ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I ŚL Ą S K IE J Seria: A U T O M A T Y K A z. 136
2002 N r k o l. 15 5 6
M a rek K U B A L E , D a r i u s z D E R E N I O W S K I P o lite c h n ik a G d a ń s k a
UPORZĄDKOWANE KOLOROWANIE WIERZCHOŁKÓW GRAFÓW Streszczenie. W
p r a c y p r z e d s t a w i a m y s to s u n k o w o n o w y m o d e l k o lo r o w a n ia g r a fó w , m ia n o w ic ie k o lo r o w a n ie u p o r z ą d k o w a n e . P o s c h a r a k t e r y z o w a n iu p o t e n c j a l n y c h z a s to s o w a ń te g o m o d e l u p r z e d s t a w i a m y lin io w y a lg o r y t m k o lo r o w a n ia g r a fó w w s p o s ó b p r z y b liż o n y . P o k a z u je m y k la s y g ra fó w , k t ó r e t e n a lg o r y t m k o lo r u je o p t y m a l n ie i k la s y g r a fó w , d l a k tó r y c h b łą d p o k o lo r o w a n ia m o ż e b y ć d o w o ln ie d u ż y . P r z e d s t a w i a m y r ó w n ie ż d o ś w ia d c z e n ia k o m p u te r o w e z e b r a n e w t r a k c ie je g o im p le m e n t a c j i i t e s to w a n i a n a g r a f a c h lo s o w y c h .O R D E R E D C O L O R I N G O F G R A P H V E R T I C E S
S u m m a r y . W e p r e s e n t a r e la ti v e ly n e w m o d e l o f g r a p h c o lo r in g , n a m e l y o r d e r e d ( r a n k ) c o lo r in g . A f t e r c h a r a c t e r i z in g p o t e n t i a l a p p li c a t io n s o f t h i s m o d e l, w e g iv e a l i n e a r - t i m e a lg o r i t h m K U f o r a p p r o x i m a t e g r a p h c o lo r in g . W e s h o w g r a p h c la s s e s t h a t o u r a lg o r i t h m c o lo r s o p t im a ll y a n d g r a p h c la s s e s t h a t c a n b e c o lo r e d a r b i t r a r i l y b a d . F i n a ll y , w e g iv e r e s u l t s o f c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s g a in e d w h ile t e s t i n g a lg o r i t h m K U o n r a n d o m g r a p h s .
1. Wprowadzenie
I s tn ie je k ilk a n a ś c ie m o d e li k o lo r o w a n ia g ra fó w m a j ą c y c h z a s to s o w a n ia p r a k ty c z n e . J e d n y m z n ic h j e s t t y tu ł o w y p r o b le m k o lo r o w a n ia u p o r z ą d k o w a n e g o ( a n g . r a n k / o r d e r e d c o lo rin g ). F u n k c j a c : V —> { 1 ,2 , ...,/► } j e s t u p o r z ą d k o w a n y m /¡- p o k o lo r o w a n ie m g r a f u G = ( V , E ) , j e ś li d l a k a ż d y c h d w ó c h w ie r z c h o łk ó w o t y m s a m y m k o lo rz e k a ż d a ś c ie ż k a p o m ię d z y n i m i z a w ie r a w ie r z c h o łe k o k o lo rz e w y ż s z y m . U p o r z ą d k o w a n a lic z b a c h r o m a t y czna x u ( G ) t o n a j m n i e j s z a lic z b a k , d l a k t ó r e j g r a f G m a u p o r z ą d k o w a n e /¡-k o lo ro w a n ie . P r o b le m u p o r z ą d k o w a n e g o k o lo r o w a n ia g r a fó w z n a j d u j e z a s to s o w a n ie w p r o j e k t o w a niu u k ła d ó w V L S I [10] i r o z w ią z y w a n iu u k ła d ó w r ó w n a ń lin io w y c h m e t o d ą f a k to r y z a c j i [6].
D alej p r z y b li ż a m y t o d r u g i e z a s to s o w a n ie .
122 M. K ubale, D. Dereniowski
D l a d a n e j n x n - w y m ia r o w e j, s y m e tr y c z n e j m a c ie r z y A o b l i c z a n a j e s t m a c ie r z L t a k a , że A = L L t . U p o r z ą d k o w a n e p o k o lo r o w a n ie g r a f u s k o n s tr u o w a n e g o n a p o d s t a w i e A p o z w a la n a r ó w n o le g łe o b lic z a n ie k o lu m n m a c ie r z y L . R o z w ią z y w a n ie lin io w e g o u k ł a d u ró w n a ń p o s t a c i A x — b m o ż n a z a s t ą p i ć r o z w ią z a n ie m d w ó c h u k ła d ó w l 7 x = a i L a = b. T e o r ię tę i n o ż n a w y k o r z y s t a ć w s t a t y c e k o n s tr u k c ji. W s k u t e k o d k s z a ta łc a ln o ś c i c ia ł a k a ż d y jego p u n k t p r z e m ie s z c z a s ię p o d w p ły w e m p rz y ło ż o n e g o o b c ią ż e n ia . R o z w ią z a n ie z a d a n ia r ó w n o w a g i p o l e g a n a w y z n a c z e n iu ty c h p r z e m ie s z c z e ń . Z a d a n ie u p r o ś c i się z n ac zn ie , je ż e li o g r a n ic z y m y s ię d o w y z n a c z e n ia p r z e m ie s z c z e ń ty lk o s k o ń c z o n e j lic z b y p u n k tó w z w a n y c h w ę z ła m i. P r z e m ie s z c z e n ia p o z o s ta ły c h p u n k t ó w o b lic z a s ię n a p o d s t a w i e in
t e r p o l a c j i. Z n a j ą c m a c ie r z A s z ty w n o ś c i e le m e n tu o r a z s iły P o b c ią ż a j ą c e w ę z ły m ożna p r z y s t ą p i ć d o o b lic z e n ia u k ł a d u r ó w n a ń P = A U , w k t ó r y m n ie w ia d o m y w e k t o r U opisu je p r z e m ie s z c z e n ia w ę z łó w [12, 13).
