Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy Politechniki Krakowskiej w VII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie

(1)

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy Politechniki Krakowskiej w VII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie

Lp. Tematyka zajęć edukacyjnych Wymagania konieczne (ocena dopuszczająca)

Wymagania podstawowe (ocena dostateczna)

Wymagania ponadpodstawowe (ocena dobra i bardzo dobra)

1. Elementy logiki matematycznej (8 godzin):

 Zdanie w logice, negacja zdania

 Koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność

 Prawa logiczne i ich zastosowanie

 Forma zdaniowa jednej zmiennej

 Kwantyfikator ogólny i szczegółowy, negacja zdania z kwantyfikatorem

Uczeń:

 Potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi i ocenić jego wartość logiczną

 Potrafi oceniać prawdziwość zdania zbudowanego za pomocą jednego spójnika

 Zna podstawowe prawa logiczne

 Potrafi odróżnić definicję od twierdzenia

 Zna i rozróżnia kwantyfikatory

Uczeń opanował wymagania konieczne oraz:

 Potrafi rozpoznać i zbudować negację, alternatywę, koniunkcję, implikację, równoważność zdań

 Potrafi ocenić wartość logiczną zdań

 Potrafi odróżnić zdanie od formy zdaniowej

 Potrafi stosować poznane prawa logiczne

 Potrafi zapisać prostą formułę z użyciem kwantyfikatorów

Uczeń opanował wymagania podstawowe oraz:

 Potrafi dowodzić prawa logiczne

 Potrafi zapisać zaprzeczenie koniunkcji, alternatywy, implikacji

 Potrafi budować zdania złożone i oceniać ich wartość logiczną

 Potrafi stosować prawa de Morgana i zapisywać je przy pomocy symboli

 Potrafi zapisać zaprzeczenie zdania z kwantyfikatorem

 Potrafi rozwiązywać zdania tekstowe z zastosowaniem praw logicznych

 Potrafi przeprowadzić prosty dowód „nie wprost”

Wrzesień

2. Zbiory (31 godzin):

 Zbiór, element zbioru; suma, różnica i iloczyn zbiorów

 Zbiór liczb rzeczywistych, jego podzbiory, prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych

 Przedziały liczbowe

 Przypomnienie wiadomości dotyczących działań na potęgach o wykładnikach całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, wzory skróconego mnożenia

 Pojęcie błędu przybliżenia (względnego i bezwzględnego), szacowanie wartości wyrażeń

 Obliczenia procentowe

 Wartość bezwzględna liczby

rzeczywistej, równania i nierówności z wartością bezwzględną

 Średnie liczbowe

 Indukcja matematyczna

 Silnia i symbol Newtona

Uczeń:

 Zna pojęcia takie jak zbiór pusty, zbiór nieskończony, podzbiór, równość zbiorów, zbiory rozłączne

 Zna pojęcie przedziału liczbowego

 Potrafi przedstawić daną liczbę wymierną i dane przedziały na osi liczbowej

 Potrafi zdefiniować podstawowe działania rachunku zbiorów i posługiwać się symboliką matematyczną dotyczącą tych działań

 Potrafi podać przykłady liczb:

naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych, złożonych

 Potrafi usuwać niewymierność z mianownika

 Zna relacje zachodzące pomiędzy podzbiorami R

 Zna działania na pierwiastkach i potęgach o wykładnikach całkowitych

 Zna podstawowe wzory skróconego mnożenia

 Zna potęgę o wykładniku wymiernym

 Potrafi dokonać prostych obliczeń procentowych

 Potrafi obliczyć wartość bezwzględną liczby rzeczywistej

 Potrafi przekształcić proste wyrażenia algebraiczne

 Potrafi obliczać błąd względny i bezwzględny

 Potrafi znaleźć rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych, rozumie pojęcie rozwinięcia okresowego

 Potrafi stosować wszystkie wzory skróconego mnożenia

 Potrafi stosować cechy podzielności

 Potrafi rozwiązywać proste zadania tekstowe prowadzące do obliczeń procentowych

 Potrafi obliczać średnie liczbowe

 Potrafi upraszczać wyrażenia zawierające pierwiastki i potęgi o wykładniku wymiernym

 Potrafi usuwać niewymierność z mianownika w bardziej skomplikowanych przykładach, włączać i wyłączać czynnik pod znak pierwiastka

 Potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności z wartością bezwzględną

 Potrafi wyjaśnić zasadę indukcji matematycznej

 Potrafi posługiwać się pojęciami silni i symbolu Newtona

 Zna własności działań na zbiorach

 Potrafi wykonywać działania na przedziałach

 Potrafi stosować w praktyce obliczenia procentowe, w tym wzór na kapitalizację odsetek

 Potrafi porównywać pierwiastki

 Potrafi usuwać niewymierność z mianownika w zadaniach o podwyższonym stopniu trudności

 Potrafi skonstruować odcinek o długości

 Potrafi rozwiązywać trudniejsze równania i nierówności z wartością bezwzględną (w tym z wartością bezwzględną występującą co najmniej 2 razy)

 Stosuje zasadę indukcji matematycznej w dowodzeniu twierdzeń

 Podnosi do dowolnej potęgi sumę i korzysta z „trójkąta Pascala”

 Zna definicję liczb zespolonych i ich podstawowe własności oraz działania w zbiorze liczb zespolonych

