4.1. Szeregi liczbowe. 4. SZEREGI WYKŁAD 1 3

(1)

WYKŁAD 13

4. SZEREGI

4.1. Szeregi liczbowe.

4A1 (Definicja). Szeregiem liczbowym nazywamy wyrażenie

1 2

1

... ...

def

n n

n

a a a a





    



^,

gdzie (a jest ciągiem liczbowym. Liczbę _n) a nazywamy n- tym wyrazem, a liczbę _n

1 2 ...

def

n n

S  a a   n-tą sumą częściową. Szereg a

1 n n

a





 jest zbieżny, jeżeli istnieje granica właściwa S ciągu (S ). Wtedy liczbę _n lim _n

n

S S

  nazywamy sumą szeregu (zbieżnego). W przeciwnym przypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny (jeżeli lim _n

n S

   albo  to mówimy że szereg jest rozbieżny odpowiednio do

 albo  ).

Uwaga. W podobny sposob definiujemy szereg

0

n n n

a





 ^{, gdzie}n0 . Z 4A+B2 (Przykłady):

2.1) Szereg geometryczny ²

0

1 ... ...

n n

n

x x x x





     



jest zbieżny dla x  , 1

dla szeregu zbieżnego mamy

1

1 1

n n

S x

x





 



 , i jest rozbieżny dla x  . 1 Mamy:

1 1

1 dla 1 1 1

lim lim (1 ... ) lim dla 1

1 nie istnieje dla 1

n n

n n n n

x x

S S x x x

x x

 

  

 

 

            



;

2.2) Szereg harmoniczny

1

1 1 1 1 1

1 ... ...

2 3 4

n n n





       



1 1

2 2

1 1 ... ...

2

1 1 1 1 1

3 4 n 1 n 2 ... n n

 

  

      

 

           

 

1 1

1 ... ...

2 2 2

n

    n  

jest rozbieżny do  ;

(2)

2.3) Rozważmy szereg

1

1 ( 1)

n n n



 



^.

Mamy 1 1 1

( 1) 1

an

n n n n

  

  . Wtedy

1 1 1 1

... 1

1 2 2 3 ( 1) 2

Sn

   n n  

   

1

 2 1

 3 1

 3 1

 4 1

... n

  1 1

1 1 1

n n

  

 

 1

lim lim 1 1

n 1

n n

S S

  n

 

      ^ szereg jest zbieżny.

4A+B3 (Twierdzenie). Liniowa kombinacja szeregów zbieżnych jest szeregiem zbieżnym, tzn. jeżeli

1 n n

a





 ^, 1

n n

b





 są zbieżne, to 3.1)

1 1 1

( _n _n) _n _n

n n n

a b a b

  

  

  

  

^,

3.2)

 

1 1

n n

ca c a

 

 







, gdzie c jest dowolną liczbą.

4A4 (Twierdzenie: warunek konieczny zbieżności szeregu).

Jezeli szereg

1 n n

a





 jest zbieżny, to lim _n 0

n a

  .

Dowód: ₁ ₁

1

lim _n lim ( _n _n ) lim _n lim _n 0

n a n S S _ n S n S _ S S

            ...

Stąd mamy

4A5 (Wniosek: warunek wystarczający rozbieżności szeregu).

Jeżeli a  0_n , gdy n   (tzn. lim _n 0

n a

  albo nie istnieje), to szereg

1 n n

a





 jest rozbiezny.

4A6 (Uwaga). Twierdzenie odwrotne do 4A4 nie jest prawdziwe:

dla szeregu

1

n n





 ^mamy ^lim n ^lim ¹ ⁰

n a n

  n  , ale szereg jest rozbieżny.

4A7 (Przykłady):

7.1) dla

1

1 1

n

n n

 



 

  

 



^mamy: ^lim ^{lim 1} ¹ ⁽ ^{1)( 1)} ¹ ⁰

1

n

n an n e

n

  



 

 

       ^

szereg jest rozbieżny;

7.2) dla

1

ln 1 1

n n





  

 

 



^mamy: ^lim n ^{lim ln 1} ¹ ⁰

n a n

  n

 

    ^mamy badać dalej (badamy (poziom B) i dochodzimy do rozbieżności tego szeregu);

(3)

7.3) dla ₂

1

ln 1 1

n n





  

 

 



^mamy: 2

lim _n lim ln 1 1 0

n a n

  n

 

    ^mamy badać dalej (badamy (poziom B) i dochodzimy do zbieżności tego szeregu).