U p o r z ą d k o w a n e k o lo r o w a n ie g r a fó w j e s t p r o b le m e m N P - t r u d n y m j u ż w p rz y p a d k u g r a f ó w d w u d z ie ln y c h [1], c h o c ia ż m a s w o je n ie t r y w i a l n e z a w ę ż e n ia w ie lo m ia n o w e . Co c ie k a w e , p r o b l e m p o z o s t a j e w ie lo m ia n o w y w p r z y p a d k u g r a fó w lu k ó w ( a n g . c irc u la r-a rc g r a p h s ) , m im o ż e k la s y c z n e k o lo ro w a n ie t a k i c h g r a fó w j e s t N P - t r u d n e [3].
W n in ie js z e j p r a c y p r z e d s ta w im y a lg o r y t m p r z y b liż o n y o z ło ż o n o ś c i 0 ( r n + n ) do u p o r z ą d k o w a n e g o k o lo r o w a n ia d o w o ln y c h g r a fó w , g d z ie m j e s t l ic z b ą k r a w ę d z i, a n jest lic z b ą w ie r z c h o łk ó w g r a f u . P o d a m y j e g o f u n k c ję d o b r o c i i n a jm n i e j s z e t r u d n e d o kolorow a
n i a g ra fy . F r z c d s t a w i m y ró w n ie ż je g o d z ia ł a n i e w p r z y p a d k u p r z e c ię t n y m n a p o d sta w ie d o ś w ia d c z e ń k o m p u te r o w y c h z e b r a n y c h w tr a k c ie je g o i m p l e m e n t a c ji i te s to w a n i a na g r a f a c h lo s o w y c h .
2. Algorytm KU
O p is z e m y a lg o r y t m K U , k tó r e g o n a z w a p o c h o d z i o d słó w k o lo r o w a n ie u p o rzą d k o w a n e.
A l g o r y t m te n k o lo r u je w ie rz c h o łk i g r a fu w s p o s ó b u p o r z ą d k o w a n y , n ie g w a r a n t u j ą c jed n ak u ż y c ia m in im a ln e j m o żliw e j lic z b y k o lo ró w ,
p r o c e d u r ę I< U (G );
b e g i n
w s ta w w ie rz c h o łk i n a l is tę L ;
U porządkow ane kolorow anie w ierzchołków grafów 123
p o s o r t u j n i e m a le ją c o w g s t o p n i e le m e n ty l is ty L \ z a in ic ju j p u s t e z b io r y S o r a z Q\
w h i l e L n i e p u s t a d o b e g i n
w h i l e (L n i e p u s t a ) a n d ( s t o p i e ń ( L [ l] ) < 1) d o b e g i n v : = U s u ń P i e r w s z y ( L ) ;
5 : = 5 U { u } ; e n d ;
i f L n i e p u s t a t h e n b e g i n v : = U s u ń O s t a t n i ( L ) ;
Q ■=
<3 u {u};e n d ; e n d ;
P o k o lo r u j g r a f in d u k o w a n y p r z e z w ie r z c h o łk i z S a lg o r y t m e m k o lo r u ją c y m d r z e w a ; w h i l e Q n i e p u s t y d o b e g i n
v : = U s u ń Z e Z b io r u ( Q ) ; c ( v ) : = n o w y k o lo r;
e n d ; e n d ;
2.1. Objaśnienia
L is ta L j e s t u ż y w a n a w p o w y ż s z y m a lg o r y t m ie w y łą c z n ie d o c e ló w o p ty m a l iz a c y j n y c h - g w a r a n tu je z n a le z ie n ie w ie r z c h o łk a o m a k s y m a l n y m ( o r a z m in i m a l n y m ) s t o p n i u w s t a ł y m czasie. I n s t r u k c j a i > : = U s u ń O s t a t n i ( L ) o z n a c z a w y s z u k a n ie w ie r z c h o łk a o m a k s y m a l n y m s to p n iu w g r a f ie in d u k o w a n y m p r z e z w ie r z c h o łk i z e z b io r u V ( G ) — ( S u Q ) , n a t o m i a s t in s tr u k c ja n : = U s u ń P i e r w s z y ( L ) - m in im a ln y m .