Październik

(2)

3. Funkcje i ich własności (20 godzin):

 Pojęcie funkcji

 Sposoby opisywania funkcji

 Dziedzina funkcji liczbowej

 Zbiór wartości funkcji

 Wykresy niektórych funkcji

 Miejsce zerowe funkcji

 Różnowartościowość funkcji

 Równość funkcji

 Funkcje monotoniczne

 Funkcje parzyste i nieparzyste

 Funkcje okresowe

 Najmniejsza i największa wartość funkcji

 Odczytywanie własności funkcji na podstawie wykresu

 Przekształcanie wykresów funkcji

 Składanie funkcji

 Funkcje odwrotne

Uczeń:

 Określa funkcje za pomocą wzoru, tabeli , opisu słownego

 Potrafi rozstrzygnąć, czy zadane przyporządkowanie jest funkcją

 Potrafi obliczyć wartość funkcji zadanej wzorem dla podanego argumentu

 Potrafi wskazać zbiór argumentów zadanej funkcji

 Potrafi zaznaczyć w układzie współrzędnych punkt o danych

współrzędnych oraz odczytać współrzędne danego punktu

 Potrafi odczytać wartość funkcji dla podanego argumentu na podstawie wykresu lub tabeli

 Potrafi odczytać argument funkcji dla podanej wartości na podstawie wykresu lub tabeli

 Potrafi określić monotoniczność na podstawie prostego wykresu funkcji

 Potrafi odczytać z wykresu funkcji argumenty dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne)

 Potrafi wskazać zbiór wartości dziedzinę funkcji, wartość największą i najmniejszą na podstawie wykresu lub tabelki

 Potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji

 Potrafi odczytać z wykresu podstawowe własności funkcji

 Potrafi rozpoznać funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe na podstawie wzoru

 Potrafi podać przykłady funkcji i funkcji doń odwrotnych

 Potrafi narysować wykresy funkcji

 Potrafi badać monotoniczność funkcji liczbowej na podstawie definicji

 Potrafi badać funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe na podstawie wzoru

 Potrafi dowodzić prostych własności funkcji

 Potrafi zbadać, czy funkcję da się odwrócić, a następnie podaje wzór funkcji odwrotnej do danej

4. Funkcje trygonometryczne (19 godzin)

 Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

 Miara łukowa kąta

 Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta

 Znaki funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych oraz obliczanie funkcji trygonometrycznych niektórych kątów

 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

 Wzory redukcyjne

 Wykresy funkcji trygonometrycznych

 Równania i nierówności trygonometryczne

Uczeń:

 Potrafi podać określenie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym

 Potrafi określić funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o długościach boków wyrażonych literami lub liczbami

 Potrafi obliczyć wartość funkcji

trygonometrycznych kątów znając długości boków trójkąta prostokątnego

 Potrafi wyrazić miarę kąta w stopniach i radianach

 Potrafi podać wartości funkcji

trygonometrycznych dla kątów: 30, 45, 60

 Potrafi odczytać wartości funkcji trygonometrycznych kąta z tablic

 Potrafi wykreślić kąt ostry, gdy dana jest wartość funkcji trygonometrycznej tego kąta

 Potrafi zapisać związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta

 Potrafi obliczać wartość prostych wyrażeń, w których występują funkcje

trygonometryczne

 Potrafi szkicować z pamięci wykresy funkcji trygonometrycznych

 Potrafi zamieniać miarę łukową na stopniową i odwrotnie

 Potrafi wyznaczyć długości boku w trójkącie prostokątnym, mając daną długość innego boku i miarę kąta ostrego

 Potrafi wykonać proste rachunki z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych, także z wykorzystaniem kalkulatora

 Potrafi zastosować funkcje trygonometryczne do prostych sytuacji życia codziennego

 Potrafi porównać wartości funkcji trygonometrycznych tego samego kąta

 Potrafi wykreślić kąt, gdy dana jest wartość jego funkcji trygonometrycznych

 Potrafi wykorzystać znajomość funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania zadań

 Potrafi skorzystać ze znajomości : jedynki trygonometrycznej” do wyznaczenia wartości jednej z funkcji, gdy dana jest inna

 Potrafi obliczyć wartość trudniejszych wyrażeń , w których występują funkcje trygonometryczne

 Potrafi obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kąta prostego

 Ustalić znak funkcji trygonometrycznej w zależności od miary kąta

 Potrafi obliczyć wartości funkcji

trygonometrycznych kata, mając daną wartość jednej z nich

 Potrafi stosować funkcje trygonometryczne w zadaniach z planimetrii

 Potrafi obliczyć wartość wyrażenia

zbudowanego z funkcji trygonometrycznych

 Potrafi stosować związki między funkcjami trygonometrycznymi do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych

 Zna i potrafi stosować wzory redukcyjne

 Potrafi szkicować wykresy funkcji trygonometrycznych

 Potrafi wykonywać przekształcenia wykresów funkcji trygonometrycznych

 Potrafi stosować funkcje trygonometryczne kąta ostrego w zadaniach tekstowych

 Potrafi odczytywać własności funkcji trygonometrycznej na podstawie jej wykresu

 Rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne

5. Przekształcenia wykresów funkcji (5 godzin)



Uczeń: Uczeń opanował wymagania konieczne oraz:

 Potrafi uzyskać z wykresu funkcji wykresy funkcji



 Potrafi uzyskać z wykresu funkcji wykresy funkcji

(3)

6. Symetria środkowa, osiowa, przesunięcie równoległe, obrót

(5 godzin)

 Symetria środkowa; środek symetrii figury; figury środkowo symetryczne

 Symetria osiowa; oś symetrii figury;

figury osiowo-symetryczne

 Przesuniecie równoległe o wektor

 Obrót

Uczeń:

 Potrafi zapisać współrzędne punktów symetrycznych wzgl. osi układu współrzędnych lub wzgl. początku układu współrzędnych

 Potrafi zbadać, czy dwa punkty są symetryczne względem prostej lub względem punktu

 Potrafi podać przykład figury osiowo- i środkowo symetrycznej

 Potrafi wykreślić wielokąt symetryczny do danego wielokąta względem prostej (punktu)

 Potrafi obrócić figurę dookoła punktu o dany kąt (dodatni)

 Potrafi obliczyć współrzędne obrazu punktu w przesunięciu o wektor

 Potrafi obliczyć współrzędne wierzchołków obrazu wielokąta w danym przekształceniu

 Potrafi wymienić własności figur symetrycznych

 Potrafi rysować figury w symetrii środkowej i osiowej

 Potrafi wykreślić oś symetrii, względem której dane dwa różne punkty są symetryczne

 Potrafi znaleźć środek symetrii, względem którego dane dwa różne punkty są symetryczne

 Potrafi narysować osie symetrii (środek symetrii) figury, bądź uzasadnić, że figura nie ma osi symetrii (środka symetrii)

 Potrafi skonstruować obraz figury w obrocie o dany kąt

 Potrafi wykreślić prostą, względem której figury są symetryczne lub uzasadnić, że taka prosta nie istnieje

 Potrafi rysować figury posiadające określoną liczbę osi symetrii

 Potrafi skonstruować obraz wielokąta w przesunięciu o wektor

 Potrafi sformułować własności izometrii

 Potrafi znaleźć obraz figury w złożeniu symetrii

 Potrafi udowodnić proste twierdzenia dotyczące symetrii

7. Funkcja liniowa (24 godziny)

 Funkcja liniowa i jej własności

 Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych

 Funkcja liniowa we wzorze w którym występuje parametr

 Podstawowe wiadomości o równaniach i nierównościach

 Równanie liniowe i nierówność liniowa

 Równanie liniowe z parametrem

 Równania i nierówności liniowe – interpretacja graficzna

 Równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględną (metoda algebraiczna i graficzna)

 Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi (równanie prostej)

 Nierówność I stopnia z dwiema niewiadomymi (układ oznaczony, nieoznaczony sprzeczny oraz interpretacja graficzna)

 Metoda wyznacznikowa rozwiązywania równań I stopnia z dwiema i trzema niewiadomymi

 Układy równań I stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem

 Układy nierówności I stopnia z dwiema niewiadomymi (opisywanie zbiorów)

 Równania i nierówności oraz układy równań I stopnia z dwiema

niewiadomymi z wartością bezwzględną

 Zastosowanie funkcji liniowej do opisywania zjawisk z życia codziennego

 Rozwiązywanie zadań tekstowych z zastosowaniem równań i nierówności liniowych

Uczeń:

 Potrafi wykonać wykres funkcji

 Potrafi odczytać własności funkcji na podstawie wykresu

 Potrafi obliczyć współrzędne punktów przecięcia z osiami układu współrzędnych wykresu funkcji liniowej

 Potrafi rozpoznać wielkości wprost proporcjonalne oraz wykonać wykres tej zależności

 Potrafi rozwiązywać równanie i nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą

 Potrafi ułożyć równanie do zależności przedstawionej tekstem

 Potrafi rysować prostą mając dane jej równanie

 Potrafi sprawdzić czy dany punkt leży na prostej

 Potrafi zaznaczyć półpłaszczyznę określoną nierównościami

 Potrafi sprawdzić, czy dana liczba jest rozwiązaniem równania lub nierówności

 Potrafi podać przykład równania liniowego z dwiema niewiadomymi

 Potrafi podać przykład rozwiązania równania liniowego z dwiema niewiadomymi

 Potrafi sprawdzić, czy dana para liczb jest rozwiązaniem układu równań liniowych

 Potrafi rozwiązać prosty układ równań liniowych

 Potrafi wyznaczyć wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia dane warunki

 Potrafi obliczyć argument funkcji linowej gdy dana jest wartość funkcji

 Potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji

 Potrafi wykonać wykres funkcji liczbowej przedziałami linowej

 Potrafi wyznaczyć wzór funkcji liniowej, gdy dane są współrzędne punktu należącego do wykresu funkcji i współczynnik kierunkowy funkcji

 Potrafi omówić wszystkie własności funkcji

 Stosuje proporcjonalność prostą w rozwiązywaniu zadań

 Potrafi wykazać związek pomiędzy

współczynnikiem kierunkowym funkcji liniowej, a kątem nachylenia jej do wykresu

 Potrafi badać własności funkcji określonych tym samym wzorem, ale na różnych dziedzinach

