Zakład Cz ˛ astek i Oddziaływa ´n Fundamentalnych Instytut Fizyki Do´swiadczalnej

Szczególna teoria wzgl ˛edno´sci

prof. dr hab. Aleksander Filip ˙ Zarnecki

Zakład Cz ˛ astek i Oddziaływa ´n Fundamentalnych Instytut Fizyki Do´swiadczalnej

Wykład VI:

• energia progowa

• foton

• rozpraszanie Comptona

• efekt Doplera

Zderzenia relatywistyczne

Zderzenia elastyczne _{2 → 2}

Cz ˛ astki rozproszone takie same jak cz ˛ astki zderzaj ˛ ace si ˛e.

W szczególno´sci: m

= m

i m

= m

W zderzeniach cz ˛ astek wysokiej energii jest to jednak wyj ˛ atek (!)

Zderzenia nieelastyczne

W oddziaływaniach cz ˛ astek elementarnych, zwłaszcza przy wysokiej energii, obserwujemy bardzo wiele reakcji, w których powstaj ˛ a nowe cz ˛ astki:

• Rozpady cz ˛ astek: a → b + c

• Produkcja pojedy ´nczej cz ˛ astki (tzw. “rezonansu”): a + b → c

• Rozproszenie nieelastyczne dwóch cz ˛ astek: a + b → c + d

jedna z cz ˛ astek na ko ´ncu mo˙ze by´c cz ˛ astk ˛ a stanu pocz ˛ atkowego

• Produkcja wielu cz ˛ astek: a + b → X

gdzie X oznacza dowolny stan wielocz ˛ astkowy

Zderzenia relatywistyczne

Energia dost ˛epna

w układzie ´srodka masy jest równa masie niezmienniczej zderzaj ˛ acych si ˛e cz ˛ astek √ s.

Energia dost ˛epna jest to cz ˛e´s´c energii kinetycznej, która mo˙ze zosta´c zamieniona na mas ˛e (energi ˛e spoczynkow ˛ a) nowych cz ˛ astek.

Okre´slon ˛ a warto´s´c energii dost ˛epnej mo˙zemy uzyska´c na rózne sposoby:

Zderzenia z tarcz ˛ a

Cz ˛ astka “pocisk” o energii E uderza w nieruchom ˛ a tarcz ˛e:

s = 2 E ₁ m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂ w granicy E

≫ m

∼ m

s ≈ 2 E 1 m ₂

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Zderzenia wi ˛ azek o energiach E

i E

: s = 2 E ₁ E ₂ + 2 p ₁ p ₂ + m ² ₁ + m ² ₂ w granicy E

∼ E

≫ m

∼ m

s ≈ 4 E 1 E ₂

Du˙zo wy˙zsze warto ´sci !!!

Energia progowa

Zderzenia z tarcz ˛ a

Minimalna energia wi ˛ azki E

przy której mo˙zliwa jest dana reakcja.

Minimalna masa niezmiennicza:

s _min =



 X

i

m _i



 2

W zderzeniach z nieruchom ˛ a tarcz ˛ a:

s _min = 2 E _min m ₂ + m ² ₁ + m ² ₂

⇒ minimalna energia całkowita pocisku:

E _min = s _min − (m ² ₁ + m ² ₂ )

2 m ₂ = ( ^P _i m _i ) ² − (m ² ₁ + m ² ₂ ) 2 m ₂

⇒ minimalna energia kinetyczna pocisku:

E _k,min = E _min − E _◦ = ( ^P _i m _i ) ² − (m 1 + m ₂ ) ²

2 m ₂

Energia progowa

Zderzenia z tarcz ˛ a

Zwi ˛ azek minimalnej energii kinetycznej pocisku z przyrostem masy:

2 m ₂ E _k,min =



 X

i

m _i



 2

ko« owe

−



 X

i

m _i



 2

po z¡tkowe

⇒ energia kinetyczna pocisku jest “zu˙zywana” na zwi ˛ekszenie masy układu...