G łó w n a p ę t l a w h i l e w p s e u d o k o d z ie p o w y ż e j d o k o n u je p o d z ia ł u e le m e n tó w V(G ) n a dw a z b io ry : 5 o r a z Q . Z b ió r 5 z a w ie r a w ie r z c h o łk i, k t ó r e i n d u k u j ą la s , w ię c g d y l i s t a L j e s t p u s t a ( t z n . k a ż d y w ie r z c h o łe k w V ( G ) z o s t a ł d o d a n y d o S l u b Q ) , t o s ą o n e k o lo ro w an e p r z y w y k o r z y s t a n i u d o w o ln e g o o p t y m a l n e g o a lg o r y t m u k o lo r u ją c e g o d r z e w a . W s k ła d z b io r u Q n a t o m i a s t w c h o d z ą w ie r z c h o łk i, k t ó r e o s t a te c z n i e o t r z y m u j ą d o d a tk o w e
124 M. K ubale, D, D ereniowski
e ty k ie ty , t z n . p a r a m i r ó ż n e o r a z n i e u ż y t e w c z e ś n ie j, t j.
c (v ) > rn a a ;{ c ( u ) : u € S } , i c ( v ) ^ c ( v ' ) , v , v ' 6 Q , v ^ v ',
d l a t e g o k o le jn o ś ć k o lo r o w a n ia g r a fó w in d u k o w a n y c h p r z e z S i Q j e s t i s t o t n a .
F u n k c j a s t o p i e ń ( u ) z w r a c a w ie r z c h o łe k s ą s ie d n i d o v w g ra fie in d u k o w a n y m p r z e z z b ió r V ( G ) — (S U Q). P o d c z a s w y k o n y w a n ia o p e r a c ji S : = 5 U { u } , Q : = Q U { u } n a le ż y z a d b a ć o t o , a b y l i s t a L b y ła n a d a l p o s o r t o w a n a w z g lę d e m s t o p n i w ie rz c h o łk ó w w t y m g ra fie .
2.2. P o p r a w n o ś ć i e f e k ty w n o ś ć a l g o r y t m u
L e m a t 1 . G r a f in d u k o w a n y p r z e z w ie r z c h o łk i ze z b io r u S n ie z a w ie r a c y k li.
D o w ó d . P r z e z 5,- € S o z n a c z m y p o d z b i ó r p ie r w s z y c h i w ie r z c h o łk ó w p rz e n ie s io n y c h d o z b io r u S w w y n ik u d z i a ł a n i a o m a w ia n e g o a lg o r y t m u . U d o w o d n im y p r z e z in d u k c ję , że
Vi= i |s | G [S i] n ie z a w ie r a c y k li.
D l a i = 1 w ła s n o ś ć j e s t p r a w d z iw a , w ię c z a łó ż m y , ż e z a c h o d z i r ó w n ie ż d l a p e w n e g o i >
1. W ( i + l ) - s z e j o p e r a c ji p r z e n o s im y w ie rz c h o łe k v d o z b io r u S . Z a łó ż m y , ż e le m a t n ie z a c h o d z i, t z n . w g r a fie Si+1 p o w s ta ł c y k l z ło ż o n y z w ie r z c h o łk ó w v , u i , . . . , u j t . A by p r z e n ie ś ć d o w o ln y w ie r z c h o łe k p d o S , m u s i b y ć s p e łn io n y w a r u n e k d e g ( p ) < 1 (w grafie G \ V( G ) — ( S u Q ) ] ) , g d z ie deg(-u) o z n a c z a s t o p i e ń w ie r z c h o łk a v . W y n ik a s t ą d , ż e o p e r a c ja p r z e n o s z e n ia d o w o ln e g o s p o ś r ó d w ie r z c h o łk ó w w i , . . . p o w i ę k s z a ł a z b ió r jE ( G [ 5 ;+ i]) co n a jw y ż e j o j e d e n . Z a t e m g r a f r o z p ię ty n a w ie r z c h o łk a c h u , u i , . . . , « * z a w ie r a n a jw y ż e j k k r a w ę d z i, c o p r o w a d z i d o s p r z e c z n o ś c i z z a ło ż e n ie m , że tw o r z ą o n e c y k l. □
Z p o w y ż s z e g o l e m a tu w y n ik a , że p r ó b a k o lo r o w a n ia g r a f u G [S ] a lg o ry tm e m k o l o r u ją c y m d r z e w a d o p r o w a d z i d o p o p r a w n e g o w y n ik u . P r z y d z ie le n ie n o w y c h kolorów d l a e le m e n tó w Q n ie p r o w a d z i d o p o k o lo r o w a n ia n ie p o p r a w n e g o .
C z a s p o t r z e b n y n a w y k o n a n ie c z ę śc i in ic ja liz a c y jn e j j e s t z d o m in a w a n y p r z e z o p e rac ję s o r t o w a n i a , k t ó r ą m o ż n a p r z e p r o w a d z ić w c z a s ie 0 ( m + n ) . C z y n n o ś ć u s u w a n i a k raw ęd zi z g r a f u w y m a g a u a k t u a l n i e n i a p o r z ą d k u w ie rz c h o łk ó w n a liś c ie L , c o m o ż n a zrealizo w a ć w s t a ł y m c z a s ie . P r z e n ie s ie n ie w ie r z c h o łk a d o z b io r ó w Q lu b S w y m a g a w ię c c z a s u pro
p o r c jo n a ln e g o d o je g o s t o p n i a (w z r e d u k o w a n y m g ra fie G ) . P i e r w s z a p ę t l a w h i l e w ykona w ię c 0 ( m + n ) o p e r a c ji. P o k o lo r o w a n ie G [S ] m o ż e o d b y ć sie w c z a s ie lin io w y m . D lateg o z ło ż o n o ś ć c a łe g o a lg o r y t m u m o ż n a o s z a c o w a ć p r z e z 0 ( m + n ) .