 Potrafi zamieniać postać ogólną na kierunkową i odwrotnie

 Potrafi znaleźć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

 Potrafi rozpoznać proste równoległe na podstawie ich równań kierunkowych

 Potrafi wyznaczyć równanie prostej równoległej do danej prostej przechodzącej przez dany punkt

 Potrafi obliczyć punkt przecięcia prostych

 Potrafi rysować półpłaszczyznę opisaną nierównością

 Potrafi sprawdzić, czy dany punkt należy do półpłaszczyzny opisanej nierównością

 Potrafi rozwiązać układ nierówności z jedną niewiadomą i zilustrować zbiór rozwiązań na osi

 Przedstawia zbiór rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi w układzie współrzędnych

 Potrafi rozwiązać nierówność z dwiema niewiadomymi

 Potrafi podać przykłady rozwiązań danej nierówności

 Potrafi rozpoznać typy układów równań liniowych z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia

 Potrafi sprawdzić poprawność rozwiązania układu

 Potrafi znaleźć równanie prostej prostopadłej do danej przechodzącej przez dany punkt

 Potrafi znaleźć równanie prostej mając jej wykres

 Potrafi rozwiązać równanie, nierówność, nierówność podwójną

 Potrafi rozwiązać zadanie tekstowe o złożonych zależnościach prowadzące do równania lub nierówności liniowej

 Potrafi przeprowadzić analizę typów układów równań bez ich rozwiązywania

 Potrafi stosować metodę wyznaczników do rozwiązywania układów równań z dwiema i trzema niewiadomymi

 Potrafi rozwiązać graficznie układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi

 Potrafi opisać zbiór punktów płaszczyzny za pomocą układu nierówności

 Potrafi określać równoległość i prostopadłość prostych w zadaniach z parametrem

 Potrafi przedstawić za pomocą układu równań lub nierówności część płaszczyzny układu współrzędnych

 Potrafi rozwiązać układ równań liniowych z parametrem

(4)

8. Podstawowe własności figur

geometrycznych na płaszczyźnie (30 godzin)

 Punkty, proste, półproste, odcinki, figury wypukłe, figury wklęsłe

 Figury ograniczone, figury nieograniczone; brzeg, wnętrze i zewnętrze figury

 Kąty

 Położenie prostych na płaszczyźnie

 Łamana, wielokąt, trójkąty – klasyfikacja

 Środkowe trójkąta

 Przystawanie trójkątów

 Zależność między bokami i katami w trójkącie

 Nierówność trójkąta

 Twierdzenie o dwóch prostych przeciętych trzecia prostą

 Suma kątów w trójkącie

 Symetralne boków w trójkącie

 Dwusieczne kątów w trójkącie

 Wysokości w trójkącie

 Koło i okrąg

 Wzajemne położenie okręgu i prostej

 Kąty w kole

 Czworokąty

 Trójkąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

 Wielokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Uczeń:

 Potrafi narysować prostą przechodzącą przez dwa dane punkty

 Potrafi wskazać punkty należące i nie należące do figury

 Potrafi odróżnić koło od okręgu

 Potrafi podać przykład figury wypukłej, niewypukłej, ograniczonej, nieograniczonej

 Potrafi wskazać punkty współliniowe

 Potrafi rozróżnić kąty ze względu na ich miarę stopniową, kąty wierzchołkowe, odpowiadające, naprzemianległe

 Potrafi rysować proste równoległe, prostopadłe i przecinające się, wskazać figury przystające

 Potrafi rozróżniać i nazywać trójkąty z uwzgl.

klasyfikacji ze względu na boki i kąty

 Potrafi sformułować twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych w trójkącie i czworokącie

 Potrafi wskazywać i nazywać wielokąty

 Potrafi sformułować twierdzenie o zależności między miarą kąta wpisanego a środkowego opartego na tym samym łuku

 Potrafi podać miarę kąta wpisanego, gdy dana jest miara kąta środkowego opartego na tym samym łuku

 Potrafi wskazać na rysunku okrąg opisany na trójkącie (czworokącie) i okrąg wpisany w trójkąt (czworokąt)

 Potrafi określić wzajemne położenie okręgów na podstawie rysunku

 Potrafi narysować za pomocą linijki styczną do okręgu i sieczną okręgu

 Potrafi rozpoznać odcinki proporcjonalne

 Potrafi rozwiązać proporcje dotyczące odcinków

 Potrafi obliczyć promień koła opisanego i wpisanego w trójkąt równoboczny o danym boku

 Potrafi określić liczbę punktów przecięcia kilku prostych i rozważyć różne przypadki w zależności od wzajemnego położenia prostych

 Potrafi określić wzajemne położenie punktów, półprostych, odcinków przy danych warunkach

 Potrafi podać określenie koła i okręgu

 Potrafi stosować warunek przechodniości

 Potrafi podać cechy przystawania trójkątów

 Potrafi sformułować nierówność trójkąta

 Potrafi sformułować własności czworokątów

 Potrafi podać wzór na sumę miar kątów wewnętrznych w dowolnym wielokącie oraz wzór na liczbę przekątnych

 Potrafi sformułować twierdzenia: o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku, o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku

 Potrafi konstruować okrąg wpisany i opisany na trójkącie (kwadracie)