Przykład 1

Produkcja anty-protonów w reakcji pp → ppp¯ p ^P

m

= 4m

∆M = 2m

E _min = (4 m _p ) ² − (m ² _p + m ² _p )

2 m _p = 7 m _p

E _k,min = E _min − m ^p = 6 m _p ≈ 5.63 GeV

Energia progowa

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Dla wi ˛ azek przeciwbie˙znych: dla uproszczenia przyjmujemy E

= E

, m

= m

s _min ≈ 4 E 1 E ₂ = 4 E _min ²

E _min = 1 2

√ s _min = 1 2

s

( ^X

i

m _i ) ² = 1 2

X i

m _i

E _k,min = 1 2









 X

i

m _i





ko« owe

−



 X

i

m _i





po z¡tkowe







⇒ energia ro´snie liniowo z mas ˛ a produkowanego stanu (na tarczy: kwadratowo)

⇒ du˙zo ni˙zsze energie potrzebne do wytworzenia tego samego stanu Przykład 1 (c.d.)

Produkcja anty-protonów w reakcji p p → p p p ¯ p ^P

m

= 4 m

E _k,min = 1

2 [4m _p − 2m ^p ] = m _p ≈ 0.94 GeV

5.63 GeV

Energia progowa

Wi ˛ azki przeciwbie˙zne

Przykład 2

Produkcja par bozonów W

W

w zderzeniach elektron-pozyton: e ⁺ e ⁻ → W ⁺ W ⁻ Gdyby´smy chcieli u˙zy´c pojedy ´nczej wi ˛ azki pozytonów i tarczy ^P

m

= 2 m

E _min = (2 m _W ) ² − (m ² _e + m ² _e )

2 m _e ≈ 2 m ² _W

m _e ≈ 25 300 000 GeV m

= 80.4 GeV m

= 0.000511 GeV

Tak ogromnych energii nie jeste´smy w stanie wytworzy´c !

Dotychczas wi ˛ azki pozytonów E ≈ 100 GeV , projektowane E ≈ 1000 − 5000 GeV ...

Dla przeciwbie˙znych wi ˛ azek elektron-pozyton: s ≈ 4 E

E _min = 1 2

√ s _min = 1 2

v u u u t



 X

i

m _i



 2

= 1 2

X i

m _i = m _W ≈ 80 GeV

Takie energie to ju˙z nie problem...

Odkrycie fotonu

Zjawisko fotoelektryczne

Odkryte przypadkowo przez Hertza w 1887 r.

Swiatło padaj ˛ ´ ac na metalow ˛ a płytk ˛e powoduje uwalnianie elektronów ⇒ przepływ pr ˛ adu.

ν

V A

Do´swiadczenia wskazały, ˙ze energia uwalni- anych elektronów zale˙zy wył ˛ acznie od cz ˛es- to´sci ´swiatła (długo´sci fali) i materiału katody.

Opis falowy przewidywał, ˙ze pr ˛ ad za- le˙zy wył ˛ acznie od nat ˛e˙zenia ´swiatła, a nie zale˙zy od cz ˛esto´sci !

Zjawisko fotoelektryczne wyja´snił

Einstein (1905) wprowadzaj ˛ ac kwanty

´swiatła

F

Energia foto-elektronów:

E _e = E _γ − W = h ν − W W - “praca wyj´scia”,

minimalna energia potrzebna do

uwolnienia elektronu z metalu.

Odkrycie fotonu

Natura ´swiatła

Fotony to kwanty promieniowania elektromagnetycznego.

Przenosz ˛ a oddziaływania mi ˛edzy cz ˛ astkami naładowanymi.

