Geometria z algebrą liniowa I, 2019/2020 ćwiczenia 18. – rozwiązania pracy domowej 6
5 grudnia 2019
1. Niech ϕ : R2→ R3 będzie zadane następująco ϕ((1, −1)) = (1, 2, 1), ϕ((−1, 0)) = (−1, 0, 1). Znaleźć wzór na 2ϕ.
Widać, że (1, 0) = 0 · (1, −1) − 1(−1, 0) (współrzędne: 0,-1) oraz (0, 1) = −(1, −1) − (−1, 0) (współrzędne:
-1,-1). A zatem ϕ((x, y)) = xϕ((1, 0)) + yϕ((0, 1)) = x(−ϕ((−1, 0))) + y(−ϕ((1, −1)) − ϕ((−1, 0))) = x(−(−1, 0, 1)) + y(−(1, 2, 1) − (−1, 0, 1)) = x(1, 0, −1) + y(0, −2, −2) = (x, −2y, −x − 2y).
2. Znaleźć bazy i wymiar jądra oraz obrazu ϕ z poprzedniego zadania.
Mamy imϕ = lin(ϕ(1, 0), ϕ(0, 1)) = lin((1, 0, −1), (0, −2, −2)) – widać że te dwa wektory są liniowo nieza- leżne, więc są bazą wymiaru i dim imϕ = 2. Zatem dim ker ϕ = 2 − dim imϕ = 2 − 2 = 0, zatem ker ϕ = {0}
i baza jest pusta.
3. Niech V1, V2, W będą podprzestrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V taką, że V2 ⊆ W oraz niech ϕ : V1→ V2 będzie izomorfizmem. Udowodnij, że istnieje przekształcenie ψ : V → V , że imψ = W oraz dla każdego α ∈ V1, ψ(α) = ϕ(α).
Na postawie zadania z ćwiczeń, wiemy, że istnieje izomorfizm φ : V → V taki że dla każdego α ∈ V1, φ(α) = ϕ(α). Niech teraz A będzie bazą V2, B jej uzupełnieniem do bazy W , zaś C uzupełnieniem A ∪ B do bazy V . Niech φ0: V → V będzie zdefiniowane poprzez wartości na bazie A ∪ B ∪ C następująco: dla v ∈ A ∪ B niech φ0(v) = v, zaś dla v ∈ C, niech φ0(v) = 0. Zatem ψ = φ0◦ φ spełnia warunki zadania.
4. Niech ϕ : R3→ R2, ϕ((x, y, z)) = (x − 3y + 2z, −3x + 9y − 7z). Rozstrzygnij, czy istnieją przekształcenia ψ1: R2→ R3oraz ψ2: R3→ R2 takie, że ϕ ◦ ψ1= id i ψ2◦ ϕ = id. Uzasadnij swoje odpowiedzi. Jeśli ψ1
lub ψ2 istnieje, podaj wzór na takie przekształcenie.
Widzimy, że imϕ = lin((1, −3), (−3, 9), (2, −7)) = R2, zatem jest to epimorfizm. Oczywiście nie może być monomorfizmem, bo 2 < 3. Zatem nie istnieje ψ2, za to ψ1 istnieje. Możemy wziąć na przykład przekształcenie takie, że ψ1((1, −3)) = (1, 0, 0) oraz ψ1((2, −7)) = (0, 0, 1). Wtedy ψ1((0, 1)) = (2, 0, −1) oraz ψ1((1, 0)) = (7, 0, −3), czyli ψ1((a, b)) = (7a + 2b, 0, −3a − b).
5. Przedstawić macierz
0 1
−1 0
jako iloczyn macierzy Eij(a) (odpowiadających dodawaniu do wiersza innego wiersza przemnożonego przez liczbę).
Mamy:
0 1
−1 0
w1− w2
−−−−−→
1 1
−1 0
w2+ w1
−−−−−→
1 1 0 1
w1− w2
−−−−−→
1 0 0 1
A zatem
0 1
−1 0
= E12(1)E21(−1)E12(1).
1