 Potrafi stosować twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie

 Potrafi wykorzystać własności wielokątów w zadaniach

 Potrafi wykonać konstrukcje prostej równoległej (prostopadłej) do danej

 Potrafi stosować nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań

 Potrafi udowodnić cechy przystawania trójkątów

 Potrafi skonstruować styczną do okręgu przechodzącą przez dany punkt

 Potrafi podać warunki opisywalności i

wpisywalności okręgu w czworokąt i stosować je w zadaniach

 Potrafi sformułować (i udowodnić) twierdzenie:

związane z kątami, środkowymi i wpisywanymi; o okręgu wpisanym w czworokąt i opisanym na okręgu

9. Twierdzenie Talesa (4 godziny)

 Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa

 Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego i wewnętrznego trójkąta

Uczeń:

 Potrafi zapisać symbolicznie twierdzenie Talesa na podstawie rysunku

 Potrafi stwierdzić równoległość prostych na podstawie proporcjonalności

odpowiednich odcinków

 Potrafi sformułować twierdzenie Talesa i twierdzenie do niego odwrotne

 Potrafi podzielić odcinek w danym stosunku

 Potrafi zastosować twierdzenie Talesa i twierdzenie doń odwrotne w typowych zadaniach

 Potrafi zastosować twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne w zadaniach tekstowych

10 Pola figur (5 godzin)

 Pole figury

 Pole trójkąta

 Pole czworokąta

 Pole koła, wycinek koła, długość okręgu, długość łuku okręgu

Uczeń:

 Potrafi zdefiniować pojęcie pola powierzchni figury

 Zna wzory na pole koła, trójkąta i czworokątów

 Potrafi zastosować znane wzory w typowych sytuacjach

 Potrafi wykorzystać własności funkcji

trygonometrycznych w obliczeniach dotyczących pól

 Zna i potrafi zastosować wzory na pole wycinka koła, długość okręgu i długość łuku okręgu

 Potrafi rozwiązywać zadania z zastosowaniem pól figur płaskich, w tym zadania na dowodzenie

(5)

11 Funkcja kwadratowa (26 godzin)

 Jednomian stopnia drugiego, trójmian kwadratowy

 Postać ogólna i kanoniczna punkcji kwadratowej

 Miejsca zerowe i postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

 Badanie trójmianu kwadratowego (w tym znajdowanie najmniejszej i największej wartości)

 Wzory Viete’a i ich zastosowanie

 Równania kwadratowe

 Nierówności kwadratowe

 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

 Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną

 Zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

 Zastosowanie funkcji kwadratowej do analizowania zjawisk z życia

codziennego

Uczeń:

 Potrafi napisać postać ogólną funkcji kwadratowej

 Potrafi przekształcić funkcję kwadratową z postaci kanonicznej i iloczynowej na postać ogólną

 Potrafi określić miejsca zerowe trójmianu z jego postaci iloczynowej

 Potrafi określić współrzędne wierzchołka paraboli z postaci kanonicznej

 Potrafi rysować wykresy funkcji kwadratowych

 Potrafi odczytywać własności funkcji kwadratowych

 Potrafi rozwiązać proste równanie kwadratowe o współczynnikach całkowitych

 Potrafi naszkicować wykres trójmianu kwadratowego danego w postaci iloczynowej

 Potrafi odczytać zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej danej w postaci iloczynowej

 Potrafi rozpoznać krzywą stopnia drugiego

 Potrafi obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli

 Potrafi przekształcić funkcję kwadratową z postaci ogólnej na postać kanoniczną lub iloczynową

 Potrafi zastosować wzory Viete’a do wyznaczania sumy i iloczynu pierwiastków równania

kwadratowego

 Potrafi ustalić liczbę pierwiastków równania kwadratowego

 Potrafi rozwiązać równanie kwadratowe o dowolnych współczynnikach

 Potrafi rozwiązać algebraicznie i graficznie nierówność kwadratową

 Zna równanie okręgu

 Potrafi rysować wykres i odczytywać własności funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

 Potrafi wyznaczać najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowych w prostych zadaniach optymalizacyjnych

 Potrafi obliczyć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym

 Potrafi rozwiązywać złożone równania i nierówności kwadratowe

 Potrafi rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności kwadratowych

 Potrafi stosować wzory Viete’a do określania znaku pierwiastków równania kwadratowego

 Potrafi ustalić liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru

 Potrafi rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną

 Potrafi zbadać dla jakich wartości parametru funkcja ma miejsca zerowe spełniające określone warunki

 Potrafi sporządzić wykres i odczytać własności funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

 Potrafi odczytać liczbę rozwiązań równania typu

 Potrafi zastosować wzory Viete’a w równaniach z wartością bezwzględną

 Potrafi rozwiązać algebraicznie i graficznie układy równań z dwiema niewiadomymi, z których jedno jest stopnia drugiego

 Potrafi rozwiązać równanie dwukwadratowe 12 Wielomiany (20 godzin)

 Definicja wielomianu stopnia n jednej zmiennej rzeczywistej

 Równość wielomianów

 Działania arytmetyczne na

wielomianach; dzielenie wielomianów za pomocą schematu Hornera

 Pierwiastek wielomianu; twierdzenie Bezouta i jego zastosowanie;

 Pierwiastek wielokrotny wielomianu;

twierdzenie o rozwiązaniach wymiernych

 Rozkład wielomianu na czynniki

 Równania wielomianowe

 Wykresy niektórych wielomianów;

nierówności wielomianowe

 Zadania tekstowe prowadzące do równań i nierówności wielomianowych

Uczeń:

 Potrafi rozpoznać wielomiany wśród podanych wyrażeń

 Potrafi wyznaczyć stopień i współczynniki danego wielomianu

 Potrafi uporządkować wielomian

 Potrafi dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany

 Potrafi obliczyć wartość wielomianu dla danej wartości zmiennej

 Potrafi sprawdzić czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu

 Potrafi obliczyć pierwiastek wielomianu danego w postaci iloczynowej

 Potrafi rozłożyć wielomian na czynniki, stosując wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

 Potrafi badać równość wielomianów

 Potrafi wykonać dzielenie wielomianów

 Potrafi dzielić wielomiany za pomocą schematu Hornera

 Potrafi rozkładać wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia i grupowanie wyrazów

 Potrafi stosować twierdzenie Bezouta do znajdywania pierwiastków wielomianu

 Potrafi rozwiązywać równania i nierówności trzeciego stopnia poprzez rozkład na czynniki

 Potrafi stosować twierdzenia o wielomianach do rozwiązywania równań i nierówności

 Potrafi dostrzec związek między pierwiastkami wielokrotnymi wielomianu a jego podzielnością

 Potrafi stosować dzielenie wielomianów w zadaniach z parametrem

 Potrafi rozwiązać równania i nierówności wielomianowe z parametrem lub wartością bezwzględną

(6)

13 Funkcje wymierne (17 godzin)

 Definicja funkcji wymiernej; dziedzina funkcji wymiernej

 Działania na funkcjach wymiernych

 Funkcja homograficzna i jej własności

 Równania wymierne

 Nierówności wymierne

 Zastosowanie wiadomości o funkcjach wymiernych w zadaniach

 Zadania tekstowe prowadzące do równań wymiernych

Uczeń:

 Potrafi skracać i rozszerzać wyrażenia wymierna

 Potrafi znaleźć wspólny mianownik dla prostych wyrażeń wymiernych

 Potrafi zdefiniować proporcjonalność odwrotną

 Potrafi wyznaczyć i zapisać dziedzinę funkcji wymiernej

 Potrafi wykonać działania na wyrażeniach wymiernych i wyznaczyć dziedzinę wyrażenia będącego wynikiem działania

 Potrafi szkicować wykres funkcji i opisywać jej własności

 Potrafi rozwiązywać równania i nierówności typu

 Potrafi sprawdzić czy dane dwie funkcje są równe

 Potrafi szkicować wykresy typu

 Potrafi rozwiązywać równania z funkcją homograficzną

 Potrafi rozwiązywać nierówności typu

 Potrafi badać dla jakich wartości parametru funkcje wymierne są równe

 Potrafi narysować wykres funkcje homograficznej, również z wartością bezwzględną

 Potrafi rozwiązać algebraicznie i graficznie równania i nierówności wymierne, również z wartością bezw.

 Potrafi rozwiązać układ równań 14 Ciągi (28 godzin)

 Definicja ciągu, ciąg liczbowy

 Sposoby opisywania ciągów

 Ciągi zdefiniowane rekurencyjnie

 Ciągi monotoniczne

 Granica ciągu liczbowego

 Własności cięgów zbieżnych

 Ciąg arytmetyczny

 Ciąg geometryczny

 Ciągi rozbieżne do nieskończoności

 Procent prosty i składany

Uczeń:

 Potrafi podawać przykłady i rozpoznawać ciągi liczbowe skończone i nieskończone

 Potrafi obliczać wyrazy ciągu na podstawie wzoru ogólnego

 Potrafi sporządzić wykres ciągu

 Potrafi obliczyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego (geometrycznego), mając dany jego pierwszy wyraz i różnicę (iloraz)

 Potrafi wyznaczyć sumę n kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego lub geometrycznego poprzez podstawienie do wzoru

 Potrafi stosować bez przekształceń wzór na procent składany

 Potrafi zbadać warunek zbieżności szeregu geometrycznego

 Potrafi obliczyć sumę szeregu geometrycznego

 Potrafi obliczyć wyrazy ciągu określonego za pomocą wzoru ogólnego lub rekurencyjnie

 Potrafi odczytać własności ciągu na podstawie wykresu

 Potrafi sprawdzić monotoniczność ciągów z wykorzystaniem definicji

 Potrafi sprawdzić korzystając z definicji, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym czy

geometrycznym

 Potrafi wyznaczyć ciąg arytmetyczny

(geometryczny) na podstawie wskazanych danych

 Potrafi stosować wzór na procent składany do obliczania odsetek i kapitału

 Potrafi rozwiązać równanie i nierówność z zastosowaniem sumy szeregu geometrycznego

 Potrafi stosować definicje i własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego do rozwiązywania zadań

 Potrafi obliczyć kapitał z odsetkami po określonym czasie oszczędzania

 Potrafi zbadać na podstawie definicji, czy dana liczba jest granicą ciągu

 Potrafi obliczyć granice ciągu w oparciu o twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych

 Potrafi rozpoznać ciąg rozbieżny na podstawie definicji

 Potrafi stosować wzór na sumę szeregu geometrycznego w zadaniach geometrycznych

 Potrafi stosować własności ciągu arytmetycznego lub geometrycznego w zadaniach tekstowych