Maj ˛ a natur ˛e korpuskularno-falow ˛ a:

• fala elektromagnetyczna, opisana równaniami Maxwella c = 1

√ ǫ

µ

podlega interferencji, dyfrakcji, załamaniu

• cz ˛ astka o ustalonej energii i p ˛edzie, ale zerowej masie m

≡ 0 ⇔ β ≡ 1 mo˙ze zderza´c si ˛e z innymi cz ˛ astkami, by´c pochłaniana lub rozpraszana

Im wy˙zsza cz ˛esto´s´c (mniejsza długo´s´c fali) promieniowania,

tym wy˙zsza energia pojedy ´nczego fotonu ⇒ wyra´zniejsze efekty korpuskularne E _γ = p _γ c = h ν = hc

λ λ · ν = c

W zjawisku fotoelektrycznym, foton “zderza si ˛e” z elektronem, γ + e ⁻ → e ⁻

(proces typu 2 → 1 ), i przekazuje mu energi ˛e konieczn ˛ a do opuszczenia metalu.

Efekt Comptona

Rozpraszanie fotonów

W wyniku rozpraszania w materii, promieniowanie X stawało si ˛e mniej przenikliwe ⇒ zmieniało długo´sci fali

Opis tego zjawiska zaproponował w 1923 roku A.H.Compton.

Fotony promieniowania X rozpraszaj ˛ a si ˛e na elektronach w atomie

γ e

γ e

oddaj ˛ ac im cz ˛e´s´c swojej energii.

Relatywistyczne zderzenie dwóch ciał tak samo jak w przypadku cz ˛ astek

ν h ’ ν

h

m

E η Θ

Zasady zachowania:

E : hν + m = hν ^′ + E

p

: hν = hν ^′ cos θ + p cos η

p

: 0 = hν ^′ sin θ − p sin η

Efekt Comptona

Przekształcaj ˛ ac otrzymujemy:

E = h(ν − ν ^′ ) + m p cos η = h(ν − ν ^′ cos θ)

p sin η = hν ^′ sin θ

Podnosz ˛ ac stronami do kwadratu i zestawiaj ˛ ac do masy elektronu:

m ² = E ² − p ²

= ^ h(ν − ν ^′ ) + m ^{ 2} − h ^{2 } ν − ν ^′ cos θ ^{ 2} − ^ hν ^′ sin θ ^{ 2}

= m ² +h

ν

+h

ν

− 2h ² νν ^′ + 2mh(ν − ν ^′ )

−h

ν

+ 2h ² νν ^′ cos θ −h

ν

cos

θ − h

ν

sin

θ

⇒ m hν = hν ^′ ( m + hν(1 − cos θ))

hν ^′ = hν

1 + ^hν _m (1 − cos θ) λ

= λ + h

m c (1 − cos θ) h

m c = 2.43 · 10 ⁻¹² m = 2.43 pm

Efekt Comptona

Małe energie fotonów

W granicy małych energii fotonu hν ≪ m

hν ^′ = hν m

m + hν(1 − cos θ) ≈ hν

⇒ foton rozprasza si ˛e bez straty energii.

Odpowiada to klasycznemu zderzeniu

“pocisku”, m

, z du˙zo ci ˛e˙zsz ˛ a “tarcz ˛ a”, m

≫ m

.

Foton zachowuje energi ˛e, ale zmienia si ˛e wektor p ˛edu (kierunek !)

Przykład: odbicie ´swiatła widzialnego hν = 1.8 − 3.1eV (700 nm - 400 nm)

Energia rozproszonego elektronu:

E = hν − hν ^′ + m

= hν(hν + m)(1 − cos θ) + m ² hν(1 − cos θ) + m

W granicy hν ≪ m :

• energia elektronu:

E ≈ m

• p ˛ed rozproszonego elektronu:

p ≈ hν ^q 2(1 − cos θ)

Efekt Comptona

Du˙ze energie fotonów

W granicy du˙zych energii fotonu hν ≫ m (przyjmuj ˛ ac cos θ 6= 1 , czyli θ 6= 0 )

hν ^′ ≈ m

1 − cos θ → 0 E ≈ hν + m

⇒ foton przekazuje spoczywaj ˛ acemu elektronowi praktycznie cał ˛ a swoj ˛ a energi ˛e

γ e

e

γ

Odpowiada to klasycznemy zderzeniu ciał o równych masach (zakładaj ˛ ac zderzenie centralne i elastyczne)

Dla hν ≫ m mas ˛e elektronu mo˙zna

pomin ˛ a´c - elektron, tak jak foton, mo˙zna

traktowa´c jako cz ˛ astk ˛e bezmasow ˛ a.

