Matematyczne modele wzrostu gospodarczego : ujęcie neoklasyczne

(1)

(2)

(3)

wzrostu gospodarczego

(4)

(5)

Matematyczne modele wzrostu gospodarczego

ujęcie neoklasyczne

Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego

(6)

RECENZENT

dr hab. Magdalena Osińska, prof. Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu

PROJEKT OKŁADKI Marcin Bruchnalski

Książka, ani żaden jej fragment, nie może być przedrukowywana bez pisemnej zgody Wydawcy.

W sprawie zezwoleń na przedruk należy zwracać się do Wydawnictwa Uniwersytetu Jagiellońskiego

ISBN 978-83-233-2734-9

wydawnictwo

www. wuj. pl

Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego Redakcja: ul. Michałowskiego 9/2, 31-126 Kraków tel. 012-631 -18-81, 012-631 -18-82, fax 012-631 -18-83 Dystrybucja: ul. Wrocławska 53, 30-011 Kraków tel. 012-631-01-97, tel. /fax 012-631-01-98 tel. kom. 0506-006-674, e-mail: sprzedaz@wuj. pl Konto: PEKAO SA, nr 80 1240 4722 1111 0000 4856 3325

(7)

wmoim dorobku akademickim T. Tokarski

(8)

(9)

Wstęp... 9

Rozdział pierwszy.Funkcje produkcji... 13

1.1. Wprowadzenie... 13

1.2. Właściwościneoklasycznej funkcji produkcji... 13

1.3. Funkcja produkcjiCobba-Douglasa... 17

1.4. FunkcjaprodukcjiCES... 20

1.5. Funkcjaprodukcji z postępem technicznym... 27

1. 5.1. Definicjaiklasyfikacjepostępu technicznego... 27

1.5.2. Postęptechnicznywfunkcji produkcji Cobba-Douglasa... 30

1. 5.3.Postęptechniczny w funkcji produkcji CES... 31

1.6. Funkcjeprodukcji Cobba-Douglasa wwarunkachefektów skali... 33

1.7. Podsumowanie... 34

Rozdział drugi. Model wzrostuSolowa... 37

2. 1. Wprowadzenie... 37

2.2. Założenia modelu Solowa... 38

2.3. RównowagaSolowa... 40

2. 4. RównowagaSolowaprzyfunkcji produkcji Cobba-Douglasa... 53

2.5. Równowaga Solowa przy funkcji produkcji CES... 64

2.6. Podsumowanie... 74

Rozdział trzeci. Model wzrostu Mankiwa-Romera-Weila i jego rozszerzenia... 77

3.2. Założenia modelu Mankiwa-Romera-Weila... 78

3.3. RównowagaMankiwa-Romera-Weila... 80

3. 4. RównowagaMankiwa-Romera-WeilaprzyfunkcjiprodukcjiCES...103

3.5. Równowaga N-kapitałowegomodeluwzrostu Nonnemana-Vanhoudta...124

3.6. Podsumowanie...138

Rozdział czwarty. Model z endogeniczną akumulacją wiedzy...141

4. 1. Wprowadzenie...141

4.2. Założenia modelu... 141

4. 3. Równowaga modelu...143

Rozdział piąty.Złote reguły akumulacji kapitału...157

5.2. ZłoteregułyakumulacjiwrównowadzeSolowa...157

(10)

5. 3. Złoteregułyakumulacji w równowadze Mańkiwa-Romera-Weila... 161

5. 4. ZłoteregułyakumulacjiwrównowadzeNonnemana-Vanhoudta...168

5. 5. Podsumowanie...176

Rozdział szósty. Wzrost gospodarczy a zatrudnienie i bezrobocie...179

6.1. Wprowadzenie...179

6.2. Rynekpracy w modelutypu Solowa...179

6.3. Rynekpracy w modelutypu Mankiwa-Romera-Weila...194

6.4. Rynekpracy wmodelutypuNonnemana-Vanhoudta...208

Rozdział siódmy. Politykafiskalna awzrost gospodarczy...217

7. 2. Model podstawowy...217

7.3. Modelzwyodrębnionymkapitałempublicznym...232

Rozdział ósmy. Polityka monetarnaawzrostgospodarczy. Równowaga typu Domara-Solowa...239

8. 2. Keynesowskimodelwzrostu Domara...240

8. 3. Założeniamodeluwzrostutypu Domara-Solowa...244

8. 4. Równowagamodelu Domara-Solowa...247

Rozdział dziewiąty. Efekty skaliawzrost gospodarczy...269

9.2. Efektyskali w równowadzetypu Solowa...269

9.3. Efekty skali wrównowadze typu Mankiwa-Romera-Weila...278

9. 4. Efektyskaliwrównowadze typu Nonnemana-Vanhoudta...288

Rozdział dziesiąty. Wybranemodeleoptymalnego sterowania...301

10.2. ModelRamseya...302

10.3. Model Lucasa...317

10. 4. ModelRomera...332

10. 5. OptymalnestopyinwestycjiwmodelutypuMankiwa-Romera-Weila...342

10.6. OptymalnestopyinwestycjiwmodelutypuNonnemana-Vanhoudta...358

Literatura...379

(11)

Wzrost gospodarczyjest procesem o wielostronnych, istotnych konsekwencjach społeczno-ekonomicznych. Maon istotne znaczenie dla rozwoju gospodarek, standar

du życia gospodarstw domowych, kształtowaniasię wielkości popytu na pracę, liczby pracujących i bezrobotnych. Analizy procesów długookresowego wzrostu gospodar czego stanowiąjeden z najistotniejszych problemów współczesnej makroekonomii.

Skrypt Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (ujęcie neoklasyczne) jest wykładem z teoriiwzrostu gospodarczego. Wykładten opartyjest w głównejmierzena neoklasycznych modelach wzrostu gospodarczego Solowa (1956), Mankiwa, Romera i Weila(1992), Nonnemana i Vanhoudta (1996) oraz modelach wzrostu prezentowa

nych w monografiach Tokarskiego (2001, 2005 i 2008a). Prowadzone w skrypcie ana lizy dotyczące determinantów długookresowego wzrostu gospodarczego (oparte na prowadzonych przez autora na kierunku ekonomia na Uniwersytecie Jagiellońskim wykładachz ekonomii matematycznej) złożonesą z dziesięciu rozdziałów.

W pierwszym rozdziale scharakteryzowane jest pojęcie i podstawowe właściwości neoklasycznej funkcji produkcji oraz analizowane są szczególne przypadki neoklasycznej funkcji produkcji, tj. funkcja produkcji Cobba-Douglasa i funkcja produkcji CES (funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji czynnikówprodukcji). Pro

wadzone w tym rozdziale rozważania stanowiąwstęp do analiz dotyczącychneokla

sycznych modeliwzrostu gospodarczego z tego względu, że w owych modelachwzro stu proces produkcyjny zazwyczaj opisany jest przez neoklasyczną funkcję produkcji (najczęściejprzez funkcję produkcjiCobba-Douglasa).

Rozdziałdrugi zawiera analizy dotyczące neoklasycznego modelu wzrostu Solowa.

Model ten jest jednokapitałowym modelem wzrostu gospodarczego z egzogenicznym postępemtechnicznym, tj. takim modelemwzrostu, w którym (po pierwsze) na wiel kość wytworzonego w gospodarce strumienia produktu wpływają nakłady kapitału (rzeczowego), pracy i wiedzy oraz (po drugie) przyrost wiedzy,utożsamiany z postę

pem technicznym, ma charakter egzogeniczny w stosunkudo analizowanej gospodarki.

W prowadzonych w rozdziale drugim analizach neoklasycznego modeluwzrostu go

spodarczego Solowawykorzystuje się zarówno ogólną, neoklasyczną funkcję produk

cji, jak i jej szczególne przypadki, czyli funkcjęprodukcji Cobba-Douglasa i funkcję produkcji CES.

W trzecim rozdziale przedstawione są neoklasyczne modele wzrostu Mankiwa- -Romera-Weila oraz Nonnemana-Vanhoudta, które stanowią rozszerzenia modelu wzrostu Solowa. Model Mankiwa-Romera-Weilajest rozszerzeniem modelu wzrostu Solowa z tegowzględu, iż w modelutym do czynników produkcji oddziałujących na wielkość wytworzonego produktu dodaje się (obok kapitału rzeczowego) kapitałludz

ki, którego akumulacja ma charakter endogeniczny. Natomiast model wzrostu Nonne-

(12)

mana-Vanhoudta stanowi uogólnienie neoklasycznego modelu wzrostu Solowa w tym sensie, że w modeluNonnemana-Vanhoudta uwzględnia sięendogeniczną akumulację skończonej liczbyN różnychzasobówkapitału, które oddziałująna wielkość wytwo

rzonego w gospodarce strumienia produktu. Model wzrostu Mankiwa-Romera-Weila analizowany jest zarówno przy rozszerzonej funkcji produkcji Cobba-Douglasa, jak i przy rozszerzonej funkcji produkcji CES, zaś N-kapitałowy model wzrostu Nonne- mana-Vanhoudta analizowanyjest jedynie przy rozszerzonej funkcjiprodukcji Cobba- -Douglasa.

Czwarty rozdział zawiera charakterystykę modelu wzrostu gospodarczego z endo

geniczną akumulacją wiedzy naukowo-technicznej. Model ten również stanowi rozsze rzenie neoklasycznego modelu wzrostu Solowa. Wynika to stąd, iż w modelu z endo

geniczną akumulacją wiedzy proces akumulacji kapitału rzeczowego opisany jestpo

dobnie, jak ma to miejsce w modelu Solowa, zaś endogenicznąakumulacja wiedzy naukowo-technicznejwynika zcelowego kierowania do sektoratworzącego owąwie dzęnakładów klasycznychczynników produkcji (kapitału rzeczowego ipracy).

