m acierz czasów przejazdów p om ię d zy o d b io rc a m i C = [ c j ] nxn. D la ustalenia u w a g i zakładam y, że p ie rw s z y m „o d b io rc ą ” je s t m agazyn. N ie c h p i (i e S) będzie czasem rozładunku, dj - najpóźniejszym żądanym (erminem zakończenia rozład u nku , a w. - współczynnikiem kary za spóźnienie. Jeżeli dana je s t pew na trasa (ko le jn o ść o d b io rc ó w ) oraz C ( ; = 2 ,3 ,...,« ) je s t terminem zakończenia rozład u nku , to T = m a x {0 , C; - d: } n a zyw a m y spóźnieniem, a w T karą za spóźnienie dostaw y.
W ro z p a try w a n y m p ro ble m ie d y s try b u c ji należy w yzn a czyć drogę (ciąg elem entów z b io ru S, którego p ie rw s z y m elem entem je s t 1), d la któ re j suma ka r je s t m in im a ln a .
P oniew aż m acierz czasów C spełnia w arun e k trójką ta, w ię c rozw iąza nie m o p ty m a ln y m p ro ble m u d y s try b u c ji je s t droga H a m ilto n a (tj. droga zaw ierająca każdego o dbiorcę d okład nie je d e n raz). R ozpatryw ane zagadnienie je s t w ię c je d n y m z w ie lu u o g ólnie ń p ro ble m u k o m iw o ja ż e ra {TSP - T ra v e lin g Salesman P roblem ) i należy do kla sy p ro b le m ó w s iln ie N P -tm d n y c h . Ł a tw o także zauw ażyć, że je s t ono rów now ażne pew nem u p ro b le m o w i szeregowania na je d n e j m aszynie zadań z p rze zbroje nia m i oraz żądanym i te rm in a m i zakończenia.
3, P ro b le m sze re go w an ia za da ń z p rz e z b ro je n ia m i
Jednom aszynow y p ro ble m szeregow ania zadań z n a jp ó źn ie jszym i te rm in a m i zakończenia oraz prze zbroje nia m i {Single M achine Scheduling Problem w ith Total Tardiness C riterion and Sequence-Dependent Setup Times, w skrócie STD) oznaczany w literaturze przez 11 stj 1E-wjJj m ożna sfo rm u ło w a ć następująco:
P ro b le m : N ie c h J - {1 ,2 ,...,/z] będzie z b io re m zadań, k tó re należy w y k o n a ć na je d n e j m aszynie. W d o w o ln e j c h w ili m aszyna w y k o n u je co n a jw yże j je d n o zadanie oraz w y k o n y w a n ie zadania nie m oże b yć przerw ane. D la zadania i e J niech p i , w i , d i będą o d p o w ie d n io : czasem w y k o n y w a n ia , w ag ą fu n k c ji k a ry za spóźnienie oraz żądanym te rm ine m zakończenia. D ane są także w a rto ści s.t j reprezentujące czas p otrzeb n y na p rzyg o to w a n ie m aszyny do w y k o n y w a n ia zadania j , je ż e li bezpośrednio przed j b y ło w y k o n y w a n e zadanie i { i , j e J ) , p rz y ty m s0f je s t czasem p rzyg o to w a n ia (uzb ro jen ia ) m aszyny, je ż e li zadanie i będzie w y k o n y w a n e ja k o pierw sze. N a le ż y
Problem dystrybucji z terminami dostaw 27
w yzna czyć ko le jno ść w y k o n y w a n ia (perm utację) zadań m in im a liz u ją c ą sumę ka r za spóźnienia.
N ie ch n będzie zb io re m p e rm u ta c ji elem entów z J . D la d o w o ln e j ko le jno ści w y k o n y w a n ia zadań (p e rm u ta c ji) / r e n czas zakończenia zadania n ( i ) e J
i-1
c *(0
= ^(n + ^
(P * u )+ s*uuu+D)+
P m - i=iW obec tego koszt (suma ka r za spóźnienia) p erm u ta cji n e n
^ W = (1)
1=1
P ro blem ÓTD (z czasami przezbrojeń i żądanym i te rm in a m i zakończenia zadań) polega na w yzna czen iu w zbiorze p e rm u ta cji n m in im a liz u ją c e j w artość fu n k c ji (1).
