Algebra liniowa, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 27.
24 stycznia 2019
Zadania
1. Rozpatrzmy układ równań:
x1+ x2+ 2x3+ x4= 1 x2+ 2x2+ 3x3+ x4= 3 3x1+ 5x2+ 8x3+ tx4= 9 3x1+ 4x2+ tx3+ 3x4= 5
.
(a) Dla jakich t ∈ R ten układ równań jest nie- sprzeczny?
(b) Dla jakich t ∈ R ten układ równań ma jed- noznaczne rozwiązanie?
2. Niech V = lin((1, 1, 2, 3), (2, 3, 5, 7), (5, 6, 11, 16)).
(a) Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni V . (b) Dla jakich t ∈ R zachodzi równość:
V = lin((1, 1, 2, 3), (2, 3, 5, 7), (5, 6, 11, 16), (1, 0, 1, t))?
3. Niech V = {(x1, x2, x3) ∈ R3: 5x1+2x2−x3= 0}
i niech α1= (1, 0, 5), α2= (1, 2, 9).
(a) Podać przykład takiego wektora α3, że układ α1, α2, α3 jest bazą przestrzeni R3 i wektor β = (9, 9, 56) ma w tej bazie współ- rzędne 3, 4, 1.
(b) Czy istnieje wektor γ ∈ V taki, że układ α1, α2, γ jest bazą przestrzeni R3? Jeśli tak, to podać przykład takiego γ. Jeśli nie, to dlaczego taki wektor γ nie istnieje?
4. Przekształcenie liniowe ϕ : R3 → R2 ma w ba- zach A = {(0, 1, 2), (0, 0, 1), (1, 1, 3)} oraz B = {(2, 1), (1, 0)} macierz M (ϕ)BA=
1 1 4 6 1 4
. (a) Obliczyć ϕ((0, 1, 0)).
(b) Znaleźć macierz przekształcenia ϕ w ba- zach C = {(1, 1, 1), (1, 2, 3), (2, 1, 1)} oraz D = {(0, 1), (1, 1)}.
5. Niech A =
1 −2
1 4
i niech A150=
w x y z
.
(a) Czy macierz A jest diagonalizowalna? Jeśli tak, to znaleźć macierz diagonalną podobną do A.
(b) Obliczyć x.
6. Rozpatrzmy hiperpłaszczyznę H ⊆ R4, H = (1, 2, 1, 1) + lin((1, 1, 0, 2), (1, 2, 0, 3), (1, 1, 1, 4)) oraz prostą L ⊆ R4 przechodzącą przez punkty (1, 0, 1, 0) i (3, 1, 2, 4).
(a) Znaleźć równanie opisujące hiperpłaszczy- znę H.
(b) Znaleźć parametryzację prostej L i punkt przecięcia prostej L z hiperpłaszczyzną H.
7. Dane jest zadanie programowania liniowego:
4x1+ x2+ 2x3+ x4+ 5x5→ min przy warunkach:
2x1+ x2+ x3+ x5= 2 3x1+ x2+ 3x3+ x4+ 4x5= 7 x1, x2, x3, x4, x5 0
.
(a) Sprawdzić, czy {2, 4} jest zbiorem bazowym dopuszczalnym dla tego zadania.
(b) Rozwiązać metodą sympleks powyższe za- danie programowania liniowego.
8. Rozpatrzmy formy kwadratowe q1: R3 → R, q1(x1, x2, x3) = x21+ 5x22+ 7x23+ 4x1x2− 2x1x3 oraz q2: R3→ R, q2(x1, x2, x3) = 2x1x2+ 2x2x3.
(a) Czy forma q1jest dodatnio określona?
(b) Czy forma q2jest ujemnie półokreślona?
1