 Zna pojęcie liczby e oraz jej podstawowe zastosowanie 15 Twierdzenie sinusów, twierdzenie

cosinusów i ich zastosowanie (4 godziny)

Uczeń:

 Potrafi podać twierdzenie sinusów i cosinusów

 Potrafi zastosować twierdzenie sinusów do obliczania promienia okręgu opisanego na trójkącie

 Potrafi zastosować twierdzenie cosinusów do znalezienia długości boku trójkąta, gdy dane są długości dwóch pozostałych i kąt między nimi zawarty

 Potrafi znaleźć związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów

 Potrafi zastosować twierdzenie cosinusów do obliczenia miary kąta trójkąta, gdy dane są długości jego boków

 Potrafi udowodnić twierdzenie sinusów i cosinusów

16 Wektory (6 godzin)

 Wektor w prostokątnym układzie współrzędnych; współrzędne wektora

 Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wektora przez liczbę

 Długość wektora

 Iloczyn skalarny i wektorowy

Uczeń:

 Zna pojęcie wektora

 Potrafi odczytać współrzędne wektora narysowanego w prostokątnym układzie współrzędnych i narysować wektor o danych współrzędnych

 Potrafi obliczyć współrzędne wektora

 Potrafi wykonać działania na wektorach (graficznie i analitycznie)

 Potrafi obliczyć odległość dwóch punktów na płaszczyźnie

 Potrafi stosować własności wektorów równych i przeciwnych

 Potrafi skonstruować sumę i różnicę danych wektorów i iloczyn danego wektora przez daną liczbę

 Potrafi obliczyć współrzędne określonych wektorów, gdy dane są współrzędne ich końców

 Potrafi obliczyć współrzędne końca odcinka, mając dany jego środek oraz jeden z końców

 Potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka mając dane współrzędne jego końców

 Potrafi obliczyć iloczyn skalarny i wektorowy danych wektorów

 Potrafi stosować rachunek wektorowy do dowodzenia twierdzeń

 Potrafi stosować rachunek wektorowy w zadaniach

(7)

17 Jednokładność i podobieństwo (6 godzin)

 Przekształcenia izometryczne i figury przystające

 Cechy przystawania trójkątów

 Obraz figury w izometrii

 Jednokładność

 Podobieństwo

 Cechy podobieństwa trójkątów

 Pola figur podobnych

Uczeń:

 Potrafi podać przykłady figur jednokładnych

 Potrafi wskazać odpowiadające sobie boki i kąty w figurach jednokładnych

 Potrafi kreślić figurę pomniejszając lub powiększając całkowitą liczbę razy w skali dodatniej

 Potrafi podać przykłady figur podobnych

 Potrafi wymienić cechy podobieństwa trójkątów

 Potrafi narysować figurę podobną do danej

 Potrafi podać własności figur jednokładnych

 Potrafi kreślić figury jednokładne w skali będącej liczbą wymierną

 Potrafi obliczyć skalę jednokładności w konkretnych przykładach

 Potrafi wyznaczyć środek jednokładności dwóch danych figur jednokładnych

 Potrafi wyznaczyć stosunki boków w figurach podobnych

 Potrafi obliczyć długości boków figur podobnych przy danej skali i określonych wymiarach figury

 Potrafi wykorzystać własności jednokładności w zadaniach

 Potrafi konstruować figury podobne

 Potrafi stosować cechy podobieństwa trójkątów

 Potrafi stosować definicję i własności figur podobnych w zadaniach

 Potrafi przekształcić figurę przez złożenie jednokładności

 Potrafi obliczyć skalę podobieństwa mając dane pola figur podobnych

 Potrafi obliczyć pole figury podobnej przy podanej skali i wymiarach danej figury podobnej

18 Funkcje wykładnicze i logarytmiczne (16 godzin)

 Potęga o wykładniku wymiernym – powtórzenie

 Potęga o wykładniku rzeczywistym

 Funkcja wykładnicza i jej własności

 Równania wykładnicze

 Nierówności wykładnicze

 Definicja logarytmu liczby dodatniej

 Własności logarytmów

 Funkcja logarytmiczna

 Równania i nierówności logarytmiczne

 Zastosowanie funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Uczeń:

 Potrafi odróżniać funkcje wykładniczą i logarytmiczną od innych funkcji

 Potrafi obliczyć logarytm liczby dodatniej

 Potrafi określić dziedzinę funkcji logarytmicznej



 Potrafi rozwiązać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

 Potrafi rysować i przekształcać wykresy funkcji oraz opisywać na ich podstawie własności tych funkcji

 Potrafi dowodzić własności funkcji logarytmicznych i wykładniczych

 Potrafi dostrzec zastosowanie funkcji

wykładniczych i logarytmicznych do opisywania zjawisk z życia

19 Analiza matematyczna (29 godzin)

 Granica funkcji w punkcie; granice jednostronne

 Granica funkcji w nieskończoności

 Granica niewłaściwa funkcji

 Wyznaczanie granic funkcji na krańcach przedziałów określoności

 Funkcja ciągła w punkcie i w zbiorze

 Własności funkcji ciągłych

 Iloraz różnicowy funkcji

 Pochodna funkcji w punkcie; interpretacja geometryczna; styczna do wykresu funkcji