4.2. Kryteria zbieżnosci szeregów o wyrazach dodatnich (ujemnych)

4A+B8 (Twierdzenie: kryterium całkowe zbieżności szeregów). Niech funkcja f będzie ciągła i nierosnąca na przedziale [n  , gdzie ₀, ) n₀ ; ( ) 0N f x  dla

[ ,0 )

x n  . Wtedy szereg

0

( )

n n

f n





 i całka niewłaściwa

0

( )

n

f x dx





^są

jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

Stąd mamy 4A9 (Przykłady).

9.1) Szereg Dirichleta (nazywamy uogólnionym szeregiem harmonicznym)

1

1 1 1 1

1 ... ...

2 3

n n n



   

      



^{, gdzie} ^{f x}^{( )} ¹

x^

 , jest zbieżny dla   i rozbieżny dla 1   ; 1

9.2)

10

1 ln ln ln

n n n n





 ^{, gdzie} ^{( )} ¹

ln ln ln

f x  x x x, f x( )0. Całka niewłaściwa

10

10 10

ln ln

ln ln ln ln ln ln ln ln

dx d x

x x x x x

  

 

 

jest rozbieżna. Wtedy i

szereg

10

1 ln ln ln

n n n n





 jest rozbieżny.

4A+B10 (Twierdzenie: kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Niech 0a_n  dla każdego b_n nn₀. Wówczas

10.1) jeżeli szereg

1 n n

b





 jest zbieżny, to także szereg

1 n n

a





 jest zbieżny;

10.2) jeżeli szereg

1 n n

a





 jest rozbieżny, to także szereg

1 n n

b





 jest rozbieżny.

4A+B11 (Twirdzenie: kryterium ilorazowe zbieżności szeregów). Niech

0, 0

n n

a  b  (albo a_n 0,b_n  ) dla każdego 0 n oraz niech limn₀ ⁿ

n n

a k

b  , gdzie 0   . Wówczas szeregi k

1 n n

a





 ⁱ 1

n n

b





 są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne.

(4)

Przykłady: 1) ₃

1

sin 1

n

^.

4A+B12 (Kryterium d`Alemberta). Jeżeli istnieje granica (właściwa albo niewłaściwa) lim ¹

def n

n n

a a



  , to szereg

1 n n

a





 o wyrazach dodatnich jest zbieżny, gdy   , natomiast rozbieżny, gdy 1   (Kryterium d`Alemberta nie rozstrzyga 1 o zbieżności szeregu, gdy   ; mamy badać dalej ...). 1

Schemat dowodu (B): niech   : q1  ,    , q 1   , n_q N ⁿ ¹

n

a q

a

  ,   n n_q

czyli 0 ₁ ^q ¹

q

n n

n n n

a _ a q a q ^{ }

    dla n . Szereg n_q ^q ¹

q q

n n n

n n

a q

  



 



( 2 ... ...)

q

k

an q q q

      jest zbieżny (szereg geometryczny, a ponieważ 0  ). Wynika stąd na podstawie kryterium porównawczego, że szereg q 1

1 n n

a







jest takze zbieżny. W podobny sposób udowodniamy twierdzenie, gdy   . 1



4A+B13 (Przyklady). Zbadać zbieżność podanych szeregów



^m^^{N a}^, ^{ }^1,



^:

13.1)

1 n n

n a

 







 o wyrazach nieujemnych jest zbieżny, gdy   , natomiast rozbieżny, gdy 1   (kryterium nie rozstrzyga o zbieżności 1 szeregu, gdy   ). 1

Dowód (C) jest podobny do 1A+B12.

4A+B15 (Przykłady). Zbadać zbieżność podanych szeregów



^a^^0,^b^^0,^x^



^:

(5)

15.1)

1 n n n

a b





 ^{; 15.2)} 1

4A16 (Definicja). Szereg

1 1

( 1)ⁿ _n

n

a

 





 ^{, gdzie}a  , n ⁰

nazywamy szeregiem naprzemiennym. Wyrazy tego szeregu są na przemian dodatnie i ujemne.