W piątym rozdziale przedstawione są modele nawiązujące do zaproponowanych w pracy Phelpsa (1961) złotych reguł akumulacji kapitału. Wyznaczenie tych reguł sprowadza się tam do znalezienia takiej stopy inwestycji lub takiej kombinacji stóp inwestycji, które wyprowadzają gospodarkę na najwyżej położoną, długookresową ścieżkę konsumpcji na pracującego. Reguły te wyznaczane są zarówno na gruncie jednokapitałowego modelu wzrostugospodarczego Solowa, jak i na grunciewielokapi-

tałowych modeli Mankiwa-Romera-WeilaiNonnemana-Vanhoudta.

Rozdział szósty zawierarozszerzenianeoklasycznych modeli wzrostu gospodarcze

go Solowa, Mankiwa-Romera-Weila i Nonnemana-Vanhoudta. Rozważania tepolega ją na tym, żeuchyla się neoklasyczne założenie o egzogenicznym charakterze długo okresowej stopy wzrostuliczbypracujących. Założenie to zastąpione jest przyjęciem dwóch następujących hipotez. W prezentowanych w rozdziale szóstym modelach wzrostu gospodarczego zakłada się, że (po pierwsze), podobnie jak w neoklasycz

nych modelach przedsiębiorstwa, popyt na pracę wyznaczany jest przez zrównanie krańcowego produktu pracy z płacami realnymi oraz (po drugie) płace te kształtują się zgodnie z modelami płac efektywnościowych typu Solowa (1979) i Summersa (1988). Takie rozszerzenie neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego Solowa, Mankiwa-Romera-Weila oraz Nonnemana-Vanhoudta pozwala na endogenizację liczby pracujących, liczby bezrobotnych,stopybezrobocia i płac realnych w analizie długookresowej.

W siódmym rozdziale dezagregowane sąstopy inwestycji w zasoby kapitału rze czowego i ludzkiego (na gruncie modelu wzrostu gospodarczego Mankiwa-Romera- -Weila) na inwestycje sektora podmiotów mikroekonomicznych (gospodarstw domo

wych i przedsiębiorstw) oraz sektora budżetowego gospodarki. Opierając się na tak zdezagregowanych stopach inwestycji, szuka się takiej kombinacji stóp inwestycji sektora budżetowego gospodarki i takiej stopy fiskalizacji gospodarki, które (przy danej kombinacji stóp inwestycjisektora podmiotówmikroekonomicznych) wyprowa

dzają gospodarkę Mankiwa-Romera-Weila na możliwie najwyżej położoną ścieżkę wzrostu gospodarczego (utożsamianą ze ścieżką wzrostu wydajności pracy). Oznacza to, iż w prezentowanychwrozdzialesiódmymmodelach wzrostu gospodarczego anali

zuje się długookresoweskutki realizowanej przezpaństwopolityki fiskalnej.

(13)

wi wprowadzenie do analizowanego w dalszej części tego rozdziału modeluDomara- -Solowa. W modelu typu Domara-Solowa wyznacza się reguły polityki monetarnej banku centralnego, przy których gospodarka rozwija się przy pełnym wykorzystaniu istniejących w niej zdolności produkcyjnych. W rozdziale tym szuka się takiej ścieżki wzrosturealnych stópprocentowych, przy której popytowe (keynesowskie, wynikające z modelu Domara) i podażowe (neoklasyczne,wynikające z modeluSolowa) rezultaty realizowanych nakładów inwestycyjnych, zależnych od wyznaczanych przez bank centralny stóp procentowych, nie prowadząani do powstania luki inflacyjnej, ani do niepełnego wykorzystaniazdolnościprodukcyjnych gospodarki, zaś liczba pracujących rośnie według stopy równej egzogenicznejstopie wzrostupodażypracy(azatem stopa bezrobocianie ulega wówczasw długim okresiezmianom w czasie).

W dziewiątym rozdziale uchyla się założenie o stałych efektach skali funkcji pro dukcji i analizuje się wpływ efektów skali makroekonomicznej funkcji produkcji (efek tówskali procesu produkcyjnego) na długookresową równowagęneoklasycznych mo

deli wzrostu gospodarczego. Malejące (rosnące) efekty skali procesu produkcyjnego utożsamiane są tam z tym, że makroekonomiczna funkcja produkcjijest - matema tycznie rzecz biorąc - jednorodna stopniawiększego (mniejszego) odjedności. Ozna

cza to, że wówczas ^-krotne, przy czym C, > 1, zwiększenie nakładów każdego zczynników produkcji prowadzi do więcej (mniej) niż ć,-krotnego wzrostu strumie nia produktu. Analizy te prowadzone są na gruncie modeli wzrostu gospodarczego Solowa, Mankiwa-Romera-Weila oraz Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji Cobba-Douglasajednorodną dowolnego stopnia Q > 0.

W ostatnim, dziesiątymrozdzialeskryptuprzedstawiona jest krótka charakterystyka wybranych modeli wzrostu gospodarczegoopartych namatematycznej teorii optymal nego sterowania. Są to modele Ramseya (1928), Lucasa(1988), Romera(1986, 1990) oraz modele optymalnego sterowania oparte na scharakteryzowanych wcześniej neo

klasycznychmodelach wzrostu, Mankiwa-Romera-Weilai Nonnemana-Vanhoudta.

Wybór matematycznych modeli wzrostu gospodarczego oparty jest na dwóch na stępującychprzesłankach. Pierwszą z nichjest to, że (zdaniem autora) wkażdej gospo darce występujądające się skwantyfikować zależności przyczynowo-skutkowe między najważniejszymi zmiennymi makroekonomicznymi. Jeśli zaś tak jest, to większość zmiennych makroekonomicznych powiązanych jest z sobą pewnymi, możliwymi do opisumatematycznego, zależnościami tożsamościowymi lub funkcyjnymi. Drugą przy

czyną, dla której wykorzystuje się w skrypcie właśnie matematyczne modele wzrostu gospodarczego, jest ich prostota oraz to, iż pozwalają one na jasne oddzielenie przyjmowanych w modelu założeń od uzyskiwanychtez. Ponadto matematyczne mo

dele wzrostu gospodarczego wyznaczająlogicznie precyzyjną drogęmiędzy przyjmo wanymi założeniami a płynącymi z nich wnioskami. Porównując zaś matematyczne metody analiz ekonomicznychnp. z analizami graficznymi, okazuje się,że

formalne metody mają dwojaką przewagę nad metodami geometrycznymi. Po pierwsze, z „do

wodem” geometrycznym jest taki problem, że nie można być pewnym, czy wykreśliło się krzywe w jedyny dopuszczalny sposób, a w konsekwencji czy wykazane wyniki mają charakter ogólny.

Po drugie, podejście algebraiczne daje możliwość rozszerzenia analizy przez dodawanie lub roz

luźnianie ograniczeń w sposób, na który nie pozwala podejście geometryczne (Mayer, 1996: 62).

(14)

Rzecz jasna, wykorzystanie modeli matematycznych w analizach ekonomicznych napotyka pewne ograniczenia, gdyż

o przydatności pewnej teorii matematycznej do rozwiązywania praktycznych problemów decydu

je m.in. to, czy jej założenia nie upraszczają zbyt mocno tych problemów, czyniąc je praktycznie nieciekawymi. Jednocześnie aby problem mógł być efektywnie rozwiązany na gruncie pewnej teorii matematycznej, powinien być sformułowany w możliwie prostej postaci, ponieważ teorie matematyczne bez „mocnych” założeń dają z reguły nieciekawe twierdzenia (Panek, 1986: 7).

Warto jednak zauważyć, że Domar twierdził, iż jedna z metod analiz procesów wzrostu gospodarczego

polega na formułowaniu problemu jako systemu nielicznych prostych równań różniczkowych, których rozwiązanie daje stopę wzrostu jednej lub drugiej zmiennej (Domar, 1962: 35).

Prowadzone w skrypcie analizy determinantów długookresowego wzrostu gospo darczego zazwyczaj sprowadzają się do tego, że:

I. Opisowo formułowane są założenia dotyczące funkcjonowania gospodarki w długimokresie.

II. Założenia te zapisywanesą za pomocą pewnych,bardziej lub mniej skompliko wanych, zależnościmatematycznych (tożsamościowych i/lubfunkcyjnych).

III. Modelrozwiązywany jest matematycznie.

IV. Matematycznerozwiązanie modelu poddawanejest interpretacji ekonomicznej;

V. Tam, gdziejest to możliwe, prowadzonew skrypcierozważania ilustrowane są graficznie.

Skrypt Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (ujęcie neoklasyczne) prze znaczony jest przede wszystkim do przedmiotu wzrost gospodarczy na studiach eko

nomicznych na poziomie magisterskim. Może on być również wykorzystywany jako materiałpomocniczy do studiowania przedmiotu makroekonomia lub ekonomia mate

matyczna nakierunkach ekonomicznycho średnio zaawansowanympoziomie matema

tycznym.

Do zrozumieniamateriału zawartegow skrypcie niezbędnejest posiadanie przez Czytelników podstawowej wiedzy z zakresu makroekonomii (od strony ekonomicz nej) oraz znajomośćpodstaw rachunkuróżniczkowego i całkowego, zeszczególnym uwzględnieniem równańróżniczkowych,orazrachunkumacierzowego i,wprzypad

ku zagadnień poruszanych w rozdziale dziesiątym skryptu, elementarnej wiedzy z zakresuteoriioptymalnego sterowania (od strony matematycznej).

AutordziękujerównieżRecenzentce skryptu, Pani prof, dr hab. Magdalenie Osiń skiej z UniwersytetuMikołajaKopernika wToruniu,za cenneuwagi do maszynopisu skryptu. Uwagi te pozwoliły na uniknięcie kilku istotnych błędów lub nieścisłości.

