Analyse van de vervormingen van de Fusee Ceramique daken van de productiehallen in Dongen: Rapport met bevindingen betreffende de vervormingen van de Fuseedaken van de productiehallen van Coca Cola in Dongen

(1)

Analyse van de vervormingen van de Fusée Ceramique

daken van de productiehallen in Dongen

Rapport met bevindingen betreffende de vervormingen van de Fuseedaken van de productiehallen van Coca Cola in Dongen

27-01-2014

(2)

- 2 - Inhoudopgave Introductie 3 Probleemstelling 3 Aanbeveling 4 Alternatief 4 Literatuur 5 Bijlage Onderbouwing 6 Gegevens 6

Analyse van de oorspronkelijke berekening 6

Herberekening 12

Effect van de krimp en kruip op de interne krachtsafdracht 14

Berekening van het breukmoment 20

berekening van de stijfheid 22

Analyse van de krachtsafdracht met Matrixframe 29

(3)

Introductie

In 1962 werden in Dongen bedrijfshallen gemaakt met cilindervormige overkappingen waarin ter besparing van gewicht en cement ceramische elementen, de Fusée's Ceramique, werden gelegd. De schalen worden ondersteund met balken 450*750 mm2 en kolommen 450 * 450 mm2 op een raster van 5,6 m * 20,4 m. Het dak is in de lengte in twee delen gedilateerd, verder zijn om de 4,8 m krimpvoegen gemaakt [ARC]. De dikte van de schaaldaken is 140 mm a 145 mm. Voor de overspanning van de schaal werd in de oorspronkelijke berekening 19,7 m aangehouden [B&P]. De constructie is gewapend met een onder en boven wapening Ø8 – 180 evenwijdig aan de overspanning. Er is geen verdeelwapening aangebracht. De verhouding van dikte versus de overspanning is gelijk aan t/l =145/19700 = 1/136. Het dak is vrij slank, deze slankheid is echter niet uitzonderlijk, in Woerden werd op het defensieterrein een fuseeconstructie gemaakt met een overspanning van 19,8 m en een dikte van 130 mm. De verhouding dikte overspanning was daar; t/l =130/19800 = 1/152. Deze hal werd gesloopt in 2012.

Probleemstelling

De gedilateerde schaaldaken zijn asymmetrisch vervormd, voor de ene booghelft is de vervorming omlaag en voor de andere booghelft is de vervorming omhoog gericht. Tussen de gedilateerde schaaldaken zijn wisselingen ontstaan. De vervormingen zijn vrij groot, plaatselijk 200 a 250 mm. In 2007 werd de constructie geverfd, uit de conditie van de geverfde oppervlakken blijkt dat een deel van de vervormingen voor 2007 zijn opgetreden maar dan sinds die tijd de constructie verder vervormd is.

Figuur 1 Schema van de constructie in hal 6, met permanente belasting

Analyse

In een boog ontstaan uitsluitend normaalkrachten als de druklijn van de belasting samenvalt met de systeemlijn. verschilt de druklijn van de systeemlijn dan ontstaan in de boog momenten. Een slanke boog heeft slechts een beperkte capaciteit om momenten te weerstaan.

De constructie is berekend met een overspanning van 19,7 m. De hart op hart afstand van de ondersteuningen is 20,4 m. De bogen belasten de randbalken asymmetrisch. Bij een tussenbalk zullen de momenten door de excentrische belastingen elkaar grotendeels compenseren. Een randbalk wordt door de dakconstructie excentrisch belast. Door dit moment zal de randbalk torderen en de gevelkolom roteren. Door de hoekverdraaiing zal de schaal neerwaarts zakken. Door deze zakking zal de druklijn verschillen van de systeemlijn.

In de oorspronkelijke berekening is de vervorming van de trekstaven niet meegenomen. Door de vervorming van de trekstaven zal het dak in eerste instantie symmetrisch vervormen.

De kwaliteit van het beton wisselt. uit een steekproef met 3 boringen blijkt dat de gemiddelde kwaliteit C40/50 is [SGS]. Tussen de fusees is het beton minder van kwaliteit, waarschijnlijk is de specie daar niet goed verdicht. De aanhechting tussen de fusée's, het beton en de wapening is plaatselijk minder goed.

De diameter van de fusees is circa 70 mm [SGS]. Uit de analyse van de oorspronkelijke berekening blijkt dat de constructie ontworpen is met fusees met een diameter van Ø80 mm, hetgeen correspondeert met de diameter die de literatuur wordt vermeld. Ook in de fusée-daken in Woerden werden fusée’s met een diameter van 80 mm toegepast. De ruimte tussen de fusée's is, uitgaande van een hart op hart afstand van 90 mm en een diameter van 80 mm, slechts 10 mm.

De dekking van de wapening is circa 40 mm [SGS], deze is groter dan de voorgeschreven dekking. Door de grote dekking is de inwendig hefboomsarm vrij klein, zodat de capaciteit om momenten op te nemen wordt verminderd. In de loop van de tijd neemt in een betonconstructie de vervorming door kruip en krimp toe. Door het verschil in de tijdsafhankelijke vervorming van beton en fusée's door krimp en kruip vindt in een samengestelde constructie een herverdeling van de krachten plaats. De drukspanning in de fusees neemt toe en de drukspanning in het beton neemt. Door de herverdeling kan in het beton een trekkracht en scheurvorming ontstaan. De stijfheid van de samengestelde constructie zal door deze scheurvorming afnemen.

(4)

- 4 - De gewelfde daken zijn aanzienlijk vervormd. Boogconstructies vervormen voornamelijk als deze asymmetrisch

worden belast door wind, sneeuw, of een uitvoeringsbelasting door het aanbrengen van bijvoorbeeld een dakbedekking. De veranderlijke belastingen zijn overwegend kortdurend. Als de constructie, na belast te zijn geweest met een kortdurende asymmetrische belasting, niet terugkeert in de oorspronkelijke vorm, dan is deze vermoedelijk gescheurd.

De vervormingen van de gewelfde daken kunnen voor een deel zijn ontstaan bij het ontkisten van de betonconstructie en bij het aanbrengen van de dakbedekking. Deze vervormingen zouden moeten zijn geconstateerd bij de oplevering

In eerste instantie is de constructie zo ontworpen dat in de schaal alleen drukkrachten ontstaan door de gelijkmatig verdeelde symmetrische belasting. In een boog ontstaan momenten als de druklijn niet samenvalt met de systeemlijn. De systeemlijn van de vervormde boog valt niet meer samen met de druklijn van de permanente belasting, de vervormde constructie wordt dan voortdurend excentrisch belast.

Door scheurvorming en de daardoor veroorzaakte afname van de stijfheid van de constructie wordt het knikgetal kleiner en neemt het tweede orde effect toe, met als gevolg dat de momenten en de vervormingen groter worden. De toename van de momenten en de vervormingen kan worden bepaald met het vergrotingsgetal, zijnde n/(n-1), n is het knikgetal, dit is de verhouding van de knikkracht tot de normaalkracht. In de praktijk streeft men naar een waarde voor n ≥ 5. Neemt het knikgetal af dan nemen de vervormingen onevenredig toe, de constructie bezwijkt bij n = 1.

In de onderbouwing is een analyse gemaakt van de oorspronkelijke berekening en herberekeningen gemaakt voor de spanningen en stijfheid. Ondermeer zijn is het breukmoment, het scheurmoment en het vloeimoment bepaald. Verder is met het programma Matrixframe de krachten in de ontworpen constructie, de vervormde constructie en de versterkte constructie bepaald.

In de oorspronkelijke berekening werd aangenomen dat de constructie centrisch wordt ondersteund, deze is echter excentrisch opgelegd op de ondersteunende balken. De dakconstructie van de laatste schaal, hal 6, is op een eindbalk en een tussenbalk opgelegd. In de analyse met Matrixframe zijn de randvoorwaarden meegenomen. Uit de analyse blijkt dat de randvoorwaarden invloed hebben op de momenten en vervormingen. Door de permanente belasting ontstaat een moment van Mg.rep = 2,89 kNm.

De constructie is vervormd, door de vervormingen ontstaan verschillen tussen de systeemlijn en de druklijn. Uit de berekening van de vervormde constructie blijkt dat door de permanente belasting een moment ontstaat gelijk aan Mg.rep = = 9,4 kNm. Dit moment is groter dan het moment waarbij de wapening vloeit, zijnde Met = 8,6 kNm en bijna gelijk aan het uiterst opneembare moment: Mu = 9,8 kNm.

Uit de berekening van de stijfheid blijkt dat de stijfheid van de constructie veel lager is dan de stijfheid berekend in de oorspronkelijk berekening. Het knikgetal in de gebruikstoestand is zeer laag. De stijfheid is gerelateerd aan het optredende moment, neemt het moment toe dan zal de stijfheid afnemen en het tweede orde effect toenemen. De vervorming en het moment zullen dan groter worden.

Voor de uiterste grenstoestand is de stijfheid lager dan in de gebruikstoestand. Wordt de constructie belast met een moment M = 3,0 kNm en neemt de stijfheid zodanig af dat het knikgetal gelijk is aan n = 1,3 dan is het moment inclusief tweede orde gelijk aan M = 13 kNm en groter dan het berekende uiterst opneembare moment, Mu = 9,8 kNm. De constructie zal dan bezwijken.

Aanbevelingen

Door de randvoorwaarden en een asymmetrische belasting is de constructie gescheurd en plastisch vervormd, zodat deze na het verwijderen van de tijdelijke belasting niet is teruggekeerd in de oorspronkelijk toestand. Door de scheurvorming de stijfheid aanzienlijk verminderd. De stijfheid van de constructie heeft een groot effect op het tweede orde effect, met als gevolg dat de momenten en de vervormingen sterk zijn toenemen.

Gezien de vervormingen en de lage waarde van het knikgetal moeten er maatregelen genomen worden om de constructie te versterken en verstijven. De constructie kan op verschillende manieren worden versterkt en verstijfd, bijvoorbeeld met vakwerken, liggers en bogen [ARC]. Daar de systeemlijn van de vervormde constructie afwijkt van de oorspronkelijk ontworpen systeemlijn zou bij voorkeur de constructie weer zo goed als mogelijk in de oorspronkelijk vorm teruggebracht moeten worden. Verder moet de kniklengte worden verkleind en moet de stijfheid worden vergroot.