4A+B17 (Kryterium Leibniza). Jeżeli ciąg

 

an jest nierosnący od numeru n0 , tzn. N

0 0 1 ... 0

n n

a a _   oraz lim _n 0

n a

  , to szereg naprzemienny

1 1

( 1)ⁿ _n

n

a

 





 jest zbieżny. Ponadto prawdziwe, że n -ta reszta

def

n n

R   jest nie S S większa od wartości bezwzględnej (n 1)-go wyrazu tego szeregu: SS_n a_n_₁, gdzie S jest sumą oraz S jest n -tą sumą częściową tego szeregu dla _n nn₀. Schemat dowodu (B): Ciąg

 

S2n jest niemalejący (od numeru 2n ponieważ n₀

2_n 2 2_n 2_n 2 2_n 1 0

S _ S  a _ a _  ) oraz ograniczony z góry (na przykład dla

0 1

n  mamy ₂ ₁ ₂ ₃ ₂ ₂ ₂ ₁ ₂ ₁

0 0 0

( ) ... (...) ... ( )

k k k k

S a a a a _ a _ a a

  

          ). Na

podstawie twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym ciąg

 

S2n jest zbieżny do S. Mamy zatem lim 2_n 1 lim



2_n 2_n 1



n S _ n S a _

     lim ₂_n lim ₂_n ₁

n S n a _

   

0

S S

   . Stąd wynika że lim _n

n S S

  .  Przykład. Szereg (anharmoniczny)

1 1

1 1 1

( 1) 1 ...

2 3

n

n n

 



     



jest zbieżny, ponieważ spełnia założenia kryterium Leibniza: lim _n 0

n a

  oraz

2

1 1

( ) 0

f n n n

 

       ^ aⁿ aⁿ_¹. 4A18 (Definicja). Szereg zbieżny

1 n n

a





 nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeżeli jest zbieżny szereg

1 n n

a





 albo warunkowo zbieżnym, gdy szereg

1 n n

a





 ^jest

rozbieżny.

4A19 (Przykłady):

(6)

19.1) szereg ¹

1

( 1)ⁿ 1

n n

 



 



jest warunkowo zbieżny (ale nie jest zbieżny bezwzględnie);

19.2) szereg ¹ ₂

1

( 1)ⁿ 1

n n

 



 



jest zbieżny bezwzględnie.

4A20 (Twierdzenie). Jeżeli szereg

1 n n

a





 jest zbieżny, to jest zbieżny (bezwzględnie) szereg

1 n n

a





 o wyrazach dowolnych.

4A21 (Uwaga). Zbieżność szeregu

1 n n

a





 (1) jest warunkiem wystarczającym dla zbieżności szeregu

1 n n

a





 . Ma to duże znaczenie praktyczne, ponieważ szereg (1) jest szeregiem o wyrazach nieujemnych, a więc do badania jego można wykorzystac kryteria podane w poprzednim punkcie. Jeżeli szereg (1) nie jest zbieżny, tzn. szereg

1 n n

a





 ^{nie jest}

zbieżny bezwzględnie, to może być warunkowo zbieżny albo może być rozbieżny.

Wówczas dla szeregu naprzemiennego możemy skorzystać z kryterium Leibniza.

4A+B22 (Przykłady). Zbadać zbieżność podanych szeregów:

22.1)

1 n n

nx





 ^{; 22.2)} 1

n

x n





 ^{; 22.3)} 1 !

n

x n





 ^{; 22.4)} 1

2 3

4 3

n

n n





  

  

 



^;

22.5) ³

3

( 1) 1

ln

n

n n n

 





 ^.

