Niektóre przypadki stateczności pasm rusztowych

(1)

z E sa rg y nauko w e p o l i t e c h n i k i ś l ą s k i e j S e r i a * BUDOWNICTWO z . 24

_________ 1969 N r k o l . 247

BOHDAN BOCZKAJ, HBNHTK HAT

NIEKTÓRE PR2fRfcDKI STATECZNOŚCI EASM RUSZTOWI CH

S tr e s z c z e n ie . W a r t y k u le ro z p a trz o n o s t a te c z n o ś ć pasm rusztow ych o schem acie b e l k i w o l- n o p o d p a rte j oraz w s p o rn ik a . Ja k o model z a s to s o wano jednorodne s i a t k i c i ą g ł e , będące przypad

kiem s z c z e g ó łe m t e o r i i ośrodków w łó k n is t y c h . Otrzymane w y n ik i z e s ta w io n o w t a b l i c e oraz p rzed staw io n o w p o s t a c i wykresów w spółczynników do " s i ł E u l e r a " .

1. Wstęp

W a r t y k u le tym ro z p a trz o n o s ta te c z n o ś ć pasm ru sz to w ych o schem acie b e l k i swobodnie p o d p a rte j oraz w sp orn ik ow ej. Ja k o model pasm r u s z tow ych p r z y ję t o jednorodne s i a t k i c i ą g ł e . J e s t t o przypadek szcz e- g ó lr y z a g a d n ie n ia p ła s k ie g o t e o r i i ośrodków w łó k n ia s t y c h .

U kład o s i w sp ółrzęd nych i schematy pasm w p r z e k r o ju poprzecznym pokazano na r y s . n r 1.

D la w yznaczenia o b cią ż e ń k r y ty c z iy c h ro zp a tryw a n o je d y n ie p rz y padek ś c is k a n ia .

2 . Równania ogólne

Ogólne rów nania s t a t e c z n o ś c i pasm mają p o s ta ć *

c 1212 a 13v 2 +

0

1 h2 + f 3 +

a 1

2w3p 11

= 0 ( 1 . 1 )

12C1 2 129 12v2 - A 1313 ( 9 1w3 + v 2 ) + l 2h2 = 0 (1 .2 ,

(2)

8

Bohdan Boczka.j. Henryk Hat

--- ■« Pkr

— --- jf- Rys.Je.

Rys. 1

g d z ie : A i C s ą w sp ó łcz yn n ikam i z a le ż ry m i od s z ty w n o ś c i g ię tp y c h i s k r ę t r y c h w łó k ie n pasma o raz od kątów z a w a rty c h m iędzy k ieru n k a m i w łó k ie n . Wzory d l a t y c h w spółczynników podano w r o z d z ia le 5.

v ? - k ą t o b ro tu pasma (w w ęzłach s i a t k i ) , w^ - u g ię c ie pasma (w k ie ru n k u o s i x ^ ),

p 11- o b c ią ż e n ie W p ła s z c z y ź n ie pasma o k ie ru n k u rów noległym do o s i x2 ,

P k r , ^

i

(3)

N iek tó re przypadki s ta te c z n o ś c i pasm rusztowych

9

h - zew nętrzne o b c ią ż e n ie momentowe o w ektorze rów noległym do o s i

X2 »

■P - o b c ią ż e n ie zew nętrzne (o k ie ru n k u rów no leg łym do o s i x ^ ) f 1 - o d le g ło ś ć m ięd^r w ęzłam i s i a t k i m ierzona w k ie ru n k u o s i

Rów nania s t a t e c z n o ś c i pasm (

1

) r ó ż n ią s ię od równań równowagi (

5

) p o d a iy e h w pnący [

3

] o s k ła d n ik 9 ^ w ^ p 11 podobnie j a k ró w n a n ia

(

2

.

2

) w p ra c y [

1

] od równań ( 5 . 7 ) w p racy [

2

] .

W ró w n an iu (

2

.

2

) p ra c y [ i ] s k ła d n ik ten ma p o s ta ć *

^*^3

w^p06# ? g d z ie oC i jB p r z e b ie g a ją c ią g 1 ,2 .