W literaturze je s t on oznaczany przez l | j (y | Z wtTi i należy do kla sy p ro b le m ó w s iln ie N P -tru d n ych . A lg o ry tm y dokładne je g o rozw iązyw a nia są zazw yczaj adaptacjam i a lg o ry tm ó w ro z w ią z y w a n ia p ro b le m u 11| Z w T, tj. bez przezbrojeń. U m o ż liw ia ją one ro z w ią z y w a n ie (w rozsądnym czasie) p rz y k ła d ó w z lic z b ą zadań n ie w ię k s z ą n iż 40.
W pracy Lee i in. [6 ] zam ieszczono szybkie a lg o ry tm y ko n stru kcyjn e d la pro ble m u .STD, k tó re w yzn a cza ją ro zw ią za n ia różniące się, niestety, naw et o k ilk a s e t p rocent od o p tym a ln ych . N ajlepsze w y n ik i otrzym ano, stosując m etaheurystyki: a lg o ry tm u genetycznego (A rm e ntan o i M a z z in i [1 ]), sym ulow anego w yżarzania (Tan i in. [8 ]), p rze szukiw an ia z tabu (Sun i in. [7 ]), a lg o ry tm u m ró w ko w e g o (Gagne i in. [4 ]) oraz p ró b k o w a n ia stochastycznego (C ic ire llo i S m ith [3 ]). W pracy B o ż e jk o i W o d e c k i [2 ] przedstaw iono a lg o ry tm h y b ry d o w y oparty na idei a n a lizy m in im ó w loka lnych , w yznaczanych przez a lg o ry tm zstępujący. W yko n an o o bliczen ia na referencyjnej g ru pie p rz y k ła d ó w i d la w ie lu z n ic h otrzym ano rozw iązania lepsze od najlepszych obecnie znanych.
W najlepszych obecnie alg orytm ach roz w ią z y w a n ia p ro b le m u STD do in te n s y fik a c ji oraz d y w e rs y fik a c ji o bliczeń stosowane są m etody p ro ba bilistyczne . N ie ma w ięc g w a ra n c ji p ow ta rza lno ści w y n ik ó w . P rzedstaw iony w dalszej części a lg o rytm o pa rty na m etodzie p rze szukiw an ia z tabu je s t w p e łn i d eterm inistyczny.
4. M e to d a p rz e s z u k iw a n ia z ta b u
A lg o ry tm y oparte na m etodzie p rze szukiw an ia z tabu (tabu search, TS) są z p ow od zen iem stosowane do ro z w ią z y w a n ia N P -tru d n y c h p ro b le m ó w o p ty m a liz a c ji ko m b in a to ryczn e j. M eto da ta polega na ite ra c y jn y m polepszaniu bieżącego ro zw iąza nia przez loka lne przeszukiw anie. R ozpoczyna się od pew nego rozw iązania startow ego x °. W każdej ite ra c ji, d la bieżącego rozw iązania x ‘, w yznacza się je g o otoczenie N ( x ‘ ) - p o d z b ió r z b io ru rozw iąza ń dopuszczalnych. O toczenie je s t generowane przez ruchy, tj. pew ne przekształcenia rozw iąza nia
x‘
. Następnie z otoczenia w yzna czam y n ajlepszy elem entx'+]
, k tó ry p rz y jm u je się za bieżące rozw iązanie w następnej ite ra c ji. A b y zapobiec generow aniu, w n ow ych iteracjach, rozw iązań niedaw no rozp atryw an ych (po w staw a niu c y k li), zapam iętuje się ruch y (ich a try b u ty ) na liś c ie rozw iąza ń zakazanych, tzw . liś c ie tabu. Poniżej o piszem y głów ne elem enty tej m etody.Ruch i otoczenie. W każdej ite ra c ji a lg o ry tm u TS je s t w yznaczane otoczenie, tj. p o d z b ió r z b io ru rozw iązań dopuszczalnych. Jest ono generowane przez ru c h y - przekształcenia określone na zb io rze w s z y s tk ic h p erm u ta cji. N ie c h k \ l ( k < i ) będzie parą p o z y c ji w p erm u ta cji n e FI. R uch typ u wstaw {insert), oznaczany przez i, , polega na przestaw ieniu zadania x ( k ) z p o z y c ji k na p ozycję / (elem e nty znajdujące się na pozycjach p o m ię d z y k i / są przesuwane o je d n ą p ozycję). Generuje on pennutację if ( x ) = n \ e l l . W sz y s tk ic h ta k ic h ru c h ó w je s t n(n - 1). Jeżeli
n B = { n { a ) , K { a + \),...,7t{b-l),n{b)), (2)
je s t p e w n ą s u b p e rm u ta c ją (1 < a < b < n) p e rm u ta cji n e l l , to
»t cO = ! > , < o-?;,,, i- a
nazyw am y kosztem, a L { n B) = C,w + sm M M ) długością n B , gdzie
/-i
(j) — so,^(i) +
X!
