RÓWNOWAGA MANKIWA-ROMERA-WEILA - Matematyczne modele wzrostu gospodarczego : ujęcie neoklasyczn

Zdefiniujmyteraz przez:

Vte[0;+oo) k(t) =^l, (3.5a)

L(t)

Vte[0;-Ko) h(t) = £^ (3.5b)

L(t) oraz:

Vte[0;+co) Y(t) = X^ (3.5c)

L(t)

zasoby kapitału rzeczowego K i ludzkiego H orazstrumień produktuY przypadające na jednostkę efektywnej pracy L. Dzieląc stronami funkcję produkcji(3.1) przez jed

nostki efektywnejpracy L, uzyskujesię związek:

Vt £[»•«.)

L(t) L(t)

(K(t))g (H(t))p(L(t))' ~°~P (L(t))a(L(t)j5(L(t))1’a’P a stąd oraz z równań (3.5abc) wynika, iż:

Vte[0;+oo) y(t)= (k(t))“(h(t))P.

= K(t) ( W)J

H(t)Y

(3-6)

lUt) J ’

Równanie (3.6) opisuje relacje zachodzące między nakładami kapitału rzeczowego k i ludzkiego h na jednostkęefektywnej pracy a wielkością produktu y przypadającego na jednostkę owej pracy. Z równania tego płynie m.in. wniosek,że im wyższe są na

kłady k i h, tym wyższy jest strumień produktu y. Dzieje się tak dlatego, że dla każdego k> 0 i h > 0 zachodzą związki:

= X(kahp)= aka_,hp > 0

3k okV !

oraz (analogicznie):

Różniczkującrównania (3.5ab)względemczasu t g [0;+oo), dochodzi się do związ ków:

VtG[0;+<») k(t)= k(t)L(t)-K(t)L(t) K(t) K(t) L(t) [L(t)f L(t) L(t) L(t) oraz (analogicznie):

Vtg [0;+oo)

Wstawiając do powyższych równań zależności (3.2ab), (3.5abc) oraz(3.4), uzyskuje my związki:

VtG[0;+oo) k(t)= S|cY^tL 5|<K(‘t'>-k(t).(g+ n) =

(3.7a)

i (podobnie):

VtG[0;+co) h(t)= sHy(t)-(8H + g +n)h(t). (3.7b) Równania różniczkowe (3.7ab) stanowią rozszerzenie analizowanego w rozdziale drugimrównania Solowa (2.11). Z równań tych płynie wniosek, że przyrostzasobu kapitału rzeczowego k (ludzkiego h) na jednostkę efektywnejpracy stanowi różni

cę między inwestycjami sKy (sHy) w kapitał rzeczowy (ludzki), któreprzypadają na jednostkę efektywnej pracy, a ubytkiem (8K+g + n)k ((8H +g + n)h) kapitału rzeczowego (ludzkiego) najednostkę efektywnej pracy. Ubytek ów, podobnie jak ma to miejsce w przypadku równania Solowa (2.11), wynika zaś zarówno z deprecjacji kapitału rzeczowego 8Kk (ludzkiego SHh), jak i ze wzrostu jednostek efektywnej pracy (g+ n)k ((g + n)h).

Wstawiając do równań (3.7ab)związek(3.6), uzyskuje się następujący układrów

nań różniczkowych:

k(t) = sK (k(t))“(h(t)|- (8K + g + n)k(t)

h(t) = sH (k(t))“ (h(t)/ - (8h+ g + n)h(t) (3-8) Równania układu równań różniczkowych (3.8) stanowiątzw. równania ruchu modelu wzrostu gospodarczegoMankiwa-Romera-Weila. Równania te opisująprzyrosty zaso

bów kapitału rzeczowego k i ludzkiego h na jednostkę efektywnej pracy w zależno

ści od bieżących wartości owych zasobów k oraz h, stóp inwestycji w kapitał rze czowyski ludzki Sh,stópdeprecjacji analizowanychtu zasobów8^ki 8h, stopy wzrostu jednostek efektywnejpracy g + n oraz elastyczności aiP funkcji produkcji (3.1).

