1 Model rozprzestrzeniania się wirusa wzięty z Nature (model SIRD):
1 1
1
dS IS
dt N
dI IS IS I
I I
dt N N
dR I
dt
dD I
dt
gdzie D oznacza liczbę zmarłych w wyniku choroby, S – susceptible (zdrowi, ale podatni), I – infected (zainfekowani) oraz R – recovered (ozdrowieńcy). Jednym z parametrów jest β.
Reprezentuje on szybkość rozprzestrzeniania się wirusa. Następnie γ – oznacza szybkość zdrowienia, inaczej szybkość, z jaką chorzy opuszczają tę grupę. Parametr ρ dotyczy śmierci.
Model zmodyfikowałem, tak aby uwzględniał liczbę zaszczepionych.
, ,
inf
,
1 1
dez s s dez o o s
szczepienie dezaktywacja szczepionki utrata odpornosci po chorobie
za ekowani zmarli
s
s dez s s
zaszczepienie dezaktywacja szczepionki
dS IS
k R k R r
dt N
dI IS IS I
I I
dt N N
dR r k R
dt
,
1
o
dez o o przebycie choroby utrata odpornosci po chorobie
dR I k R
dt
dD I
dt
R oznaczać będzie liczbę odpornych (resistant; Rs – odporność po szczepieniu, Ro – odporność po chorobie). Rs przybywa wskutek przebycia zaszczepienia, Ro wskutek przebycia choroby.
Ubywa natomiast kolejno wskutek ‘dezaktywacji’ szczepionki i utraty odporności (spadek ilości przeciwciał) po chorobie.
Warunki początkowe (na dzień 30.01.2021):
2 S0 = 37 970 000 – 207 203 – 1 140 000 – 1 270 467 – 37 180 = 35 315 150
I0 = 207 203 Rs0 = 1 140 000 Ro0 = 1 270 467 D0 = 37 180
Szybkość szczepień w ostatnich tygodniach bardzo wzrosła. Średnia w przeliczeniu na dwie dawki z dwóch ostatnich tygodni wynosi rs = 23 453 szczep./dzień. Parametry β, γ oraz ρ wyznaczyłem na podstawie prawdziwych danych z okresu stu dni epidemii w Polsce:
β = 0.182 γ = 0.177 ρ = 0.012
Prognoza 1
Ozdrowieńcy są trwale odporni, tak jak i zaszczepieni. Wyniki przedstawiłem na rysunku 1 (zwracam uwagę, że wartości na osi Y nie zawsze zaczynają się od 0). Dla porównania symbolami pokazałem prognozy dla modelu bez szczepień. Zwróćcie uwagę, że według statystyk od listopada liczba aktywnych zainfekowanych cały czas spada. Czyli… epidemia jest w odwrocie! Różnica pomiędzy liczbą zmarłych bez stosowania szczepionek a tą uzyskaną, gdy ludzie są szczepieni (z taką szybkością, jaką aktualnie mamy) wynosi 5128 osób. Raczej niedużo. Procentowo to 7,7%.
Wyniki na rysunku 1 pokazują, że jeżeli szybkość rozprzestrzeniania się wirusa będzie taka jak przez ostatnie miesiące, to stosowanie szczepionek nie ma większego sensu. Jednak trzeba obiektywnie stwierdzić, mamy nałożony szereg obostrzeń, które spowalniają tempo, z jakim wirus się rozchodzi. Dlatego sensowne jest rozważenie przyjęcia większej wartości parametru β. W ten sposób możemy otrzymać przybliżone prognozy przy założeniu zniesienia części obostrzeń. O tym będzie Prognoza 2.
3
a) b)
c) d)
Rys. 1. Wyniki dla prognozy 1
Prognoza 2.
Przyjmuję wartość parametru β o 25% większą niż w poprzedniej prognozie. Wyniki przedstawiłem na rys. 2. Różnica pomiędzy liczbą zmarłych bez stosowania szczepionek a tą uzyskaną, gdy szczepieni są ludzie (z szybkością średnią obliczoną, jak napisałem we wstępie) wynosi ponad 23 000 osób. Procentowo jest to 13%. Ten przypadek jest bardzo dramatyczny, raczej mało prawdopodobny, bo średnia liczba zgonów wynosi prawie 880/dzień.
4
a) b)
c)
Rys. 2. Wyniki dla prognozy 2
Prognoza 3
Parametry takie jak w prognozie 1 (wersja optymistyczna).
Stała kdez,s to stała połowicznego rozpadu dla osób, które zostały zaszczepione. Ze względu na brak danych przyjmuję, że czas połowicznego rozpadu wynosi 1 rok, więc kdez,s = 0,001899 1/dzień.
Stała kdez,o to stała połowicznego rozpadu dla osób, które zostały zaszczepione. Przyjmuję, że czas połowicznego rozpadu wynosi 6 miesięcy, więc kdez,s = 0,003788 1/dzień.
Wyniki przedstawiłem na rys. 3. Możemy zauważyć, że z taką szybkością szczepień udaje się wygasić epidemię. Po pięciu latach bez szczepień mamy około 80 000 zmarłych, ze szczepieniami 63 000. „Oszczędność” zmarłych wynosi 21% (w ciągu pięciu lat).
5
a) b)
c) d)
Rys. 3. Wyniki dla prognozy 3
