Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - problem trzech więźniów Opracowanie: Łukasz Grochal

(1)

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181

Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - problem trzech więźniów

Opracowanie: Łukasz Grochal

Zadanie:

Trzech więźniów, A, B oraz C, siedzi w oddzielnych celach czekając na stracenie. Gubernator wybrał losowo jednego więźnia i ułaskawił go. Naczelnik wie, który więzień został ułaskawiony, ale zabroniono mu tego mówić. Więzień A błaga naczelnika, by ten zdradził mu zatem, który z pozostałych więźniów zostanie stracony: "Jeśli B ma być ułaskawiony, powiedz, że C umrze. Jeśli C ma być ułaskawiony, powiedz, że B umrze. A jeśli ja mam być ułaskawiony, rzuć monetą (symetryczną) i powiedz, że umrze B, gdy wypadnie reszka."

Naczelnik mówi więźniowi A, że B zostanie stracony. Więzień A cieszy się, bo uważa, że jego prawdopodobieństwo przeżycia wzrosło właśnie z ¹₃ do ¹₂, ponieważ został już tylko on i C. Więzień A przekazuje dyskretnie wiadomość naczelnika więźniowi C, który również się cieszy, bo uważa, że szansa na przeżycie A to wciąż ¹₃, natomiast jego szansa wzrosła właśnie do ²₃. Który więzień ma rację?

Rozwiązanie:

Niech A, B oraz C będą zdarzeniami, polegającymi na tym, że odpowiadnio więzień A, B, C zosta- nie ułaskawiony, i niech S_B będzie zdarzeniem, w którym naczelnik mówi, że więzień B nie został ułaskawiony. Mamy zatem:

1. P (A) = P (B) = P (C) = ¹₃ 2. P (S_B | B) = 0

Ze wzoru Bayesa prawdopodobieństwo tego, że A zostanie ułaskawiony, gdy naczelnik mówi mu, że B zostanie stracony, wynosi:

P (A | S_B) = P (S_B | A)P (A)

P (S_B | A)P (A) + P (S_B| B)P (B) + P (S_B | C)P (C)

Szukamy P (SB | A) oraz P (SB | C). Zauważmy, że P (SB | A), czyli zdarzenie gdy otrzymujemy informację, że B zostanie stracony, pod warunkiem, że A będzie ułaskawiony, zależy tylko od wyniku rzutu monetą, a ponieważ jest to moneta symetryczna, to

P (S_B | A) = 1 2

Natomiast P (S_B | C) oznacza prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia polegającego na tym, że naczelnik ujawnia, że B zostanie stracony, podczas gdy C będzie ułaskawiony, a według zasad w zadaniu jest to zdarzenie pewne, zatem

P (S_B | C) = 1

1

(2)

Ostatecznie mamy:

P (A | S_B) =

1 2 · ¹₃

1

2 · ¹₃ + 0 · ¹₃ + 1 · ¹₃ = 1 3

Analogicznie, prawdopodobieństwo ułaskawienia C, gdy naczelnik ujawnia, że B zostanie stracony wynosi:

P (C | S_B) = P (S_B | C)P (C)

P (S_B | C)P (C) + P (S_B | A)P (A) + P (S_B | B)P (B) = 1 · ¹₃

1 · ¹₃ +¹₂ · ¹₃ + 0 · ¹₃ = 2 3

Zatem to więzień C miał rację.

2