Analizując układ równań różniczkowych (3.8), wygodnie jest się posłużyć jego diagramem(portretem) fazowym5. W tym celu należy wpierw wyznaczyć krzywepo działu owego układu równań różniczkowych. Z pierwszego z równań układu (3.8) wynika, że w każdym momencie t g [0;+oo) zachodzi związek:

5 Diagram fazowy jest graficzną ilustracją układu równań różniczkowych. Wykorzystanie dia

gramów fazowych w analizie układów równań różniczkowych omówione jest np. w punkcie 18.5 podręcznika Chianga (1994).

k(t) >0<=> sK (k(t))“ (h(t))P -(SK +g+ n)k(t)>0<=> sK(k(t))“ (h(t)J3 >(5k+g + n)k(t), co jest równoznaczne ztym, że:

czyli:

8k +g + n o

Vtg[0;+oo) k(t)> 0 o k(t)< (3.9a)

oraz (analogicznie):

SK (3.9b)

Zezwiązków(3.9ab) płyną następujące wnioski:

• Jeśli kapitał rzeczowy najednostkę efektywnej pracy k jest niższy (wyższy)od to przyrostyowego zasobu k są dodatnie(ujemne).

• Wprzypadku,wktórym k= - --- --- -hP^1-0), przyrosty zasobu ka-18k+g + nj

6 Przez krzywą podziału k = 0 rozumiane będą dalej wszystkie kombinacje (k,h), przy czym k > 0 i h > 0, przy których k = 0. Analogicznie definiowana będzie krzywa podziału h = 0.

pitału rzeczowego na jednostkęefektywnejpracy równe sązeru. Płynie stądwniosek, żekrzywapodziału k = 0 dana jest wzorem6:

l/(l-a)

.hP/(l-a) SK

SK (3.10)

Zrównaniakrzywej podziału (3.10) płynie wniosek, że:

h = 0 kL = --- .0P/(‘-“)=0, lk=° <SK+g + nJ

SK (3.1la)

SK SK

SK SK 1-a-P

>0,

(3.1 lb)

k=0

SK 1/(1-a) R /~\-h l-a

1-a v '

1-a-P '

7 1-a v '

(3.1 lc)

oraz:

(3. lid)

Z zależności (3.1 labcd) wynika, co następuje:

• Ze związku (3.1la) płynie wniosek, że krzywa podziału k = 0 wychodzi zpo

czątku układu współrzędnych, w którym na osi poziomej odkłada się zmienną h, zaś na osi pionowej - zmienną k.

• Ponieważ dk dh t

>0 oraz

44-;=o dh2

7 Wyprowadzenie zależności (3.12ab), przez analogię do związków (3.9ab), pozostawiamy Czy

telnikom.

< 0, zatem krzywa podziału k = 0 jest

do-k=0

datnio nachylona oraz wklęsła wyglądem osi h we wspomnianymtu układzie współ

rzędnych.

• Równanie (3.1 ld) prowadzi do wniosku, że jeśli h—>+oo, to również kL —>+oo.

I k=0

Co więcej, z zależności (3.9ab), (3.10) oraz (3.1 labcd) wynika, że krzywąpodziału k = 0 oraz składowe trajektorii (zaznaczone strzałkami) układu równań (3.8) można zilustrować tak, jak matomiejscena rysunku 3.2.

Rys. 3.2. Krzywa podziału k = 0 oraz składowe trajektorii układu równań (3.8)

Z drugiego z równań układu równań różniczkowych (3.8)wynika, że7:

oraz:

Ponieważ związki (3.12ab) są analogiczne do zależności (3.9ab), zatem również ich interpretacja jest analogiczna do interpretacji owych związków. Dlatego też,po pierw sze,jeśli zasób kapitału ludzkiego najednostkę efektywnej pracy h jestwyższy(niż- szy) od - ---- --- •ka/(1_P), to przyrost owego zasobu h jest ujemny

(dodat-kbH +g +n)

ni), oraz,po drugie, krzywapodziału h =0 dana jest wzorem:

(3.13) Równanie (3.13) implikuje następujące związki:

k =0 => hL =0,

Ponieważ zależności (3.14abcd) są analogiczne do związków (3.11abcd), więc ich interpretację pozostawiamy Czytelnikom (powinni oni jednak pamiętać, że to, iż

dh dkt

<0, implikuje, że krzywa podziału h =0 jest wklęsła wzglę-h=0

dem osi k, a nie względem h). Krzywa podziału h= 0 wynikającazprowadzonych turozważańzilustrowana jest narysunku3.3.