Efekt Comptona

Rozpraszanie do tyłu

W rozpraszaniu na spoczywaj ˛ acym elektronie najni˙zsz ˛ a energi ˛e b ˛edzie miał foton rozproszony “do tyłu”

( cos θ = −1 ):

hν ^′ = hν · m

2hν + m < hν

To, ˙ze foton zawsze traci energi ˛e zwiazane jest jednak z wyborem układu odniesienia!

(układ zwi ˛ azany z elektronem)

Rozpraszanie na wi ˛ azce elektronów

Mo˙zemy jednak rozwa˙zy´c rozpraszanie fo- tonów o energii hν na przeciwbie˙znej wi ˛ azce elektronów o energii E

≫ m .

e γ

Transformacja Lorenza do układu elektronu:

γ = E _e m β ≈ 1

Energia fotonu w układzie elektronu:

hν ^⋆ = γ(1 + β)hν

≈ 2E _e

m · hν ≫ hν

Photon Collider

Rozpraszanie na wi ˛ azce elektronów

Przyjmijmy, ˙ze foton rozprasza si ˛e “do tyłu”

( cos θ = −1 ). Energia rozproszonego fo- tonu w układzie elektronu:

hν ^⋆′ = hν ^⋆ · m 2hν ^⋆ + m

≈ 2E _e hν · m 4E _e hν + m ²

Wracaj ˛ ac do układu laboratoryjnego:

(transformacja taka sama, bo p ˛ed foton zmienił kierunek)

hν ^′ ≈ 2E _e

m · hν ^⋆′

Otrzymujemy:

hν ^′ ≈ E e · 4E _e hν 4E _e hν + m ² Wysoke energia wi ˛ azki, 4E

hν ≫ m

⇒ elektron mo˙ze przekaza´c fotonowi wi ˛ekszo´s´c swojej energii.

e

e

γ γ

Przykład: dla E

= 250GeV i hν = 1eV

hν ^′ ≈ 200GeV

Efekt Dopplera

Przypadek klasyczny (I)

´zródło d˙zwi ˛eku o cz ˛esto´sci ν poruszaj ˛ ace si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a v wzgl ˛edem o´srodka w którym pr ˛edko´s´c d´zwi ˛eku wynosi c.

Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co ∆t = 1/ν :

f

c v

c/f v/f

f’

c/f’

t

t

^t

- wysłanie pierwszego impulsu t ₂ - wysłanie drugiego impulsu odległo´s´c mi ˛edzy impulsami:

c

ν ^′ = λ ^′ = c

ν + v ν

ru h impulsu ru h ¹ródªa

Cz ˛esto´s´c d´zwi ˛eku i długo´s´c fali

mierzona przez obserwatora nieruchomego wzgl ˛edem o´srodka:

λ

= λ



1 + v c



ν ^′ = ν

1 + ^v _c

Efekt Dopplera

Przypadek klasyczny (II)

obserwator porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛ a v wzgl ˛edem o´srodka i ´zródła d˙zwi ˛eku

t

f c

f’

v

c/f’

c/f v/f’

t

aby dogoni´c obserwatora impuls musi pokona´c odległo´s´c

c

ν ^′ = λ ^′ = c

ν + v ν

odlegªo±¢ ru h

po z¡tkowa obserwatora

Mierzona cz ˛esto´s´c i długo´s´c fali:

ν ^′ = ν



1 − v c



λ

= λ 1 −

W klasycznym efekcie Dopplera zmiana cz ˛esto´sci zale˙zy nie tylko od wzgl ˛ednej

pr ˛edko´sci ´zródła i obserwatora ale i ruchu wzgl ˛edem o´srodka.