Rzecz jasna, cała odpowiedzialność za występujące w skrypcie mankamenty spada wyłącznienaautora.

(15)

FUNKCJE PRODUKCJI

1.1. WPROWADZENIE

Funkcje produkcji stanowią jądro współczesnych makroekonomicznych modeli wzrostu gospodarczego. Dlatego też przed scharakteryzowaniem podstawowych mode

li wzrostu należy wpierw zdefiniować pojęcie funkcji produkcji oraz przedstawić jej podstawowewłaściwości. Analizy te dotyczyć będą zarówno ogólnej, neoklasycznej, makroekonomicznej funkcji produkcji, jak ijej szczególnych przypadków, tj. funkcji produkcji C.W. Cobba i P.H. Douglasa oraz zaproponowanej przez K.J. Arrowa, H.B. Chenery’ego, B.S.Minhasa i R.M. Solowa funkcji produkcji CES (constants elasticity of substitution, czyli funkcji produkcji o stałej elastyczności substytucji).

Wzwiązku z tym celemrozważańprowadzonychwrozdzialepierwszymskryptu jest:

I. Zdefiniowaniepojęciafunkcji produkcji.

II. Określeniewłaściwości, którymipowinna sięcharakteryzować tzw.neoklasyczna funkcja produkcji.

III. Zdefiniowanie i zbadanie właściwości funkcji produkcji Cobba-Douglasa oraz funkcji produkcji CES.

IV. Zdefiniowaniepojęcia postępu technicznego.

V. Wprowadzenie podstawowych klasyfikacji postępu technicznego w makroeko

nomicznej teoriifunkcji produkcji.

VI. Uwzględnienie postępu technicznego w rozważanych w rozdziale pierwszym funkcjach produkcji.

VII. Zdefiniowanie pojęcia efektów skali oraz zbadanie zależności zachodzących międzypostacią funkcji produkcji Cobba-Douglasaa efektami skali.

1.2. WŁAŚCIWOŚCI NEOKLASYCZNEJ FUNKCJI PRODUKCJI

Przez neoklasyczną, makroekonomiczną funkcję produkcji rozumie się pewną funkcję F,któraopisuje zależności zachodzące między nakładamiczynników produk

cji, do których zazwyczaj zaliczasię nakłady kapitału rzeczowego K i pracy L, a wiel kością wytworzonego w gospodarce produktu Y1. Oznacza to, iż funkcję produkcji można zapisać za pomocą następującego równania:

1 Mimo że w rozdziale pierwszym scharakteryzowane są jedynie dwuczynnikowe funkcje pro

dukcji (tj. funkcje produkcji, w których zmiennymi objaśniającymi wielkość produktu Y są nakłady

(16)

y = f(k,l). (1.1) O funkcji produkcji (1.1)przyjmuje się,że spełnia następujące założenia:

1. Dziedziną Dp funkcjiprodukcji F jest zbiór takich nakładówKi L, że K> 0 oraz L>0.

2. FunkcjaprodukcjiF(K, L) jest przynajmniej dwukrotnie różniczkowalna w DF*2.

3. Dla każdego (K, L) e DF zachodzi:

kapitału rzeczowego K i pracy L), to funkcje te oraz ich właściwości można rozszerzyć na N-czynni- kowe funkcje produkcji (czyli takie funkcje produkcji, w których wyróżnia się dowolną, skończoną liczbę N czynników produkcji determinujących wielkość produktu). Właściwości N-czynnikowych funkcji produkcji przedstawione sąnp. w skrypcie Tokarskiego (2008b, podpunkt 1.4.2).

2 Założenia 1-2 nakładane na funkcję produkcji (1.1) nie mają bezpośredniej interpretacji ekono

micznej.

3 Zazwyczaj w teorii ekonomii przez krańcowy produkt kapitału MPK (krańcowy produkt pracy MPL) rozumie się relację przyrostu produktu AY do przyrostu nakładów kapitału AK (pracy AL).

Jeśli jednak AK —> 0 (AL —> 0), to -> |, co implikuje, że przy AK 3K 5K (AL 5L 5L J

bardzo małych przyrostach nakładów kapitału (pracy) krańcowy produkt kapitału (krańcowy produkt pracy) utożsamia się z pochodną cząstkową funkcji produkcji F(K,L) po nakładach kapitału K (pra

cy L).

F(K,0) =F(0,L) = 0. (1.2)

Założenie to interpretuje się ekonomicznie w ten sposób, iżdowytworzeniajakiejkol wiek dodatniej wielkości produkcji Y niezbędne są zarówno nakłady kapitału rzeczo wego K,jak i nakłady pracy L. Innymisłowy,brak jednego ze wspomnianych tu czyn

ników produkcji uniemożliwiaprocesprodukcyjny.

4. Funkcjaprodukcji (1.1) spełnia związek:

VK,L>0 lim F(K,L)= lim F(K,L) = +oo. (1.3)

K—>-hx> L->-hx)

Z równania (1.3) wynika, że bardzo dużym, dążącym do +oo, nakładom kapitału K (pracy L), przy niezerowych nakładach pracy (kapitału), odpowiada bardzo duży, dą

żącydo +oo, strumień wytworzonego produktu Y.

5. Niech MPK= i MPL = -^—= -2— oznaczają, odpowiednio,krańcowy

oK 5K oL 5L

produkt kapitału (MPK) i krańcowy produkt pracy (MPL)3 oraz dla każdego K > 0 i L> 0 zachodzą związki:

MPK>0 (1.4a)

i:

MPL>0. (1.4b)

Nierówności (1.4ab) oznaczają, że każdej dodatniej kombinacji nakładów kapitału i pracyodpowiadają dodatnie krańcowe produkty tych czynników produkcji. Nierów

(17)

ności temożna także interpretowaćekonomicznie w ten sposób, iżjeśli rosnąnakłady kapitału K (pracy L), przystałychnakładach pracy (kapitału), to wielkośćprodukcjiY również rośnie.

6. Spełnione sątzw. warunki K.-I. Inady. Warunki te można zapisać matematycz nie następująco:

Z warunkówInady (1.5ab) wynika, że bardzo małym (bardzo dużym) nakładom kapi tału K, przy dodatnich nakładach pracy L, odpowiada bardzo duży (bardzo mały)krań- cowy produkt kapitału MPK. Co więcej, ponieważ MPK= -^—= -^-, zatem przy

oK oK

bardzo małych (bardzodużych) nakładachkapitału i stałych nakładach pracy nachyle

nie krzywejprodukt-nakładkapitałudąży od nieskończoności (do zera). WarunkiIna

dy (1.5cd) interpretujesięekonomicznieanalogicznie do warunków(1.5ab).

7. Zachodzą związki:

Z zależności (l.óab) wynika (po pierwsze), że wraz ze wzrostem nakładów kapitału (pracy), przy stałych nakładachdrugiego z czynników produkcji, spada krańcowy pro duktkapitału (pracy),oraz (po drugie), iż krzywa produkt-nakłady kapitału (produkt- -nakłady pracy), przy stałych nakładach pracy (kapitału), jest wklęsła. Krzywe pro dukt-nakład czynnika produkcji oraz krańcowy produkt czynnika produkcji-nakład owego czynnika,wynikające z założeń 3-7 nakładanych na makroekonomiczną funk cję produkcji (1.1), zilustrowanesąnarysunkach l.lab4.

4 Zapis postaci x|z oznaczał będzie dalej, iż zachodzi X po warunkiem, że zachodzi Z. Dlatego też np. oznaczenie k|l si na osi poziomej rysunku 1.1 a należy interpretować w ten sposób, że na osi tej odkłada się zmienną K przy stałej wartości zmiennej L.

(18)

Rys. l.la. Nakłady kapitału K a produkcja Y i krańcowy produkt kapitału MPK

Rys. l.lb. Nakłady pracy L a produkcja Y i krańcowy produkt pracy MPL

Zrysunków l.lab wynika, iżfunkcja produkcji spełnia prawo malejącejprodukcyjno

ści krańcowej, zarówno względem nakładów kapitału rzeczowego K, jak i nakładów pracy L. Prawo to interpretuje się ekonomicznie wten sposób, iżjeśli rosną nakłady kapitału (pracy), przy stałych nakładach pracy(kapitału), to wielkość produkcji rośnie coraz wolniej,zaśkrańcowy produkt kapitału (krańcowy produkt pracy) spada.

8. Makroekonomiczna funkcja produkcji (1.1) jest jednorodna stopnia pierwszego (innymi słowy, funkcja ta jest liniowo jednorodna) względem nakładów kapitału i pra

cy. Płynie stąd wniosek, że dlakażdegoC, > 0 oraz (K, L) e DF zachodzi równanie:

F(CK£L) = ęF(K, L) =ę{. (1.7) Fakt, że funkcja produkcji jest jednorodna stopnia pierwszego,tożsamy jest z tym, iż w gospodarce występują stałe efekty skali procesu produkcyjnego. Stałe efekty skali interpretuje się zaś ekonomicznie w ten sposób, że dowolnemu ^-krotnemu (^ >0)

(19)

wzrostowi nakładów obu rozważanych tu czynników produkcji odpowiada dokładnie

^-krotny wzrost wytworzonego w gospodarcestrumienia produktu. Innymisłowy, jeśli w gospodarcewystępują stałe efektyskaliinp. w ciągu 50(70) lat nastąpipodwojenie (potrojenie) nakładów każdego z czynników produkcji, to w gospodarce tej nastąpi również podwojenie(potrojenie) wielkości wytworzonej produkcji.