Rys. 3.3. Krzywa podziału h = 0 oraz składowe trajektorii układu równań (3.8)

Z rysunków 3.2 i 3.3 płynie wniosek,że diagram fazowy układu równańróżnicz

kowych(3.8) przedstawia się tak, jakma to miejsce na rysunku 3.4(nadiagramie tym strzałkami zaznaczonotrajektorieanalizowanegoukładurównańróżniczkowych).

Z rysunku 3.4 wynika, że diagram fazowy układu równań (3.8) jest diagramem z węzłem stabilnym. Płynie stąd wniosek,że przy t -> +oo zasoby kapitału rzeczowego

k i ludzkiego h najednostkę efektywnej pracy dążą do wielkości równych (odpo wiednio) k* oraz h* na rysunku 3.4. Oznacza to,że:

* - lim k(t)

t-»4-CD

h* = lim h(t).

t->+°o

Wielkości k* i h* wyznaczają zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego na jednostkę efektywnej pracy w warunkach długookresowej równowagi modelu wzrostu gospo darczegoMankiwa-Romera-Weila.

Zasoby kapitału rzeczowego k i ludzkiego h na jednostkęefektywnej pracy moż na zapisać następująco:

Vtg[0;+oo)

~ K(t)= K(t) _ K(t)/L(t) = k(t) U L(t) A(t)L(t) A(t) A(t) i:

hm =H(t)= H(t)/L(t) = h(t) L(t) A(t)L(t) A(t) A(t)’

K H

gdzie k = — oraz h =— to (odpowiednio) zasób technicznego uzbrojenia pracy (ka-pitału rzeczowego na pracującego) oraz zasób kapitału ludzkiego na pracującego.

Z powyższychzależności płynie wniosek,że spełnione są związki:

k(t)= A(t)k(t)

Vt g[0;+oo) (3.15a)

Vt g[0;+oo) h(t)= A(t)h(t). (3.15b) Logarytmując stronami równania (3.15ab) oraz różniczkując uzyskane związki względem czasu t g [0;+oo), uzyskuje sięrównania:

Vt ^g [0;+oo) i:

Vt ^g [0;+oo)

lub, po uwzględnieniu założenia, że = g:

(3.16a) oraz:

(3.16b) Vt e [0;+oo) h(t) .: h(t)

h(t) g h(t)’

Z równań (3.16ab) oraz zilustrowanego na rysunku 3.4 diagramu fazowego płyną następującewnioski:

• Jeśli gospodarka Mankiwa-Romera-Weilaporusza się po trajektoriiskierowanej na północny wschód, to zarówno przyrost zasobu kapitału rzeczowego k, jak i ludz

kiego h na jednostkęefektywnej pracy są dodatnie. To zkolei implikuje,że wówczas 4 > 0 oraz 4-> 0, skąd - zgodnie zrównaniami(3.16ab) - wynika, iżstopy wzrostu

k h

V H

technicznego uzbrojenia pracy A i kapitału ludzkiego napracującego — są wyższeod

k n

stopy harrodiańskiego postępu technicznego (równej g).

• Gdyby zaś gospodarka Mankiwa-Romera-Weila poruszała się po trajektorii zmierzającej na południowy zachód, to k< 0, h < 0, 4- <0 oraz 4< 0, coprowadzi

k h

do wniosku,żew analizowanym tu przypadku stopy wzrostutechnicznego uzbrojenia

k h

pracy — i kapitału ludzkiego na pracującego — sąniższe od stopy postęputechnicz-

k h

nego w sensieHarroda.

• W sytuacji, w której rozważana gospodarka znajduje się natrajektorii skierowa nej na południowy wschód, zachodzą związki:

oraz:

h k

i spełnionesąnierówności: — >g oraz —<g.

h k

• Natomiast przypadek, w którym gospodarka Mankiwa-Romera-Weila porusza się po trajektorii zmierzającej na północny zachód, prowadzi do wniosku, że wówczas:

k =0 h= 0.

