Wykład XI Mechanika

(1)

1

Wykład XI Mechanika

Przekształcenia kanoniczne

W formalizmie Lagrange’a możemy dowolnie zmieniać współrzędne uogólnione, a postać równań ruch nie ulega zmianie tzn. jeśli wprowadzimy współrzędne Q_i(q₁,q₂,,q_n), to

spełniają one równania 0



 



i

i Q

L Q

L dt

d

 , jeśli q spełniają _i 0



 



i

i q

L q

L dt

d

 .

W formalizmie Hamiltona tak nie jest, bo q i _i p musza spełniać jeszcze związek_i _i

i

p L q

 

 . Definicja

Transformacja i n

p p p q q q P p

p p p q q q Q q

n n

i i

n n

i

i 1,2, ,

) , , ,

; , , , (

) , , ,

; , , , (

2 1 2

1

2 1 2

1 



 







nazywa się kanoniczną jeśli Q i _i P spełniają równania kanoniczne. Tzn. jeśli _i q i_i p spełniają _i

i i

i

i q

t q p p H

p t q p q H





 

  ( , , )

), , ,

( 

 (1)

to Q i_i P mają spełniać _i

i i

i

i Q

t Q P P H'

P t Q P Q H'





 

  ( , , )

), , ,

( 

 (2)

gdzie H' jest nową funkcja Hamiltona H'(P,Q,t)H



p(Q,p),q(Q,p),t



.

Warunki, które musi spełniać transformacja, żeby była kanoniczną można otrzymać z zasady wariacyjnej Hamiltona. Równania (1) bowiem wynikają ze znikania wariacji

 

^_^ ^ ^_^^



2

1

0 ) , , (

1 t

t N

i i

ip H p q t

q dt 



natomiast równania (2) z

 

² ^_^ _ ^ ^_^^

1

0 ) , , ( '

1 t

t N

i i

iP H P Q t

Q dt 

 .

Ponieważ q(t₁)q(t₂)0oraz Q(t₁)Q(t₂)0, więc do każdej funkcji podcałkowej można dodać zupełną pochodną dowolnej funkcji współrzędnych i czasu, odpowiednio

dt t q dg( , )

lub dt

t Q dG( , )

, gdyż

 



² ^ ^ ^

1

0 ) ), ( ( ) ), ( ) (

, (

1 1 2

2 t

t

t t q g t t q dt g

t q

dtdg 

 .

A zatem różnicą funkcji podcałkowych może być dt

t Q q dF( , , )

, tzn.

(2)

2

Wykład XI cd. Mechanika

dt t Q q t dF Q P H' P Q t

q p H p q

N

i i i N

i i i

) , , ) (

, , ( )

, , (

1 1









 

  co daje

1 1 1

( , , ) ( , , ) ( , , )

N N N

i i i i i i

i i i i i

F F F

p dq H p q t dt PdQ H' P Q t dt dF q Q t dq dQ dt

q Q t

  

   

        

  

Przy dowolnych dq oraz _i dQ dla _i i1, 2, n dostajemy

( , , ) ( , , ) ( , , )

, , ( , , ) '( , , )

i i

F q Q t F q Q t F q Q t

p P H p q t H P Q t

q Q t

  

     

  

co prowadzi do związku

i j j

i j

i

q P Q

q t Q q F Q

p





 



 



 ² ( , , )

) , , (q Q t

F nazywa się funkcja tworząca transformacji kanonicznej.

Definiujemy nową funkcję tworzącą ^ ^ ^



i i iP Q t

P q Q q F t P

q, , ) ( , ( , ), )

( ,

 



^







i

i i i

idQ QdP

P dF

d

Jak poprzednio, żądamy

 



^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^



 i

i i i i N

i

i i N

i

idq H p q t dt PdQ H' P Q t dt dF d q P t PdQ QdP

p ( , , ) ( , , ) ( , , )

1 1

Uwzględniając, że

t dt P dP

q dq t

P q d

N

i

i i i

i 







 















 





1

) , ,

( ,

dostajemy

t t P t q

Q P H t q p P H

t P Q q

q t P p q

i i

i

i 







 









  ( , , )

) , , ( ' ) , , ( ),

, , , (

) , , (

co daje

i j j

i j

i

q Q P

q t P q P

p



 





 



 ² ( , , )

(3)

3

Wykład XI cd. Mechanika

Jeśli transformacja i n

p p p q q q P p

p p p q q q Q q

n n

i i

n n

i

i 1,2, ,

) , , ,

; , , , (

) , , ,

; , , , (

2 1 2

1

2 1 2

1 



 







jest kanoniczna to

(3)

Nawiasy Poissona

Bezpośrednio z definicji nawiasów Poissona mamy

 

qi,qj pq 0



pi,pj



pq,



pi,qj



_pq ^ij



,



pq - nawias Poissona obliczany przy użyciu współrzędnych i pędów p i q.

Równanie (3) zaś daje



Q_i,Q_j



_pq0



P_i,P_j



_pq,



P_i,Q_j



_pq^ij co dowodzi się prostym przeliczeniem.

Twierdzenie

Nawias Poissona dwóch dowolnych wielkości f i g jest niezmiennikiem transformacji kanonicznej tzn.

Dowodzi się dosyć żmudnym przeliczeniem.

Twierdzenie

Zachodzenie związków

jest warunkiem koniecznym i dostatecznym, że transformacja (q,p,H)(Q,P,H') jest kanoniczna.

Konieczność została wykazana powyżej. Dostateczność łatwo wykazać dla transformacji niezależnych od czasu. Wtedy

   

j i

ij

j j j

i j i PQ

i pq

i P

H P

H Q

Q P Q H

H Q

H

Q 

 



 



 



 ^, ^,

 

^



   

j i

ij

j j j

i j i PQ

i pq

i Q

H Q

H P

P Q P H

H P

H

P 



 

 

 



 



 ^, ^,

 

^



Ogólny dowód pomijam.

i j j i i

j j

i

q Q P p q

P Q

p



 





 

 ,

 

f,g pq 

 

f,g PQ



Qi,Qj



pq 0

 

Pi,Pj pq,



Pi,Qj



_pq ^ij

(4)

4

Wykład XI cd. Mechanika

Twierdzenie

Jakobian transformacji kanonicznej jest równy jedności.

Dowód

n n n

n n

n n n

n n

p P p

P p Q p

Q

p P p

P p Q p

Q

q P q

P q Q q

Q

q P q

P q Q q

Q

p q

P J Q



 



 

 











1 1

1 1 1

1

1 1

1 1 1

1

) , (

Korzystamy z własności jakobianów dotyczącej złożenia transformacji (X)(Y)(Z):

) ( / ) (

) ( / ) ( ) (

) (

Z Y

Z X Y

X



 



1 )

( ) (

) (

) ( ) (

) (

0 0

) (

) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

) , ( / ) , (

) , ( / ) , ( ) , (

) ,

(  











 



 



 



 



 _T

A A

P p q Q

P p P

q

q P q

Q

P p P

q

q p q

q

P P P

Q

q P q

Q

P q p q

P q P Q p

q P J Q

1

gdzie macierz

j i i

ij j

P p q A Q



 



  , A^Toznacza macierz transponowaną



^A^T ^ ^A



^.