Uporządkowane kolorow anie wierzchołków grafów 125
3. Najmniejsze grafy trudne dla KU
P o n iż e j z o s t a ł y p r z e d s t a w i o n e p r z y k ła d y g ra fó w , d l a k t ó r y c h o p is a n y a lg o r y t m n ie g e n eru je o p t y m a l n e g o p o k o lo r o w a n ia .
P ie w s z y m p r z y k ła d e m j e s t g r a f d o ś ć t r u d n y d o k o lo r o w a n ia , d l a k tó r e g o a lg o r y t m m o ż e zużyć X u (G ) + 1 k o lo ró w . T a k i p r z y p a d e k p o k a z u je r y s u n e k l ( a ) , r y s u n e k l ( b ) n a t o m i a s t p r z e d s ta w ia p o k o lo r o w a n ie o p t y m a l n e .
(a)
• » 2
Rys. 1. N ajm niejszy g ra f „dość tru d n y ” do kolorowania dla KU: (a) pokolorowanie suboptym alne, (b) pokolorow anie optym alne
Fig. 1. T h e sm allest SHC g ra p h for algorithm KU: (a) suboptim al coloring, (b) optim al coloring
K o le jn y r y s u n e k p r z e d s t a w i a g r a f G 2 , d l a k t ó r e g o a lg o r y t m z a w s z e z w ró c i p o k o lo ro w a n ie n i e o p t y m a l n e . D z ie je s ię t a k d l a te g o , ż e n a le ż y u s u n ą ć 3 w ie r z c h o łk i w celu w y e lim in o w a n ia w s z y s tk ic h c y k li, co d a j e p o k o lo r o w a n ie 5 b a r w a m i , n a t o m i a s t Xu( G 2) = 4.
(b)
Rys. 2. G ra f „ tru d n y ” do kolorowania dla KU: (a) pokolorowanie suboptym alne, (b) pokolorowanie optym alne
Fig. 2. H C g ra p h for algorithm KU: (a) suboptim al coloring, (b) optim al coloring
126 M. K ubale, D. Dereniowski
O s t a t n i p r z y k ła d d o w o d z i, ż e f u n k c ja d o b r o c i d l a ro z w a ż a n e g o a lg o r y t m u j e s t lin io w a , p o n ie w a ż K U k o lo r u je g r a f, p o k a z a n y n a r y s . 3 , k + 3 b a r w a m i d l a k a ż d e g o k > 3, n a t o m i a s t lic z b a u p o r z ą d k o w a n a w y n o s i 4. Z a t e m K U ( G * ) = A: + 3 , X u (G k ) = 4, a p o n ie w a ż lic z b a w ie r z c h o łk ó w n ( G * ) = 3/c + 1, w ię c f u n k c ja d o b r o c i K U ( n ) = 0 ( n ) .
R ys. 3. G raf Gfc, dla którego X u ( G k ) — 4 Fig. 3. G rap h Gfc for which X u(Gfc) = 4
4. Klasy grafów kolorowane optymalnie przez algorytm KU
L e m a t 2. x « ( C „ ) = X u ( P n - i ) + 1 = i l o g i n ] + 1
D o w ó d . K o r z y s t a j ą c z z a s a d y in d u k c ji m a t e m a ty c z n e j m o ż n a w y k a z a ć , ż e k k o lo ra m i m o ż n a p o k o lo r o w a ć ś c ie ż k ę o d łu g o ś c i c o n a jw y ż e j 2 k — 1. N ie c h v b ę d z ie d o w o ln y m w ierz
c h o łk ie m w c y k lu C n . W y s t a r c z y p o k a z a ć , ż e ż a d n e g o o p t y m a l n e g o p o k o lo r o w a n ia grafu C n — v n ie m o ż n a r o z s z e r z y ć n a p o p r a w n e p o k o lo r o w a n ie g r a f u C n p o p r z e z p rz y d z ie le n ie w ie rz c h o łk o w i v k o lo r u z e z b io r u { 1 , . . . , X u (G n — u ) } . O z n a c z y m y k = X u { P n - i ) i d o w o d z im y p o p r z e d n i e z d a n i e n ie w p r o s t. W o p t y m a l n y m p o k o lo r o w a n iu Pn- 1 k o lo r A: j e s t uży ty j e d n o k r o t n i e . R ó w n ie ż k o lo r u k — 1 m o ż n a u ż y ć ty lk o ra z , p o n ie w a ż w p r z e c iw n y m p rzy
p a d k u w ie r z c h o łe k v m u s i a ł b y o t r z y m a ć b a r w ę w ię k s z ą n iż k . K o lo r y A; i Ar — 1 z ą zawsze z a b r o n i o n e d l a w ie r z c h o łk a v , a le u ż y c ie k — 2 b y ło b y m o ż liw e , o ile t e n k o lo r z o sta łb y u ż y t y d o p o k o lo r o w a n ia Pn- 1 ty lk o r a z i w y s tę p o w a łb y p o m ię d z y e t y k i e ta m i k o r a z A - l -
U porządkow ane kolorow anie w ierzchołków grafów 127
K o r z y s t a j ą c z e s t w i e r d z e n ia n a p o c z ą t k u te g o d o w o d u m o ż n a o b lic z y ć d łu g o ś ć śc ie ż k i:
n - 1 < 2 (2 fc_3 - 1) + 2 + 2*~2 - 1 = 2 k ~ l - 1,
a śc ie ż k ę o t a k i e j d łu g o ś c i m o ż n a p o k o lo r o w a ć z a p o m o c ą k — 1 b a r w , c o o z n a c z a , że s k o n s tr u o w a n e p o k o lo r o w a n ie n ie j e s t o p t y m a l n e . N a le ż y je s z c z e z a u w a ż y ć , ż e p r ó b a u tw o r z e n ia p o k o lo r o w a n ia , w k t ó r y m w ie rz c h o łk o w i v b ę d z ie m o ż n a p r z y d z ie lić e ty k i e tę k - s , s > 2, tw o r z y ś c ie ż k ę o d łu g o ś c i:
n - 1 = 2 k ~ * ~ l - 1 + 2 k ~ 2- 1 + 2*-3 - 1 + • • • + 2 k ~ s ~ 1- 1 + s = 2*-1 - 1,
co p r o w a d z i d o s p r z e c z n o ś c i.
W c e lu w y k a z a n i a d r u g ie j ró w n o ś c i n a le ż y p o k a z a ć , że X u {P n ) = \log2(n+ 1 ) ] . J e ś li k o z n a c z a lic z b ę k o lo ró w w o p t y m a l n y m p o k o lo r o w a n iu , t o
2 k ~ l
- 1 < n < 2f c - 1.
P o w y k o n a n iu p r z e k s z t a ł c e ń o tr z y m u je m y :
lo g 2 ( n + 1) < k < lo g 2 ( n + 1) + 1
k = \lo g 2 { n + I ) ] . □
T w i e r d z e n i e
1.
A lg o r y t m K U k o lo r u je o p t y m a ln ie c y k le .D o w ó d . A l g o r y t m K U , o t r z y m u j ą c n a w e jś c iu c y k l, u m ie ś c i j e d e n w ie r z c h o łe k w z b io rz e Q , a n a s t ę p n i e t a k p o w s ta ł y p o d g r a f (ś c ie ż k a ) p o k o lo r u je o p t y m a l n ie i o s t a te c z n i e w ie rz c h o łe k v 6 Q o t r z y m a d o d a tk o w ą b a r w ę . Z p o p r z e d n ie g o l e m a t u w y n ik a , ż e lic z b a u ż y ty c h k o lo r ó w n ie m o ż e b y ć n iż s z a . □
L e m a t 3 . x u (W „ ) = \ lo g 2 { n - 1)] + 2
D o w ó d . W ie r z c h o łe k o s t o p n i u n - 1 , k t ó r y o z n a c z y m y p r z e z u , w k a ż d y m p o k o lo r o w a n iu o t r z y m u j e d o d a tk o w y k o lo r. Z a t e m o p t y m a l n e p o k o lo r o w a n ie k o la W n o t r z y m u j e m y k o lo ru ją c o p t y m a l n i e c y k l W n - v , co w y m a g a u ż y c ia \ lo g 2 ( n - 1 )] + 1 b a r w . □
128 M. K ubale, D. D ereniowski
T w i e r d z e n i e 2. A lg o r y t m K U k o lo r u je o p t y m a ln ie k o ła .
D o w ó d . Z b ió r Q p o z a k o ń c z e n iu o b lic z e ń w g łó w n e j p ę tl i b ę d z ie z a w ie r a ł d w a e le m e n ty : w ie r z c h o łe k o s t o p n i u n — 1 o r a z d o w o ln y s p o ś r ó d p o z o s ta ły c h . P o w y ż s z e d w a w ie r z c h o łk i o t r z y m a j ą d o d a tk o w e e ty k i e ty i j e s t t o r o z w ią z a n ie o p t y m a l n e , co w y n ik a z w c z e ś n ie js z e g o l e m a t u . □
L e m a t 4 . N ie c h G = K S ir..t3lt b ę d z ie g r a fe m p e łn y m k -d z ie ln y m . W ó w c z a s X u ( G ) = n — m a a ; { s i , . . . , s* } + 1.
D o w ó d . T e z a w y n ik a s t ą d , ż e j e ś li w j e d n y m z p o d z b io r ó w z a w ie r a ją c y c h w ie rz c h o łk i n ie s ą s ie d n ie w G d w a w ie r z c h o łk i m a j ą p r z y d z ie lo n y j e d n a k o w y k o lo r , t o w s z y s tk ie w ie r z c h o łk i z n i m i s ą s ie d n ie m u s z ą m ie ć e ty k i e ty w y ż s z e i p a r a m i ró ż n e . □
T w i e r d z e n i e 3 . A lg o r y t m K U k o lo r u je o p t y m a ln ie g r a fy p e łn e k - d z ie ln e .
D o w ó d . W g ra fie K $ u .„Sk j e s t s ; w ie rz c h o łk ó w ( o z n a c z m y ich z b ió r p r z e z D ) o m a k s y m a l n y m s t o p n i u , g d z ie Si < S j d l a j = 1 , . . . , k . A l g o r y t m w p ie r w s z y m k r o k u z d e c y d u je p r z e n ie ś ć w ie r z c h o łe k z e z b io r u D d o z b io r u Q , c o s p o w o d u je z m n ie js z e n ie s t o p n i w ie rz c h o łk ó w , k t ó r e n ie n a le ż ą d o D , n ie z m i e n ia ją c je d n o c z e ś n ie s t o p n i ty c h z D . P o Si i t e r a c j a c h g łó w n e j p ę tl i g r a f w e jśc io w y z o s t a n i e z r e d u k o w a n y d o K Su...t, i_ uSi+u...t, k . A lg o r y t m b ę d z ie p r z e n o s ić k o le jn e w ie rz c h o łk i d o z b io r u Q , a ż r o z p a t r y w a n y g r a f z r e d u k u je s ię d o A 'i)max{si,...,3t }- W ó w c z a s liś c ie o t r z y m a j ą n a jn i ż s z y k o lo r. D l a w ie r z c h o łk a c e n t r a l n e g o n a le ż y w p r o w a d z ić n o w y k o lo r, p o c z y m w s z y s tk ie p o z o s ta łe ( u s u n i ę te w c z e ś n ie j) w ie r z c h o łk i o t r z y m a j ą o d d z ie ln e e ty k ie ty , c o j e s t r o z w ią z a n ie m o p t y m a l n y m n a m o c y p o p r z e d n i e g o l e m a t u . O
T w i e r d z e n i e 4 . A lg o r y t m K U k o lo r u je o p t y m a ln ie d r z e w a o ra z g r a fy p e łn e .
D o w ó d . K U o t r z y m u j ą c n a w e jś c iu d r z e w o u m ie ś c i w s z y s tk ie w ie r z c h o łk i w z b io r z e 5 , k t ó r e n a s t ę p n i e z o s t a n ą z a e ty k ie to w a n e o p t y m a l n ie w p o d p r o g r a m i e k o lo r u ją c y m d rz e w a . Z p o p r a w n o ś c i a lg o r y t m u w y n ik a , ż e k o lo r u je o p t y m a l n ie g r a fy p e łn e , p o n ie w a ż X u ( K n ) — n . □
U porządkow ane kolorowanie wierzchołków grafów 129
5. Doświadczenia komputerowe
W n in ie js z y m p u n k c ie p o d a je m y w y n ik i d o ś w ia d c z e ń k o m p u te r o w y c h z e b r a n y c h p o d czas t e s to w a n i a a lg o r y t m u K U . M ie r z o n y m i w ie lk o ś c ia m i b y ły : lic z b a z u ż y w a n y c h k o lo ró w o ra z c z a s o b lic z e ń . P o j e d y n c z a p r ó b a p o le g a ła n a w y g e n e r o w a n iu 10 g r a fó w lo s o w y c h , k tó re p o d a n o n a w e jś c ie a l g o r y t m u , a n a s t ę p n i e u ś r e d n ia n o o t r z y m a n e n a w y jś c iu w y n ik i.
O b lic z o n e lic z b y k o lo ró w z o s t a ł y z a o k r ą g lo n e d o lic z b c a łk o w ity c h . T a b e la 1 z a w ie r a t a k o b lic z o n e w a r t o ś c i d l a r ó ż n y c h r o z m ia r ó w n = 10 0,200, . . . , 1000 o r a z g ę s to ś c i g ra fó w g — 0 . 0 5 , 0 . 1 , 0 . 1 2 5 ,0 . 2 5 ,0 . 3 7 5 ,0 . 5 . L i t e r a l o z n a c z a lic z b ę k o lo ró w u ż y ty c h p r z e z a lg o r y tm K U .
D o o p t y m a l n e g o k o lo r o w a n ia d r z e w u ż y to a lg o r y t m u o p is a n e g o w p r a c y [2], o z ło ż o n o śc i 0 ( n l o g n ) .
O b lic z e n ia b y ły w y k o n y w a n e n a k o m p u te r z e w y p o s a ż o n y m w p r o c e s o r I n t e l C e le r o n 700 M H z. A l g o r y t m z a k o d o w a n o w ję z y k u C + + . S t r u k t u r ą d a n y c h p r z e c h o w u ją c ą g r a fy w p a m ię c i b y ł a m a c ie r z s ą s ie d z tw a , c o im p lik u je k w a d r a t o w ą z ło ż o n o ś ć a lg o r y tm u .