1.3. FUNKCJA PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA

Szczególnym przypadkiem neoklasycznej funkcji produkcji (1.1) jest powstała w 1928roku funkcja produkcjiCobba-Douglasa.Funkcja taopisana jest przez następu

jące równanie:

VK,L>0 Y =F(K,L)= AKaL1_a, (1.8) gdzie A jest łączną produktywnością czynników produkcji (total factor productivity), zaś a i 1 - a e (0; 1)to zarówno elastyczności produktu Y względemnakładówkapita

łu K i pracy L,jak i(na gruncie marginalnej teoriipodziału J.B.Clarka) udziały kapita łui pracy w produkcie.

Łączną produkcyjność czynników produkcji A można utożsamiać z produktem, który byłby wytworzony wgospodarceprzy jednostkowych nakładach każdego zana lizowanych tu czynników produkcji. Wynika to stąd,iżdlakażdego A > 0 zachodzi:

F(l,l) = A-l“l1_a= A.

Łączna produkcyjność czynników produkcji wyznacza również poziom zaawansowa nia technologicznego gospodarki. Wynika to stąd, iż im wyższa jest owa produkcyj

ność, tym wyższy produkt może być wytworzony z danych nakładów czynników produkcji.

Parametry a i 1-a w makroekonomicznej funkcji produkcji Cobba-Douglasa są elastycznościamiprodukcji względem nakładówkapitału i pracy z tego względu, iżdla każdegoK> 0 iL > 0 zachodzą związki:

Zpowyższych zależności wynika,że jeśli nakłady kapitałuK. (pracyL) wzrosną o ę%, przy stałychnakładach pracy(kapitału) i stałej łącznej produkcyjnościczynników pro dukcji A, to wielkośćprodukcji Y wzrośnie o ^a% (£-(1 - a)%).

Jeśli zaś weźmie się pod uwagę marginalną teorię podziału Clarka5, to się okaże,że przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1.8) zachodzązwiązki:

5 Marginalna teoria podziału Clarka sprowadza się do tego, że w warunkach konkurencji dosko

nałej i maksymalizujących zysk przedsiębiorców każdy z czynników produkcji jest opłacany według jego produktu krańcowego.

(20)

wK =MPK =-|^ =jr(AKaL|-a)^aAKa-1L1~a =a AK°L‘"a =a£

5K oK K K

i (analogicznie):

wL=MPL^ = (l-a)^,

gdzie wK>O oraz ^wl > 0 oznaczają realne ceny zaangażowania kapitału K i pracy L w procesie produkcyjnym. Z powyższych zależności wynika, że:

WvK

a = — Y oraz:

. wll

1-<x = —Y~’

co oznacza, żeparametry a i 1 - a w funkcji produkcji Cobba-Douglasa wyznaczają udziałynakładów kapitału Ki pracy L wprodukcie Y. Płyniestąd wniosek, że jeśli np.

a =1/3 (a więc 1 -a = 2/3), to dokażdego złotego wytworzonegowgospodarcepro duktukapitał (praca)wnosi 1/3(2/3) złotego.

Makroekonomiczna funkcja produkcji Cobba-Douglasa spełnia wszystkie warunki nakładanenaneoklasyczną funkcję produkcji (1.1). Wynika to stąd, że:

(i) VK>0 F(K,0) =A-K“ •01_a=0 i VL>0 F(0,L)=A0“-L*-a =0;

(ii) VL>0 lim F(K,L)= lim (AKaL1-a)=AL'-a lim (Ka)=+oo

K.-K->+oo K->-hd

[bo a e (0; 1)] oraz

VK>0 lim F(K,L)= lim (AKaL1_a )= AK“ lim (L*-a)=+oo

L->+«o v ' L->+oov ' L->+oov ’

[co wynika stąd,że(1 - a) e (0; 1)];

(iii) dlakażdegoK, L > 0 zachodzi:

MPK=3K = 5K (ARa L'a = aAK“’' L‘’“ >0

oraz MPLe=|^= J-(AKaL1~a) =(l-a)AKaL-a >0;

(iv) spełnionesąwarunki Inady, cowynika stąd, że:

VL > 0 lim MPK = lim (aAKa-'L‘-°) = aA,L’~a > =+oo, K->o+ ^k->o+' ’ lim K‘-“

k->o+' ’

VL >0 lim MPK= lim (aAK“-'L‘-“) = aA,L‘~,° . = 0,

k-++<x> k->+o/ > lim K‘-“

K->+®v '

(21)

3

VK > O lim MPL= lim ((1 - a)AKaL_a )=

L-»0+ K—>0*

6 O wszystkich występujących dalej zmiennych makroekonomicznych implicite będziemy zakła

dali, że są różniczkowalnymi funkcjami czasu t e [0;+oo). Zapis postaci x = x(t) = ozna- dt dt czai będzie dalej pierwszą pochodną zmiennej x po czasie t, czyli - ekonomicznie rzecz ujmując - przyrost wartości owej zmiennej w momencie t e [0;+oo).

(l-g)AKa lim(La) L->0łv '

=+oo

oraz:

(v) pochodne cząstkowe krańcowychproduktów czynników produkcji(czyli MPK iMPL)ponakładach owych czynników produkcji (KiL) są ujemne, gdyż:

^^= ^(aAKa-1L1-a)=a(a-l)AKa"2L1-a =-a(l-a)AK.a“2L1“a <0 oraz:

=^-((1 -a)AKaL-“ )= -a(l -a)AKaL-a-' <0; (vi) ponieważ dla każdego ę> 0 zachodzi:

F(£K,ęL) =A^Ky^L)*- 0=A^K^L1"* =^AKaLl_a=^F(K,L),

zatemmakroekonomiczna funkcjaprodukcji Cobba-Douglasa jest jednorodna stopnia pierwszego (występująstałe efekty skali procesu produkcyjnego).

Logarytmując stronami (np. logarytmem naturalnym) funkcję produkcji Cobba- -Douglasa(1.8), uzyskuje sięzwiązek:

In (Y) = ln (A)+ a ln (K)+ (1 -a)ln (l) .

Różniczkując powyższą zależność względem czasu t e [0;+oo), uzyskuje się równanie6:

Vte[°;+oo) _L.dA _1_ dK

A dt K dt lub:

Vt e [0;+oo) Y(t)=Ą(t) + ak(t)+(l_a).L(t)

Y(t) A(t) K(t) V 7 L(t) (1-9) Równanie (1.9) wyznacza dynamiczną postać funkcji produkcji Cobba-Douglasa.

Z zależności tej wynika,że stopa wzrostu strumienia produktu równa jest stopie

(22)

wzrostu łącznej produkcyjnościczynników produkcji 7 powiększonejo sumę stóp

wzrostu nakładów kapitału i pracy ważoną udziałami nakładów kapitału

7 Jak się niebawem okaże (por. punkt 1.5 skryptu), stopa wzrostu łącznej produkcyjności czynni- ków produkcji — równa jest stopie postępu technicznego w sensie Hicksa.A

(a) i pracy (1 - a ) w produkcie. Równanie to pozwala również na określenieudziałów wpływu postępu technicznego, akumulacji kapitału i wzrostu liczby pracujących na wzrost produktu. Ze związku (1.9) wynika bowiem, iż udział postępu technicznegowe wzroście produktu równy jest udział akumulacji kapitału wynosi

udz'ał wzrostu liczby pracujących we wzroście produkcji określa zależność: ^(1 - y’) •

1.4. FUNKCJA PRODUKCJI CES

Innym przykładem funkcji produkcji, zbliżonej do neoklasycznej funkcji produkcji (1.1), jest funkcja produkcji o stałej elastyczności substytucji czynników produkcji (nazywanadalej funkcjąprodukcji CES). Funkcję tę opisuje następującerównanie:

VK,L>0 Y = F(K,L) = a[uK_v + (1-u)L-v]'1/V =--- ,/w , (1-10) Ik'1' i? J

gdzie A>0, u e (0;l), zaś y e (0;+oo). Parametr A w funkcji produkcji CES (1.10) jest, podobnie jak w przypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1.8), łączną pro dukcyjnością czynników produkcji. Wynika to stąd, że zgodnie ze związkiem (1.10) dlakażdegoA> 0zachodzi zależność:

F(i,i) =a[u• rv+(i - u)- r^1/v=A.

Co więcej, z funkcji produkcji CES (1.10) wynika, że krańcowe produkty kapitału i pracy określone są przez równania:

VK, L > 0 MPK - =^(A [uK-’1' + (1 -u)L-41/V) =

= A^-^[uK_M'+(l-u)L"v]’1/V"1u(-y)K"'1'’1 =

(23)

= ua[uK-v + (1 - u)L-'l'f(','+1)/M'K-(v+1) =

_ u ĄW+l

Av K

k 7

=-£- A Av

( [

^u

K-M1-

^o

)L-TT

K J

czyli:

VK,L>0 MPK=-^-f^y1 i (analogicznie):

VK,L> 0 MPL = ~r = '

3L Av UJ

(Lila)

(l.llb) Krańcowe produkty kapitału i pracy, zgodnie z marginalną teorią podziału Clarka, powinnybyćrówne realnym cenom kapitału (wr) ipracy(wl). Oznaczato,że:

oraz:

MPK

Av

I k J

^{= WK}

MPL = i

-U

^y

Y+1

Av UJ

⁼^w^L.