Efekt Dopplera

Przypadek relatywistyczny

Je´sli ´zródło i/lub obserwator poruszaj ˛ a si ˛e z du˙zymi pr ˛edko´sciami

⇒ nale˙zy uwzgl ˛edni´c dylatacj ˛e czasu γ = 1

q

1 − β

= 1

q (1 − β)(1 + β)

Ruchome ´zródło

Poruszaj ˛ ace si ˛e ´zródło drga z cz ˛esto´sci ˛ a γ razy mniejsz ˛ a:

ν ^′ = ν/γ

1 + β = ν

s 1 − β 1 + β

Ruchomy obserwator

Dla poruszaj ˛ acego si ˛e obserwatora czas biegnie wolniej, mierzona cz ˛esto´s´c jest γ razy wi ˛eksza:

ν ^′ = γ ν (1 − β) = ν

s 1 − β 1 + β

⇒ Pełna symetria !

Efekt Dopplera

Ruch ´zródła

Wysłanie impulsu w układzie O’:

A : (T, 0, 0, 0) W układzie O: (c = 1)

A : (γ T, βγ T, 0, 0)

Na pokonianie odległo´sci βγT

´swiatło potrzebuje βγ T czasu

⇒ dotarcie impulsu ´swiatła do ob- serwatora O:

B : (γ T + βγ T, 0, 0, 0)

T ^′ = γ(1 + β) T =

s 1 + β

1 − β T x

x’

ct ct’

B

A

Efekt Dopplera

Wysłanie impulsu w układzie O:

A : (T, 0, 0, 0)

Dotarcie impulsu do obserwatora O’:

B : (T + ∆T, ∆T, 0, 0) Pr ˛edko´s´c O’ wzgl ˛edem O:

β = ∆T

T + ∆T ⇒ ∆T = β

1 − β T Współrz ˛edne dotarcia impulsu w O:

B : ( T

1 − β , β T

1 − β , 0, 0)

⇒ według O’ (dylatacja czasu) B : ( T

γ (1 − β) , 0, 0, 0)

⇒ T ^′ = T

γ(1 − β) =

s 1 + β 1 − β T

Ruch obserwatora

x x’

ct ct’

B

A

Efekt Dopplera

Przypadek ogólny

Zródło ´swiatła przelatuje w ´ odległo´sci h od obserwatora:

t

< 0

A h

B

v

x’

z’

O’

y’

x z O

y t’ l Θ

t - czas wysłania impulsu mierzony w układzie O’:

A : (t ^′ , 0, h, 0)

Współrz ˛edne tego zdarzenia w układzie O:

A : (γ t ^′ , γβ t ^′ , h, 0)

⇒ czas dotarcia impulsu do obserwatora O (B):

t = γt

+ l = γt ^′ +

q

(γβt ^′ ) ² + h ² Ró˙znica dt mi ˛edzy czasami dotarcia dwóch impulsów wysłanych w odst ˛epie czasu dt ^′

⇒ współczynnik przesuni ˛ecia dopplerowskiego:

mierzona

emitowana

˜ λ

λ = dt

dt ^′ = γ + γ ² β ² t ^′

q

(γβt ^′ ) ² + h ²

= γ



1 + β x l



= γ (1 − β cos Θ)

Θ - rejestrowany w O k ˛ at lotu fotonu, (π − Θ) - kierunek obserwacji (!)

Efekt Dopplera

Przypadek ogólny

A h

B

v

x’

z’

O’

y’

x z O

y t’ l Θ

Przesuni ˛ecie długo´sci fali:

mierzona

emitowana

˜ λ

λ = T ˜

T = γ (1 − β cos Θ)

1 10

0 50 100 150

β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.3

Θ [^o]

λ∼ /λ

Zmiana cz ˛esto´sci tak˙ze dla Θ = 90

!!!

Klasycznie nie ma zmiany cz ˛esto´sci...