T a b e l a 1 W y n ik i d o ś w ia d c z e ń k o m p u te r o w y c h
g ę s to ś ć g
0 .0 5 0 .1 0 .1 2 5 0 .2 5 0 .3 7 5 0 .5
n l c z a s l c z a s l c z a s l c z a s l c z a s l c z a s
100 3 6 0.001 5 7 0.002 63 0.002 80 0 .0 0 3 8 7 0 .0 0 5 91 0 .0 0 5
200 108 O.OOo 145 0 .0 0 8 154 0.010 175 0 .0 1 5 184 0 .0 2 8 189 0 .0 4 5
300 192 0 .0 1 5 2 3 7 0.020 2 4 7 0 .0 2 3 2 73 0 .0 4 8 2 8 3 0 .0 9 1 2 8 8 0 .1 5 4
400 281 0 .0 2 7 331 0 .0 3 6 3 4 4 0 .0 4 7 3 7 0 0 . 1 1 1 3S2 0 .2 2 3 3 8 8 0 .3 9 0
500 371 0 .0 4 4 4 2 7 0 .0 6 5 441 0 .0 8 0 471 0 .2 1 3 482 0 .4 4 8 4 8 7 0 .7 8 2
600 4 6 5 0 .0 6 5 523 0 .1 0 3 539 0 .1 3 2 570 0 .3 7 4 581 0 .7 9 6 5 8 7 1 .3 8 3
700 5 5 9 0 .0 9 1 623 0 .1 5 6 6 3 7 0 .2 0 4 6 6 9 0 .5 9 9 681 1 .2 8 0 6 8 7 2 .1 9 9
800 6 5 4 0 .12 2 7 2 0 0 .2 1 7 7 3 6 0 .2 8 9 7 6 8 0 .8 9 1 781 1 .8 9 8 7 8 7 3 .2 7 0
900 751 0 .1 6 3 8 1 8 0 .3 0 4 8 3 4 0 .4 0 7 8 6 9 1 .2 3 8 8 8 0 2 .7 0 2 8 8 7 4 .6 8 0
1000 8 4 8 0 .2 0 7 9 1 7 0 .3 9 9 9 34 0 .5 4 4 9 68 1 .7 3 4 9 7 9 3 .6 9 3 9 8 7 6 .3 6 8
130 M. K ubale, D. Dereniowski
6. Uwagi końcowe
T a b e l a 2 z a w ie r a in f o r m a c je n a t e m a t u p o r z ą d k o w a n e g o k o lo r o w a n ia r ó ż n y c h klas g r a fó w , w s z c z e g ó ln o ś c i o s z a c o w a n ia lic z b y u p o r z ą d k o w a n e j X u { G ) o r a z zło żo n o śc i d o k ł a d n y c h a lg o r y t m ó w k o lo r o w a n ia , o ile s ą z n a n e . D a n e z o s ta ły z e b r a n e n a p o d s ta w ie i n f o r m a c ji d o s t ę p n y c h w l i t e r a t u r z e o r a z w n in ie js z e j p ra c y .
N a z a k o ń c z e n ie o d n o t u je m y , ż e p r o b l e m u p o r z ą d k o w a n e g o k o lo r o w a n ia k r a w ę d z i jest r ó w n ie ż N P - t r u d n y [11] i p o z o s t a j e t a k i m n a w e t d l a g r a fó w d w u d z ie ln y c h .
T a b e la 2 Z ło ż o n o ś ć o b lic z e n io w a k o lo r o w a n ia u p o r z ą d k o w a n e g o
T y p y g ra fó w z ło ż o n o ś ć X u ( G ) L ite r a tu r a
d w u d z ie ln e N P C ?
[1]
d o p e łn i e n ia d w u d z ie ln y c h N P C ?
[1]
k ra w ę d z io w e N P C ?
[U ]
p l a n a r n e ? C s/n < X u ( G ) < 3 ( s / 6 + 2 ) y / n [2]
P n 0 ( n) [lo g 2( n + 1)]
d r z e w a O ( n ) X u { T ) < 1 + [lo g 2 n J [2, 4]
c n 0 { n ) flo g2n ) + 1
w n 0 { n) [lo g 2( n - 1)1 + 2
K s\,...,sk 0 ( n + m ) n - m a x { s \ ,. . . ,s jt} + 1
’’s t a r l i k e ” 0 ( n + m ) ?
[9]
g r a f y c Z -tra p e z o id a ln e 0 ( n3X u ( G ) 3d+ 3) ? [3]
g r a fy p r z e d z ia ło w e 0 ( n 3) ?
[3]
g r a f y lu k ó w 0 ( n 3) ? [3]
p e r m u t a c y j n e 0 { v P ) ? [8]
d r z e w a - k o l. k r a w ę d z i 0 ( m ) ? [7]
L I T E R A T U R A
1. B o d l a e n d e r H ., D e o g u n J .S ., J a n s e n K ., K lo k s T ., K r a t s c h D ., M ü lle r H ., T u z a Z.:
R a n k in g s o f g r a p h s , S I A M J .D i s c r e t e M a th . 11 (1 9 9 8 ) 1 6 8 -1 8 1 .
Uporządkow ane kolorow anie w ierzchołków grafów 131
2. K a t c h a ls k i M ., M c C a u g h W ., S e a g e r S.: O r d e r e d c o lo u r in g s , D is c r e t e M a th . 142 (1 9 9 5 ) 1 4 1 -1 5 4 .