(P*ę)+ • * » ( P n u>’ 1 ~ ..., n.i=i
D a le j, przez JlCzr^) oznaczam y p o d z b ió r p e rm u ta c ji z n , k tó re ró ż n ią się od n je d y n ie k o le jn o ścią elem entów na pozycjach a ,a + 1 ,...,b .
D la subperm utacji n B niech
F ~ {kb) = m in { F ( F ) : S e n ( z r fl) } , F \ n B) = m a x {F (< 5 ): S e n ^ ) } ,
gdzie F je s t fu n k c ją będącą kosztem WT lub d łu go ścią L. Jest to w ię c o d p ow ied nio dolne i górne ograniczenie w arto ści fu n k c ji F dla p erm u ta cji ze z b io ru f ł ^ ) . W obec tego, je ż e li perm utacja y e V l { x B) , to F ~ { n B) < F { y ) < F + { x B). O czyw iście, d la fu n k c ji WT i L pow yższe m in im u m (tj. o dp ow ie d n io WT~ i V ) oraz m aksim um (tj. 1VT+ i IR ) re a liz u ją zazw yczaj różne perm utacje.
S ubpennutacja n R je s t 6 -bliska o ptym alnej w ; r , je ż e li
F { n B) & [ A F - , A F ~ + 0 - { A F * - A F ~ ) ] , (3) gdzie para AF~ i A F+ je s t p e w n ym p rz y b liż e n ie m o d p o w ie d n io w arto ści F ~ { x B) oraz F +{xb) . Param etr O e [0,1] w yznacza się zazw yczaj eksperym entalnie.
W p ro b le m ie STD należy z m in im a liz o w a ć fu n k c ję celu, k tó ra je s t sum ą ko sztów opóźnień. D la d ow oln ej p erm u ta cji t t s I I
H T ( /r ) = £ uW )7 ;(f) = £ w T(i)7 ;(,, + £
i=i /=1 ¡-a i=b+1
gdzie n B je s t p ew ną su bpennutacją określoną w (2). Z m ia na k o le jn o ś c i elem entów w subperm utacji n B m oże w ygenerow ać z j t perm utację o m niejszej w arto ści fu n k c ji celu, je ż e li:
• zm n ie jszy się koszt w y k o n y w a n ia elem entów z n B, lub
• zm n ie jszy się m om ent rozpoczęcia w y k o n y w a n ia pierw szego zadania za n B (długość n B), c z y li zadania x ( b +1).
D o w o ln ą pennutację (ro zw ią zan ie dopuszczalne p ro ble m u STD) m ożna rozb ić na subperm utacje, zwane b lo k a m i, zaw ierające o d p o w ie d n io zadania te rm in o w e lub zadania spóźnione. Subpennutacja n B je s t w p erm u ta cji n e IJ o d p o w ie d n io blokiem:
Problem dystrybucji z terminami dostaw 29
1) zadań terminowych, je ż e li:
(a) każde zadanie z n B je s t w p erm u ta cji n te rm ino w e,
(b) ze w zg lę d u na długość L , subperm utacja n B je s t 6 -b lis k a o ptym aln ej, 2) zadań spóźnionych, je ż e li:
(a) dow oln e zadanie z n B przestaw ione na p ozycję p ie rw szą w p e rm u ta cji n je s t spóźnione,
(b) subperm utacja n B je s t 6 -b lis k a o ptym aln ej ze w zglę du na fu n k c ję d łu go ści L oraz k o sztó w WT.
W p ra cy W o d eckieg o [9 ] je s t ro z p a tryw a n y je d n o m a szyn o w y p ro ble m szeregowania z n a jw cześn ie jszym i te rm in a m i rozpoczęcia i n a jp ó źn ie jszym i te rm in a m i zakończenia zadań. P rzedstaw ione tam m eto dy i a lg o ry tm y zostały zaadaptowane ( w a lg o ry tm ie ro zw ią zyw a n ia p ro b le m u STU) do o bliczan ia w ystę pu ją cych w d e fin ic ji <9-b lis k o ś c i (3), p rz y b liż e ń F~ oraz F+, a także ro zb icia p e rm u ta c ji na b lo k i.
N ie ch
Q = [ B 2, B 2, . . . , B v],
będzie ro z b ic ie m p e rm u ta c ji n e 11 na b lo k i. G enerując otoczenie N( 7 1 ), p o m ija m y ka żdy z ru ch ó w , k tó ry z m ie nia kolejność zadań je d y n ie w pew nym b lo ku . P rzy o dp ow ied nio dobranej w arto ś c i param etru Q pozw ala to na e lim in a c ję średnio o ko ło 40% pełnego otoczenia, generowanego przez ruch y ty p u w staw , bez pogarszania w arto ści w yznaczanych rozw iązań. Ponadto przyśpiesza to zbieżność alg orytm u.
L ista tabu. A b y zapobiec p ow staw aniu c y k li (p o w ro to w i do tej samej p e rm u ta cji, po n ie w ie lk ie j lic z b ie ite ra c ji a lg o rytm u ), pew ne a tryb u ty każdego ruchu zapam iętuje się na liś c ie ru c h ó w zakazanych. W y k o n u ją c ruch /' (tj. generując z rc perm utację
TZj), na listę tabu za pisuje m y a try b u ty tego ruchu, trójkę : ( t r (r ), j , WT ( j Tj ) ) . Z a łó ż m y , że ro zp a tru je m y ruch /* generujący perm utację Jeżeli na liście tabu je s t tró jk a
{ r , j , F ) taka, że J 3 ( k ) ~ r , 1 = j oraz F n- ' { f i f ) > W, to ruch je s t p o m ija n y .
5. E k s p e ry m e n ty o b lic z e n io w e
A lg o ry tm ro z w ią z y w a n ia jednom aszynow ego p ro ble m u szeregowania zadań z p rze zb ro je n ia m i i n ajpó źn ie jszym i te rm in a m i zakończenia został zaim plem entow any w ję z y k u C + + i u ru c h o m io n y na kom puterze z procesorem P entium I V 1,8 G H z.
E ksperym enty o b lic z e n io w e przeprow adzono na 120 p rzykład a ch (każdy o rozm iarze 60) zam ieszczonych na stronie [5 ], O trzym ane w y n ik i porów nano z obecnie n ajlepszym i z p ra cy C ic ire llo i S m itha [3 ] oraz B o ż e jk i i W o d eckieg o [2 ] (oba te a lg o ry tm y n ie są d eterm inistyczne). W stosunku do w a rto ści refe ren cyjn ych (najlepszych obecnie znanych rozw iązań w yznaczonych przez różne a lg o ry tm y ) średni błąd w z g lę d n y w y n o s i 3.81% , a błąd m aksym aln y 8.57% . D la 14 p rz y k ła d ó w otrzym ano ro zw iąza nie optym alne. Średni czas o blicze ń jed ne go p rz y k ła d u (d la 3000 ite ra c ji) w y n o s ił 16.3 s, a m aksym aln y 31.8 s. P rzedstaw iony a lg o rytm je s t w p ełni dete rm inistyczn y. O kazał się nieznacznie gorszy od a lg o ry tm u zamieszczonego w pracy [2 ] (średni b łąd w z g lę d n y w y n o s i 2.06% ), a jednocześnie zdecydow anie lepszy od a lg o ry tm u z [3 ] (średni błąd w z g lę d n y w y n o s i -8.47% ). O trzym ane w y n ik i, z pun ktu w id z e n ia zastosowań, są w p ełni zadowalające. Zasadniczo w y e lim in o w a n ie
b lo k ó w z a lg o ry tm u nie w p ły w a na czas obliczeń, je d n a k średni błąd w z g lę d n y w zrasta o o k o ło 15%.
B IB L IO G R A F IA
1. A rm en tan o V .A ., M a z z in i R .: A genetic a lg o rith m fo r scheduling on a single m achine set-up tim es and due dates. Prod. Plan. & C o n tro l, 11, 2000, p .7 13-720.
2. B o ż e jk o W ., W o d e c k i M .: A p a ra lle l m etaheuristics fo r the sing le m achine to ta l w eig h te d tardiness p ro ble m w ith sequence-dependent setup tim es, M u ltid is c ip lin a ry In te rn a tio n a l S cheduling C onference: T h e o ry and A p p lic a tio n s ( M IS T A 2007), p. 96-103.
3. C ic ire llo V .A ., S m ith S.F.: Enhancing stochastic search perform ance b y value- based ran d o m iza tio n o f heuristics. Journal o f H e u ristics, 11, 2005, p.5-34.
4. Gagné C., Price W .L ., G ravel M .: C o m pa rin g an A C O a lg o rith m w ith other h euristics fo r the single m achine scheduling p ro b le m w ith sequence-dependent setup tim es. Journal o f the O perational Research Society, 53, 2002, p.895-906.
5. h ttp ://w w w .o zo n e .ri.cm u .e d u /b e n ch m a rks.h tm l
6. Lee Y .H ., Bhaskaran K ., Pinedo M .: A h eu ristic to m in im iz e the total w eig hte d tardiness w ith sequence-dependent setups. IIE Transactions, 29, 1997, p.45-52.
7. Sun X ., N o b le J.S., K le in C .M .: S in gle-m achine sch ed uling w ith sequence dependent setup to m in im iz e to ta l w eig h te d squared tardiness. IIE Transactions, 31, 1999, p .l 13-124.
8. Tan K .C ., N arasim ban R., R u b in P .A ., Ragatz G .L .: A com parison on fo u r m ethods fo r m in im iz in g total tardiness on a sing le processor w ith sequence dependent setup tim es. Om ega, 28, 2000, p p .3 13-326.
9. W o d e c k i M .: A b lo c k approach to earliness-tardiness scheduling problem s, A d van ce d M a n u fa c tu rin g T ech no log y, (D O I: 10.1007/s00170-00 8-13 9 5-7), 2008.
Recenzent: P rof. d r hab. inż. Eugeniusz T o c z y ło w s k i
A b s tr a c t
In the paper w e consider a d is trib u tio n p ro b le m in w h ic h goods have to be d is trib u te d to m any receivers before a due date. I f th is term is exceeded, a p en alty is counted. The p ro ble m consists in p la n n in g a to u r such, that a sum o f penalties w ill be as lo w as possible. A tabu search a lg o rith m is proposed in the paper to solve this p ro ble m . It is e q u iva len t to a single m achine scheduling p ro ble m , w h ic h is described b y 1 l-SjjEvVjT, in the literature and it belongs to s tro n g ly N P -ha rd class. A n idea o f so- ca lle d b lo cks is presented. It is possible to reduce c a lcu latio ns b y 50% using these b lo c k properties. C alcu la tion s w ere done on representative group o f test instances, obtained results w ere com pared to the best k n o w n so lu tion s fro m the literature.