4A+B+C23 (Twierdzenie: o własności szeregów):

23.1) łącznosc sumy szeregu: szereg zbieżny posiada tę właściwość, że dzieląc wszystkie jego wyrazy na grupy, obliczając sumę wyrazów dla każdej z tych grup i tworząc z tych sum nowy szereg, otrzymamy zawsze szereg zbieżny i mający taką sume jak poprzedni;

23.2) twierdzenie (Riemann): kolejność wyrazów szeregu warunkowo zbieżnego można zawsze tak zmienić, żeby otrzymać szereg rozbieżny albo zbieżny do dowolnie wybranej liczby;

23.3) suma szeregu zbieżnego bezwzględnie nie zależy od kolejności jego wyrazów;

(7)

23.4) mnożenie szeregów: jeżeli szeregi

1 n n

a





 ⁱ 1

n n

b





 są zbieżne, przy czym co najmniej jeden z nich jest bezwzględnie zbieżny, to ich iloczyn

1 n n

c





 ^{, gdzie} 1

1 n

n k n k

k

c a b _{ }





, jest zbieżny, przy czym

1 1 1

n n n

c a b

  

  

 

  

^.

Przyklady (o łączności wyrazów szeregu rozbieżnego): 1) szereg

1

( 1)ⁿ 1 1 1 ...

n





     



jest rozbieżny; 2) szereg (-1+1)+(-1+1)+...=0+0+... jest zbieżny; 3) szereg (-1+1-1)+(1-1+1)+...=1+1+... jest rozbieżny.

4.4. Szeregi potęgowe.

4A24 (Definicja). Szeregiem potęgowym o środku x ₀ i współczynnikach

0, ,1 2,...

c c c nazywany szereg postaci

0 0

( )ⁿ

n n

c x x







 , (2) gdzie x  , 0⁰ 1

def .

4A25 (Definicja). Promieniem R zbieżności szeregu (2) potęgowego

nazywany kres górny zbioru wartości bezwzględnych wszystkich liczb x R , dla których ten szereg jest zbieżny.

4A+B26 (Twierdzenie). Promień R zbieżności szeregu (2) obliczamy ze wzoru

0 gdy 1 gdy 0<

gdy 0 R

   

    

  



, gdzie

lim 1

lim

n

n n

n n n

c c

c





 

lub ogólnej lim ⁿ _n

n c

   o ile granice w poprzednich wzorach istnieją.

4A+B27 (Twierdzenie Cauchy`ego – Hadamarda). Jeżeli promień R zbieżności szeregu (2) spełnia warunek 0 R   , to ten szereg jest

27.1) zbieżny bezwzględnie w każdym punkcie przedziału (x₀R x, ₀ R), 27.2) rozbieżnym w każdym punkcie zbioru (,x₀ R)(x₀  R, ). Na końcach przedziału (x₀R x, ₀ R) szereg może być zbieżny lub rozbieżny.

Jeżeli R 0, to szereg jest zbieżny jedynie w punkcie x₀. Jeżeli R  , to szereg jest zbieżny bezwzględnie na całej prostej.

4A28 (Definicja). Zbiór liczb rzeczywistych, dla których szereg (2) jest zbieżny, nazywamy przedziałem zbieżności tego szeregu.

(8)

4A29 (Przykłady). Znaleźć przedziały zbieżności szeregów 22.1), 22.2), 22.3) w 1A+B22.

4A+B30 (Twierdzenie: własności szeregów potęgowych):

30.1) jeżeli promień zbieżności szeregu (2) R  , to dla każdego x0  , R xx0  , szereg ten jest zbieżny bezwzględnie; R

30.2) we wnętrzu swego przedziału zbieżności (x₀ R x, ₀R) szereg potęgowy można różniczkować i całkować, tzn.

0 0

'( ) _n( )ⁿ

n

S x d c x x

dx







 0 ¹

1

( )ⁿ

n n

nc x x

 





 ^,

0

1

0 0

( ) ( )

1

x

n n n

n

n n

x

c t x dt c x x

n

 



 

    

  











^dla^x^⁽^x⁰^^{R x}^, ⁰ ^^R⁾^;

30.3) suma szeregu potęgowego jest funkcją ciągłą w całym wnętrzu

0 0

(x R x, R) przedziału zbieżności.

4A31 (Definicja). Szeregiem Taylora o środku w punkcie x funkcji f ₀ nieskończenie różniczkowalnej w punkcie x nazywamy szereg potęgowy ₀

( )

0 0 0 2

0 0 0 0

0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ...

! 1! 2!

n def

n n

f x f x f x

x x f x x x x x

n





 

       



( ) 0

0

( )

( ) ...