Efekt Dopplera

Alternatywne podej´scie

Wyra˙zenia na relatywistyczny efekt Dopplera (dla ´swiatła) wynikaj ˛ a wprost z transformacji Lorenza !

x’

z’

y’

x y

β z

Θ h ’ ν

’

Foton o energii E

= hν

emitowany jest pod k ˛ atem θ

w układzie O’.

p ^′ _x = E ^′ cos θ ^′ p ^′ _y = E ^′ sin θ ^′

W układzie O z transformacji Lorenza:

hν = E = γ E ^′ + β γ p ^′ _x

= hν

γ (1 + β cos θ ^′ ) Dla θ

= 0 mamy:

ν = ν ^′ 1 + β

q

1 − β ²

= ν ^′

s 1 + β 1 − β cz ˛esto´s´c (energia) ro´snie Dla θ

= π mamy:

ν = ν ^′ 1 − β

q

1 − β ²

= ν ^′

s 1 − β

1 + β

cz ˛esto´s´c (energia) maleje

Efekt Dopplera

Rozkłady k ˛ atowe

Zale˙zno´s´c cz ˛esto´sci od k ˛ ata emisji

0 1 2 3 4

0 1 2 3

β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.2

Θ^l

ν/νl

Dla θ ^′ = ^π ₂ ⇒ ν = γ ν ^′ > ν ^′ poprzeczny efekt Dopplera

Obserwowany k ˛ at lotu fotonu:

cos θ = p _x

E = β + cos θ ^′ 1 + β cos θ ^′

0 1 2 3

0 1 2 3

β = 0.99 β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.2

Θ^l

Θ

Dla θ ^′ = ^π ₂ ⇒ cos θ = β ⇒ θ < ^π ₂

Izotropowe promieniowanie szybko poruszaj ˛ acego

si ˛e ciała jest skolimowane w kierunku ruchu...

Efekt Dopplera

Rozkłady k ˛ atowe

Mamy:

ν = ν ^′ γ (1 + β cos θ ^′ ) Mo˙zemy jednak zastosowa´c odwrotn ˛ a transformacj ˛e Lorenza ( β ⇔ −β )

⇒ energia w funkcji k ˛ ata detekcji:

ν = ν

γ (1 − β cos θ)

Fotony rejestrowane pod k ˛ atem θ = ^π ₂ maj ˛ a cz ˛esto´s´c: ν = ^ν _γ

< ν ^′ !!!

Zale˙zno´s´c cz ˛esto´sci od k ˛ ata detekcji

0 1 2 3 4

0 1 2 3

β = 0.9 β = 0.8 β = 0.6 β = 0.2

Θ

ν/νl

Efekt Dopplera

Efekt Dopplera obserwowany w warunkach laboratoryjnych dla dla fal elektromagnety- cznych jest na ogól bardzo niewielki (z wyj ˛ atkiem akceleratorów cz ˛ astek i ci ˛e˙zkich jonów).

Du˙ze efekty widoczne w obserwacjach astronomicznych

Linie emisyjne

Swiatło emitowane przez ´ wzbudzone atomy.

Linie absorpcyjne

Widoczne w ´swietle prze- chodz ˛ acym przez gaz.

W obu przypadkach pozycja linii jest ´sci´sle okre´slona (dla danego atomu)

Efekt Dopplera

Mierz ˛ ac linie absorpcyjne w widmie galaktyk mo˙zemy wnioskowa´c o ich ruchu

i wyznaczy´c ich pr ˛edko´s´c wzgl ˛edem nas

Prawo Hubbla

Dzi ˛eki efektowi Dopplera wiemy, ˙ze Wszech´swiat si ˛e rozszerza.

W 1929 roku Edwin Hubble jako pierwszy powi ˛ azał obserwowane pr ˛edko´sci mgławic z ich odległo´sci ˛ a od Ziemi.

Zauwa˙zył on, ˙ze pr ˛edko´s´c ’ucieczki’ ro´snie z odległo´sci ˛ a od Ziemi:

v = H · r r - odległo´s´c, H - stała Hubbla

Obecne pomiary: H ∼ 72 km/s/Mpc

1M pc ≈ 3 · 10

m