• Jeśli zaś rozważana tugospodarka znajduje się w punkcie długookresowej rów nowagi (k*,h ‘), to k = 0 i h = 0, co implikuje, że ■=•= () oraz ■=■ =(). Stąd zaś oraz

k h

8 Układ równań (3.17) posiada również rozwiązanie trywialne k = K '■w H= 0 i h = — = 0. Roz

wiązanie to będzie jednak pomijane w prowadzonych dalej rozważaniach, gdyż wyznacza stan go

spodarki, w którym zarówno zasób kapitału rzeczowego K, jak i ludzkiego H równy jest zeru.

z równań (3.16ab) płynie wniosek, iż w warunkach długookresowej równowagi Man kiwa-Romera-Weila stopywzrostu technicznego uzbrojeniapracy £ i kapitału

ludz-L.

kiego napracującego — równe są stopie harrodiańskiegopostęputechnicznego.

Ponieważ kombinacja (k*,h*), wyznaczająca długookresowąrównowagę gospo

darki Mankiwa-Romera-Weila, leży w punkcie przecięcia krzywych podziału oraz h= 0, zatem jest ona rozwiązaniem układu równań (3.8) przy k =0 i Dlatego też kombinacjata jest rozwiązaniemnastępującegoukładu równań:

sKk“hp -(8k +g +n)k =0 sHkahP -(8h+g + n)h = 0 Układ równań(3.17)można również zapisać następująco8:

sKkahP =(8k +g + n)k

(3.17)

sHkahP =(8H+g+ n)h lub:

8K+g + n _

bądź, po zlogarytmowaniukażdego z powyższychrównań logarytmem naturalnym:

S K

(l-«)ln(k)-pta(h)=ln^K+g + nJ -aln(k)+(l-p)ln(h)=ln^^4Ł—

czy też w postaci macierzowej (względem ln(k) i ln(h)):

►

(3-18) '1-a -p' ln(k)

-a 1-P ln(h)

Układ równań (3.18) można rozwiązać, korzystającnp. z twierdzenia Cramera. Kolej newyznaczniki Cramera owego układu równań danesą wzorami:

WK = 1-a

-a

P =(l-a)(l-p)-ap =l-a-p + ap-ap =l-a-p, (3.19a) 1-P

5K+g + n

S K

^SH

oraz:

1-a ^SK

WH = ^SH ^SK

-a ln

Zrównań (3.19abc)płynie wniosek,żezasoby k' i h* w warunkach długookresowej równowagi Mankiwa-Romera-Weila spełniająnastępujące związki:

SK SH

1-P

^SK

1-a-p

P. ^SH

SH SK

1-a ^SH ^SK

(3.20a)

(3.20b)

Z równań (3.20ab) płynąnastępujące wnioski:

• Ponieważ:

g[in (k * )]

d kapitału rzeczowego k* i ludzkiego h* na jednostkę efektywnej pracyw długookre sowej równowadze modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila.

• Podobnie, stąd, że:

można wnosić, iżwysokiej stopie inwestycji wkapitał ludzki sh odpowiadająwysokie wartości zasobów k* i h*.

• Licząc pochodnecząstkowe równań (3.20ab) względem stopy deprecjacji kapi tałurzeczowego8k, okazujesię, że:

1-P

skąd płynie wniosek, iż im wyższa jest stopa deprecjacji kapitału rzeczowego, tym niższe są zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego na jednostkę efektywnej pracy w długookresowej równowadze Mankiwa-Romera-Weila.

• Podobnie, stąd, że:

wynika, żewysokiej stopie deprecjacji kapitału ludzkiego odpowiadają niskie wartości k’ i h’.

• Co więcej,im wyższa jest stopa wzrostu liczby pracującychn, tym niższesą za

soby k i h w długookresowej równowadze gospodarki Mankiwa-Romera-Weila.

Wynika to stąd, iż:

)J = i-q _ ________o________

5n (l-a-pX8H+g + n) (l-a-pXSK +g + n) <0.

Z funkcji produktu najednostkę efektywnej pracy (3.6) wynika,że spełniony jest związek:

Vte[0;+oo) ln(y(t))=aln(k(t)]+pin[h(t)) (3.21a) lub,po zróżniczkowaniu względemczasu t e [0;+oo):

Vt ^g[0;+oo) yW _ak(t) , oh(t)

y(t) k(t) n(t) (3.2 lb)

Związek (3.2 lb)interpretuje się ekonomicznie w ten sposób, że stopa wzrostu produk- tuna jednostkę efektywnej pracy i jesty sumą stóp wzrostu zasobu kapitału

rzeczowe-k h

go — i ludzkiego — (najednostkę efektywnej pracy) ważonych elastycznościami a

k h

oraz p.

Jeśli przez y* oznaczy się produkt na jednostkę efektywnej pracy w warunkach długookresowej równowagi Mankiwa-Romera-Weila, to równanie(3.21 a) możnazapi

saćnastępująco: Z równania (3.22) wyciągnąć można następujące wnioskinaturyekonomicznej:

• Produkt najednostkę efektywnej pracy wdługookresowej równowadze modelu Mankiwa-Romera-Weila, podobniejak zasobykapitału rzeczowego k* i ludzkiego h*

na jednostkę efektywnej pracy, zależny jest m.in. odstóp inwestycji sK i sh,stóp depre dukt najednostkę efektywnejpracy w długookresowej równowadze Mankiwa-Romera--Weila.

a 8k +g +n

1-g-P SK

+ P .5H+g+ n . ~SH (Sr. +6 +n)2 1 —ot—P sH (SH+g + n)2

zatem im wyższa jest stopa wzrostu liczby pracujących w gospodarce Mankiwa- -Romera-Weila, tym niższy jest produkt na jednostkę efektywnej pracy wwarunkach długookresowejrównowagi owej gospodarki.

Rozważmy teraz wpływ zmian stopy inwestycji w zasób kapitału rzeczowego na położenie długookresowej ścieżki wzrostu wydajności pracy Y = technicznegoY

K H

uzbrojeniapracy k= — orazkapitałuludzkiego na pracującego h =—. Załóżmy, że

gospodarkaMankiwa-Romera-Weila już w momencie t = 0 znajdowała się w długo okresowej równowadze. Oznacza to, iż w momencie t = 0 gospodarka ta znajdowała się w punkcie przecięcia krzywych podziału na rysunku 3.4. Stąd zaś wynika, że za równo przyrosty, jak i stopy wzrostu zasobów kapitału rzeczowego k i ludzkiego h

k h

najednostkę efektywnej pracy były równe zeru. Jeśli zaś — = — =0, to - zgodnie k h

z zależnością (3.2 lb) -również stopa wzrostu produktu najednostkę efektywnej pracy

y k h

— równabyłazeru.Ztego, że — = — =0, oraz z równań (3.16ab) wynika, iż:

y k h

k(t)_h(t) k(t) h(t) g’

a zatem wówczas techniczne uzbrojenie pracy k i kapitał ludzki na pracującego h rosły wedługstopy harrodiańskiego postęputechnicznego g.

Co więcej, ponieważ produkt na jednostkę efektywnej pracy można zapisać wzo

Z równania (3.23) wynika, że stopa wzrostu wydajnościpracy — y .jestsumąstopy po

stępu technicznego w sensie Harrodagi stopy wzrostu produktu najednostkę efektyw- nej pracy —. y Dlatego teżjeśliw momencie t=0gospodarka Mankiwa-Romera-Weila

znajduje się w stanie długookresowej równowagi,czyli m.in. — y= 0, tostopa wzrostu wydajności pracy —y , podobnie jak stopy wzrostu technicznego uzbrojeniapracy

i kapitału ludzkiego napracującego sieHarroda.

h ^równajest stopie postępu technicznego w

sen-Rys. 3.5a. Przechodzenie gospodarki Mankiwa-Romera-Weila na wyżej położone ścieżki wzrostu wydajności pracy y i technicznego uzbrojenia pracy k pod wpływem wzrostu stopy inwestycji

w kapitał rzeczowy

Rys. 3.5b. Przechodzenie gospodarki Mankiwa-Romera-Weila na wyżej położoną ścieżkę wzrostu kapitału ludzkiego na pracującego h pod wpływem wzrostu stopy inwestycji w kapitał rzeczowy

Załóżmy również, że w przedziale czasu (O;ti) stopy inwestycji Sk, sh,stopy depre

cjacji 6k i 8h oraz stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy g+ n nie zmieniały się.

Wówczas wanalizowanym tu przedziale gospodarkaMankiwa-Romera-Weilaznajdo wała się w punkcieprzecięcia krzywych podziału k= 0 oraz h =0 i stopy wzrostu wydajnościpracy, technicznegouzbrojenia pracy i kapitału ludzkiego na pracującego równe były g. Stądzaś wynika, że wydajność pracy y(t), techniczne uzbrojenie pracy k(t) i kapitał ludzki na pracującego h(t) poruszały się w przedziale czasu (0;t|) po ścieżkach wzrostuP/, P| i Pi narysunkach3.5ab9.

9 Należy tu zwrócić uwagę, iż rysunki 3.5ab (podobnie jak ma to miejsce w przypadku rysunku 2.4 w rozdziale drugim) przedstawione są w skali logarytmicznej. Dlatego też nachylenia prostych ilustrujących ln(y), ln(k) oraz ln(h) wyznaczają stopy wzrostu tych zmiennych. Ścieżki wzrostu tech

nicznego uzbrojenia pracy na rysunku 3.5a i dalszych znajdują się zaś nad ścieżkami wzrostu wydaj

ności pracy dlatego, iż w realnie funkcjonujących gospodarkach współczynniki kapitałochłonności (będące ilorazami kapitału rzeczowego i produktu lub, co na jedno wychodzi, technicznego uzbroje

nia pracy i wydajności pracy) są wyższe od jedności, czyli k > y, a stąd ln(k) > ln(y).

Przyjmijmy również, że w momencie ti > 0 stopa inwestycji w kapitał rzeczowy wzrosła z Sk do s/ < 1. Wówczas krzywa podziału k= 0 na rysunku 3.6 przesunęła się do góry z położenia OA do OB. Przesunięcie to wynikałostąd, iż krzywa ta danajest wzorem:

a zatem jeśli rośnie Sk, to przydanej wartości h rośnie również zasób k , przy którym k= 0. Jeśli zaś krzywa podziału k= 0 przesunęła sięz położeniaOA do OB,to punkt przecięcia krzywej podziału h= 0 z krzywą OAjest punktem, w którym h= 0 oraz k > 0. Dlatego też gospodarkaMankiwa-Romera-Weilaporusza się po trajektorii T na rysunku3.6, którapoczątkowo (tj. w momencie tj) skierowana jest napółnoc, następ

nie zaś na północny wschód. Trajektoria ta, prędzej czy później, dojdzie do punktu przecięcia krzywej podziału h= 0 z krzywą k = 0, którą przy stopie inwestycji Sk' > Sk wyznacza krzywa OB. Po osiągnięciu punktu przecięcia krzywej h =0 z krzywą OB przyrosty zasobów kapitału rzeczowego i ludzkiego na jednostkę efek

tywnej pracy(czyli k i h ) równe będązeru.

Rys. 3.6. Przesunięcie punktu równowagi modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila na skutek wzrostu stopy inwestycji w kapitał rzeczowy

Jeśli przejście ze starego punktu równowagi (punktu przecięciakrzywej podziału h = 0 zkrzywą OA) do nowego punktu równowagi (przecięcia krzywej h=0 z OB) po trajektorii T na rysunku 3.6 odbywa się w przedziale czasu (f;t2), gdziet2 nie musi być momentem skończonym,to:

VtG(t,;t2) k(t) > 0 a h(t)> 0.

Jeśli zaś w przedziale czasu(tj;t2) przyrostyzasobów kapitału rzeczowego i ludzkiego na jednostkę efektywnej pracy są dodatnie, to również stopy wzrostu owych

zmien-k h

nych,czyli — oraz —, sąwiększeod zera. To z kolei, zgodnie z równaniem (3.2lb),

k h

Y k h

implikuje, że stopa wzrostu produktu na jednostkę efektywnej pracy — =a— + 0—

y k h

jest dodatnia. Płynie stąd wniosek, że dla każdegot e (tj;t2)spełnione są nierówności:

Stąd zaś oraz z równań (3.16ab)i(3.23) wyciągnąćmożnawniosek, iż:

Vte(ti;t2) k(t) h(t) k(0>g’ h(Ó>g:

Ponieważ w przedziale czasu (tj;t2) stopy wzrostu wydajności pracy, technicznego uzbrojenia pracy i kapitału ludzkiego na pracującego będąwyższe odstopy harrodiań-skiego postępu technicznego, dlatego też rozważane tu zmienne makroekonomiczne opuszczą ścieżki wzrostu P/, P/ (narys. 3.5a) oraz P^ (narys. 3.5b) i wspinać się będądo ścieżek wzrostu P2y, P2k i P2h.

Poczynając od momentu (skończonego lubnie) t2, w którym gospodarka Mankiwa- -Romera-Weila dojdzie do punktu przecięciakrzywej podziału h = 0 z krzywąpodzia

łuOB, przyrosty i stopy wzrostu zasobów kapitałurzeczowego i ludzkiego na jednostkę efektywnej pracy stanąsię równe zeru. Również stopawzrostu produktu na jednostkę

V V h

efektywnej pracy — = aA + p— równa będzie zeru. To zaś, zgodnie ze związkami

y k h

(3.16ab) i (3.23),implikuje, że:

napoziomie równym stopie postępu technicznegow sensie Harroda g, zaś wydajność pracy y, techniczne uzbrojenie pracy k i kapitał ludzki na pracującego h poruszać się będą po ścieżkach wzrostu P2y, P2k (narys. 3.5a) i P2h(narys. 3.5b)równoległych do wyjściowych ścieżek wzrostu owych zmiennych makroekonomicznych.

Płynie stąd wniosek, że jeśli w gospodarce Mankiwa-Romera-Weila rośnie stopa inwestycji w kapitałrzeczowy sk, to (po pierwsze) punkt długookresowej równowagi owej gospodarki na diagramie fazowym układu równań (3.8)przesuwasię wkierunku północno-wschodnim, (podrugie)rosną zasoby k’, h* istrumień y* oraz (po trzecie) gospodarka Mankiwa-Romera-Weila wychodzi na wyżej położone ścieżki wzrostu wydajności pracy y, technicznego uzbrojenia pracy k i kapitału ludzkiego na pracują

cego h.

10 Uzasadnienie prezentowanych tu tez pozostawiamy Czytelnikom.

Gdyby wzrosła stopainwestycji w kapitał ludzki sH, to10:

• Krzywa podziału k = 0 układu równań ruchu różniczkowych(3.8) przesunęłaby się na wschód.

• Punktrównowagi gospodarki Mankiwa-Romera-Weila przesunąłby się na pół

nocny wschód.

• Wzrosłybyzasoby k* i h* oraz strumień y‘.

• W okresieprzejściowym (tj. wprzedziale czasu, w którym gospodarka Manki wa-Romera-Weila przechodziłaby od starego do nowego punktu równowagi) stopy

• Po osiągnięciu nowego punktu długookresowej równowagi stopy wzrostu wy dajnościpracy, technicznegouzbrojenia pracy oraz kapitału ludzkiego napracującego ustabilizowałyby sięna poziomie równym stopie harrodiańskiego postępu techniczne go, zaś ścieżki wzrostu y, k i h byłyby wyżej położone i równoległe do wyjściowych ścieżek wzrostu owych zmiennych makroekonomicznych.

Rozumując analogicznie, okazujesię, że jeśli w momenciet = 0 gospodarka Man kiwa-Romera-Weila znajduje się w stanie długookresowej równowagi (czyli w punkcie

przecięcia krzywej podziału k = 0 z krzywą podziału h =0, którą ilustruje krzywa OA na rys. 3.7), to w przedziale czasu [O;tj) wydajność pracy y, techniczne uzbrojenie pracy k i kapitał ludzki na pracującego hporuszają się po ścieżkach wzrostu P/, Pik (narys. 3.8a) oraz P/1 (na rys. 3.8b), gdyż stopywzrostu analizowanych tuzmiennych makroekonomicznych równe są stopie harrodiańskiego postępu technicznego. Jeśli w momencie ti > 0 wzrośnie stopa deprecjacji kapitału ludzkiego 8h,topołożenie krzy

wej podziału k = 0 nie ulegnie zmianie (gdyż krzywą tę opisuje równanie ( s Y/(1_a)

klhL = - ---- - --- •hp/(1_al, w którym nie występuje 8h), zaś krzywa po-x Jk=o ^8k +g +nj

działu h = 0 (dana równaniem hlkL = -——--- ■ka/(1 ph przesunie się Mh=o |^8h +g + nJ

z położenia OA do OB11. Wówczas gospodarka Mankiwa-Romera-Weila zacznie się poruszaćnarysunku 3.7 po trajektoriiT, skierowanej na południowy zachód,do nowe

go punktu długookresowej równowagi. Nowym punktem owej równowagi będzie

11 Uzasadnienie tego pozostawiamy Czytelnikom.

punkt przecięciakrzywej podziału k = 0 z krzywąpodziału OB. W przedziale czasu, w którym rozważana gospodarka przesuwać się będzie ze starego do nowego punktu równowagi, przyrosty oraz stopy wzrostu k, h oraz y będą ujemne. Dlatego też w okresie przejściowymstopy wzrostu ^k

k’

— h yi — będąniższe od stopy harrodiań-h y

skiegopostępu technicznegog, a wydajnośćpracy, techniczne uzbrojenie pracy oraz kapitał ludzkina pracującego zejdą ześcieżek wzrostu Piy, Pik i P|h.

Rys. 3.7. Przesunięcie punktu równowagi modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila na skutek wzrostu stopy deprecjacji kapitału ludzkiego

Rys. 3.8a. Przechodzenie gospodarki Mankiwa-Romera-Weila na niżej położone ścieżki wzrostu wydajności pracy y i technicznego uzbrojenia pracy k pod wpływem wzrostu stopy deprecjacji kapi

tału ludzkiego

Rys. 3.8b. Przechodzenie gospodarki Mankiwa-Romera-Weila na niżej położoną ścieżkę wzrostu kapitału ludzkiego na pracującego h pod wpływem wzrostu stopy deprecjacji kapitału ludzkiego

Jeśli w (skończonym lub nie) momencie t2 > ti gospodarka Mankiwa-Romera--Weila dojdzie do punktu przecięciakrzywej podziału k = 0 z krzywąOB (na rys.3.7),

~ ~ ~ k h Y

to poczynając od momentu t2, k =h = y = 0 , — = — =-h-0 i (zgodnie zrównaniami k h y

(3.16ab) oraz (3.23)) stopy wzrostu wydajności pracy —,y technicznego uzbrojenia

pracy ikapitału ludzkiego na pracującego ponownie równebędą g. Dlatego też

k h

analizowane tu zmienne makroekonomiczne poruszać się będąwówczas po ścieżkach wzrostu P2y, P2k (na rys. 3.8a) oraz P2h (narys. 3.8b) równoległych do wyjściowych ścieżek wzrostu tychzmiennych makroekonomicznych.

Gdyby zaś wzrosła stopa deprecjacjikapitału rzeczowego §«, to wystąpiłby proces analogiczny do opisanego uprzednio i gospodarka Mankiwa-Romera-Weila przesunę

łabysięnaniżej położoneścieżkiwzrostu gospodarczego.

Płynie stąd bardziej ogólnywniosek,iż jeśli rośniejednazestóp deprecjacjikapita łu, to rozważana tugospodarka schodzi na niżej położone ścieżki wzrostu wydajności pracy technicznego uzbrojenia pracy orazkapitału ludzkiego na pracującego.

Załóżmyteraz, że w momenciet = 0 gospodarka Mankiwa-Romera-Weila znajduje się w stanie długookresowej równowagi. Krzywąpodziału k =0 ilustruje krzywa0C na rysunku 3.9, zaś krzywa podziału h - 0 odpowiada krzywej OAnaowym rysunku.

Przyjmijmyteż, że w przedziale czasu [O;tj)wartościzmiennych Sr, Sh, 8r, 8h, g oraz n nie ulegajązmianom. Oznacza to, że we wspomnianym tuprzedziale czasu punktem równowagi analizowanego modelu wzrostu gospodarczego jest punkt przecięciakrzy

wych podziału OA i 0C. Stopy wzrostu wydajności pracy, technicznego uzbrojenia pracy i kapitałuludzkiego na pracującego równesą wówczas stopiepostępu technicz

nego wsensieHarroda, zaś zmienne teporuszająsię pościeżkach wzrostuP/, Pjk (na rys. 3.8a) oraz Pih (na rys. 3.8b).

Rys. 3.9. Przesunięcie punktu równowagi modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila na skutek wzrostu stopy wzrostu liczby pracujących

Jeśli w momencie tj > 0wzrośnie stopa wzrostuliczby pracujących n, to -zgodnie

W dokumencie Matematyczne modele wzrostu gospodarczego : ujęcie neoklasyczne (Stron 82-105)