Z w ią z k i między w ie lk o ś c ia m i wewnętrznymi i p rze m ieszcz e n ia m i m ają p o sta ć*

. 1 2 - C 1212 f e . , )

m21 . CK K d , v 2 (.2 .2 )

l 2p 13 - I 1313 ( 8 ^ + i 2 ) (

2

.

3

) 11

D la w yzn aczenia o b c ią ż e n ia k rytycz n e g o p r z y ję t o p ** -p oraz

^ = ^ “ ° ‘ 1 C1212 x

W p ro w ad ay o z n a cz en ia

1

podstawny j e do ró w n a n ia (1 .2 ) yg C X

P rz y jm ie ono wtedy p o sta ć*

¿ 2 ® l S - t 2 - 9 1¥3 (3 )

W yra ż e n ie (

3

) po p r z e k s z t a łc e n iu i z ró ż n icz k o w a n iu pod staw iany do ró w n a n ia (

1

.

1

) i otrzym ujeny*

(4)

10

Bohdan Bo cz k aj, Henryk Hat

K ła d ą c u = możeny rów nanie (

4

) n a p is a ć po p r z e k s z t a łc e n iu w p o s t a c i !

d 2n --- E

11

u = 0 (

5

)

1

^{j ć}

1-1

lu b

2 m.2

? P f i 2

9 ^ u + 4 u = 0 ( 6 )

g d z ie

i 2

o 1512 -

4

^p

fi

C a łk a og ó ln ą ró w n a n ia ( 6 ) ma p o s ta ć :

u = A s in £ + B cos i (

7

)

s tą d pb s c a łk o w a n iu otrzym ujem y:

A B

V2 = “

1 003 ^

X1 + i " S l n ^ X1 +

(

8

)

P o d s ta w ia ją c rów nan ie ( 8 ) do rów n an ia (

3

) a n a s tę p n ie c a łk u ją c otrzym any r o z w ią z a n ie :

l 2 A B

w^ = ~ (A s in 4 x -] + B c o s ^ x 1 ) + - ^ - s i n 4 x 1 + ~ c o a £ x .]-Cx1 + D.

S t a ł e A , B , C i D wyznaczany z warunków brzegow ych.

(9)

(5)

N ie k tó re przypadki s ta te c z n o ś c i pasm rusztowych 11

3 . S ta te c z n o ś ć pasma swobodnie ppdpartego

D la pasma o schem acie s ta ty c z iy m b e lk i swqbodnie p o d p a rte j zacho

dzą n a s tę p u ją c e w aru n k i brzegowej

w3 (o) = 0

^{(1 0 .1 )}

w3 ( a 1) = 0

( 1 0 . 2 )

m1? (

0

) = 0 ,a zatem u ( o ) = 0 ( 1 0 . 3 )

m1'> ( a 1 ) = 0, a zatem u ( a 1 ) = 0 ( 1 0 . 4 )

Z warunków (

1

O .

1

) i ( l 0 . 3 ) otrzymujemy n a ty c h m ia s t, że B = 0 i D = 0 .

P o z o s ta ły u k ła d dwóch równań je d n o ro d iy c h o dwóch n iew ia d o n ych p o s ia d a ro z w ią z a n ie n ie z e ro w e , gdy w yzn aczn ik u k ła d u

(r

1 \ .

+ sin i ai -ai

s i n £

s tą d s i n £ = 9 , c z y l i Ą s S

U w z g lę d n ia ją c , że

(6)

12

Bohdan B o cz k aj, Hem yk Hat

otrzym any rów nanie

-1212«,-2

P - u ( n )

D la n » 1 za ch o d z i p =

„ 2 - 1 2 1 2

3---r M

a ₁ ₁ /I \2

³¹

+ ( ~ r .