 Funkcja pochodna

 Związek między ciągłością a różniczkowalnością

 Działania na pochodnych

 Monotoniczność funkcji a znak pochodnej

 Ekstrema funkcji: warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej

 Zastosowanie pochodnej do

rozwiązywania problemów praktycznych

Uczeń:

 Potrafi obliczyć granice funkcji (i granice jednostronne) korzystając z twierdzeń o działaniach na granicach i z własności funkcji ciągłych

 Potrafi obliczyć pochodne funkcji wymiernych

 Potrafi skorzystać z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej

 Potrafi korzystać z własności pochodnej od wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji

 Potrafi znaleźć ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych

 Potrafi zastosować pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych

 Potrafi wykorzystać własności funkcji ciągłych w zadaniach

 Potrafi zbadać przebieg zmienności funkcji i naszkicować jej wykres

 Potrafi napisać równanie stycznej do wykresu funkcji

 Potrafi wyznaczyć pewne elementy w badaniu przebiegu zmienności funkcji

 Potrafi rozwiązać proste całki

 Potrafi zastosować rachunek pochodnych od analizy zjawisk z życia codziennego opisanych wzorami funkcji wymiernych

 Potrafi rozwiązać zadanie z wykorzystaniem wiadomości o stycznej

 Potrafi zbadać przebieg funkcji (kompletnie)

 Potrafi rozwiązywać trudniejsze całki

 Potrafi znaleźć równania asymptot wykresu funkcji

(8)

20 Geometria analityczna (10 godzin)

 Odległość dwóch punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej

 Równanie (nierówność) okręgu (koła)

 Prosta na płaszczyźnie kartezjańskiej

 Prostopadłość i równoległość dwóch prostych na płaszczyźnie kartezjańskiej

 Odległość punktu od prostej

 Prosta i okrąg na płaszczyźnie kartezjańskiej

 Nierówność opisująca półpłaszczyznę

Uczeń:

 Potrafi wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

 Potrafi zbadać równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych

 Potrafi wyznaczyć równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt

 Potrafi obliczyć współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych

 Potrafi wyznaczyć współrzędne środka odcinka

 Potrafi obliczyć odległość dwóch punktów

 Potrafi obliczyć odległość punktu od prostej

 Potrafi zbadać równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań ogólnych

 Potrafi wyznaczyć równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci ogólnej i przechodzi przez dany punkt

 Potrafi posługiwać się równaniem okręgu i nierównością koła

 Potrafi wyznaczyć punkty wspólne okręgu i prostej

 Potrafi napisać równanie stycznej do okręgu

 Wyznaczyć równanie okręgu o zadanych własnościach

21 Stereometria (18 godzin)

 Proste i płaszczyzny w przestrzeni

 Kąt prostej z płaszczyzną; kąt dwuścienny

 Graniastosłupy i ich siatki

 Ostrosłupy i ich siatki

 Wielościany foremne

 Bryły obrotowe – walec, stożek, kula

 Przekroje brył płaszczyznami

 Objętości i pola powierzchni brył

Uczeń:

 Potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami, obliczyć miary tych kątów

 Potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami i obliczyć miary tych kątów

 Rozpoznaje w walcach i stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami oraz obliczyć miary tych kątów

 Potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między ścianami

 Potrafi określić jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu płaszczyzną

 Potrafi zastosować trygonometrię do obliczania poszukiwanych wartości

 Potrafi określić jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną

 Potrafi określić jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa lub ostrosłupa płaszczyzną

 Potrafi wyznaczyć pola i objętości brył obrotowych i wielościanów

 Potrafi rozwiązywać złożone zadania posługując się wiedzą z geometrii płaskiej i trygonometrii

22 Kombinatoryka (5 godzin)

 Permutacje

 Kombinacje

 Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń

Uczeń:

 Potrafi zliczyć obiekty w różnych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych, stosuje regułę mnożenia i regułę dodawania

 Potrafi wykorzystać wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych sytuacjach kombinatorycznych

 Potrafi rozwiązać zadanie tekstowe z zastosowaniem kombinatoryki

23 Rachunek prawdopodobieństwa (16 godzin)

 Doświadczenia losowe; zdarzenie elementarne; zbiór zdarzeń elementarnych; zdarzenie

 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

 Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa;

własności prawdopodobieństwa

 Prawdopodobieństwo warunkowe

 Prawdopodobieństwo całkowite

 Niezależność zdarzeń

 Schemat Bernoulliego

Uczeń:

 Potrafi obliczyć prawdopodobieństwo w prostych sytuacjach, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa

 Zna wzory i twierdzenia o

prawdopodobieństwie całkowitym i warunkowym

 Potrafi obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite

 Potrafi badać niezależność zdarzeń

 Potrafi stosować w zadaniach schemat Bernoulliego

 Potrafi stosować własności prawdopodobieństwa w zadaniach

24 Elementy statystyki opisowej (5 godzin)

 Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, wariancja, odchylenie standardowe

Uczeń:

 Potrafi obliczyć średnią ważoną i odchylenie standardowe zestawu danych oraz zinterpretować otrzymane wyniki

 Odczytuje dane statystyczne z tabel, diagramów, wykresów

 Przedstawia dane empiryczne w postaci tabel, diagramów i wykresów

 Potrafi przeprowadzić analizę ilościową przedstawionych danych

 Porównuje i określa zależności między danymi

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy Politechniki Krakowskiej w VII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie