Niektóre własności acyklicznej części 3-optymalnej struktury opiniowania diagnostycznego

Niektóre własności acyklicznej części

3-optymalnej struktury opiniowania

diagnostycznego

Roman KULESZA

Zakład Automatyki, Instytut Teleinformatyki i Automatyki WAT, ul. Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa

STRESZCZENIE: W artykule przedstawiono niektóre własności acyklicznej części 3-optymalnej struktury opiniowania diagnostycznego typu PMC (Preparata F.P.; Metze G.; Chien R.T.-[7]) lub BGM (Barsi F.; Grandoni F.; Maestrini P.-[1]). Własności te umoŜliwiły opracowanie metody wyznaczenia szeregu przeliczającego takie struktury do rzędu ósmego.

SŁOWA KLUCZOWE: struktura opiniowania diagnostycznego; przeliczanie; izomorfizm

1. Wprowadzenie

W pracach [4]-[6] pokazano, Ŝe kaŜda składowa spójności acyklicznej części 3-optymalnej struktury opiniowania diagnostycznego (OD) jest takim acyklicznym (w sensie dróg) digrafem (unigrafem zorientowanym) bez pętli

( 4 ,

D
E
≥ E-zbiór węzłów digrafu D), Ŝe

1

[∀ ∈e E:Γ− ( )e ≠ ∅] :µ−( )e =3,

gdzie

µ

−

( )

e

oznacza stopień wejściowy węzła

e

(np.- liczbę komputerów sieci komputerowej, które testują komputer

e

).

Węzły zbioru

E

− 1

(gdzie: E−= ∈{e E:Γ− ( )e = ∅}) nazywamy źródłami, a węzły zbioru

E

+ (gdzie: E+= ∈{e E: ( )Γ e = ∅})-ściekami (struktury

D

), przy czym, jeŜeli 3-optymalna struktura OD, ma część acykliczną, to jej źródła zagnieŜdŜone są w składowej silnej spójności

S

tej struktury oraz E+≠ ∅ (rys.1).

Rys. 1. Przykład acyklicznej części 3-optymalnej struktury OD (digraf

D

) rzędu dziewiątego o czterech źródłach i jednym ścieku

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli E+≠ ∅, to 1

\ : { ( )} 3

e E E− − e E−

∃ ∈
Γ ∩
= ,

bowiem w przeciwnym razie, digraf D nie byłby digrafem acyklicznym. Dalej będziemy rozpatrywać takie digrafy D, których podgraf (E )D

−

〈Γ 〉

jest grafem spójnym. WykaŜemy, Ŝe szereg przeliczający struktury

D

ma postać

( )

D x =x4+ +x5 9x6+80x7+1422x8+⋯ . (1)

Zaproponowana w artykule metoda wyznaczenia zaleŜności (1) polega na indukowaniu (generowaniu) zbiorów niepodobnych struktur D (określonego rzędu), przez sklejanie węzłów o jednakowych wagach

( ) (gdzie: ( )e e ( ),e

υ υ ₌µ− _e∈Γ(E−_{)), digrafów opisanych C D i ( )( ) B D , które}

są (odpowiednio) podgrafami 〈E−∪Γ(E−)〉_D i 〈E E\ −〉 o waŜonych węzłach, _D przy czym multizbiór { ( ) :υ e e∈Γ(E−)} będzie pełnić rolę kanonicznego reprezentanta klasy podobieństwa struktur D (rys.2).

Kanoniczny reprezentant klasy podobieństwa struktur D będziemy (równieŜ) przedstawiać w postaci wektora υ (gdzie: υ υ=( ,...,1 υ υr), 1≥ ≥⋯ υr,

( ( )) ) r= Γ
E− D
.

Rys. 2. RozłoŜenie struktury

D

na digrafy

C D

( )

i

B D

( )

o waŜonych węzłach

Niech ( , )Cα υ oznacza zbiór grafów prostych (dwupodzielnych digrafów bez pętli) o α (gdzie: 3≤ ≤ + +α υ1 ... υr) źródłach i takich r ściekach,

oznaczonych wagami ze zbioru { ,...,υ1 υr}, Ŝe υ=(υ1,...,υr), a B k( , ) (υ k≥r)

-zbiór takich, spójnych digrafów acyklicznych rzędu k , równieŜ o r węzłach oznaczonych wagami ze zbioru { ,...,υ1 υr}, Ŝe podgraf zawierający węzły

waŜone jest grafem spójnym oraz stopień wejściowy węzła o wadze

1

(gdzie: { ,..., _r})

υ′ υ′∈ υ υ równa się 3−υ′, a węzłów bez wag - trzy.