a i p 2

W i e lk o ś c i p. d l a p osz czeg ó ln ych typów s i a t e k w z a le ż n o ś c i od i\_L

i c h g ę s t o ś c i z o sta n ą podane w r o z d z ia le 5#

4 . S ta t e c z n o ś ć pasma u tw ierd zon eg o

D la s i a t k i ru s z to w e j w k s z t a ł c i e pasma o jednym brzegu doskonale utw ierdzonym a drugim c a łk o w ic ie swobodnym ( r y s . 1 c ) zachodzą na

s tę p u ją c e w aru n k i brzegowe*

w3 ( 0 ) = 0 ( 1 3 .1 )

V . ( 0 ) = 0 ( 1 3 . 2 )

m^2 ( a ^ ) = 0 ( 1 3 . 3 )

p 13 (0) = 0 ( 1 3 . 4 )

W y k o rz y s tu ją c powyższe w a ru n k i o trzym ujen y u k ła d c z t e r e c h rów nań je d n o r o d n y c h o n ie w ia d o n y c h A ,B , C i D . U kład ten p o s ia d a r o z w ią z a n ie n iezero w e w te d y , gdy w yzn aczn ik u k ła d u

(7)

N iek tó re przypadki s ta te c z n o ś e i pasm rusztowych

13

/ lf . U W + i 2

1 0 1 0

' i

s i n £ a^ c o s 4 a i 0 ®

-|2

o o o

fi

skąd otrzym ujenff cos 4 a 1 = c z y l i 4 “

/ « g o

Podobnie ja k w r o z d z ia le 3 d l a ó 2 = V?.1} . . .

4 fea,) 2

o ra z £

c 1212 *

fi

o trz y m u je n y :

^ 2C1212

(1 4 )

D la n = 1 zach od zi p = P j^ t

3T2C1212

= - ( 15)

( j a , f . [ i ♦

Również d l a teg o schem atu podobnie ja k w r o z d z ia le 3 wyznaczono w ie lk o ś c i p d l a p o sz czeg ó ln ych typów s i a t e k w z a le ż n o ś c i od i c h g ę s t o ś c i.

(8)

14 Bohdan B o cz k a j, Henryk Hat

Do w ykonania o b lic z e ń w yko rzystano f a k t , że budowa wzorów (

1 2

) i (1 5 ) j e s t id e n ty c z n a uw zg lęd niw szy, że d l a prętów przegubowo pod

p a r t y c h d łu g o ś ć w yboczeniow a 1 = a t a d l a wsporników 1 = 2 a^ ,

5 . W yznaczenie s i ł k r y t y c z r y c h d l a r ó ż iy c h typów s i a t e k

Podobnie ja k w p ra c y [ 3 ] do rozważań p r z y ję t o t r z y typ y s i a t e k p tz e d sta w io n y c h na r y s , 2 o ra z że zarówno s z ty w n o ś c i g ię tn e ) ja k i s k r ę tn e ( s ? ) w s z y s tk ic h w łó k ie n s ą s o b ie rów ne, a m ia n o w icie

i

„ I I „ I „ I I „

( 1 ) = s = s = s . 1

Z a jm ijn y s i ę t e r a z wprowadzoną w r o z d z ia le 2 w ie lk o ś c ią ~ =

«121? 1212 —1313 ^

= • W ie lk o ś c i w sp ółczynników C i A z o s t a ły podane w

A _ _

p ra c y

[1

] i [

3

] , je d n a k d l a c i ą g ł o ś c i rozumowania z o stan ą t u ponownie p rz y to c z o n e ,

I ta k *

C 1212 = + 2 co s 2* ( s ^ i n 2* + S I]Cco s2 oC )

A 1313 = 12 + 8 S I:Cc o s4cC )

j e s t s z ty w n o ś c ią g ię tn ą w łókna rp w n o le g łe g o do o s i t j . w jókna " 1 " j

S 1 j e s t s z ty w n o ś c ią s k r ę t n ą w łó k ie n " 2 " i " 3 " , S 3"1 j e s t s z ty w n o ś c ią g ię t n ą w łó k ie n " 2 " i " 3 " . Dl;-., s i a t k i ty p u a )

(9)