Alternatief

De momenten door asymmetrische belastingen en de kniklengte kunnen worden verminderd door de constructie te versterken met extra staven die de top met de steunpunten van de boog verbinden. Deze staven zullen de horizontale en verticale verplaatsing van de top, de kniklengte en de momenten door asymmetrische belastingen verkleinen. Met Matrixframe zijn de momenten en vervormingen in de versterkte constructie berekend. Het moment door de permanente belasting in de vervormde en versterkte constructie is 4,5 kNm. In de niet versterkte vervormde constructie is het moment 9,4 kNm. Tevens nemen in de versterkte constructie de momenten door asymmetrische belasting sterk af.

(5)

De vervormingen van de constructie kunnen worden gereduceerd door de staven onder de neerwaarts vervormde booghelft aan te spannen en de verbindingstaaf op een afstand van ¼ l van het steunpunt te verlengen zodat de staven tussen top en steunpunt een kleine knik krijgen. In de korte verbindingstaaf ontstaat een drukkracht die de zakking reduceert en de te grote kromming van de andere booghelft reduceert. Met een nader onderzoek kan de optimale positie van de lengte van de korte staaf worden bepaald. Uiteraard moet het aanspannen van deze staaf met de nodige voorzichtigheid gebeuren. Gezien de onderzekerheden ten aanzien van de stijfheid van de constructie is verder onderzoek nodig. Het is aan te bevelen om met een proefopstelling het effect van het aanspannen van de staven op de vervorming verder te onderzoeken.

Figuur 2. Schema van de constructie versterkt met diagonalen

Geraadpleegde literatuur

[ABT] ABT, Notitie inzake vervorming dakconstructie Coca Cola fabriek in Dongen 9 december 2013; (ARC] ARCADIS Nederland bv, Second opinion vervormde schaaldaken Coca Cola 27 november 2013; [B&P] Bish & Partners, Berekening limonade fabriek te Dongen, dossier F 1601-1;

[Bis] Bish J.F.: Gewapend beton voorschriften 1950, 2e editie, L.J.Veen uitgevers maatschappij: Amsterdam 1950; [Boo] Boom G.H. van and J.W.Kamerling, Construeren in gewapend beton deel 1 Delta Press b.v.,Oudewater 1977;

[Bra] Braam C.R., Compendicum Eurocode 2, 1th editie, Cement&BetonCentrum: 's Hertogenbosch 2008; [Eck] Eck P.J.W. van, J.F.Bish: Het Fuseedak, Cement 6 (1954) 240-243;

[Gol] Goldenblat L. A.M.Sisow, Die berechnung von Bauconstructionen auf Stabilitat und Schwingungen, VEB verlag Technik: Berlin, 1955;

[Lan] Langejan A.: Fusees Ceramiques, een nieuw bouwmateriaal, Bouw (1949) 518-520;

[Sche] Scherpbier G.: De invloed van het krimpen en kruipen van het beton op samengestelde constructies, PHD-Thesis, TUDelft: Delft 1965;

[Schr] Schrier ir..W. van der, Bouwen in Gewapend beton, studie en handboek voor bouwen waterbouwkundigen, Deel 2 berekeningen, 12th edition, NV uitgeverij Argus: 's Gravenhage 1965;

[Tim] Timoshenko S., Strength of materials, part 2, Advanced Theory and Problems, 2th edition, D Van Nostrant Company: New York 1952;

[SGS] SGS INTRON BV, onderzoek schaaldak hal 6 Coca Cola, eindrapport;

[Toe] Toeter H.H.: Paddestoelen voor de bouw van textielmagazijnen te Goor, Cement 5 (1953) 177-184; [Vri] Vriend J.J., Bouwen, handboek voor de praktijk van het bouwen, Kosmos 1955;

(6)

- 6 -

Bijlage: Onderbouwing

In de onderbouwing worden de oorspronkelijke berekeningen geanalyseerd en berekeningen gemaakt om in eerste instantie de orde van grootte van de krachten, momenten, spanningen en vervormingen te bepalen. In een later stadium dienen deze berekeningen te worden verfijnd.

Gegevens

De hart op hart afstand van de ondersteunende kolommen is 20,4 m en 5,6 m. In de oorspronkelijke berekening van Bish en partners werd voor de overspanning van de cilinderdaken 19,7 m en de pijlmaat 2,46 m aangehouden [B&P]. De hart op hart afstand van de kolommen is 20,4 m. in de berekeningen is verondersteld dat de schalen scharnierend opgelegd zijn op de ondersteunende balken. Voor een tussenbalk zullen de verticale rustende belastingen aan weerzijden van de balk gelijk zijn, zodat in de balk geen wringende momenten ontstaan. Bij een randbalk ontstaat door de excentriciteit van de verticale belasting een wringend moment waardoor de balk en de ondersteunende kolommen zullen vervormen. De eindschaal zal daardoor meer vervormen dan een middenschaal. in de berekeningen met matrix is de schaal opgelegd op kolommen om de randvoorwaarden te verdisconteren. De doorsnede van de betonnen cilinderschalen bestaat uit een toplaag van circa 40 mm, ceramische elementen Ø70 mm hart op hart 90 mm en een onderste laag van 30 mm [SGS], de dekking op de wapening is ca 40 mm, deze dekking is vrij groot. De voorschriften van 1950 schreven voor dat voor een constructie met een dikte van 120 mm of meer minimaal een dikte van 15 mm moest worden toegepast. Door de grote dekking neemt de hefboomsarm van de wapening af en neemt de capaciteit om momenten te weerstaan proportioneel af. De diameter van de toegepaste fusée's Ø 70 mm [SGS] kleiner is dan de in de literatuur vermelde [Vri], [Eck] en in de oorspronkelijke berekening aangehouden diameter Ø 80 mm. Het dak is afgewerkt met van boven naar beneden: een folie, EPS-platen met een dikte van 60 mm, een bitumen laag, kurk 25 mm en een bitumenlaag.

Analyse van de oorspronkelijke berekening

Uit de oorspronkelijke berekening [B&P] blijkt dat voor de constructie de volgende gegevens werden aangehouden voor de spanning en de elasticiteitsmodulus van het staal, het beton en de fusées:

staal: σs = 140 N/mm2 , Es = 2,1 *105 N/mm2 beton: σc = 6 N/mm2

, Ec = 2,1 *104 N/mm2

fusées: Ef = 1,7 *104 N/mm2

Volgens de berekening heeft de samengestelde constructie heeft een oppervlak en een stijfheid van respectievelijk A = 113800 mm2 en EI= 5,34 *105 N/mm2. Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie kunnen deze waarden als volgt gereconstrueerd worden.

EA = Ec . (Ac + nf.Af + ns * As ) (1)

EI = Ec .(Ic + nf.If + ns * Is ) (2)

Verhoudinggetallen: nf = Ef/Es = 1,7 *104 / (2,1 *104) = 0,81 ns = Es/Ec = 2,1 *105/ (2,1 *104) = 10

Tabel 1. Oppervlakte en kwadratisch oppervlakte moment voor de fusées, beton en staal voor een breedte van de doorsnede van b = 1,0 m. Area Fusées Af = 11 *¼ π ∗ (802 - 602) = 24,2 * 103 mm2 Beton: Ac = 145 * 1000 - 11 *¼ π.802 = 89,7 * 103 mm2 Wapening boven: As = ¼ π ∗ 82 * 1000/180 = 279 mm2 Wapening onder: As = ¼ π ∗ 82 * 1000/180 = 279 mm2 Fusée's If = 11 *π.(804 - 604)/64 = 12,25 * 106 Beton: Ic = 1000 * 1403/12 - 11 *π.804/64 = 231,94 * 106 Wapening: Is = 2 * 279 * (145/2-29)2 = 1,06 * 106

Substitutie van de gegevens, zie tabel 1, geeft:

EA = 2,1*104 * (89,7 * 103 + 0,81 * 24,2 * 103 + 10 * 2 * 279) = 2,1 * 104 * 114,9 * 103 Nmm2

EI = 2,1* 104 * (231,94 * 106 + 0,81 * 12,25 * 106 + 10 * 1,06 * 106 ) = 5,35 * 1012 Nmm2

Deze waarden komen goed overeen met de waarden gebruikt in van de oorspronkelijke berekening, waarbij werd uitgegaan van fusées met een diameter van 80 mm.

(7)

Belastingen

eigengewicht: pg = 0,0897 * 24 + 0,0242 * 18 = 2,6 kN/m2

dakbedekking: 0,15 kN/m2

permanente belasting: 2,75 kN/m2

veranderlijke belasting: 0,5 kN/m2

Met een eenvoudige ontwerpberekening kunnen de krachten en de spanningen als volgt worden bepaald uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie. De constructie werd geschematiseerd als een boog ondersteund met twee scharnierende opleggingen met een overspanning van 19,7 m. De vervorming van de trekstangen werd verwaarloosd en de berekening werd gemaakt voor een standaard breedte van 1,0 m.

Figuur 3. Schema van de constructie belast met de symmetrisch aangrijpende permanente belasting. Permanente belasting

Permanente belasting qg = 2,75 kN/m, pijlmaat f = 2,46 m, overspanning l = 19,7 m.

De verticale and horizontale reacties zijn gelijk aan: VA = VB = qg * l /2 = 2,75 * 19.7/2 = 27,1 kN

H = qg * l2 = 2,75 * 19,72 = 54,2 kN 8 * f 8 * 2,46

De normaalkracht bij de oplegging volgt uit: N = (H2 + V2)0,5 = [54,22 + 27,12]0,5 = 60,6 kN

voor x =l/4 = 4,925 m is de normaalkracht gelijk aan: N = [H2 + (q*x)2]0,5 = [54,22 + (2,75*19,7/4)2]0,5 = 55,9 kN

Veranderlijke belasting

Veranderlijke belasting qg = 0,5 kN/m, pijlmaat f = 2,46 m, overspanning l = 19,7 m.

De verticale and horizontale reacties zijn gelijk aan: VA = VB = qe * l /2 = 0,5 * 19.7/2 = 4,925 kN

H = qe * l2 = 0,5 * 19,72 = 9,9 kN 8 * f 8 * 2,46

De normaalkracht bij de oplegging volgt uit: N = (H2 + V2)0,5 = [9,92 + 4,9252]0,5 = 11,1 kN

Permanente en veranderlijke belasting

Permanente en veranderlijke belasting qg = 2,75 + 0,5 = 3,25 kN/m, pijlmaat f = 2,46 m, overspanning l = 19,7 m.

De verticale and horizontale reacties zijn gelijk aan: VA = VB = qg * l /2 = 3,25 * 19.7/2 = 32 kN

H = qg * l2 = 3,25 * 19,72 = 64,1 kN 8 * f 8 * 2,46

De normaalkracht bij de oplegging volgt uit: N = (H2 + V2)0,5 = [64,12 + 322]0,5 = 71,6 kN

voor x =l/4 = 4,925 m is de normaalkracht gelijk aan: N = [H2 + (q*x)2]0,5 = [64,12 + (3,25*19,7/4)2]0,5 = 66 kN

φ R f ½ l qg +qe

(8)

- 8 - Asymmetrische belasting

Door een asymmetrische belasting wordt de boog belast met buigende momenten. De veranderlijke belasting is gelijk aan qe = 0,5 kN/m2. De verticale en horizontale reacties werkende op de opleggingen zijn gelijk aan:

VA = 1/8 qe * l = 1/8* 0,5 *19,7 = 1,2 kN

VB = 3/8 qe * l = 3/8 * 0,5 * 19,7 = 3,7 kN

H = qe * l2 = 0,5 * 19,72 = 4,9 kN 16 * f 16 * 2,46

Het buigende moment volgt uit: Mo = qe * l2 = 0,5 * 19,72 = 3,0 kNm 64 64

Resulterende normaalkracht voor x = ¼ l: N = [H2 + (VB - q*x)2]0,5 = [4,92 + (3,7 – 0,5 *19,7/4)2]0,5 = 5 kN

Figuur 4. Schema van de boog belast met een symmetrische en asymmetrische belasting Voor de permanente en veranderlijke belasting wordt gevonden:

Spatkracht: H = 54,2 + 4,9 = 59,1 kN Maximale oplegreactie: VB = 27,1 + 3,7 = 30,8 kN

Resulterende normaalkracht voor x = ¼ l: N = [H2 + (VB - q*x)2]0,5 = [59,12 + (30,8 – 3,25 *19,7/4)2]0,5 = 60,9 kN

φ R f a qr ½ α s

Figuur 5. Boogsegment belast met een radiale belasting. Knikkracht

Daar de pijlmaat van de parabolische boog vrij klein ten opzichte van de overspanning is de boog bij benadering gelijk aan een cirkelvormig segment. De knikkracht kan dan benaderd worden met de formule als gegeven door Timoshenko et al [Tim] en Goldenblat et al [Gol]:

qcr = EI [π2_/φ2 -1] R3

De uiterste knikkracht volgt uit: Ncr = qcr . R = EI *[π2_/φ2

-1] (3) R2 φ R f ½ l qe qg

(9)

Voor een parabool kan de hoek α tussen de tangent en de horizontale lijn door de opleggingen worden berekend met: tan α = 2.f = 2 * 2,46 = 0,50 → α = 26,50 = 0,463 rad. a 19,7/2

De straal van de parabolische boog varieert en wordt bepaald met de volgende vergelijking:

Rφ = a2 * (1+ 4*f2/a2)1/2 (4)

2*f

Substitutie van de pijlmaat f en de halve overspanning a = 19,7/2 m geeft:

Rφ = 9,852 * (1+ 4 * 2,462/9,852)0,5 = 22,04 m 2 * 2,46 Substitutie geeft: Ncr = EI * [π2_/φ2 - 1] = 5,35 * 1012 * [π2/ 0,4632 - 1] = 496 * 103 N R2 (22,04 * 103)2

Permanente en symmetrische veranderlijke belasting

Voor x = ½ * a is de normaalkracht gelijk aan N = 66 kN. Het knikgetal is dan gelijk aan:

n = Ncr/N = 496/66 = 7,5

Permanente en asymmetrisch belasting

Voor x = ½ * a is de normaalkracht gelijk aan N = 60,9 kN. Het knikgetal is dan gelijk aan:

n = Ncr/N = 496/60,9 = 8,1

In deze berekening is de scheurvorming niet verdisconteerd. Voor een gescheurde constructie is de stijfheid aanzienlijk lager. Uitgaande van een stijfheid van E = 4000 N/mm2 [ABT] wordt het knikgetal voor de permanente en asymmetrische veranderlijke belasting bij benadering n = 8,1 * 4000/21000 = 1,5.

Spanningen

Een constructie wordt belast met een normaalkracht N. Deze belasting N wordt opgenomen met het beton, het staal en de fusée's. Het beton, het staal en de fusée's worden belast met een kracht Nc , Ns en Nf. De som van deze krachten is gelijk aan de belasting N:

Nc + Nf + Ns = N (5)

De specifieke vervormingen van het beton, het staal en de fusée's zijn gelijk:

εc = εf = εs = ε0 (6)

De krachten in het beton, de fusee's en het staal volgen uit respectievelijk: Nc = Ac Ec * εc N f = Af Ef * εf N s= As Es * εs

Substitutie in de vergelijking voor de specifieke vervormingen geeft: ε0 = Nc = Nf = Ns (7) AcEc AfEf AsEs

Substitueer de specifieke vervormingen in de vergelijking voor het evenwicht:

N = Ac Ec * ε0 + Af Ef * ε0 + As.Es * ε0 (8)

Vervolgens wordt met deze vergelijking de onmiddellijke vervorming berekend voor t = 0:

ε0 = N . Ac Ec + Af Ef + As Es

(10)

- 10 - ε0 = N .

Ac Ec .[ 1 + Af* nf /Ac + As * ns /Ac ]

ε0 = N . met: mEA, t=0 = 1 + Af* nf /Ac + As * ns /Ac (9) Ac * Ec* mEA, t=0

Vervolgens worden de spanningen in het beton, de fusées en het staal berekend met:

σc = Ec * ε0. σf = Ef * ε0. σs = Es * ε0. Permanente belasting:

Door de permanente belasting is de normaalkracht voor x = ½ a = ¼ * l gelijk aan: N = 55,9 kN. de specifieke vervorming volgt uit:

Voor een kort durende belasting zijn de waarde voor de elasticiteitsmodulus van het beton, de fusées en het staal: Substitueer de volgende waarden in deze vergelijkingen:

Ec = 2,1 * 104 N/mm2 , Ef = 1,7 * 104 N/mm2 , nf = 0,81, Es = 2,1 * 105 N/mm2 , ns = Es/Ec = 10,

Ac = 89,7 * 103 mm2, Af = 24,2 * 103 mm2 , As = 2 * 279 mm2

Substitutie geeft: mEA t=0 = 1 + 24,2 * 103 * 0,81 + 558 * 10 = 1,28 89,7* 103 89,7* 103

De specifieke vervorming is: ε0 = 55900 . = 0,023 *10-3 89,7 * 103 * 2,1 * 104 * 1,28

De normaal spanning in het beton is gelijk aan: σc = ε0 Ec = 0,023*10-3 * 2,1 * 104 = 0,48 N/mm2 De normaal spanning in de fusée's is gelijk aan: σf = ε0 Ef = 0,023*10-3 * 1,7 * 104 = 0,39 N/mm2

De normaal spanning in het staal is gelijk aan: σs = ε0 Es = 0,023 *10-3 * 2,1 * 105 = 4,8 N/mm2 De krachten in het beton, de fusées en het staal zijn respectievelijk:

Nc = σc * Ac = 0,48 * 89,7 * 103 = 43 * 103 N Nf = σf * Af = 0,32 * 24,2 * 103 = 9,5 * 103 N Ns = σs * As = 4,8 * 558 = 2,7 * 103_N Asymmetrische belasting

Door de permanente en asymmetrische veranderlijke belasting is de normaalkracht voor x = ½ a gelijk aan: N = 60,9 kN.

Nc = σc * Ac = 0,53 * 89,7 * 103

= 47,5 * 103 N Nf = σf * Af = 0,43 * 24,2 * 103

= 10,4 * 103 N Ns = σs * As = 5,3 * 558 = 3,0 * 103_N

Het buigend moment is gelijk aan M = 3,0 kNm, Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie wordt de spanning berekend met:

(11)

σc = M * z * Ec EI

Substitueer EI = 5,35 * 1012 N/mm2 en Ec = 21000 N/mm2 in deze vergelijking:

σc = 3,0 * 106

* 145/2 * 21000 = 0,85 N/mm2 5,35 * 1012

De resulterende spanningen door de normaalkracht en het buigend moment zijn gelijk aan:

σc = - 0,53 +/- 0,85 N/mm2

Herberekening

Uitgaande van een betonkwaliteit C12/15 zijn de spanningen en de waarden voor de elasticiteitsmodulus van respectievelijk het staal, het beton en de fusées:

staal: σs = 220 N/mm2 , fs = 220/`1,15 = 191 N/mm2 Es = 2,0 *105 N/mm2 beton: σc = 12 N/mm2 , fc = 12/1,5 = 8,0 N/mm2 Es = 2,7 *104 N/mm2 fusées: Es = 1,7 *104 N/mm2 Verhoudinggetallen: nf = Ef/Es = 1,7 *104 / (2,7 *104) = 0,63 ns = Es/Ec = 2,0 *105/ (2,7 *104) = 7,4

Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie worden EA en EI berekend met (1) en (2):

EA = Ec . (Ac + nf.Af + ns * As ) (1)

EI = Ec .(Ic + nf.If + ns * Is ) (2)

Substitutie van de gegevens, zie tabel 1, met nf = 0,63 en ns = 7,4 geeft:

EA = 2,7*104 * (89,7 * 103 + 0,63 * 24,2 * 103 + 7,4 * 2 * 279) = 2,95 * 109 Nmm2

EI = 2,7*104 * (231,94 * 106 + 0,63 * 12,25 * 106 + 7,4 * 1,06 * 106 ) = 6,68 * 1012 Nmm2

Permanente belasting, t = 0

Voor de permanente belasting q = 2,75 kN/m wordt het effect van de tijdsafhankelijke vervorming berekend. Door

de permanente belasting is de normaalkracht voor x = ½ a = ¼ * l gelijk aan N = 55,9 kN voor t = 0 is volgt de specifieke vervorming uit:

ε0 = N . met m_{EA t=∞} = 1 + Af . nf / Ac + As ns / Ac Ac * Ec * mEA t=0

Met: Ec = 2,7 * 104 N/mm2 , Ef = 1,7 * 104 N/mm2 , nf = 0,63, Es = 2,0 * 105 N/mm2 , ns = 7,4

Ac = 89,7 * 103 mm2, Af = 24,2 * 103 mm2 , As = 2 * 279 mm2

Substitutie geeft: mEA t=0 = 1 + 24,2 * 103 * 0,63 + 558 * 7,4 = 1,22 89,7* 103 89,7* 103

Nc = σc * Ac = 0,51 * 89,7 * 103

(12)

- 12 - Nf = σf * Af = 0,32 * 24,2 * 103

= 7,7 * 103 N Ns = σs * As = 3,8 * 558 = 2,1 * 103

N

Onmiddellijke vervorming t = 0, asymmetrische variabele belasting

Asymmetrische belasting, q = 0,5 kN/m, de normaalkracht voor x = l/4 is gelijk aan N = 60,9 kN. De specifieke vervorming volgt uit:

ε0 = N . met mEA t=∞ = 1 + Af nf / Ac + As ns / Ac = 1,22 Ac * Ec * mEA t=0

De normaal spanning in het beton is gelijk aan: σc = ε0 Ec = 0,0021*10-3 * 2,7 * 104 =0,56 N/mm2 De normaal spanning in de fusée's is gelijk aan: σf = ε0 Ef = 0,0021*10-3 * 1,7 * 104 = 0,36 N/mm2

Nc = σc * Ac = 0,56 * 89,7 * 103 = 50,2 * 103 N Nf = σf * Af = 0,36 * 24,2 * 103 = 8,7 * 103 N Ns = σs * As = 4,2 * 558 = 2,3 * 103 N

σc = M * z * Ec EI

σc = 3,0 * 106

* 145/2 * 27000 = 0,88 N/mm2 6,68 * 1012

De resulterende spanning door de normaalkracht en het buigend moment is gelijk aan:

σc = - 0,56 +/- 0,88 N/mm2 Kruip

Door de kruip van het beton neemt de stijfheid af. Uitgaande van een kruipfactor φ = 3 wordt de elasticiteitsmodulus van het beton: Es = 2,7 *104 / (1+ 3) = 6750 N/mm2

Verhoudinggetallen: nf = Ef/Es = 1,7 *104 / (0,675 *104) = 2,5 ns = Es/Ec = 2,0 *105/ (0,675 *104) = 30

Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie worden EA en EI berekend met (1) en (2):

EA = Ec . (Ac + nf.Af + ns * As ) (1)

EI = Ec .(Ic + nf.If + ns * Is ) (2)

Substitutie van de gegevens, zie tabel 1, met nf = 2,5 en ns = 30 geeft:

EA = 0,675*104 * (89,7 * 103 + 2,5 * 24,2 * 103 + 30 * 2 * 279) = 1,13 * 109 Nmm2

EI = 0,675*104 * (231,94 * 106 + 2,5 * 12,25 * 106 + 30 * 1,06 * 106 ) = 1,99 * 1012 Nmm2

Permanente belasting:

Door de permanente belasting is de normaalkracht voor x = ½ a = ¼ * l gelijk aan: N = 55,9 kN De specifieke vervorming volgt uit:

εt = N . met mEA t=∞ = 1 + Af . nf / Ac + As ns / Ac Ac * Ec * mEA t=∞

(13)

Substitutie geeft: mEA t=0 = 1 + 24,2 * 103 * 2,5 + 558 * 30 = 1,81 89,7* 103 89,7* 103

De specifieke vervorming is: εt = 55900 . = 0,051 *10-3 89,7 * 103 * 0,675 * 104 * 1,81

De normaal spanning in het beton is gelijk aan: σc = εt Ec = 0,051*10-3 * 0,675 * 104 = 0,35 N/mm2 De normaal spanning in de fusée's is gelijk aan: σf = εt Ef = 0,051*10-3 * 1,7 * 104 = 0,87 N/mm2

De normaal spanning in het staal is gelijk aan: σs = εt Es = 0,051 *10-3 * 2,0 * 105 = 10,2 N/mm2 De krachten in het beton, de fusée's en het staal zijn respectievelijk:

Nc = σc * Ac = 0,35 * 89,7 * 103 = 31,4 * 103 N Nf = σf * Af = 0,87 * 24,2 * 103 = 21,1 * 103 N Ns = σs * As = 10,2 * 558 = 5,7 * 103_N Asymmetrische belasting

Door de permanente en asymmetrische veranderlijke belasting is de normaalkracht voor x = ½ a gelijk aan N = 60,9 kN.

De specifieke vervorming is: εt = 60900 . = 0,056 *10-3 89,7 * 103 * 0,675 * 104 * 1,81

De normaal spanning in het beton is gelijk aan: σc = εt Ec = 0,056*10-3 * 0,675 * 104 = 0,38 N/mm2 De normaal spanning in de fusée's is gelijk aan: σf = εt Ef = 0,056*10-3 * 1,7 * 104 = 0,95 N/mm2

De normaal spanning in het staal is gelijk aan: σs = εt Es = 0,056 *10-3 * 2,0 * 105 = 11,2 N/mm2 De krachten in het beton, de fusées en het staal zijn respectievelijk:

Nc = σc * Ac = 0,38 * 89,7 * 103 = 34,0 * 103 N Nf = σf * Af = 0,95 * 24,2 * 103 = 23,0 * 103 N Ns = σs * As = 11,2 * 558 = 6,2 * 103 N

De knikkracht is uitgaande van deze stijfheid gelijk aan:

Ncr = EI * [π2_/φ2

- 1] = 1,99 * 1012 * [π2/ 0,4632 - 1] = 184,5 * 103 N R2 (22,04 * 103)2

Voor de permanente en asymmetrisch belasting is de normaalkracht voor x = ½ * a gelijk aan N = 60,9 kN. Het knikgetal is dan gelijk aan:

n = Ncr/N = 184,5/60,9 = 3,0

σc = M * z * Ec EI

σc = 3,0 * 106

* 145/2 * 6750 = 0,74 N/mm2 1,99 * 1012

Door het tweede orde effect wordt het buigend moment vergroot met een factor n/(n-1):

σc = n * σc = 3,0 * 0,74 = 1,11 N/mm2 n-1 3,0 – 1

(14)

- 14 - σc = - 0,34 +/- 1,11 N/mm2

De maximale en trekspanning zijn dan respectievelijk σc = - 1,45 N/mm2_{en σc = + 0,77 N/mm}2 .

Effect van de krimp en kruip op de interne krachtsafdracht

Door krimp en kruip zullen in de loop van de tijd de fusée's en het beton verkorten. Door deze tijdafhankelijke effecten zal de verdeling van de belastingen veranderen. daar de tijdafhankelijke vervorming van het beton groter is dan de vervorming van de fusee's en het staal is het mogelijk dat in de door een normaalkracht belaste samengestelde constructie het beton dat aanvankelijk met een drukkracht wordt belast na enige tijd belast wordt met een trekkracht. Voor gewapend beton werd de tijdafhankelijke krachtsoverdracht beschreven door Scherpbier [Sch].

Krimp

Door de krimp zullen de fusee's en het beton verkorten. De specifieke verkorting van de fusée's is te berekenen met:

εrf = 0,1 * 10-3.

De uitdrogingskrimp van het beton wordt bepaald door de tijdsduur, de afmetingen, de relatieve vochtigheid en de kwaliteit van het beton. De krimp wordt bepaald met:

εrcd t = βds(t/to) kh. ε scd t=∞

Met: kh wordt bepaald door de afmetingen en de fictieve dikte h0, zie tabel 2 h0 = 2Ac/u

Ac= oppervlakte, u = perimeter

De factor β ds (t/to) volgt uit: β ds (t/to) = (t - to ) . (t-t0) + 0,04.ho3/2

t = tijd in dagen, to = aanvangstijd.

Tabel 2. De krimp van beton εcs0 voor t = ∞, volgens NEN-EN 1992-1-1, Euro code 2, tabel 3.2

C20/25 Relatieve vochtigheid krimp

droge omgeving, binnen 60% εsrcd = 0,49 *10-3

.

buiten 80% εrcd = 0,35 *10-3

vochtige omgeving 90% εrcd = 0,17 *10-3

.

In water 100% εrcd = 0

Tabel 3. De factor k0 voor de dikte h0, volgens NEN-EN 1992-1-1, Euro code 2, tabel 3.3

h0 k0

100 1,0

200 0,85 300 0,75 > 500 0,7

Voor een betonconstructie in een droog milieu met een dikte h0 = 145 mm wordt gevonden voor t = ∞ met ko = (0,85+ 0,15 * 0,55) = 0,93 en β = 1:

εrcd t = βds (t/to) kh. ε _{scd t=∞}=1* 0,93 *0,49*10-3 = 0,5 *10-3

De krimp van het beton is groter dan de krimp van de fusées met als gevolg dat het beton meer verkort dan de fusées. Het beton wordt door de krimpverkorting op trek en de fusées en het staal op druk belast.

Kruip

Door de kruip neemt de vervorming van beton toe. Stel dat de onmiddellijke specifieke vervorming door de belasting gelijk is aan ε0. Door de kruip over een periode t wordt de vervorming vermeerderd met ∆ε_t=∞ = ε0 ∗ φ. De factor φ wordt bepaald door de kwaliteit van het beton, de ouderdom bij belasten to, de belastingduur, de vochtigheid, de dikte van de doorsnede en de omtrek verwerkt in de fictieve dikte h0. In de NEN-EN 1992-1-1, Euro code 2, zijn tabellen opgenomen voor de bepaling van de kruip. tabel 4 toont de kruip voor C20/25, Cement klasse S, h0 = 200 mm.

(15)

Tabel 4 Kruip volgens NEN-EN 1992-1-1 Eurocode 2, C20/25, class S, Figuur 3.1

RH = 50% RH = 80%

t0 = 5 φ = 4,7 φ = 3,2

t0 = 10 φ = 3,8 φ = 2,8

t0 = 30 φ = 2,8 φ = 2,1

Voor een dakconstructie zijn de veranderlijke belasting kortdurend, de kruip wordt dan voornamelijk bepaald door de permanente belasting. Uitgaande van een tijdstip van ontkisten ca 10 dagen is, t0 = 10 en aannemende dat in de productiehallen de temperatuur ca 180 C is en de bijbehorende relatieve vochtigheid ca 75% is, wordt aangehouden voor de kruip: φ = 2,8 + (3,8−2,8) ∗ (5/30) = 3,0

De constructie komt niet terug in de oorspronkelijke vorm als de belasting wordt verwijderd. In eerste instantie is de vermindering van de vervorming gelijk aan de onmiddellijke vervorming. In de loop van de tijd neemt de vervorming verder af. De tijdsafhankelijke afname van de vervorming is gelijk aan de kruipvervorming door de belastingafname. Figuur 5 toont de verandering van de vervorming in de tijd. De constructie wordt belast op een tijd t = t1. De onmiddellijke specifieke vervorming is gelijk aan ε0. Voor t = t2 is de specifieke vervorming door de kruip toegenomen met φti - t2 .ε0. De totale specifieke vervorming is dan gelijk aan: εt = ε0.(1 + φti - t2 ). vervolgens wordt de belasting verwijderd op tijd t2. De specifieke vervorming neemt af met ε0. Op een tijdstip t = t3 is de afname van de vervorming vermeerderd met φt2 - t3 .ε0 . De totale specifieke vervorming volgt uit: εt = ε0 + φti - t2 ε0 - ε0 - φt2 - t3 ε0

εt ε0

t1 t2 t3

Figuur 6. De tijdafhankelijke vervorming door kruip voor en constructie belast gedurende de periode van t1 tot t2

Samengestelde constructie met beton, staal en fusée's belast met een normaalkracht

Een constructie wordt belast met een normaalkracht N. Deze belasting N wordt opgenomen met het beton, het staal en de fusée's. Het beton, het staal en de fusée's worden belast met een kracht Nc , Ns en Nf. De som van deze krachten is gelijk aan de belasting N:

Nc + Nf + Ns = N (5)

De specifieke vervormingen van het beton, het staal en de fusée's zijn gelijk:

εc = εf = εs = ε0 (6)

De krachten in het beton, de fusee's en het staal volgen uit respectievelijk: Nc = Ac Ec * εc N f = Af Ef * εf N s= As Es * εs

Substitutie in de vergelijking voor de specifieke vervormingen geeft: ε0 = Nc = Nf = Ns (7) AcEc AfEf AsEs

Substitueer de specifieke vervormingen in de vergelijking voor het evenwicht:

N = Ac Ec * ε0 + Af Ef * ε0 + As.Es * ε0 (8)

Vervolgens wordt met deze vergelijking de onmiddellijke vervorming berekend voor t = 0:

ε0 = N . Ac Ec + Af Ef + As Es

(16)

- 16 - ε0 = N .

Ac Ec .[ 1 + Af* nf /Ac + As * ns /Ac ]

Vervolgens worden de spanningen in het beton, de fusées en het staal berekend met:

σc = Ec * ε0. σf = Ef * ε0. σs = Es * ε0. (10) ε0 ∆ε Nc Nf Ns Ff Fs εrc ε0.ϕ Fc εrf

Figuur 7. Krachten en vervormingen in een samengestelde constructie met beton, staal en fusée's.

Door de kruip neemt de specifieke vervorming toe met φ.ε0 . De totale vervorming is dan ε0.(1+φ). Daarnaast ondergaat het beton en de fusee's ook een krimpverkorting . Door krimp wordt de specifieke verkorting van het beton en de fusees vergroot met respectievelijk εrc. en εrc.Stel dat de verandering van de verkorting door krimp en kruip leidt tot een verkorting van de constructie gelijk aan ∆ε. Op een tijdstip t is de totale specifieke verkorting gelijk aan:

et = ε0 + ∆ε.

De constructie is een eenheid, de vervormingen van de materialen is gelijk. Op het beton, het staal en de fusees worden interne krachten uitgeoefend. het staal en de fusée's worden belast met een interne drukkracht van respectievelijk Fs and Ff. Het beton wordt belast met een interne trekkracht Fc. De grootte van de interne krachten Fc , Ff en Fs volgen uit het evenwicht van de krachten en de vervormingen. De interne krachten zijn in evenwicht, er geldt dus: Fc + Ff + Fs = 0

Door de interne kracht Fc wordt de specifieke vervorming van het beton verminderd met ε = Fc /AcEc .

Gedurende de tijd t zal de specifieke vervorming door de interne kracht Fc vergroot vermeerderen door kruip met Fc ∗k*φ/AcEc . De interne kracht is niet constant maar neemt in de loop van de tijd toe. Met een factor k wordt dit effect verdisconteerd, Scherpbier toonde aan dat deze factor k gelijk is aan k = ½ [Sch]. De specifieke vervorming door de interne kracht Fc inclusief kruip is dan gelijk aan: Fc (1+ ½ φ) / AcEc ,

De specifieke vervorming van het beton volgt uit:

et = ε0 + ∆ε = ε0 + ε0 * φ + εrc - Fc (1+ ½ φ) (11)

AcEc

De specifieke vervorming van de fusée's is gelijk aan: et = ε0 + ∆ε = ε0 + εrf + Ff (12) AfEf

De specifieke vervorming van het staal is gelijk aan: et = ε0 + ∆ε = ε0 + Fs (13) AsEs

Met (12) en (13) wordt gevonden:

ε0 + εsf + Ff = ε0 + Fs → Ff = Fs* AfEf - εsf * AfEf (14) AfEf AsEs AsEs

(17)

Vervolgens wordt (11) en (13) gecombineerd:

ε0 + ε0 .φ + εsc - Fc (1+ ½ * φ) = ε0 + Fs → Fc = - Fs * AcEc + (ε0 * φ + εsc ) AcEc (15) AcEc AsEfs AsEs (1+ ½ *φ) (1+ ½ φ) Substitueer Ff (14) en Fc (15) in de expressie voor het evenwicht van de krachten: Fc = Ff + Fs

- Fs * Ac Ec + (ε0 . φ + εrc ) Ac Ec = Fs*Af Ef - εrf * Af Ef + Fs AsEs (1+ ½ φ) (1+ ½ φ) AsEs

De kracht Fs volgt dan uit:

Fs = AsEs [ (ε0 .φ + εrc )*AcEc/ (1+ ½ φ) + εsf*AfEf ] AcEc / (1+ ½ φ) + Af Ef + As Es

Fs = AsEs [ (ε0 . φ + εrc )* Ac/ (1+ ½ φ) + εsf*Af nf ] (16) Ac / (1+ ½ φ) + Af nf + As ns

Vervolgens worden de krachten in het beton en de fusees berekend met (14) en (15). Na een tijd t zijn de krachten in het beton, de fusées en het staal respectievelijk: Beton: Nc – Fc

Fusées: Nf + Ff Staal: Ns + Fs Permanente belasting, t = 0

Voor de permanente belasting q = 2,75 kN/m wordt het effect van de tijdsafhankelijke vervorming berekend. Door

de permanente belasting is de normaalkracht voor x = ½ a = ¼ * l gelijk aan N = 55,9 kN voor t = 0 is volgt de specifieke vervorming uit:

ε0 = N . met mEA t=∞ = 1 + Af . nf / Ac + As ns / Ac Ac * Ec * mEA t=0

Met: Ec = 2,7 * 104 N/mm2 , Ef = 1,7 * 104 N/mm2 , nf = 0,63, Es = 2,0 * 105 N/mm2 , ns = 7,4

Ac = 89,7 * 103 mm2, Af = 24,2 * 103 mm2 , As = 2 * 279 mm2

Substitutie geeft: mEA t=0 = 1 + 24,2 * 103 * 0,63 + 558 * 7,4 = 1,22 89,7* 103 89,7* 103

Nc = σc * Ac = 0,51 * 89,7 * 103 = 46 * 103 N Nf = σf * Af = 0,32 * 24,2 * 103 = 7,7 * 103 N Ns = σs * As = 3,8 * 558 = 2,1 * 103 N

Onmiddellijke vervorming t = 0, asymmetrische variabele belasting

Asymmetrische belasting, q = 0,5 kN/m, de normaalkracht voor x = l/4 is gelijk aan N = 5 kN. De specifieke vervorming volgt uit:

ε0 = N . met m_{EA t=∞} = 1 + Af nf / Ac + As ns / Ac = 1,22 Ac * Ec * mEA t=0

(18)

- 18 - De normaal spanning in de fusée's is gelijk aan: σf = ε0 Ef = 0,0022*10-3 * 1,7 * 104 = 0,037 N/mm2

Nc = σc * Ac = 0,059 * 89,7 * 103 = 5,3 * 103 N Nf = σf * Af = 0,037 * 24,2 * 103 = 0,9 * 103 N Ns = σs * As = 0,44 * 558 = 0,3 * 103 N Tijdsafhankelijke vervorming

Door de kruip en krimp zal de specifieke vervorming toenemen met ∆ε. Voor t = ∞ is de specifieke vervorming gelijk aan: et=∞ = ε0 +∆ε. Door krimp zal het beton en de fusée's verkorten met respectievelijk εrc en εrf.. Voor de specifieke krimp vervorming van het beton en de fusées wordt respectievelijk aangehouden: εrc = 0,5 *10-3_{en εrf} = 0,1 *10-3.

Door de kruip neemt de vervorming van het beton toe met φ.ε, de totale vervorming is dan ε.(1+φ). voor de kruipfactor wordt aangehouden φ = 3.

ε'0 ∆ε Nc Nf Ns Ff Fs εrc ε'0.ϕ Fc εrf

Figuur 8. Krachten en vervormingen in een samengestelde constructie met beton, staal en fusée's. Voor de permanente belasting is de specifieke vervorming gelijk aan: ε0 = 0,019 *10-3

De kracht Fs volgt uit (16):

Fs = AsEs [ (ε0 . φ + εrc )* Ac/ (1+ ½ φ) + εrf *Af nf ] (16) Ac / (1+ ½ φ) + Af nf + As ns Fs = 558 * 2,0*105* [ (0,019 *10-3 * 3 + 0,5 * 10-3 ) *89,7 * 103 /(1+ ½ * 3) + 0,1 *10-3 * 24,2* 103 * 0,63] 89,7* 103 /(1+ ½*3) + 24,2*103* 0,81 + 548* 7,4 Fs = 37,8 *103 N

De kracht Ff volgt uit: Ff = Fs AfEf - εrf AfEf → AsEs

Ff = 37,8 *103* 24,2*103* 17000 – 0,1 * 10-3 * 24,2*103* 17000 = 98,1 * 103 N 558 * 2,0 * 105

De kracht Fc volgt uit Fc = Ff + Fs → Fc = 37,8 * 103

+ 98,1 * 103 = 135,9 * 103 N

Voor t = ∞ zijn de krachten in het beton, de fusées en het staal respectievelijk:

De kracht in het beton is: Nc – Fc = -46,0 * 103 + 135,9 *103 = + 89,9 * 103 N De kracht in de fusées is: Nf + Ff = -7,7 * 103 – 98,1 * 103 = - 105,8 * 103N

De kracht in het staal is: Ns + Fs = - 2,1 * 103 – 37,8 * 103 = - 39,9 * 103 N

De normaal spanning in het beton is gelijk aan: σc = Nc /Ac = + 1,0 N/mm2 De normaal spanning in de fusées is gelijk aan: σf = Nf /Af = - 4,4 N/mm2

(19)

Gescheurde constructie

Het beton wordt op trek belast en kan scheuren. In een scheur wordt de belasting op genomen door het staal en de fusée's. De interne kracht in het beton volgt uit volgt uit: Nc – Fc = 0

De belasting wordt opgenomen door de fusées en de wapening: N = (Nc – Fc) + (Nf + Ff) + (Ns + Fs)

De specifieke vervorming van de fusées is gelijk aan de specifieke vervorming van het staal:

εt = Ns+Fs = εrf + Nf +Ff → (Nf + Ff) = AfEf * (Ns+Fs - εrf ) AsEs AfEf AsEs

De kracht (Ns + Fs) volgt uit het krachtenevenwicht:

N = AfEf (Ns+Fs - εrf ) + (Ns + Fs) → (Ns + Fs) = AfEf * εrf + N AsEs AfEf /AsEs + 1

(Ns + Fs) = 24,2 * 103 * 1,7 * 104 * 0,1*10-3 + 55,9 *103 = 20,7 * 103 N 24,2 * 103 *1,7 * 104/ (558 * 2,0*105 ) + 1

De kracht in de fusées volgt uit: (Nf + Ff) = AfEf (Ns+Fs - εrf ) →

AsEs

(Nf + Ff) = 24,2 * 103 * 1,7 * 104 * ( 20,7 * 103 - 0,1*10-3 ) = 35,2 * 103 N 558 * 2,0*105

In de gescheurde doorsnede is de belasting op het beton gelijk aan Nc = 0. De normaal spanning in het beton is dan gelijk aan: σc = 0 N/mm2

De normaal spanning in de fusées is gelijk aan: σf = (Nf + Ff) /Af = - 1,5 N/mm2

De normaal spanning in het staal is gelijk aan: σs = (Ns + Fs) /As = -37,1 N/mm2

Tabel 5. Krachten en spanningen in de doorsnede voor t = 0 en t = ∞.

t = 0, Normaal kracht t = ∞. Interne kracht t = ∞. resulterende kracht t = ∞. resulterende spanning beton: -46,0 kN + 135,9 kN +89,9 kN +1,0 N/mm2 fusées: -7,7 kN – 98,1 kN -105,8 kN -4,4 N/mm2 wapening -2,1 kN - 37,8 kN 39,9 kN -71,5 N/mm2

Tabel 6. Krachten en spanningen in de gescheurde doorsnede t = ∞..

resulterende kracht resulterende spanning

beton: 0 kN 0 N/mm2

fusées: -35,2 kN -1,5 N/mm2

wapening -20,7 kN -37,1 N/mm2

In een doorsnede belast met een normaal drukkracht vindt door de tijdsafhankelijke effecten een herverdeling plaats die kan leiden tot trekspanningen in het beton. Scheurt de constructie dan wordt de normaalkracht in de scheur door de fusees en de wapening opgenomen. De stijfheid van de constructie zal afnemen.

(20)

- 20 -

Berekening van het breukmoment

Berekening van het uiterst opneembaar moment met een tabel. Deze tabel is bepaald met de volgende uitgangspunten:

• Hypothese van Bernouilli: een vlakke doorsnede belast met een buigend moment blijft vlak; • Beton kan geen trekspanningen opnemen: σc ≤ 0;

• De spanning in het beton is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σc ≤ fc; • De spanning in het staal is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σs ≤ fs;

Figuur 9. Spanning rek diagram voor een gewapende betonconstructie. Doorsnede symmetrisch gewapend belast met excentrisch aangrijpende normaalkracht

De constructie heeft een breedte b en een hoogte ht. en wordt belast met een excentrisch aangrijpende normaalkracht, met een excentriciteit: ed = Md/Nd.

De hoogte van de betondrukzone is gelijk aan: x = kx * h.. De diameter van de wapening is gelijk aan ø.

De dekking op de wapening is c.

De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de doorsnede is gelijk aan d. Voor een plaat met geen verdeelwapening wordt d berekend met: d = (½ø + c)

De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: A's = As. de wapeningsfractie volgt uit:

ω = As1 + As2 b * h

Het opneembaar moment wordt berekend met de vergelijkingen voor de spanning-rek relaties en het evenwicht van krachten en momenten:

De krachten zijn in evenwicht: ΣF = 0 De momenten zijn in evenwicht: ΣΜ = 0

De spanning-rek relatie: σ = E * ε

Krachten:

De drukkracht in het beton is gelijk aan: Nc = β * b * h * kx * σc , met β = 0,75 De drukkracht in het staal is gelijk aan: N's = ½ ω ∗ b * h * σs2

De trekkracht in het staal is gelijk aan: Ns = ½ ω * b * h * σs1 . Gegevens betonconstructie:

Doorsnede: hoogte: h = 145 mm,

breedte: b = 1000 mm;

Beton: C12/15; uiterste drukspanning: fcd = 12/1,5 = 8 N/mm2;

Wapening: Ø8-180 o/b,

As = 2 * 279 mm2,

staal FeB 220; uiterste spanning: fs = 220/1,15 = 191 N/mm2; dekking op de wapening; c = 40 mm,

d/h = (40+8/2)/145 = 0,3;

De wapeningsfractie volgt uit: ω = As1 + As2 = 2 * 279 = 0,00383 b * h 145 * 1000

Normaalkracht door de permanente belasting: Nd = 0,9 * 55,9 kN = 50,3 kN; Fs1 Fc Fs2 kx.h h εs2 εc εs1

(21)

Nd = 50300 = 0,043 b. h .fcd 145000.8

Uit de grafiek volgt voor Nd/(b. ht .fd) = 0,043 het uiterst opneembaar moment: Mu/(b. ht2.fd) = 0,058, Het uiterst opneembare moment is dan gelijk aan: Mu = 9,8 kNm.

Grafiek 1. Opneembaar moment en normaalkracht, voor een symmetrisch gewapende plaat C12/15 met een wapeningsfractie ω = 0,00383

Berekening van de stijfheid

De stijfheid van een betonconstructie wordt bepaald door de scheurvorming. Deze wordt bepaald door een groot aantal parameters zoals de normaalkracht, de excentriciteit van de belasting en de materiaaleigenschappen. Daar de stijfheid niet constant is wordt deze met een MNκ diagram bepaald. Voor het bepalen van het MNκ diagram moet het scheurmoment en het vloeimoment worden bepaald met de bijbehorende krommingen. De kromming kan worden bepaald met K = εc/x. Vervolgens wordt met het MNκ voor een gegeven normaalkracht en een gegeven moment de stijfheid bepaald met EI = M/ κ

Uitgangspunten

De momenten worden berekend met de n-methode, n is de verhouding van de elasticiteitsmodulus van het staal en beton, n = Es/Ec. Deze methode is gebaseerd op de volgende veronderstellingen:

• Hypothese van Bernouilli: een vlakke doorsnede belast met een buigend moment blijft vlak; • De wet van Hooke, de verlengingen zijn recht evenredig met de spanningen: ε = σ /Ε;

• De verlengingen door de buigende momenten zijn recht evenredig met de afstand tot het zwaartepunt van de doorsnede;

• De verhouding van de elasticiteitsmodulus van het staal en beton is constant: n = Es/Ec ; • De spanning in het beton is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σc ≤ fc; • De spanning in het staal is kleiner of gelijk dan de uiterst opneembare spanning: σs ≤ fs; Geometrie doorsnede

De constructie heeft een breedte b en een hoogte h en is belast met een excentrisch aangrijpende normaalkracht N. De excentriciteit is gelijk aan e. De hoogte van de betondrukzone is gelijk aan: x = kx * h . De diameter van de wapening is gelijk aan ø. De dekking op de wapening is c. De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de doorsnede is gelijk aan d. Er wordt geen verdeelwapening toegepast zodat d volgt uit: d = (½ø + c)

De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: As2 = As1.

(22)

- 22 - Het wapeningspercentage volgt uit: ω = As1 + As2

b * h

De momenten worden berekend met de vergelijkingen voor het evenwicht van krachten: ΣF = N, het evenwicht van momenten: ΣΜ = 0 en de spanning-rek relatie: σ = E * ε .

Scheurmoment

Berekening van het moment Mr waarbij de doorsnede scheurt. De maximaal optredende beton trekspanning is gelijk aan de maximale trekspanning in het beton σct = f ct.

Figuur 10. Spanning rek diagram voor een gewapende betonconstructie.

Het evenwicht van de krachten luidt: Fc - Fct + Fs2 - Fs1 = N

De drukkracht in het beton in de gedrukte zijde is gelijk aan: Fc = ½ b * h * kx * σc De trekkracht in het beton aan de getrokken zijde is gelijk aan: Fcf = ½ b * h * (1-kx) * σct De kracht in het staal aan de getrokken zijde is gelijk aan: Fs1 = ½ ω * b * h * σs1 De kracht in het staal in de drukzone is gelijk aan: Fs2 = ½ ω ∗ b * h * σs2 Substitutie van de krachten in de evenwichtsvergelijking geeft:

½ b. h * kx * σc - ½ b * h * (1-kx) * σct + ½ ω ∗ b * h * σs2 - ½ ω ∗ b * h * σs1 = N De rek van het beton in de getrokken zijde is εct.

De betonspanning in de drukzone volgt uit: σc = Ec * εct * kx

1 - kx De staalspanning in de getrokken zijde is gelijk aan: σs1 = n * Ec * εct. (1 – d/h - kx )

1 - kx

De staalspanning in de drukzone is gelijk aan: σs2 = n * Ec * εct * (kx – d/h) 1 - kx

Substitutie van deze vergelijkingen in de vergelijking voor het evenwicht van de krachten geeft:

½ σct * kx2_{- ½ σct * (1 - kx) - n.Ec. εc t ½ ω (1 - kx – d/h) + n. Ec εct ½ ω (kx – d/h) = N.} (1- kx) (1- kx) (1- kx) b.h ½ kx2 - ½ (1 - kx)2 + ½ n.ω (2.kx – 1) = N. (1 - kx ) b.h.σct (1 + n.ω + N ) * kx = ½ + ½ n.ω + N. b.h.σct _b.h.σct Fs1 Fc Fs2 kx..h h εs2 εc εct εs1

(23)

Met deze vergelijking kan de grootte van de drukzone worden bepaald.

Betonkwaliteit C12/15. Ec = 27000 N/mm2, σct = fc t 0,05 = 1,1 N/mm2, kruip φ = 3,0, Ect = 27000/(1+3,0) = 6750 N/mm2

, d/h = 44/145 = 0,3035.

Verhouding elasticiteitsmodulus van het staal en beton: n = Es/Ec = 2* 105/6750 = 30, n.ω = 0,1155 Belasting N = 55,9 kN, N = 55900 = 0,35

b.h.fc t 0,05 145000*1,1 Bepaal vervolgens kx met:

(½ + n.ω + N ) * kx = ½ + ½ n.ω + N. b.h.σct b.h.σct kx = 0,5 + 0,1155/2 + 0,35 = 0,62 1 + 0,1155 + 0,35 σc = fct * kx, = 1,1 * 0,62 = 1,795 N/mm2 1- kx 0,38

De specifieke vervorming: εc = σc./Ec = 1,795/6750 = 0,266 .10 -3

Vervolgens worden de krachten bepaald: Fc = 1,795 * 0,62 * 145000/2 = 80,7 * 103 N, Fct = 1,1 * 0,38 * 145000/2 = 30,3 * 103 N,

Fs1 = 279 * 30 *1,795 * (1-0,3-0,62)/0,62 = 1,9 * 103 N,

Fs2 = 279 * 30 * 1,795 * (0,62-0,3)/0,62 = 7,8 * 103 N, Het moment wordt berekend met:

Mr = Fc * h* (½ – kx/3) + Fct * h* (½ – (1-kx)/3) + (Fs1 + Fs2) * h * (½ - d/h)

Mr = 145 * 103 * [80,7 * (0,5– 0,62/3) + 30,3 * (0,5– 0,38/3) + (1,9 + 7,8) * (0,5– 0,3)]= 5,35.106 Nmm

De kromming voor dit moment volgt uit: κr = εc = 0,266 * 10-3 = 2,96 . 10-6 [1/mm] kx.h 0,62 * 145

De stijfheid van de constructie volgt uit: EI = Mr/ κr = 5,35.106 /2,96 10-6 = 1,8. 1012 Nmm2 Vloeimoment

Berekening van het moment waarbij de wapening vloeit. De normaalkracht is klein zodat ook de drukzone klein is en in de wapening aan de getrokken zijde de uiterste spanning zal worden bereikt. Verder wordt veronderstelt dat de maximaal optredende betonspanning kleiner is dan de uiterste drukspanning en het beton aan de trekzijde gescheurd is.

Het evenwicht van de krachten luidt: Fc + Fs2 - Fs1 = N

De trekkracht in het staal is gelijk aan: Fs1 = ½ ω * b * h * fs . De drukkracht in het beton is gelijk aan: Fc = ½ b * h * kx * σc De kracht in het staal in de drukzone is: Fs2 = ½ ω ∗ b * h * σs2 Substitutie van de krachten in de evenwichtsvergelijking geeft:

½ b. h * kx * σc + ½ ω ∗ b * h * σs2 - ½ ω ∗ b * h * σs1 = N De staalspanning in de drukzone volgt uit: σs2 = fs .(kx - d/h) 1 – d/h - kx

(24)

- 24 - De betonspanning volgt uit: σc = Ec .εs1. kx → σc = fs * kx

(1 – d/h - kx ) n.(1 – d/h - kx )

Substitutie van deze vergelijkingen in het evenwicht van krachten geeft:

½ kx 2 + (kx – d/h) * ½ n ω - ½ n.ω = N.n (1 – d/h - kx) (1 – d/h - kx) fs.b.h

De vergelijking wordt vereenvoudigd door vermenigvuldiging met (1 – d/h - kx ):

½ kx2 + ½ n.ω * (kx – d/h) - ½ n.ω (1 – d/h - kx ) - n.N (1 – d/h - kx ) = 0 fs.b.h

½ kx2 + kx ( n.ω + n.N ) - n.N (1 – d/h) - ½ n.ω = 0 fs.b.h fs.b.h

De oplossing van deze vergelijking luidt:

kx = - (n.ω + n.N ) + [ (n.ω + n.N )2_{+ 2. n.N (1 – d/h) + n.ω]}1/2 fs.b.h fs.b.h fs.b.h

Vervolgens wordt het moment bepaald met: Me = Nc * (½ – kx/3) * h + (Fs1+Fs2).h.(½-d/h)

De kromming voor dit moment volgt uit: κe = εs1

(1 – d/h - kx).h

De stijfheid van de constructie volgt met κe = Me/EI uit: EI = Me/ κe Berekening van het vloeimoment en de bijbehorende stijfheid, t = ∞

De constructie heeft een breedte b = 1000 en een hoogte ht = 145 mm. De normaalkracht door de permanente belasting is gelijk aan: N = 55,9 kN.

Wapening ø8-180 o/b, Feb220, As = As’ = 279 mm2. De maximale spanning in het staal is gelijk aan: fs = 220 N/mm2 De dekking op de wapening is gelijk aan: c = 40 mm.

De afstand van het hart van de wapening tot de rand van de doorsnede is gelijk aan d.

d/h = (½ø + c)/h = (½.8+ 40)/145 = 0,3035

De doorsnede is symmetrisch gewapend, de wapening aan de gedrukte zijde is gelijk aan de trekwapening: A's = As.

De wapeningsfractie volgt uit: ω = A's + As = 2 * 279 = 0,00385 b * h 1000* 145

Betonkwaliteit C12/15. Ec = 27000 N/mm2, kruip φ = 3,1, Ect = 27000/(1+3,0) = 6750 N/mm2 Verhouding elasticiteitsmodulus van het staal en beton: n = Es/Ec = 2* 105/6750 = 30, n.ω = 0,1155 Belasting N = 55,9 kN, → N = 55900 = 0,0526

b.h.fs 145000*220

Verondersteld wordt dat in deze constructie, die wordt belast door een relatief kleine normaalkracht, de vloeispanning wordt bereikt in de trekwapening en dat de optredende betonspanning kleiner is dan de maximale drukspanning. Uitgaande van deze veronderstellingen wordt nu het moment berekend waarbij de trekwapening vloeit.

Berekening van de grootte van de drukzone:

kx = - (n.ω + n.N ) + [ (n.ω + n.N )2_{+ 2. n.N (1 – d/h) + n.ω]}1/2 fs.b.h fs.b.h fs.b.h

(25)

Vervolgens worden de spanningen in de gedrukte zijde bepaald voor het staal en het beton; σs2 = fs * (kx – d/h) = 220 * (0,298- 0,3035) = -3 N/mm2 , trek (1 – d/h - kx ) (1-0,3035-0,298) σc = fs * kx = 220 * 0,298 = 5,48 N/mm2 n.(1 – d/h - kx ) 30.(1-0,3035-0,298)

De krachten zijn: Fc = 118,4 kN, Fs1 = 61,4 kN, Fs2= 0,8 kN (trek)

Het moment wordt berekend met: Met = Fc * h* (0,5 – kx/3)+ (Fs1 + Fs2).* (½ h - d)

Met = 118400 *145 * (0,5– 0,298/3) + (61,4 – 0,8)*103*(½ *145- 44) = 8,6.106 Nmm

De kromming voor dit moment volgt uit: κet = es . = 220/200000 = 0,019 . 10-3

[1/mm] (1 – d - kx).h (1 – 0,3035- 0,298).145

De stijfheid van de constructie voor het moment waarbij de trekwapening vloeit volgt uit:

EIt = Met/κet = 8,6.106 / (0,019 * 10-3 ) = 0,45.1012 Nmm2 Stijfheid en tweede orde effect

Voor het berekende moment door de veranderlijke belasting, zijnde Mrep = 3,0 kNm wordt nu de stijfheid berekend. Het moment is kleiner dan het berekende scheurmoment Mrep = 5,35 kNm, de stijfheid is dan gelijk aan de berekende stijfheid voor het scheurmoment, EI = Mr/ κr = 5,35.106

/2,96 10-6 = 1,8. 1012 Nmm2.

Tweede orde effect

Uitgaande van deze stijfheid is de knikkracht gelijk aan:

Ncr = EI * [π2_/φ2

- 1] = 1,8 * 1012 * [π2/ 0,4632 - 1] = 167 * 103 N R2 (22,04 * 103)2

n = Ncr/N = 167/60,9 = 2,7

Het buigend moment is gelijk aan M = 3,0 kNm. Door het tweede orde effect wordt het buigend moment vergroot met een factor n/(n-1): Het moment inclusief tweede orde is gelijk aan:

M = 3,0 * 2,7 = 4,8 kNm 2,7 – 1

Uitgaande van de lineaire elasticiteitstheorie wordt de spanning berekend met:

σc = M * z * Ec EI

σc = 4,8 * 106

* 145/2 * 6750 = 1,31 N/mm2 1,8 * 1012

De uiterste spanningen door de normaalkracht en het buigend moment volgen uit:

σc = - 0,34 +/- 1,31 N/mm2

De maximale druk en trekspanning zijn dan respectievelijk σc = - 1,65 N/mm2_{en σc = + 0,97 N/mm}2 .

(26)

- 26 - Minimum waarde voor de stijfheid uitgaande van een beton trekspanning σct = 0

Door de krimp en kruip verandert de verdeling van de krachten in een constructie samengesteld uit fusees, beton en staal. Door scheurvorming zal de stijfheid afnemen. In het moment/kromming diagram kan dit worden verdisconteerd door te rekenen met een lagere trekspanning in het beton.

Scheurmoment met σct = 0

Berekening van het moment Mr waarbij in de doorsnede aan de getrokken zijde de trekspanning in het beton nihil is (Worstcase benadering).

Figuur 11. Spanning rek diagram voor een gewapende betonconstructie. Het evenwicht van de krachten luidt: Fc + Fs2 + Fs1 = N

De drukkracht in het beton in de gedrukte zijde is gelijk aan: Fc = ½ b * h * σc

De staalspanning in de drukzone volgt uit: σs2 = n * Ec * εc * (1 – d/h)

De staalspanning in de trekzone volgt uit: σs1 = n * Ec * εc * d/h Substitutie van deze vergelijkingen in de vergelijking voor het evenwicht van de krachten geeft:

½ σc + ½ n.ω.σc. (1- d/h + d/h) = N. b.h σc = N/(b.h)

½ + ½ n.ω

Met de berekende betonspanning worden de krachten en het moment berekend.

Voor de gegeven doorsnede zijn de gegevens:

Betonkwaliteit C12/15. Ec = 27000 N/mm2, kruip φ = 3,0, Ect = 27000/(1+3,0) = 6750 N/mm2 , d/h = 44/145 = 0,3035.

De verhouding elasticiteitsmodulus van het staal en beton is: n = Es/Ec = 2* 105/6750 = 30, n.ω = 0,1155 Belasting N = 55,9 kN, N = 55900 = 0,386

b.h5 145000

Bepaal vervolgens de betonspanning met: σc = N/(b.h) = 0,386 = 0,69 N/mm2 ½ + ½ n.ω ½ + ½ * 0,1155

De specifieke vervorming is gelijk aan: εc = σc./Ec = 0,69/6750 = 0,1.10 -3

Vervolgens worden de krachten bepaald: Fc = 0,69 * 145000/2 = 50,0 * 103 N,

Fs1 = 0,1.10-3 * 2.105 * 279 * 0,3035 = 1,7 * 103 N, Fs2 = 0,1.10-3 * 2.105 * 279 * (1 - 0,3035) = 3,7 * 103 N, Fs1 Fc Fs2 kx..h h εs2 εc εct = 0 εs1

(27)

Het moment wordt berekend met: Mr = Fc * h/6 + (Fs2 - Fs1) * h * (½ - d/h) = 145 * 90

Mr = 50,0 * 103 * 145/6 + (3,7 – 1,7) * 103 * (0,5 – 0,3035) * 145 = 1,27.106 Nmm

De kromming voor dit moment volgt uit: κr = εc = 0,1 * 10-3 = 0,69 . 10-6 [1/mm] h 145

De stijfheid van de constructie volgt uit: EI = Mr/ κr = 1,27.106 /(0,69.10-6) = 1,8 * 1012 Nmm2 Stijfheid en tweede orde effect

Voor het berekende moment door de veranderlijke belasting Mrep = 3,0 kNm wordt nu opnieuw de stijfheid berekend, uitgaande van het gereduceerde scheurmoment Mr = 1,27 kNm. Het moment Mrep is groter dan het berekende scheurmoment.

De kromming wordt berekend met: κ = κrt + (M - Mrt) * (κe -κr ) (Met - Mrt) Mrt = 1,27 kNm, κrt = 0,69. 10-3 [1/m] Met = 8,6 kNm, κet = 19,0 . 10-3 [1/m] κ = 0,69. 10-3 + (3,0 – 1,27) * (19,0. 10-3 - 0,69 . 10-3) = 5.10-3 [1/m] (8,6 – 1,27)

De stijfheid volgt uit: EI = Mr/ κr = 3,0.106

/5.10-6 = 0,6.1012 Nmm2.

Deze stijfheid, berekend met de ongunstige aanname dat de beton trekspanning nihil is, is lager dan de stijfheid berekend volgens de VBC 1990.

Tweede orde effect

Uitgaande van deze stijfheid is de knikkracht gelijk aan:

Ncr = EI * [π2_/φ2

- 1] = 0,6 * 1012 * [π2/ 0,4632 - 1] = 55,6 * 103 N R2 (22,04 * 103)2

Voor de permanente en asymmetrisch belasting is de normaalkracht gelijk aan N = 60,9 kN. Het knikgetal is nu kleiner dan 1, de constructie bezwijkt. De invloed van de grootte van het scheurmoment is zeer belangrijk voor de grootte van de stijfheid, het knikgetal en het tweede orde effect.

Schatting stijfheid

Uit de berekeningen van de stijfheid blijkt dat voor een moment Mrep = 3,0 kNm dat afhankelijk van de beton trekspanning de stijfheid varieert tussen de volgende waarden: 0,6.1012 Nmm2 < EI < 1,8.1012 Nmm2.

Het maximale moment in de vervormde constructie is berekend met Matrixframe, M = 9,4 kNm. Uitgaande van een beginmoment M = 3,0 kNm is de vergrotingsfactor dan gelijk aan 3,1. Het knik getal is dan circa 1,5 en de stijfheid is dan circa EIrep = 0,9 * 1012 Nmm2. Deze stijfheid is een factor 6 lager dan de stijfheid berekend in de oorspronkelijke berekening.

Bepaling van de stijfheid van de gescheurde constructie met de VBC 1990

Voor het bepalen van de rekenwaarde van de stijfheid voor de uiterste grenstoestand van een betonconstructie wordt in de VBC 1990 een eenvoudige methode aangereikt om stijfheid van de gescheurde constructie te bepalen met een fictieve elasticiteitsmodulus waarin de scheurvorming verdisconteerd is:

EI = Ef * I0

met: I0 = het kwadratisch oppervlaktemoment van de ongescheurde constructie. Ef = de fictieve elasticiteitsmodulus.

Voor C12/15 is volgens VBC1990, tabel 15, de fictieve elasticiteitsmodulus gelijk aan:

(28)

- 28 - Het wapeningspercentage van de constructie volgt uit: ωot = A's + As * 100 = 2 * 279 *100 = 0,385 b * h 1000 * 145

De rekenwaarde van de normaalkracht inclusief belastingfactoren volgt uit:

Nd = 0,9 * 55,9 + 1,5 * (60,9-55,9) = 57,8 kN

De factor αn wordt bepaald met: αn = Nd = 57,8 *103

= 0,04 Abfc +Asfs 145000*(9 + 0,00385*220)

De fictieve stijfheid wordt vervolgens berekend met:

Ef = 4500 * 0,385 + (12000 + 200 * 0,385) *0,04 = 2215 < 3450 N/mm2

De stijfheid van de gescheurde constructie is dan: EI = 3450 * 1000 *1453/12 = 0,88 * 1012 Nmm2

De knikkracht is, uitgaande van deze stijfheid, gelijk aan:

Ncr = EI * [π2_/φ2

- 1] = 0,88 * 1012 * [π2/ 0,4632 - 1] = 81,6 * 103 N R2 (22,04 * 103)2

n = Ncr/N = 81,6/60,9 = 1,3

De uiterste representatieve spanningen door de normaalkracht en het buigend moment volgen uit:

σc = - 0,56 +/- 1,3 * 0,88 = -0,56 +/- 3,81 N/mm2 1,3 -1

De maximale en trekspanning zijn dan respectievelijk σc = - 4,37 N/mm2

en σc = + 3,25 N/mm2 Door deze trekspanning zal de constructie scheuren, de wapening zal het buigend moment dan moeten opnemen. Het moment door de asymmetrische belasting wordt inclusief tweede orde: M = 3,0 * 1,3/(1,3 -1) = 13 kNm. Dit moment is groter dan het uiterst opneembaar moment Mu = 9,8 kNm. De constructie bezwijkt.

(29)

Analyse van de krachtsafdracht met Matrixframe

Met het raamwerkprogramma Matrixframe is de constructie van hal 6 berekend voor de permanente en de veranderlijke asymmetrische belasting. Aan de rechterzijde is met een puntlast het effect van de permanente belasting, werkend op de naastgelegen hal 5, verdisconteerd. De oorsprong van het assenstelsel is in de top van de schaal: X→, Y↓.

Oorspronkelijke niet vervormde constructie

Figuur 12. Permanente belasting, q = 2,75 kN/m

Figuur 13. Momenten door de permanente belasting, Door de momentvaste verbinding met de kolom ontstaat in staaf 3 een moment M =2,89 kNm

(30)

- 30 - Asymmetrische belasting

Figuur 15. Momenten door asymmetrische belasting, staaf 9 M= 1,85 kN, staaf 17 M =2,15 kNm

Figuur 16. Verplaatsingen door de asymmetrische belasting knoop 8, ∆X = X: -0,005 m, ∆Y = Y;y- 0,01 m

Versterkte constructie

De niet vervormde constructie wordt versterkt met 2 diagonale staven.

Figuur 17. Versterkte constructie, door het versterken van de constructie met de twee diagonale staven nemen de momenten door de asymmetrische belasting sterk af.

(31)

Figuur 18. Momenten permanente belasting, staaf 3 M = 4,36 kNm

Figuur 19 Verplaatsingen permanente belasting, knoop 6 ∆X = 0,0099 m, ∆Y = 0,007 m.