RóŜne sposoby scalenia grafu G′(gdzie: G′∈C( , ))α υ z grafem (gdzie: ( , ))

G′′ G′′∈B kυ , przez sklejenie ich węzłów waŜonych (o jednakowych wagach), indukuje (generuje) zbiór struktur

D

, rzędu α+k, który moŜe zawierać struktury izomorficzne.

Metoda wyznaczenia szeregu przeliczającego nieetykietowanej struktury

D

, zaproponowana w artykule, polega na oddzielnym przeliczaniu (dla ustalonej wartości υ) struktur G′(gdzie: G′∈C( , ))α υ i G"

(gdzie: G′′∈B k( , ))υ oraz wyznaczaniu ich grup węzłowych (zbiorów przekształceń automorficznych), a następnie na indukowaniu struktur

D

przez sklejanie węzłów waŜonych tych struktur oraz redukowaniu (w zbiorze tak

D

C(D)

B(D)

3

3

1

1

3

3

1

1

wyindukowanych struktur) struktur izomorficznych, w oparciu o poznane automorfizmy struktur G′ i G′′.

JeŜeli k>

, to struktury zbioru υ B k( , )υ , uzyskuje się jako nadgrafy struktur zbioru B(

υ υ, ), utworzone przez dodanie k−

węzłów. υ

PoniewaŜ B k( , (3))= ∅ (k>1) oraz B k( , (3, 2))= ∅ (k>2), to operacja taka nie jest zbyt złoŜona, gdyŜ (przy wyznaczaniu szeregu przeliczającego struktury

D , do rzędu ósmego) wymaga dodania, co najwyŜej, dwóch węzłów.

W części drugiej artykułu przedstawię metodę wyznaczenia szeregu przeliczającego (zaleŜność 1), polegającą na sklejaniu węzłów o jednakowych wagach struktur klasy C( , )α υ i klasy B k( , )υ , a w częściach trzeciej oraz czwartej, odpowiednio-metody wyznaczania niezbędnych własności tych struktur.

2. Metoda wyznaczenia szeregu przeliczającego

ZauwaŜmy, Ŝe aby wyznaczyć szereg przeliczający struktury D do rzędu ósmego, wystarczy posłuŜyć się ich kanonicznymi reprezentantami klas podobieństwa (wektorami

υ

), do wymiaru piątego.

Oznaczmy: { (3,..., ) : r r υ υ Φ = = B r( , )υ ≠ ∅}; ( ) s σ υ =
{i∈{1,..., }:r υi=s} (
s∈{1, 2,3}).

Z własności digrafów zbioru B(

υ υ, ) wynika, Ŝe _Φ1

{( 3)}

=

i _Φ2

{(3, 2)}

= , oraz Ŝe zbiór B r( , )υ (r≥3) nie jest zbiorem pustym wtedy i tylko wtedy, gdy

2 [υ ≥2]∧[(σ υ₃( )≥2)

⇒

(σ υ₁( )≥ σ υ₃( ) 1))]− . Tak więc: 1 Φ ={( 3)};Φ2 {(3, 2)} = ;Φ3=_{{( 3, 3,1), ( 3, 2, 2 ), ( 3, 2,1)};} 4 Φ ={(3,3, 2,1), (3,3,1,1),(3, 2, 2, 2), (3, 2, 2,1), (3, 2,1,1)}; 5 {(3,3,3,1,1), (3,3, 2, 2,1), (3,3, 2,1,1),(3,3,1,1,1), Φ = (3, 2, 2, 2, 2), (3, 2, 2, 2,1), (3, 2, 2,1,1), (3, 2,1,1,1)}.

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli

υ ≤5, to grupy węzłowe grafów zbioru C( , )α υ oraz zbioru B k( , )υ moŜna przedstawić w postaci, co najwyŜej, dwóch niezaleŜnych albo dwóch sprzęŜonych grup węzłów podobnych, o odpowiednich krotnościach. Niech zapis 1 1 ( ) i i p p i i G δ δ ω =υ υ (gdzie: { ₁, } {3, 2,1}, {1, 2}) p i i p υ υ ⊂ ∈ oznacza,

Ŝe digraf G zbioru C( , )α υ albo zbioru B k( , )υ , ma p niezaleŜnych grup węzłów podobnych (odpowiednio) o wadze υi₁ i krotności δi1 oraz o wadze υip i krotności δi_p, zapis 1 2

2

( )G ( _{i i} )

ω = υ υ , Ŝe ma dwie sprzęŜone grupy węzłów podobnych, zawierające po dwa węzły o wadze

1 i υ oraz o wadze 2 i υ , a zapis (G)

ω = ∅, Ŝe digraf G nie ma automorfizmu (rys.3).

Rys. 3. Ilustracja sposobu opisu automorfizmu digrafów o waŜonych węzłach

Oznaczmy: ( , ) C α υ Ω ={ (ωG′) :G′∈C( , )}α υ ; ( , , ) { ( , ) : ( ) } Cα υ ω′ = G′∈Cα υ ωG′ =ω′ (ω′∈ΩC( , ))α υ ; ( , ) B kυ Ω ={ (ωG′′) :G′′∈B k( , )}υ ; ( , , ) { ( , ) : ( ) } B kυ ω′′ = G′′∈B kυ ω G′′ =ω′′ ( B( , )) k ω′′∈Ω υ . Niech D(ω ω υ′ ′′, , )(gdzie: ω′∈ΩC( , )α υ , B( , ) k ω′′∈Ω υ ,3 , r) r k α υ ≤ ≤ ≤ ∈Φ

oznacza zbiór niepodobnych struktur D rzędu α+k, indukowanych przez wszystkie moŜliwe sklejenia węzłów, o jednakowych wagach, digrafów

G

1

G

2

G

3

G

4

G

5

3

2

2

1

3

3

1

1

3

3

1

1

3

3

1

1

2

2

3

2

2

(

G

i

) :

ω

2

2

∅

(22)

2

3 1

2 2

3

2

i

G

∈

C(3, (3, 2, 2,1)) (5, (3, 2, 2, 2, 2))

B

(5, (3, 3,1,1))

B

G′(gdzie: G′∈C( , ))α υ i G′′(gdzie: G′′∈B k( , ))υ , które mają grupy węzłowe, odpowiednio, ω′ i ω′′.

JeŜeli potrafimy wyznaczyć wartości
D(ω ω υ′ ′′, , )
,
C( , ,α υ ω′)
oraz

( , , ) B kυ ω′′

, to liczebność zbioru struktur D rzędu m m( ≥7), będziemy mogli określić z zaleŜności

3 3 3 ( ) ( , , ) , r m m r D m D m α α υ α α υ − − = = ∈Φ =

_{∑ ∑ ∑}

−



(2) gdzie ( , , ) Dα υk =

( , ) ( , ) ( , , ( , , ) C B_k D C ω α υ ω υ ω ω υ α υ ω ′∈Ω ′′∈Ω ′ ′′ ⋅ ′ ⋅

∑

∑

B k( , ,υ ω′′)
. ZauwaŜmy, Ŝe (4) D =


D(5)
=1 oraz 3 (6) (3,3, ) 1 D D υ υ ∈Φ =

_∑

+



, (3) bowiem 2 {(3, 2)} Φ = i
C(4, (3, 2))
=1.

JeŜeli grupy węzłowe (digrafów G′ i G′′) moŜna opisać za pomocą liczności grup węzłów podobnych o określonej wadze, a tak moŜna zrobić poza przypadkiem, gdy ω(G′′ =) (22)2(δi( )G - liczba węzłów podobnych o wadze

( {1, 2,3}) i i∈ digrafu (G∈{G G′ ′′, }),δ( )G =( ( ),δ1G δ2( ),G δ3( ))),G to 3 1 ( ( ), ( ), ) _i( (_i ), (_i ), ) i Dδ G δ G υ δ G δ G υ = ′ ′′ =

∏

Θ ′ ′′

(4)

gdzie ( ( ), ( ), ) i δi G′ δi G′′ υ Θ = min{ ( ), ( )} max{0, ( ( ), ( ), ( ))} [ ( ) i i i i i i G G i s G G δ δ ψ δ δ σ υ σ υ ′ ′′ ′ ′′ = −

∑

2 min{ (⋅ δi G′),δi(G′′)}− ( ) ( ) ] ! i G i G s δ ′ δ ′′ − − + ,

bowiem sklejenie

s

węzłów podobnych (o wadze

i

) digrafów G′ i G′′, powoduje sklejenie

( ) 2 min{ ( ), ( )}

i i G i G

σ υ − ⋅ δ ′ δ ′′ − δi(G′)−δi(G′′) +s

( ( ), ( ), ( ))

i i G i G i

ψ δ ′ δ ′′ σ υ =2 min{ (⋅ δi G′), (δi G′′)}+ δi(G′)−δi(G′′) −σ υi( ).

Tak więc, z zaleŜności (2)-(4), po uwzględnieniu, Ŝe

2

(δ (G′ <) 4)⇒ 2

(
D( (δ G′),(22) ,(3, 2, 2, 2, 2))
=4!);

2

(δ (G′ =) 4)⇒(
D( (δ G′), (22) , (3, 2, 2, 2, 2))2
=1)

oraz, korzystając z danych przedstawionych w tablicach 1-6, uzyskujemy zaleŜność (1).

3. Metoda wyznaczania własności struktur klasy ( , )

C

α υ

Struktura klasy C( , )α υ jest grafem prostym (dwupodzielnym digrafem bez pętli) o waŜonych ściekach (węzłach bez następników), których waga równa się stopniowi wejściowemu ścieku.

Opiszemy prostą metodę (podatną do komputerowej realizacji) wyznaczania grup węzłowych ω (gdzie: ω∈ΩC( , ))α υ i liczebności zbiorów

( , , ) Cα υ ω (gdzie: ω∈ ( , ),3 1 , C r α υ α υ υ Ω ≤ ≤ + +⋯ 3 5, r) r υ ≤ ≤ ∈Φ oraz wyznaczymy te wartości. Oczywiście, jeŜeli r≤2, to ΩC( , ) { }α υ = ∅ i
C( , , )α υ ω =
1.

ZauwaŜmy, Ŝe macierz binarna M(α×r), w której mi,1+ +⋯ mi r, =λi

(1≤ ≤i α) oraz m1,j+ +⋯ mα,j=υj (1≤ ≤j r), gdzie 1 1 { ( r) : r} α λ λ∈ ′∈Λ υ + +⋯ υ λ′≤ ( ( 1 r) α _{υ υ} Λ + +⋯ - zbiór

α

-dzielnych podziałów liczby naturalnej υ1+ +⋯ υr), jest macierzą przejść grafu prostego, naleŜącego do takiego podzbioru zbioru C( , )α υ , w którym liczby następników poszczególnych źródeł grafu prostego opisuje wektor λ λ( =( ,...,λ1 λα)). Po

zredukowaniu macierzy podobnych (w zbiorach macierzy wyznaczonych dla określonej wartości λ), określamy liczbę i wagę węzłów podobnych grafu, który odpowiada określonej macierzy, przy czym liczba ta równa się liczbie jednakowych kolumn macierzy, a waga-sumie kaŜdej z tych kolumn.

Wyznaczone w ten sposób wartości _ΩC( , )α υ

oraz
C( , , )α υ ω
podano w tablicach 1,2 i 3.

Tab. 1. Wartości _ΩC( , )α υ _{i
C( , , )}α υ ω
₍υ ∈Φ3₎ Tablica 2. Wartości _ΩC( , )_{α υ} i
C( , , )α υ ω
4 (υ∈Φ ) Tab. 3. Wartości _ΩC( , )α υ i
C( , , )α υ ω
5 (υ ∈Φ)

α

3 4 5

υ

ω

∅ 2

2

₃ 2 ∅ 2

2

∅ 2

2

(3,3,1) 1 2 3 (3,2,2) 1 1 4 1 3 1 (3,2,1) 2 3 2

α

3 4

υ

ω

∅

2

1

2

2

2

3

3

2 2 2

3 1

∅

2

1

2

2

2

3

3

2 2 2

3 1

(3,3,2,1) 3 7 4 (3,3,1,1) 1 1 7 2 1 3 (3,2,2,2) 1 1 3 5 1 (3,2,2,1) 2 2 8 2 (3,2,1,1) 1 1 8 3

α

3

υ

ω

∅

2

1

3

1

2

2

3

2

4

2

2

3

3

3

2 2

2 1

2 2

3 1

2 3

3 1

2 2

3 2

3 2

3 1

(3,3,3,1,1) 1 1 (3,3,2,2,1) 2 2 (3,3,2,1,1) 2 1 (3,3,1,1,1) 1 1 1 (3,2,2,2,2) 2 1 1 (3,2,2,2,1) 4 2 (3,2,2,1,1) 2 2 2 2 (3,2,1,1,1) 1 3 2

4. Metody wyznaczania własności struktur klasy ( , )

B k

υ

Rozpatrzymy niektóre metody wyznaczania grup węzłowych (gdzie: B( , ))

k

ω ω∈Ω υ i liczebności zbiorów B k( , , )υ ω (gdzie: B( , ),

k

ω∈Ω υ

,3 5)

r

r k

υ ∈Φ ≤ ≤ ≤ oraz wyznaczymy te wartości.

Oczywiście, jeŜeli r≤2, to ΩB( , )kυ = ∅{ } i
B k( , , )υ ω
=1. Niech ( ) (gdzie: r)

M∗υ υ∈Φ oznacza taką macierz wymiaru (r r× ), Ŝe:

, ( {1,..., })

i i i

m =υ i∈ r ; (i≠ j)⇒(mi j, ∈{0,1}); m1,j+ +⋯ mr j, =3(j∈{1,..., })r ;

, ,1 ,

(mi i=3)⇒(mi + +⋯ mi r >3) oraz (mi j, =1,i≠j)⇒(mj i, =0 ).

ZauwaŜmy, Ŝe macierz M( )υ , utworzona z macierzy M∗( )υ przez podstawienie zer na jej głównej przekątnej, jest macierzą przejść digrafu, który naleŜy do zbioru B r( , )υ . Tak więc, aby wyznaczyć B( , )

kυ

Ω

i
B k( , , )υ ω
, naleŜy wyznaczyć zbiór niepodobnych macierzy M∗( )υ i określić ich przekształcenia automorficzne.

Dla przykładu: 2 2 (4,(3,3,1,1)) { ,3 1 } B Ω = ∅ ; (4,(3,3,1,1), ) B ∅ =

2 2 (4,(3,3,1,1),3 1 ) 1 B =

, bowiem zbiór niepodobnych

macierzy M∗((3,3,1,1)) zawiera dwie macierze (rys. 4), przy czym macierz

1((3,3,1,1))

M∗ ma pusty zbiór przekształceń automorficznych oraz

2((3,3,1,1))[(1, 2)(3)(4)] M∗ =M2((3,3,1,1))[(1)(2)(3, 4)] M2((3,3,1,1)) ∗ ₌ ∗

_.

1((3,3,1,1)) M∗ = 3 0 1 0 0 3 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1            

M2((3,3,1,1)) ∗ ₌ 3 0 1 1 0 3 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1            

Rys. 4. Ilustracja sposobu wyznaczenia zbioru _ΩB_{(4, (3,3,1,1))= ∅{ ,3 1 }}2 2

PokaŜemy inne sposoby wyznaczania zbiorów B( , ) kυ

Ω i liczebności zbiorów ( , , )B kυ ω (gdzie: B( , ))

k

ω∈Ω υ .

ZauwaŜmy, Ŝe jeŜeli υ2= =… υr=2, to zbiór B r( , ) (υ r≥2) jest

pozostałe węzły wagę równą dwa, a więc, w tym przypadku, liczebność zbioru ( , )

B rυ jest równa liczbie drzew z korzeniem rzędu r . PoniewaŜ szereg przeliczający drzewa z korzeniem, ma postać

2 3 4 5

2 4 9 ,

x+x + x + x + x +⋯

to łatwo jest wyznaczyć postać graficzną takich drzew, do rzędu piątego, a z tej postaci (bezpośrednio) zbiory B( , )

kυ

Ω i liczebności zbiorów B k( , , )υ ω (gdzie: ω∈ΩB( , ))kυ .

ZauwaŜmy, Ŝe digraf zbioru B r( +1, ( ,...,υ1 υr,1)) moŜemy traktować jako

nadgraf pewnego digrafu ze zbioru B r( ,( ,...,υ1 υr)), a więc, jeŜeli digraf

(gdzie: ( , , ), , r, 3)

G G∈B rυ ω ω≠ ∅ ∈Φυ r≥ ma 1

(1 min{3, 2 ( 1) }) p ≤ ≤p _ − r− _ podgrup węzłów podobnych o licznościach δ1,...,δp, to indukuje (przez dodanie

do niego, jednego węzła)

( 1 ) ( ) ( 1) 2 2 p r r δ δ p r δ p p • •  −  •   ∆ − − ⋅ + ⋅ − + + ∆ − ⋅     

niepodobnych digrafów zbioru B r( +1, ( ,...,υ1 υr,1)), bowiem poprzednikami

dodanego węzła moŜe być: para węzłów z poza grupy węzłów podobnych; para węzłów, której jednym z węzłów jest węzeł naleŜący do określonej podgrupy węzłów podobnych, a drugim-węzeł z poza węzłów podobnych; jednorazowo wybrana para węzłów naleŜących do tej samej podgrupy węzłów podobnych albo do róŜnych podgrup węzłów podobnych (gdzie: δ δ1 δp

•_{= + +⋯ ;}

(a≤0)⇒( ( )∆ a =0) i (a>0)⇒( ( ) 1)∆ a = ). Tak więc, jeŜeli
B r( , , )υ ω
=1(ω≠ ∅), to

1 ( 1, ( ,..., _r,1)) B r+ υ υ =


B r( , ,υ∅ ⋅)
2 r   +     ( , )\{ } ( B r ω∈Ω υ ∅ +

_∑

( 1 ( )) ( ) ( ) ( 1 ( )) ( ( ) 1) ( ) ) 2 2 p r r δ ω δ ω pω r δ ω pω ω • •  −  •   ∆ − − ⋅ + ⋅ + − +∆ − ⋅      (5)

Przykład 1. Wiemy (tablica 5), Ŝe 2

(4,(3, 2,1,1)) { ,1 } B Ω = ∅ oraz (4,(3, 2,1,1), ) 2 B ∅ =

i
B(4,(3, 2,1,1),1 )2
=1, a więc (z zaleŜności (5)) otrzymujemy, Ŝe
B(5,(3, 2,1,1,1))
=16. Nie są to dane wystarczające, bowiem konieczna jest znajomość zbioru _ΩB(5,(3, 2,1,1,1))

(5, (3, 2,1,1,1), )

B ω

(gdzie: ω∈ΩB(5,(3, 2,1,1,1))).

ZauwaŜmy, Ŝe digraf (gdzie: ( , , ), r, 3)

G′ G′∈B rυ ∅ υ∈Φ r≥ indukuje { ( ) : ( ( ) 1) ( ( ) )} 2 r e E G υ e e   ′ − ∈ = ∧ Γ = ∅    

(6)

niepodobnych digrafów zbioru B r( +1, ( ,...,υ1 υr,1),∅) oraz

{e∈E G( ′) : ( ( ) 1)υe = ∧ Γ( ( )e = ∅)

(6’

) niepodobnych digrafów zbioru 2

1

( 1, ( ,..., r,1),1 )

B r+ υ υ , bowiem dla kaŜdego węzła e′ ′ (e∈ ∈{e E G( ′) : ( ( ) 1)υ e = ∧ Γ( ( )e = ∅)}) istnieje w zbiorze digrafów indukowanych (przez digraf G′) dokładnie jeden digraf, w którym poprzedniki dodanego węzła (nadgrafu), są wspólne z poprzednikami (w digrafie G′) węzła

e′.

Dla r≤4, zaleŜność (6) przyjmuje postać (2 ) 2 r r υ   − ∆ −     , (6 ’’ ) bowiem (υ_r=2)⇒(
{e∈E G( ′) : ( ) 1w e = =
0), a

(υr =1)⇒(
{e∈E G( ′) : ( ( ) 1)w e = ∧ Γ( ( )e = ∅ =)
1) gdyŜ, w przypadku, gdy

1( ) 2

σ υ = , to albo {
e∈E G( ′) : ( ( ) 1)w e = ∧ Γ( ( )e = ∅ =)
1, albo digraf G′ nie ma pustej grupy węzłowej.

Postępując analogicznie otrzymujemy, Ŝe digraf

2

(gdzie: (4, (3, 2,1,1),1 ))

G′′ G′′∈B indukuje dwa digrafy ze zbioru (5,(3, 2,1,1,1), )

B ∅ oraz po jednym digrafie ze zbioru 2

(5,(3, 2,1,1,1),1 )

B oraz ze

zbioru 3

(5, (3, 2,1,1,1),1 )

B .

Sumując powyŜsze wyniki z wynikami uzyskanymi w przykładzie 1 otrzymujemy zbiór ΩB(5,(3, 2,1,1,1)) i wartości
B(5,(3, 2,1,1,1), )ω

(gdzie: ω∈ΩB(5, (3, 2,1,1,1))

) (tablica 6).

Przy wyznaczaniu zbiorów ( 1,( ,...,1 ,1)) B r r υ υ Ω + i wartości ( 1, ( ,...,_{r r},1), ) B r+ υ υ ω

(gdzie: B( 1,( ,...,₁ ,1))) r r ω∈Ω + υ υ , indukowanych przez digraf G∗ (gdzie: G∗∈B r( , ,υ∅)), pomocna jest znajomość postaci graficznej lub macierzowej digrafu G∗.

Digraf (gdzie: ( , ),3 4,1 5 , r)

G′ G′∈B r+sυ ≤ ≤r ≤ ≤ −s rυ∈Φ jest takim nadgrafem digrafu G′′ (gdzie: G′′∈B r( , ))υ , Ŝe
E G( ′ =)

E G( ′′ +)
s, przy czym, węzły (E G′) \E G( ′′) nie są węzłami waŜonymi.

ZauwaŜmy, Ŝe dla s=2 moŜliwe są dwa przypadki gdy poprzedniki obu węzłów zbioru E G( ′) \E G( ′′) są węzłami waŜonymi, oraz gdy jeden z węzłów tego zbioru ma dokładnie jeden poprzednik, który nie jest węzłem waŜonym. Tak więc, digraf zbioru ( , ,B rυ ∅) indukuje

2 1 ( 1) 4 3 s i r r s i =     + ∆ − ⋅  ₋       

∏

(7)

digrafów zbioru B r( +s, ,υ ∅), a digraf zbioru B r( , ,υ wδ)

(gdzie w: ∈{1, 2,3}, 2≤ ≤ −δ r 1) indukuje: ( 1) 2 r r δ  −δ ∆ − − ⋅    digrafów zbioru (B r+1, ,υ ∅); (δ 2) ∇ − ⋅(r−δ)+∇ −(δ 3) digrafów zbioru B r( +1, ,υ w2); (δ 3) ∇ − digrafów zbioru 3 ( 1, , ) B r+ υ w oraz 1 digraf zbioru (B r+2, ,υ∅) i 2 digrafy zbioru B r( +2, ,υ w2), przy czym ( ( ) 1)∇b = ⇔ =(b 0).

PowyŜsze zaleŜności nie obejmują tylko przypadku wyznaczenia, niezbędnego z uwagi na cel niniejszej pracy, liczby i grupy węzłowej digrafów zbioru B(5,(3,3,1,1)), indukowanych przez digraf zbioru B(4,(3,3,1,1),3 1 )2 2 . Znając postać graficzną tego digrafu (rys. 3) i budując jego nadgrafy (w zbiorze B(5,(3,3,1,1))) łatwo stwierdzamy, Ŝe indukuje on po jednym digrafie o grupie węzłowej 32 oraz 12.

Przykład 2. Wiemy (tablica 5), Ŝe: ΩB(4, (3, 2, 2, 2))= ∅{ , 2 , 2 }2 3 ; (4,(3, 2, 2, 2), ) 2 B ∅ =

; 2 (4,(3, 2, 2, 2), 2 ) B =

3 (4,(3, 2, 2, 2), 2 ) 1 B =

,

a poniewaŜ: digraf zbioru B(4,(3, 2, 2, 2),∅) indukuje 4 digrafy zbioru (5,(3, 2, 2, 2), )

B ∅ ; digraf zbioru 2

(4,(3, 2, 2, 2), 2 )

B indukuje 1 digraf zbioru (5,(3, 2, 2, 2), )

B ∅ i 2 digrafy zbioru 2

(5, (3, 2, 2, 2), 2 )

3

(4,(3, 2, 2, 2), 2 )

B indukuje po jednym digrafie zbioru B(5, (3, 2, 2, 2), 2 )2

i zbioru 2 (5, (3, 2, 2, 2), 2 ) B , to
B(5, (3, 2, 2, 2),∅ =)
9, 2 (5, (3, 2, 2, 2), 2 ) 3 B =

oraz 3 (5, (3, 2, 2, 2), 2 ) 1 B =

(tablica 5). Wartości B( , ) kυ Ω i
B k( , , )υ ω
(gdzie: r,3 5) r k υ∈Φ ≤ ≤ ≤ , wyznaczone za pomocą powyŜszych metod, podano w tablicach 4, 5 i 6.

Tab. 4. Wartości B( , ) kυ Ω i
B k( , , )υ ω
3 (υ ∈Φ) Tab. 5. Wartości B( , ) kυ Ω i
B k( , , )υ ω
4 (υ ∈Φ) Tab. 6. Wartości B( , ) kυ Ω i
B k( , , )υ ω
5 (υ∈Φ) k 3 4 5

υ

ω

∅

2

2

3

2

∅

2

2

3

2

∅

2

2

3

2 (3,3,1) 1 1 1 2 (3,2,2) 1 1 1 1 5 2 (3,2,1) 1 1 4 k 4 5

υ

ω

∅

2

1

2

2

2

3

3

2

3 1

2 2

∅

1

2

2

2

2

3

3

2 (3,3,2,1) 2 1 9 2 (3,3,1,1) 1 1 4 1 1 (3,2,2,2) 2 1 1 9 3 1 (3,2,2,1) 4 1 17 2 (3,2,1,1) 2 1 9 2

k

5

υ

ω

∅

2

1

3

1

2

2

3

2

4

2

2

3

2

(22)

2 2

2 1

2 2

3 1

2 2

3 2

(3,3,3,1,1) 1 1 (3,3,2,2,1) 13 1 1 1 (3,3,2,1,1) 13 3 (3,3,1,1,1) 5 2 1 1 (3,2,2,2,2) 3 3 1 1 1 (3,2,2,2,1) 14 4 (3,2,2,1,1) 25 1 1 1 (3,2,1,1,1) 12 3 1

5. Podsumowanie

Znajomość, wyjaśnionych w artykule, własności acyklicznej części 3-optymalnej struktury opiniowania diagnostycznego oraz szeregu przeliczającego (nawet tylko do rzędu ósmego) taką strukturę (zaleŜność 1), moŜe być przydatna przy poszukiwaniu metod komputerowego projektowania 3-diagnozowalnych struktur opiniowania diagnostycznego, spełniających określone wymagania techniczne i ekonomiczne.

Wyznaczenie szeregu przeliczającego (rozpatrywanej struktury) tylko do rzędu ósmego wynika stąd, Ŝe grupy węzłowe digrafów, których scalenie (rys. 2) indukuje rozpatrywane struktury, moŜna wyrazić (poza jednym tylko przypadkiem) za pomocą niezaleŜnych grup węzłów podobnych. Nie stanowi to jednak istotnego ograniczenia w zastosowaniu zaproponowanej w artykule metody wyznaczenia współczynników szeregu przeliczającego, większych od rzędu ósmego.

Uzyskane wyniki mogą być równieŜ przydatne w pracach z zakresu teorii grafów-szczególnie dotyczących komputerowych metod określania grup węzłowych digrafów, wykrywania digrafów izomorficznych oraz generowania digrafów określonej klasy.

Literatura

[1] Barsi F., Grandoni F., Maestrini P.: A Theory of Diagnosability of Digital Systems, IEEE Trans. on Comput. 6, 1976, pp. 585-593.

[2] Harary F., Palmer E.: Graphical Enumeration, New York and London, Academic Press, 1973.

[3] Krawczyk H.: Analiza i synteza samodiagnozowalnych systemów komputerowych, Zeszyty Naukowe Politechniki Gdańskiej, Elektronika nr 64, Gdańsk, 1987. [4] Kulesza R.: Podstawy diagnostyki sieci logicznych i komputerowych, Instytut

Automatyki i Robotyki, Wydział Cybernetyki Wojskowej Akademii Technicznej, Warszawa, 2000, ss. 222.

[5] Kulesza R.: Struktury samodiagnozowalne w technice cyfrowej, diag’2003, V Krajowa Konferencja „Diagnostyka Techniczna Urządzeń i Systemów”, 13-17 października 2003, Ustroń, s.165-173.

[6] Kulesza R.: Problemy przeliczania optymalnych struktur opiniowania diagnostycznego, Biuletyn Instytutu Automatyki i Robotyki, Wojskowa Akademia

Techniczna, Warszawa, 2004, nr20, s.3-21.

[7] Preparata F. P., Metze G., Chien R.T.: On the Connection Assignment Problem of

Some properties of the acyclic components

of the 3-optimal structure

ABSTRACT: The method of enumeration the acyclic components of the 3-optimal structures for one-step diagnosis of system is presented in this paper.

KEYWORDS: structures for one-step diagnosis of system; enumeration; isomorphism.

Recenzent: dr hab. inŜ. Andrzej Chojnacki Praca wpłynęła do redakcji: 05.07.2006