N ie k tó r e p rz y p a d k i s t a t e c z n o ś c i pasm rusztow ych

15 Ry.s. 2a

Rys. 2b

łyp c

Rys.2c

-04-

R y s . 2

(10)

D la s i a t k i typ u b )

16________________

Bohdan B o cz k aj, Herayk Hat

J 2 S cos^PC ( s i n ? QC+ cos^ PC ) ________1_

12S . 8 cos^oC 48 . cos^oC

D la s i a t k i ty p u c )

_ _ S _ J_

a ? 12 S = 12

1 ? "12 P o d s ta w ia ją c do wzoru (1 2 ) u p rz ed n io podane w a r t o ś c i d l a C i

” otrzym any i

a i

W sp ó łczyn n ik ^ z a le ż y od g ę s t o ś c i s i a t k i ” , kątów n a c h y le n ia w łó k ie n "c C " i ty p u s i a t k i . a 1

D la p o sz czeg ó ln ych typów s i a t e k w s p ó łc z y n n ik t e n w y ra z i s i ę wzo

r a m i:

s i a t k a typ u a )

«w . 1 + 2cos CC2 j 1a = --- r - “

/ I <? S t? 1 + ?c o s 2CC

1 + (t > • _ V

1 1 + 8cos oC

s i a t k a typ u b )

1 b -i q 1

1 + ^ — V

1

4cosoc

(11)

N ie k tó re przypadki s ta te c z n o ś c i pasm rusztow ych

I I

s i a t k a ty p u c )

1

? 1 c “ , 2 „ 2 1 + fc 1) a ' ^12

Podobnie ja k d l a schem atu b e lk i swobodnie p o d p a r te j wzór (1 2 ) doprowadzono do p o s t a c i ( l 6 ) ', t a k d la schem atu b e l k i w sp ornik ow ej wzór (

1 5

) p r z y b ie rz e p o s ta ć :

h r ~ * ^ ’ k r - f ł - h ( 17)

( 2 . , f

g d z ie :

Wzory na ^ można otrzym ać ze wzorów na ^ p o d s ta w ia ją c w js c e ( ~ ) w a rto ś ć fcdr~)2

m ie js c e v

a 1 1

Z uwagi na t o , że p ie rw s z y czynnik we w z o r a c h (l6 ) i (

1

7 ) j e s t ró w ry s i l e k r y ty c z n e j w y lic z o n e j ze wzoinr E u l e r a i j e s t d l a danego pasma w ie lk o ś c ią s t a ł ą , wobec tego wpływ g ę s t o ś c i s i a t k i i kątów n a c h y le n ia w łó k ie n m ie ś c i s i ę c a łk o w ic ie w c z y n n ik a c h % .

D la zobrazow ania wpływu g ę s t o ś c i s i a t k i na w ie lk o ś ć "jf, podano w t a b l ic a c h I - I V w a r t o ś c i ty c h w spółczynników d l a kątów n a c h v le n ia w łó k ie n co 1 5 °.

(12)

18 Bohdan B o cz k aj, Henryk Hat

T a b lic a I W s p ó łc ^ n n ik i y i&

G ę s to ś ć s i a t k i

? « ł ,

K ą t n a c h y le n ia w łó k ie n cC

0 ° 1 5 °

oor'\ 4 5 ° 6 9 ° 7 5 ° 9 0 °

1*2 2,808

2,662

2,285 ,1.760 1,244 0,925 0,829

1 *3 2,911 2,763 2,400 1,885 1,378 1,032 0,916

1*4 2,950 2,815 2,445 1,938 1,490 1,074 0,952

1*5 2,967 2,832 2,461 1,958 1,452 1,096 0,968

1*6 2,977 2,842 2,474 1,970 1,469 1,109 0,979

1*7 2,984 2,846 2,485 1,979 1,479 1,115 0,985

1*8 2,987 2,853 2,490 1,983 1,481 1,119 0,987

1*9 2,990 2,8 60 2,492 1,988 1,483 1,121 0,989

1*10 2,992

2,8 6 1

2,495 1,991 1,485 1,125 0,996

1 * OO 4,000 2,965 2,500 2,000 1,500 1,134 1,000

7 l c - 7 l a d l a * - 900

T a b l ic a I X W s p ó łc z y n n ik i ^

~ 1 K ą t n a c h y le n ia w łó k ie n oC v = -

a 1 0 ° 15 °

Oo

4 5 ° 6 0 ° 7 5 ° O O

1*2 1,902 1,769 1,405 0,907 0,415

0,076 0

1*3 1,955 1,785 1,452 0,966 0,458 0,100

0

1*4 1,975 1,840 1,477 0,976 0,476 0,112

0

1*5 1,984 1,851 1,481 0,985 0,484 0,119

0

1*6 1,989 1,853 1,488 0,989 0,489 0,123

0

1*7 1,992 1,856 1,492 0,992 0,492

0 ,12 6 0

1*8 1,994 1,859 1,484 0,993 0,493 0,128

0

1*9 1,995 1,860 1,495 09994 0,495 0,129

0

1*10 1,996 1,861 1,495 0,995 0,496 0,130

0

1 * OO 2,000 1,865 1,500 1,000

0,500

0,134

0

(13)

N ie k tó re przypadki state cz n o śc i pasm rusztow ych 19

T a b l ic a I I I W sp ó łczyn n ik i 'i 0

” c 3- G ę s to ś ć

s i a t k i

K ą t n a c h y le n ia w łó k ie n cC

« 1 0 ° 1 5 °

OO

4 5 ° 6 0 ° 7 5 ° 9 0 °

1*2 0,738 0,704 0,611 0,485 0,358 0,269 0,238

1*3 0,744 0,711 0,618 0,493 0 ,3 67 0,277 0,245

1*4 0,747 0,714 0,623 0,496 0 ,3 70 0,280 0,247

1*5 0,748 0,715 0,624 0,498 0,371 0,281 0,248

1,00 0,750 0,716 0,625 0,500 0,375 0,284 0,250

1 , * - 7 ? a .

T a b l ic a I V W sp ó łczyn n ik i J ^

G ę s to ś ć .

s i a t k i K ą t n a c h y le n ia w łó k ie n

H r ₁ 0°

^{1 5°} ^c*-\ ^o ^O ^{4 5 °} ^{6 0 °} ^{7 5 °} ^{9 0 °}

1*2 0,494 0,460 0,369 0,244 0,119 0,028 0

1*3 0,497 0,463 0,37? 0,247 0,122 0,031 0

1*4 0,498 0,464 0,373 0,248 0,125 0,032 0

175 0,499 0,465 0,374 0,249 0,124 0,033 0

1 * OO 0,500 0,466 0,375 0,250 0,125 0,034 0

(14)

20_____________________________________________ Bohdan Boczk aj, Henryk Hat

R y s . 3 . Z a le ż n o ść w spółczynników y od k ą t a % n a c h y le n ia w łó k ie n

Na rysu n k u 3 p rz e d sta w io n o z a le ż n o ś c i y od k ą t a n a c h y le n ia

*| 1

w łó k ie n d l a dwóch s k r a jn y c h g ę s t o ś c i s i a t k i jy = 2 1 V * » d l a p o sz czeg ó ln ych typów s i a t e k i schematów pasm. B l i s k i e p o ło ż e n ie wy

kresów y d l a s k r a jn y c h w a r t o ś c i ł? w sk a z u je, że wp2yw g ę s t o ś c i s i a t k i j e s t n i e w i e l k i .

LITERATURAt

[ i ] Woźniak C z. On th e S t a b i l i t y o f Dense P la n e B a r G r id s , " B u l l . A cad . P o lo n .S c i.T e c h n V X I I I No 6-1965.

hi

Woźniak C z», Modele c ią g łe g ę s ty c h s i a t e k p ręto w ych . "A rc h . I n ż . I ą d . " Tom X I - ? / 1965.

D ] B o c z k a j B . i Hat H . , Jednokierunkow o obciążone pasma rusztow ne

^ Z e s z y ty Naukowe P o l i t e c h n i k i ś l ą s k i e j " 21.

(15)