3. D e o g u n J . S ., K lo k s T . , K r a t s c h D ., M ü lle r H .: O n t h e v e r te x r a n k in g p r o b l e m fo r t r a p e z o i d , c i r c u la r - a r c a n d o t h e r g r a p h s , D is c r e t e A p p l. M a th . 98 (1 9 9 9 ) 3 9 -6 3 . 4. S c h a f fe r A .A .: O p t i m a l n o d e r a n k in g o f t r e e s in l in e a r tim e , I n f o r . P r o c e s s . L e tt . 33
( 1 9 8 9 / 9 0 ) 9 1 -9 6 .
5. M a n n e F .: R e d u c i n g t h e h e ig h t o f a n e li m in a t io n t r e e t h r o u g h lo c a l r e o r d e r in g s . T e c h . R e p o r t 5 1 , U n iv e r s ity o f B e r g e n , N o rw a y , 199 1 .
6. L iu J .W .H . : T h e r o le o f e li m in a t io n t r e e s in s p a r s e f a c t o r iz a ti o n , S I A M J . M a t r i x A n a l y s i s a n d A p p l. 11 (1 9 9 0 ) 1 3 4 -1 7 2 .
7. T a k W a h L a m , F u n g L in g Y u e , O p t i m a l E d g e R a n k in g o f T r e e s in L in e a r T im e , P r o c . o f th e 9 th A n n u a l A C M - S I A M S y m p o s iu m o n D is c r e t e A lg o r it h m s , (1 9 9 8 ) 4 3 6 -4 4 5 .
8. D e o g u n J .S . , K lo k s T . , K r a t s c h D ., M ü lle r H .: O n v e r te x r a n k in g fo r p e r m u t a t i o n a n d o t h e r g r a p h s , P r o c . o f t h e 1 1 th A n n u a l S y m p o s iu m o n T h e o r e t i c a l A s p e c t s o f C o m p u t e r S c ie n c e , L e c t u r e N o t e s in C o m p u t e r S c i e n c e 7 5 5 (1 9 9 4 ) 7 4 7 -7 5 8 .
9. S u n - y u a n H s ie h , O n v e r te x r a n k in g o f a s t a r li k e g r a p h , I n fo r m . P r o c e s s . L e tt . 8 2 (2 0 0 2 ) 1 3 1 -1 3 5 .
10. L e is e r s o n C .E .: A r e a - e f f ic ie n t g r a p h l a y o u t (fo r V L S I) P r o c . 2 1 s t A n n . I E E E S y m p . o n F o u n d a t io n s o f C o m p u t e r S c ie n c e (1 9 8 0 ) 2 7 0 -2 8 1 .
11. L a m T .W . , Y u e F .L .: E d g e r a n k in g o f g r a p h s is h a r d , D is c r e t e A p p l. M a th . 85 (1 9 9 8 ) 7 1 -8 6 .
1 2. S z m e l t e r J . , D a c k o M ., D o b r o c iń s k i S ., W ie c z o r e k M .: M e t o d a e le m e n tó w s k o ń c z o n y c h w s t a t y c e k o n s tr u k c ji, A rk a d y , W a r s z a w a 197 9 .
13. W a s z c z y s z y n Z ., C ic h o ń C z ., R a d w a ń s k a M .: M e t o d a e le m e n tó w s k o ń c z o n y c h w s t a te c z n o ś c i k o n s tr u k c ji, A rk a d y , W a r s z a w a 1 990.
R e c e n z e n t: P r o f . d r h a b . in ż . A n d r z e j S w ie r n ia k
A b s t r a c t
T h e r e a r e a b o u t a d o z e n o f g r a p h c o lo r in g m o d e ls w h ic h h a v e p r a c t i c a l a p p li c a t io n s . O n e o f t h e m is a n o r d e r e d ( r a n k ) c o lo r in g o f t h e v e r tic e s o f G . A le g a l c o lo r in g o f v e r tic e s is c a lle d o r d e r e d i f a n y p a t h j o in i n g t h e v e r tic e s o f t h e s a m e c o lo r g o e s v i a a v e r t e x o f h ig h e r c o lo r. T h e p r o b l e m o f o r d e r e d g r a p h c o lo r in g c a n b e a p p li e d in d e s ig n in g V L S I c ir c u its a n d in c o m p u t i n g C h o le s k y f a c t o r iz a ti o n s o f m a t r i c e s in p a r a lle l.
T h is p r o b l e m is N P - h a r d e v e n if t h e i n p u t g r a p h is b i p a r t i t e , t h o u g h i t h a s n u m e r o u s easy in s t a n c e s . I t is i n t e r e s t i n g t h a t t h e p r o b le m r e m a in s p o l y n o m i a ll y s o lv a b le in t h e c a s e o f c ir c u la r - a r c g r a p h s ( t h e c la s s ic a l c o lo r in g o f s u c h g r a p h s is i n t r a c t a b l e ) . I n t h e p a p e r we p r e s e n t a l i n e a r - t i m e a lg o r i t h m fo r a p p r o x im a t e c o lo r in g o f g e n e r a l g r a p h s . W e g iv e g ra p h c la s s e s t h a t o u r a lg o r i t h m c o lo r s o p t im a ll y a n d g r a p h c la s s e s t h a t c a n b e c o lo r e d a r b it r a r i l y b a d . F in a lly , w e g iv e r e s u l ts o f c o m p u t a t i o n a l e x p e r i m e n t s g a in e d w h ile t e s t i n g o u r a lg o r i t h m o n r a n d o m g r a p h s .