!

n

f x n

x x

 n  

Jeżeli x ₀ 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f .

4A+C32 (Twierdzenie o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora). Niech funkcja f będzie klasu C^ w pewnym otoczeniu O x( ₀) punktu x₀, tzn. ma w tym

otoczeniu wszystkie pochodne. Jeżeli dla każdego xO x( ₀) spełniony jest warunek lim _n( ) 0

n R x

  , gdzie

( )

0

( ) ( )( )

!

n

n n

f c

R x x x

 n  ; c x, O x( ₀), oznacza n – tą resztę we wzorze Taylora dla funkcji f , to

( ) 0

0 0

( )

( ) ( )

!

n

n n

f x

f x x x

n







 (3) dla każdego xO x( ₀).

Równość (3) nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Taylora w otoczeniu O x( ₀). Wówczas ( )f x nazywamy funkcją analityczną w otoczeniu

( 0) O x .

(9)

4A+C33 (Uwaga). Zauważmy, że tylko zbieżność szeregu Taylora nie gwarantuje eszсze rozwinięcie funkcji w szereg Taylora. Przykład:

1/ 2

0, 0, ( )

x 0 x f x

e^ dla x

 

   ,

f C^ w punkcie x ₀ 0, jej szereg Maclaurina ma postać: 0 0 0 ...    f x( ). 4A+B34 (Twierdzenie: warunek wystarczający rozwinięcia funkcji w szereg Teylora. ). Jeżeli istnieje taka liczba M  , że dla każdego 0 xO x( ₀) i dla każdego naturalnego n spełniona jest nierówność f^{( )}ⁿ ( )x M, to dla każdego

( 0)

xO x spełniony jest warunek (3).

4A+B35 (Twierdzenie o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy). Jeżeli funkcja f jest w pewnym otoczeniu O x( ₀) sumą szeregu

potęgowego ₀

0

( )ⁿ

n n

c x x







 ^{, to} ^{( )}⁽ ⁰⁾

!

n n

f x

c  n dla każdego n , tzn, że ten szereg N potęgowy jest szeregiem Taylora.

4A+B36 (Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych):

36.1) ²

0

1 1 ...

1

n n

x x x

x





    





^{dla 1}^{   ;}^x ¹

36.2)

2

0

1 ... ...

! 1! 2! !

n n

x n

x x x x

e n n







      ^{dla x } ^; 36.3)

2 1 3 5 2 1

0

sin ( 1) ... ( 1) ...

(2 1)! 3! 5! (2 1)!

n n

n

x x x x

x x

n n

 





        

 



^dla

x  ; 36.4)

2 2 4 2

0

cos ( 1) 1 ... ( 1) ...

(2 )! 2! 4! (2 )!

n n

n

x x x x

x n n







        ^{dla x } ^;

36.5)

1 2 3 4

0

ln(1 ) ( 1) ...

1 2 3 4

n n n

x x x x

x x

n

 



       



 ^{dla 1}^{   ;}^x ¹

36.6) ( 1) ² ( 1)( 2) ³

(1 ) 1 ...

2! 3!

x ^ x    x      x

       

0

( 1) ... ( 1)

! ...

n n

n

n x x

n n





 

       

    



  ^dla ^{x  }^{( 1,1)}^;

36.7)

2 1 3 5

0

( 1) ...

2 1 3 5

n n n

x x x

arctgx x

n

 



     



 ^{dla 1}^{   ;}^x ¹

36.8)

 

2 1 3 5

0

2 1 ! 3! 5! ...

n

x x x

shx x

n

 



    



 ^{dla x } ^;

(10)

36.9)

 

2 2 4

0

1 ...

2 ! 2! 4!

n

x x x

chx n







    ^{dla x }

Przykłady (B+C). Obliczyć sumy podanych szeregów liczbowych:

1) 1 1 1 1

1 ... ...

1! 2! 3! n!

      ; 2) 1 1 1 ( 1)

1 ... ...

1! 2! 3! !

n

       ;

3) 1 1 1 ( 1)

1 ... ...

3 5 7 2 1

n

      

 ; 4) 1 1 1 ( 1)

1 ... ...

2 3 4 1

n

      