Równania (1.12ab) można również zapisać następująco:

i:

(1.12a)

(1.12b)

(1.13a)

(1.13b)

Wyrażenia po uwzględnieniu równania (1.10), można zapisać za pomocą związków:

a[uK^ [uK~v + (1- u)L~'t'?1

_________1

[uK-'1' + (1 - u)l_m']kv

(24)

i(podobnie):

1

Wstawiając dwiepowyższe zależności dorównań (1.13ab), uzyskuje się udziałykapi

tału ipracy w produkcie, opisane wzorami:

oraz:

wlL

(1.14a)

Y 1 —u (1.14b)

Z równań (1.14ab) płynie wniosek, że jeśli parametr y w funkcji produkcji CES jest zbieżny do zera, to przy K>0 oraz L>0 zarówno -> 1, jak

—>1, co z kolei implikuje, iż wówczas

wkk

Y o ---> u oraz

—-— =---1— ---> 1 - u. Oznacza to, że jeśli parametr \|/ dąży do zera, to

udziały nakładówkapitałuK i pracy L w produkcieYzbieżne są doparametrów u oraz 1 - u w funkcji produkcji CES.

Parametr yw funkcji produkcji CES determinuje elastyczność substytucji nakła

dów czynników produkcji. Można bowiem pokazać, iż elastyczność substytucji

e czynnikówprodukcji w procesie produkcyjnymprzy funkcji produkcji CESdana jest wzorem8:

8 Formalne wyprowadzenie zależności (1.15) znaleźć można np. w książce Chianga (1994: 426- -429).

(1-15) Zrównania (1.15)wyciągnąć możnatrzy następujące wnioski:

• Popierwsze, przyy -> 0+ elastyczność substytucji ezbieżna jest dojedności.

• Po drugie, dlay e (0;+a>) elastyczność tajest mniejsza od jedności.

• Po trzecie, przy \|/—> +oo elastycznośćsubstytucji e —>0.

(25)

Pokażemy również, że funkcja produkcji CES dana wzorem (1.10) spełnia prawie wszystkie ograniczenia nakładane naneoklasycznąfunkcjęprodukcji (1.1). Dzieje się takdlatego, że:

(i) VL>0 lim F(K,L)= lim

K—>0+ K—>0*

= 0

i (analogicznie):

VK>0 lim F(K,L)= lim

L—>0* K-»0ł

= 09.

(ii) Nie są spełnione równania (1.3) dlakażdegoK > 0 i L > 0, gdyż:

VL>0 lim F(K,L)= lim A

K—>+w K-»+m

km i V /v L7 J

AL (l-u)1/v

VK>0 lim F(K,L)= lim

L-»+oo L->+oo

A AK

u^{l/y ’}

Warto jednak zauważyć, iż warunek (1.3) jestspełniony dopiero wówczas, gdy zarów

no nakłady kapitału, jak i nakłady pracy sąbardzo wysokie (zbieżne do +°o). Wynika to stąd, iż:

lim F(K,L)= lim ---—--- -—=+oo.

K—>-koa L->+« K->+® a L->+® / .

m_+km

Ik(iii) *v lv j

(iii) Krańcowe produkty nakładów kapitału (MPK) i pracy (MPL) są dodatnie.

Wynika to stąd, że dla każdego K, L> 0, zgodnie zrównaniami (1.1 lab), zachodzą związki:

>0

oraz:

>0.

9 Ponieważ dziedzina funkcji produkcji CES jest węższa od DF, zatem ograniczenia (1.2) nakła

dane na tę funkcję produkcji spełnione sąjedynie przy K —> 0+ oraz L —> 0+.

(26)

(iv) Częściowo spełnione są warunki Inady, gdyż:

( ^{x v+>}

VL> 0 lim MPK - lim

K->0ł K->0*

(v) Drugie pochodne cząstkowe funkcji produkcji CES opisane są przezrównania:

z \ V+1

A

= -11- lim

Av K->0«

7

= -— lim Av

u A

*

Av+‘ = A >0 u(M'+>)/'ł< 9!/* ’

\V+1

VL>0 lim MPK = lim

K-y+oo f = -H- lim

A

* K-++® l/y = 0,

Y+l

VK>0 lim MPL= lim

L-><T L->0+ = -—- lim

A

* L-+0+

uA >0 (1-Dp

oraz:

\v+l

VK >0 lim MPL = lim

L->+oo L->+oo =-—— lim

Av L->-ko = 0.

z U +

A 7

z

- 4Y

K->+<° Av <Kj

A

7

/

A

7

vk , l > o

’ 5K SKIa^K

u d

|7 y Y+ i 1

J Av SK

[I k J ]

o, YY 3Y/3K-K-Y-SK/óK

K2

=^(v+1)fYy.^-K-Y

A* ^Kj k2

oraz:

vk,L>o « * 5Y/3L-L-Y

SL^ Av ₇ L2

(27)

Pochodne te są ujemne, gdyż wyrażenia -^-(\|/ + 1)QQ i + sądo datnie,związki ^-K-Y oraz 4^L-Y przyjmują natomiast wartości ujemne. Fakt,

oK OL

iż <0 i -fy-L-Y<0, wynika stąd, że (jak się niebawem okaże) funkcja

oK oL

produkcji CES jest jednorodna stopnia pierwszego. To zaś (na mocy twierdzenia Eule

ra o funkcji jednorodnej) implikuje, że spełnione jest równanie:

Y — _i_ dY ^t Y-dKK+dLL-

Ponieważ pochodne cząstkowe funkcji CES są dodatnie, zatem produkcja Y jest wyższa zarówno od iloczynu -^77 K, jak i od ^L, skąd płynie wniosek, że

oK 3L

-f^-K-Y <0 oraz ^-L-Y <0, azatem drugie pochodne funkcji produkcji CES

OK OL

są ujemne. Dlatego też przy funkcji produkcji CES spełnione jest prawo malejącej produkcyjności krańcowejnakładów kapitału i nakładówpracy.

(vi)

Jak już wspomniano, funkcja produkcji CES (1.10) jest jednorodna stopnia pierwszego(występują stałeefekty skali procesu produkcyjnego). Wynika to stąd, że:

VC,K,L >0 FfcK,CL)=T--- --- TT- = t= [u(CK)-

*+(l-uXCLpJ V + (1- u)c-vL-* p

10 Zapis postaci oznaczał będzie wyrażenie nieoznaczone postaci 0/0. Podobnie zapis H^—) utożsamiany będzie w wyrażeniem nieoznaczonym typu oo/oo.

________________Ą________________ _ K ___________A______________ _ IZ T \

C“1[uK_v +(l-u)L-v]l/v [vK-v +(1-u)L-v]1/v

Można również pokazać, iż przy \|/ —>0 funkcja produkcji CES jest zbieżna do funkcji produkcji Cobba-Douglasa. Dziejesiętak dlatego, że:

VK,L>0 lim (a[vK^ + (1 -v>L~*L' )= lim =

M/->0+x 7 y->0+^ J

f ln(A)-L|n(uK-* +(l-v)L'* j') ln(A)-

= lim e v->oł

7

„ . . ln(uK^+(l-uVv ) ...

Ponieważ iloraz —>---*--- --- L jest wyrażeniem nieoznaczonym typu 0/0, zatem(po zastosowaniu reguły dePHospitala) uzyskujesię związek10:

(28)

VK,L>0 lim v->oł

' ln(uK-,t,+(l-u)L-y)>| ^I ⁽ y-»0lim +

-uK"'1'ln(K)-(l-u)L-'1' ln(L)' _ 7 uK-'1'+(1-u)l-'1'

= -[uln(K) + (l-u)ln(L)].

Wstawiając powyższązależność do granicy (1.16), granicę tę można zapisaćnastępu

jąco:

VK,L>0 lirn ^A[uK"v+(l-u)L”1']‘1/'t'^=e,n(A)+u,n(K)+(l_u)ln(L)=

V"<’+ =eln(AK“LI-“) = AKULI<O

Równanie (1.17) dowodzi, że przy \|/-> 0+funkcja produkcji CES (1.10) jest zbieżna do funkcjiprodukcjiCobba-Douglasa(1.8).

Logarytmującstronami funkcję produkcjiCES, uzyskujesięzależność:

ln(Y) = m(A)- ).

Różniczkując powyższy związek względem czasu t e [0;+oo), dochodzimy do równania:

Y _ A_ J_ -oyK~l|'~lk.-(l-o)\|/L~'t,~'L = a uK^^K + p-u^^L Y A v uK_M' +(l-u)L’v “A+ uK-v+(1-u)L-'1' lub:

(1-18) Y = A + uK~'t' .K + (l-u^-'1' L

Y A uK-'*' +(l-u)L^ K uK"1'+(l-u)L^ L' Równanie (1.18) wyznacza dynamiczną postaćfunkcjiprodukcji CES.

Z równania tegowyciągnąć można m.in. kilkanastępujących wniosków:

• Stopa wzrostu produktu —

Y

przy funkcji produkcji CES, podobnie jak ma to miejsce wprzypadku funkcji produkcji Cobba-Douglasa, zależna jest od stopy wzrostu

1 •• A k

łącznej produkcyjności czynników produkcji —, stopy wzrostu zasobu kapitału —

A K

oraz od stopy wzrostuliczby pracujących -Ł.

• Każdy punkt procentowy stopywzrostu łącznej produkcyjności czynników pro dukcji, podobnie jak przy funkcji produkcji Cobba-Douglasa, przekłada się (ceteris paribus) napunktprocentowystopywzrostuproduktu.

• Co więcej, ponieważ przy K>0 i L>0 wyrażenia uK oraz

(l-u)L“v . .

----—-4--- j- przyjmują wartości dodatnie, zatem imwyzsze są stopy wzrostu uK + (1 - u)L

(29)

K f

zasobów kapitału — ipracy —, tym wyższajeststopa wzrostu strumieniawytworzo-

K L

negoproduktu —Y .

• O ile jednak przy dynamicznej funkcji produkcji Cobba-Douglasa (1.9) zależno

ści między stopąwzrostuproduktu astopami wzrostu kapitałui pracy sązależnościami linowymi, o tyle przy dynamicznej funkcji produkcji CES (1.18) związki te są nieli niowe oraz zależne zarówno od parametrów u i y funkcji produkcji CES, jak i od wielkości nakładów Ki L.

1.5. FUNKCJA PRODUKCJI Z POSTĘPEM TECHNICZNYM

W prowadzonychwcześniej analizach dotyczących funkcji produkcji Cobba-Dou- glasai CES definiowano pojęciełącznej produkcyjnościczynnikówprodukcji. Zmien

na ta mierzyła poziom zaangażowania (rozwoju) technologicznego gospodarki. Nie zdefiniowano jednak pojęcia postępu technicznego. Dlatego też w podpunkcie 1.5.1 zdefiniowane zostanie owo pojęcieorazprzedstawione będąjego podstawowe klasyfi

kacje w teorii makroekonomicznej. W podpunktach 1.5.2 oraz 1.5.3 uwzględniony będzie wpływ postępu technicznego i jego rodzajów zarówno na funkcję produkcji Cobba-Douglasa (podpunkt 1.5.2), jak i na funkcję produkcji CES (podpunkt 1.5.3).

1.5.1. Definicja i klasyfikacje postępu technicznego

W teorii makroekonomicznej przez postęp techniczny rozumie się zazwyczaj dy

namicznyproces polegającyna tym,że na skutek jego działania ztych samych nakła dów klasycznych nakładów czynników produkcji (kapitału K i pracy L) może być wytworzony coraz większy strumieńproduktu Y lub, co na jednowychodzi, ten sam strumień produktu może być wytworzony przy coraz mniejszych nakładach kapitału ipracy. Definicja ta zaczerpnięta jest od R.M.Solowa, którytwierdził, że:

Gdy rozważymy postęp techniczny we właściwy ekonomistom, abstrakcyjny sposób, jest całkiem naturalne, że wyobrażamy sobie typowy wykres produkcji z nakładami mierzonymi wzdłuż osi układu i zespołem krzywych jednakowego produktu i twierdzimy, że przy postępie technicznym krzywe te przesuwają się w ten sposób, iż z danych nakładów może być wytworzona większa ilość produktu, albo że ten sam produkt może być wytworzony przy mniejszych nakładach (So- low, 1967:48).

Płyniestąd wniosek, że przez postęp technicznybędziedalej rozumiany dynamicz ny proces, który polega na tym, że naskutekdziałaniapostęputechnicznego izokwanta z funkcjiprodukcji(czyli krzywajednakowegoproduktu)11 będzie się przesuwała wraz

11 Przez izokwantę z funkcji produkcji rozumiane są wszystkie takie kombinacje nakładów czyn

ników produkcji (K > 0 i L > 0), przy których możliwa jest realizacja określonej wielkości produkcji (wynoszącej np. Yo > 0). Stąd zaś wynika, że izokwanta z funkcji produkcji jest, matematycznie rzecz biorąc, warstwicąz owej funkcji.

(30)

z upływem czasu w kierunku początku układu współrzędnych, w którym na osiach odłożone sąnakłady kapitałuKipracyL. Definicję tę ilustruje rysunek 1.2.

Rys. 1.2. Izokwanty z funkcji produkcji w warunkach występowania postępu technicznego

Z rysunku 1.2 wynika, że jeśli w pewnym momencie ti e [0;+oo) wytworzenie wielkości produkcji Yo > 0 możliwe było np. przy zaangażowaniu Ko > 0 jednostek kapitału iLo > 0 jednostek pracy, o tyle wmomencie t2 >ti (na skutek działaniapostę pu technicznego) uzyskanie tej samej wielkości produkcji możliwejestprzy wykorzy

staniu np. Ki < Ko jednostek kapitału (przy tych samych nakładach pracy Lo) lub przy wykorzystaniu Li< Lo jednostek pracy (przytych samych, wynoszących Ko,nakładach kapitału). Oznacza to, że na skutek działaniapostępu technicznego izokwanta z funkcji produkcji przesuwa się w kierunkupoczątkuukładu współrzędnych.

Co więcej, załóżmy, żefunkcję produkcji definiuje się następująco:

Vte[0;+co) Y(t) = <D(A(t),K(t),L(t)), (1.19) gdzie K i L definiuje się tak jak uprzednio, zaś A> 0 jest dostępnym w gospodarce zasobem wiedzy naukowo-technicznej12, przy czym funkcja produkcji (1.19) spełnia (względem K i L) wszystkie założenia nakładane na funkcję produkcji (1.1) oraz

12 Należy tutaj wyraźnie podkreślić, iż zasób A w funkcji produkcji (1.19) nie musi być tożsamy z łączną produkcyjnością czynników produkcji A w funkcjach produkcji Cobba-Douglasa i CES.

>0 i A> 0. Warunek > 0 oznacza tyle, żejeśli rośnie zasób dostępnejwie

dzy A, to (ceteris paribus) rośnie również wielkość wytworzonego produktu Y. Jeśli zaś wfunkcji produkcji (1.19) postęp techniczny utożsamiany jest ze wzrostemzasobu A, to postęp ów występuje wtedy i tylko wtedy, gdy rośnie zasób dostępnej wiedzy, a więc wówczas,gdyw każdymmomencie t e [0;+oo) zachodzizwiązek: A> 0. Stopę wzrostu wiedzy g = nazywalibędziemydalej stopą postępu technicznego.

(31)

Ponadto w literaturze makroekonomicznej wyróżnia się kilka rodzajów postępu technicznego.Mówi się m.in. o postępie technicznym wsensie J.R. Hicksa, R.M. So lowa oraz R.F. Harroda. Przez postęp techniczny w sensie Hicksa rozumie się taki rodzaj postępu technicznego, który w takim samym stopniu potęguje produkcyjność kapitałurzeczowego i pracy. Innymi słowy, postęp techniczny w sensie Hicksa można utożsamiaćz takim przyrostem zasobu wiedzy A, który nie zmienia krańcowej stopy substytucji mrs=- między nakładami czynników produkcji. Oznacza to, że przy postępie technicznym w sensie Hicksa funkcję produkcji (1.19) można zapisać następująco:

Vte[0;+a>) Y(t) =®(A(t),K(t),L(t))=A(t)-F(K(t),L(t)), (1.20a) gdzie funkcja F(K, L) opisana jest przezrównanie (1.1).

Przez postęp technicznyw sensie Solowa rozumie się natomiast taki rodzaj postępu technicznego, który bezpośrednio potęguje produkcyjność nakładów kapitału. Postęp techniczny w sensie Harroda definiuje się zaś jako ten rodzaj postępu technicznego, który bezpośrednio potęguje produkcyjność pracy13. Płynie stąd wniosek, że przy po

stępie technicznym w sensie Solowafunkcję produkcji (1.19) można zapisać następu jąco:

13 Postęp techniczny w sensie Harroda .jest postępem technicznym potęgującym pracę w tym sensie, że jest równoznaczny z odpowiednim wzrostem siły roboczej”, a „daną produkcję można otrzymać z danych nakładów kapitału połączonych z malejącymi w czasie nakładami siły roboczej, L, mierzonymi w jednostkach naturalnych” (Allen, 1975: 237). Analogicznie rzecz się ma z postępem technicznym w sensie Solowa.

Vte[0;+oo) Y(t) = <D(A(t),K(t),L(t))=F(A(t)-K(t),L(t))= F(K(t),L(t)), (1.20b) zaś postęp techniczny w sensie Harroda implikuje zależność:

Vt e [0;+oo) Y(t) =o(A(t),K(t),L(t))=F(K(t), A(t) • L(t)) =f(k(1),L(t)), (1.20c) gdzie K = AK i L= AL oznaczają (odpowiednio) tzw. jednostki efektywnego kapita łu (k) oraz jednostki efektywnej pracy (l).

Różniczkując równania (1.20abc) względem czasu t e (0;+oo), uzyskuje się nastę

pujące związki:

Vte[0;+oo) Y(t) = A(t)-F(K(t),L(t))+A(t).g-k(t) + ^-L(t)^ (1.21a)

Vt e[0;+oo)

oraz:

Vt e [0;-ł-oo) Y(t) = • K(t)+ < •L(t) = • K(t)+< • (A(t) •L(t)+A(t) • L(t)) (1.21c)

(32)

Równania (1.21abc) opisująrelacje, które zachodzą między przyrostem nakładów kapitału K, pracy L i wiedzy A a przyrostem produktu Y przyróżnych(wyróżnio nych tu) rodzajach postępu technicznego.

1.5.2. Postęp techniczny w funkcji produkcji Cobba-Douglasa

Wprzypadku funkcji produkcjiCobba-Douglasa postęp techniczny wsensie Hicksa występuje wówczas, gdy funkcja ta dana jest wzorem:

Vte[0;+oo) Y(t) =A(t)(K(t))a(L(t))‘-a, (1.22) gdzie A jest zasobem wiedzy odpowiadającym łącznej produkcyjności czynników produkcji w równaniu (1.8). Jeśli zasób ów rośniewedług stopy postęputechnicznego w sensie Hicksa równej g>0, to (po zlogarytmowaniu związku (1.22) logarytmem naturalnym) uzyskujesięzależność:

Vte [0;+oo) ln(Y(t)) =ln(A(t))+ a • ln(K(t))+ (1- a)- ln(L(t)).

Różniczkując powyższy związek względem czasu t e [0;+co), dochodzi się do dy

namicznej funkcji produkcji Cobba-Douglasadanej wzorem:

Ponieważrównanie (1.23) tożsame jest z równaniem (1.9), zatem interpretacjaekono micznajest takasama jak interpretacja owegorównania.

Przy postępie technicznym w sensie Solowa funkcję produkcji Cobba-Douglasa można zapisaćnastępująco:

Vte[0;+oo) Y(t)=(A(t) • K(t))“(L(t))1_“ = (K(t)]a(L(t))1_a . (1.24) Łączna produkcyjnośćczynników produkcjiw funkcji(1.24) równa jest A“. Wynikato stąd, iż jednostkowym nakładom kapitału i pracy (K= L= 1) odpowiada produkt Y równy właśnie A“.

Jeśli założy się, iż zasób wiedzyA rośnie wedługstopy wzrostug > 0 (będącejsto

pą postępu technicznego w sensie Solowa), to dokonując analogicznych przekształceń, jakprzy przejściu z równania(1.22) do (1.23),okazuje się, że:

Vte [0;+oo) ln(Y(t)) = a ln(K( t))+ (1 - a)ln(L(t))= a[ln(A(t))+ ln(lC (t))]+ (1 - a)ln(L(t)), skąd wynika, iż:

= a

Vt e[0;+oo) 'A(t) K(t)' kA(t) K(t)?

(1-25)

(33)

Zrównania (1.25) płyną dwa następujące wnioski:

• Stopa wzrostu produktu —Y równa jest sumie stopy wzrostu jednostek efektyw-

K L

nego kapitału — i stopy wzrostuliczby pracujących —, ważonej elastycznościami a

K L

i 1 - a.

• Stopa wzrostu jednostek efektywnego kapitału jest zaś równa stopie postępu technicznego w sensie Solowa (g), powiększonej o stopę wzrostu zasobu kapitału

(0

Przy postępie technicznym w sensie Harroda funkcja produkcji Cobba-Douglasa dana jest wzorem:

Vt g[0;+co) Y(t) = (K(t))“ (A(t) •L(t))'-a = (K(t))a (£(1))* ““. (1.26) Czytelnicy powinni sami uzasadnić to, iż przy funkcji produkcji (1.26) łączna produk

cyjność czynników produkcji równa jest A1_a. Co więcej, korzystajączzałożenia, że

—=g (gdzie g > 0 jest stopą postępu technicznego w sensie Harroda) i dokonując A

analogicznych przekształceń jak poprzednio, dochodzi się do następującego równania stopy wzrostuproduktu:

(1-27)

Ponieważ równanie (1.27) jest analogiczne do równania(1.25), zatemjego interpreta cjęekonomiczną pozostawiamy Czytelnikom.

1.5.3. Postęp techniczny w funkcji produkcji CES

Funkcjęprodukcji CES z postępem technicznym można zapisać zapomocąnastę

pującychwzorów:

Vte[0;+oo) Y(t)= A(t)[U-(K(t)p+(l-U).(L(t)p]'1/'ł' (l-28a) (przypostępie technicznym w sensie Hicksa)

Vte[0;+oo) Y(t)= [u-(A(t)-K(t))-'t'+(l-u)-(L(t))-^1/V (1.28b) (wówczas, gdypostęp technicznyjest postępem wsensie Solowa)oraz:

Vte[0;+oo) Y(t)= [u-(K(t))_v+(l-u)(A(t)-L(t))~'t']”1 V (1.28c)

(34)

(przy postępie w sensie Harroda). Różniczkując równania (1.28abc) względem czasu t e [0;+oo),uzyskuje się następujące zależności:

Vte[0;+«) Y(t) = A(t)• [u• [K(t)]_v +(1-u)-[L(t)p

I wmnw T-'

• (- uV(K(t))-'t'~1 K(t)- (1-v)v (L(t) L(t))= (1-29a)

u(K(t))~'t'~1 K(t) + (1- v>XL(t))~<|,~1L(t)' V(K(t))-* +(l-uXL(t))-v

Vte[0;+oo) Y(t)=-^[u(A(t)K(t))-v +(l-uXL(t))-^1/V

• (-u\|/(A(t)K(t))~v_1(A(t)K(t) + A(t)K(t))+

--(l-uMUt))-

*

- 1]^)^

= y(t)D(A(t)K(t))-y-‘ (A(t)K(t) +A(t)K(t))+(1- oXL(t))~V~‘ L(t) u(A(t)K(t))-v +(1 - u)L(t)

i (analogicznie):

Vte[0;+oo) Y(t) = Y(t)-

u(K(t))-'|,~1 K(t) + (1 - uXA(t)L(t))-v-‘ (A(t) L( t) + A( t)L(t)) (L29c) o(K(t))-v-' +(l-uXA(t)L(t))-v-1

Związki (1.29abc) wyznaczają zależności zachodzące między przyrostem kapitału K, wzrostem liczby pracujących L, przyrostem wiedzy A a wzrostem produktu Y przy funkcji produkcji CES i postępie technicznym w sensie Hicksa (1.29a), Solowa (1.29b) orazHarroda(1.29c).

(35)

1.6. FUNKCJE PRODUKCJI COBBA-DOUGLASA W WARUNKACH EFEKTÓW SKALIC

W prowadzonych w poprzednichpunktach analizach przyjmowaliśmyzałożenie, że funkcje produkcji są jednorodne stopnia pierwszego względem nakładów kapitału rzeczowego K i nakładów pracy L. Założenie to było równoznaczne ztym, że proces produkcyjny charakteryzuje się stałymi efektami skali. Teraz uchylimy to założenie, przyjmując,iżdla każdego K> 0 i L >0funkcja produkcji:

Y =<5(A, K, L)

może byćjednorodna dowolnego stopnia Q > 0. Oznaczato, że dla każdegoQ > 0 za chodzizwiązek:

®(A, £K, ęL)=ęnd>(A, K, L). (1.30) Co więcej, jeśli stopieńjednorodności Q będzie większy (mniejszy) odjedności, to będziemy mówili, że funkcja produkcji (1.30) charakteryzuje się rosnącymi (maleją

cymi) efektami skali. Wynika to stąd, iż przy jednorodności stopnia Q> 1 (Q< 1)

^-krotne zwiększenie nakładów czynnikówprodukcji, przy > 1, prowadzi do więcej (mniej)niż ^-krotnegozwiększenia strumienia wytworzonego w gospodarce produktu.

Dzieje siętakdlatego, że przy Q > 1 oraz ę > 1 zachodzi:

<D(A, ęK, ęL)=ęnO(A,K, L)=ęnY > ty, zaś przy Q <1 i C, >1 spełniony jest związek:

<D(A,ęK, CL) =Cn<b(A, K, L)=CnY < £Y.

Jeśli rozważa się funkcje produkcji typu Cobba-Douglasa w warunkach występo wania efektów skali,to przy postępietechnicznym w sensie Hicksa, Solowa i Harroda funkcje te możnazapisać następującymi wzorami:

Y = 0>(A, K,L)= AF(K, L) = AK“ L®; gdziea, 0 g(0; 1) (1.31a) (przypostępiew sensie Hicksa);

Y =<D(A, K, L)= F(AK, L) = (AK)aL®; gdzie a, 0 g (0;1) (1.3lb) (gdypostęp techniczny ma charakter postęputechnicznego w sensie Solowa) oraz:

Y = <D(A, K, L) = F(K,AL) =K“(AL)®; gdzie a, 0 g (0;l) (1.31c) (wówczas, gdy mamy do czynieniaz postępem technicznym w sensie Harroda). Para metra jest elastycznością wytworzonego produktu względem nakładówkapitału(przy postępie technicznym w sensie Hicksa i Harroda) lub jednostek efektywnego kapitału

K = AK (gdy postęptechniczny jest postępem w sensie Solowa). Wynika tostąd, że:

K AK“L0

14 Czytelnicy, którzy nie będą rozważali rozdziału dziewiątego skryptu, mogą pominąć punkt 1.6.

= a,

(36)

przyfunkcjiprodukcji(1.3la);

£yk = = ctKa_1L0'^—

YK SK Y 5K? ’ K“L0 K“L0

w przypadku funkcjiprodukcji (1.31b)15 oraz:

15 W tym przypadku parametr a jest również elastycznością produkcji względem nakładów kapi

tału. Wynika to stąd, że:

gdy makroekonomiczna funkcjaprodukcji opisana jest przezrównanie (1.3lc). Podob

nie, parametr 0 jest elastycznością wytworzonegoproduktu względem nakładów pra

cy,przy postępiew sensieHicksa i Solowa,lub nakładów efektywnej pracy,przy har- rodiańskim postępie technicznym (wykazanie tego pozostawiamy Czytelnikom).

Funkcje produkcji (1.3 labc) są jednorodne stopnia Q = a + 0 > 0. Wynika tostąd, że zachodzą następującezależności:

> o <i>(a, £l)=a(;k)“ (;l)0 = ęa+0ak“l® = ęa+0d>(A, ^k, l) (wprzypadkufunkcjiprodukcji z hicksowskim postępem technicznym);

vę>o o(A,ęK,ęL)=(AęK)“(ęL)0 =c+0(ak)“l0 =ęa+0o(A,K,L) (gdyfunkcja produkcjicharakteryzuje siępostępem w sensieSolowa) oraz:

vę>o o(A,ęK,ęL)=(ęK)“(AęL)0 =;a+0Ka(AL)0 =c+0(I)(a,k,l) (przy harrodiańskim postępie technicznym). Z powyższychzależności płynie również wniosek, że jeśli suma elastyczności a+0 jest większa (mniejsza) od jedności, to funkcje produkcji Cobba-Douglasa (1.31abc) charakteryzująsię rosnącymi(malejący

mi) efektami skali.

1.7. PODSUMOWANIE

Prowadzone w rozdzialepierwszym rozważania możnapodsumować następująco:

I. Przez neoklasyczną, makroekonomicznąfunkcję produkcji rozumie się funkcję, która charakteryzuje się m.in. tym, że nakłady czynników produkcji (kapitału i pracy) są niezbędne do wytworzenia strumienia produktu, występują malejące produkcyjności krańcowe nakładów kapitału i pracy(czyliwzrost nakładów kapi

tału lub pracy ceteris paribus prowadzi do coraz mniejszych przyrostów produk

= a.

(37)

tu) oraz mająmiejsce stałe efekty skali procesu produkcyjnego (awięc dowolne, C-krotne zwiększenie nakładów kapitału i pracy, przy C > 1, prowadzi do ę-krotnego wzrostu strumienia wytworzonego produktu).

II. Szczególnym przypadkiem neoklasycznej funkcji produkcjijest funkcjaprodukcji Cobba-Douglasa. W przypadku tej funkcji produkcji elastyczności strumienia produktu względemnakładów kapitału i pracy sumująsię do jedności. Elastycz ności te sąrównież, na gruncie marginalnej teorii podziału Clarka, udziałami na

kładówkapitału i pracy w wytworzonym produkcie.

III. Innym przykładem funkcji produkcji, która spełnia większość założeń nakłada nych naneoklasyczną funkcję produkcji, jest funkcjaprodukcjio stałej elastycz

nościsubstytucji, nazywanafunkcją produkcjiCES.

IV. Przez postęptechniczny rozumie się dynamiczny proces, który polega na tym, że wraz z upływem czasu dana wielkość produkcji może być wytworzona z coraz mniejszych nakładów czynnikówprodukcji lub (co na jednowychodzi) te same nakłady kapitału i pracy prowadzą do wytworzenia coraz większej wielkości strumienia produkcji.

V. Podstawowe typy postępu technicznego w teorii makroekonomicznej to postęp techniczny wsensie Hicksa, Solowa iHarroda. Przez postęptechniczny w sensie Hicksa rozumie się taki typ postępu technicznego, który nie zmienia krańcowej stopy substytucji między nakładami czynników produkcji. Natomiast postęp techniczny, który bezpośrednio potęguje produkcyjność kapitału (pracy), nazy wany jest postępemtechnicznym w sensie Solowa (Harroda).

VI. Neoklasyczna funkcja produkcji, któracharakteryzuje się stałymiefektami skali, jest jednorodna stopnia pierwszego. Jeśli zaś stopień jednorodności funkcji pro dukcji jest większy (mniejszy) od jedności, to mają miejsce rosnące (malejące) efekty skali procesu produkcyjnego. Wynika to stąd, iż przy jednorodności funk cjiprodukcji stopnia większego(mniejszego) od jedności dowolne ^-krotne, przy ę> 1, zwiększenie nakładów kapitału i pracy prowadzi do więcej (mniej) niż

^-krotnegowzrostu wielkościprodukcji.

(38)

(39)

MODEL WZROSTU SOLOWA

2.1. WPROWADZENIE

W rozdziale pierwszym skryptu zdefiniowano oraz scharakteryzowano podstawowe właściwości neoklasycznych, makroekonomicznych funkcji produkcji. Poczynając od rozdziału drugiego, funkcje te będąwykorzystywane w modelowaniuprocesów długo

okresowego wzrostu gospodarczego. Analizy dotyczące determinantów wzrostu go

spodarczego rozpoczniemy od scharakteryzowania neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Roberta M. Solowa z 1956 roku.Wynika to stąd, iż modelwzrostu So lowa stanowipunkt odniesienia dla większości współczesnych modeliwzrostu gospo

darczego.

Celem analizprowadzonych w rozdzialedrugim skryptu jest zatem:

I. Charakterystyka założeń neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solo wa.

II. Wyznaczenie równowagigospodarki Solowa przy ogólnej, neoklasycznejfunk

cji produkcji.

III. Określeniedeterminantów długookresowej równowagi Solowa.

IV. Rozwiązaniemodelu wzrostu Solowa wówczas, gdy proces produkcyjnyw go

spodarce opisany jest przez funkcję produkcjiCobba-Douglasa.

V. Rozważenie determinantów równowagi Solowa przy funkcji produkcji Cobba- -Douglasa.

VI. Wyznaczenie równowagi modelu Solowa przy funkcji produkcji CES.

VII. Określenie determinantów równowagi Solowa przy funkcji produkcji CES.

Należy również zaznaczyć, iż w prowadzonych dalej rozważaniach zakłada się, że postęptechniczny ma charakter egzogeniczny w stosunkudogospodarki oraz że postęp ten jest postępem w sensie Harroda. Założenie o tym, że egzogeniczny postęp tech

niczny jest postępem w sensie Harroda, wynika z dwóch względów. Wynika to (po pierwsze) stąd, że przy harrodiańskim postępie technicznym najłatwiej jestrozwiązać większośćmodeli wzrostu gospodarczego,oraz (po drugie) stąd, iżrozwiązania mode lu Solowa przy postępie w sensie Hicksa i Solowa są w znacznej mierze analogiczne do rozwiązań przy postępie technicznym w sensie Harroda.

(40)

2.2. ZAŁOŻENIA MODELU SOLOWA

W modelu wzrostu gospodarczego Solowa z postępemtechnicznym w sensieHar- roda przyjmuje się następujące założenia dotyczące funkcjonowania gospodarki w długim okresie:

1. Proces produkcyjny opisany jestprzez neoklasyczną funkcję produkcji z harro- diańskim postępem technicznym danąwzorem:

Vt g (0;+co) Y(t)= <D(A(t),K(t), L(t))=

=F(K(t), A(t)L(t)) = F[K(t),L(t)), ^(2.1) gdzie Yjest strumieniemwytworzonego w gospodarce produktu, A > 0 to zasób do

stępnej wiedzy (naukowej i technicznej), którawykorzystywana jestw procesach pro dukcyjnych, K> 0 i L >0 są nakładami kapitału i pracy, L=AL to (zdefiniowane w rozdziale pierwszym skryptu) jednostki efektywnej pracy, zaś funkcja produkcji charakteryzuje się takimi samymi właściwościami jak funkcja produkcji (1.20c) z podpunktu 1.5.1 skryptu. Funkcja produkcji(2.1) opisuje makroekonomiczne relacje zachodzące w dowolnym momencie t g [0;+oo) między nakładami kapitału rzeczowego Ki jednostkami efektywnej pracy L a wielkościąstrumieniawytworzonego wówczas strumieniaproduktuY.

2. Przyrost zasobu kapitału K. w każdym momencie t e [0;+oo) stanowi różnicę międzyinwestycjami I adeprecjacją kapitału5K, gdzie 5 ^g (0;l)jest stopądeprecjacji kapitału. Stopę deprecjacji kapitału definiuje się jako odsetek kapitału, który ulega zużyciu w procesie produkcyjnym.Dla uproszczeniarozważań zakładamy też, że stopa deprecjacji kapitału nie ulega zmianom w czasie. Płyniestąd wniosek, że przyrost za sobu kapitału opisuje następującerównanieróżniczkowe:

Vt6[0;+oo) K(t)= I(t)-5K(t). (2-2)

3. W warunkach gospodarki zamkniętej, jaką jest gospodarka w neoklasycznym modeluwzrostu Solowa, inwestycje I finansowane są tylko i wyłącznie przez oszczęd ności S. Oszczędności te definiowane są zaś jako nieskonsumowana częśćwytworzo

nego produktu (a więc S =Y-C, gdzie C jest strumieniem konsumpcji w gospodar ce). Wynika stąd,że w każdymmomencie t^g [0;+co) spełnione jest równanie:

I(t) = S(t). (2.3)

4. Oszczędności stanowią s-tą część produkcji Y, gdzie s g (0;l) jest stopą oszczędności rozumianąjako udział oszczędności w produkcji (implicite oznacza to

zzałożeniem 3 modelu wzrostu gospodarczego Solowa, oszczędności determinują inwestycje, zatem zmiennas stanowi równieżudziałinwestycji I wprodukcie Y. Dla

tego też stopa s nazywana będzie dalej stopą oszczędności/inwestycji. Co więcej, za kładamytakże,iżwkażdymmomencie t g [0;+oo) stopa oszczędności/inwestycji s jest taka sama. Wynika stąd, że dlakażdego t ^g [0;+oo) spełniony jest związek:

(41)

S(t) = sY(t). (2.4) 5. Liczba pracujących L rośnie według egzogenicznej, zdeterminowanej przez działanie czynników demograficznych, stopy wzrostu n> 0. Jeśli dodatkowo założy się, żew momencie t = 0 liczba pracujących wynosiła L(0) =Lo > 0, to okaże się, że zachodząnastępującezależności:

Vte[0;+oo) L(t)= Loenl => L(t) =nL(t). (2.5) 6. Zasób wiedzy w momencie t = 0 ukształtował się na poziomie A(0) = Ao > 0 i w każdym następnym momencie rośnie według stopy g > 0, która jest stopą egzoge- nicznego postępu technicznego w sensie Harroda (lub stopą harrodiańskiego postępu technicznego). Wynika stąd, że w każdym momencie t 6 [0;+oo)spełnione są związki:

A(t) = Aoe* ‘ => A(t) = gA(t). (2.6) Ponieważ z równań (2.5) i (2.6)wynika,że vć=n oraz —=g, zaśjednostki efektyw-

L A

nej pracy L definiowane są jakoiloczyn AL, zatem:

Vte[0;+oo) ln(L(t))=ln(A(t))+ln(L(t))=> Ag +-Lg= g + n. (2.7)

Zzależności (2.7)płyniewniosek, żestopa wzrostujednostek efektywnejpracy jest sumą stopy harrodiańskiego postępu technicznego g i stopy wzrostu liczby pracują cych n.

Związki zachodzące między zasobami(oznaczonymi prostokątami) a strumieniami (zaznaczonymi strzałkami) w neoklasycznymmodelu wzrostu gospodarczego Solowa zilustrowane są narysunku2.1.

Rys. 2.1. Zależność między zasobami i strumieniami w modelu wzrostu Solowa