Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana
Lista 1. Rozwiązanie zadania 1.3 (b) Opracowanie: Ewelina Starzycka
Zadanie 1.3
(b) • Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie na stronę ORZEŁ. Określ precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną sytuację dla monety symetrycznej. Oblicz prawdo- podobieństwo, że wykonamy mniej niż 6 i więcej niż 3 rzuty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wykonamy parzystą liczbę rzutów.
• Zadanie rozszerzone:
Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie na stronę ORZEŁ. Określ precyzyjnie przestrzeń probabilistyczną modelującą podaną sytuację dla dowolnej monety. Oblicz prawdopodo- bieństwo, że wykonamy mniej niż 6 i więcej niż 3 rzuty. Oblicz prawdopodobieństwo, że wykonamy parzystą liczbę rzutów, i sprawdź, czy prawdopodobieństwo to może wyno- sić 0.5.
Rozwiązanie:
• Ω = {ωn= R . . . R
| {z }
n−1
O, n = 1, 2, . . .}, F = 2Ω,
P określone za pomocą ciągu pn= P ({ωn}) = (1 − p)n−1p, n = 1, 2 . . ., gdzie 0 < p ¬ 1 to szansa na wyrzucenie ORŁA
Sprawdzenie:
1) pn 0 ∀n 2)
∞
P
n=1
(1 − p)n−1p = p
∞
P
k=0
(1 − p)k = p · 1
1 − (1 − p) = p
1 − 1 + p = p p = 1 Zatem (Ω, F , P ) to dobrze określona przestrzeń probablistyczna.
Uwaga: Dla p = 0 mielibyśmy pn = 0 ∀n, a oczywiście nie jest to ciąg określający praw- dopodobieństwo. Dlatego rozważamy 0 < p ¬ 1.
• Niech A = {mniej niż 6 rzutów i więcej niż 3 rzuty} = {ω4, ω5}.
Mamy P (A) = p4+ p5 = (1 − p)3p + (1 − p)4p = (1 − p)3p(1 + (1 − p)) = p(1 − p)3(2 − p) = f (p), gdzie 0 < p ¬ 1. Wykres funkcji f (p), czyli zależności badanego prawdopodobieństwa P (A) od p, przedstawiony jest na rysunku 1.
Wyznaczmy wartość parametru p, dla którego funkcja f (p) osiąga maksimum.
f0(p) = (1 − p)3(2 − p) + p · 3(1 − p)2(−1)(2 − p) + p(1 − p)3(−1) =
= (1 − p)2(2 − 2p − p + p2− 6p + 3p2− p + p2) =
= (1 − p)2(2 − 10p + 5p2) > 0 ⇔ 5p2− 10p + 2 > 0 i p < 1 4 = 102− 4 · 10 = 60
q1,2 = 10±
√ 60
10 = 1 ±√ 0.6 q1 > 1, q2 = 1 −√
0.6 ≈ 0.2254 ∈ (0, 1)
Zatem f0(p) > 0 ⇔ 0 < p < q2 i w p = q2 funkcja f (p) ma maksimum lokalne.
1
Rysunek 1: Wykres zależności prawdopodobieństwa P (A) od p.
Wnioski: Prawdopodobieństwo, że wykonamy mniej niż 6, a więcej niż 3 rzuty wynosi p(1 − p)3(2 − p). Z wykresu znajdującego się na rysunku 1. można wywnioskować, że prawdopo- dobieństwo tego zdarzenia rośnie bardzo szybko do momentu, gdy p = q2 ≈ 0.22. Wtedy szanse na powodzenie są największe. Po przekroczeniu tej wartości prawdopodobieństwo gwałtownie spada, a jego wartość dąży do zera. Z powyższych obserwacji wynika, że prawdopodobieństwo wykonania mniej niż sześciu, a więcej niż trzech rzutów, jest największe, gdy p ∈ [0.2, 0.25].
• Niech B = {parzysta liczba rzutów} = {ω2k, k = 1, 2, . . .}
Dla 0 < p < 1 mamy P (B) = P∞
k=1
p2k = P∞
k=1
(1−p)2k−1p = P∞
k=1
(1 − p)2k (1 − p) p =
∞
X
k=1
p
1 − p((1−p)2)k=
= p
1 − p· (1 − p)2
(1 − (1 − p)2) = p
(1 − p) · (1 − p)2
(1 − 1 + p)(1 + 1 − p) = p(1 − p)
p(2 − p) = 1 − p
2 − p = 1 − 1 2 − p. Dla p = 1 mamy P (B) = 0.
Sprawdźmy, czy P (B) może być równe 0.5. Oznaczmy g(p) = P (B) = 1 − 1
2 − p, gdzie 0 < p ¬ 1. Wykres funkcji g(p), czyli zależności badanego prawdopodobieństwa P (B) od p, przedstawiony jest na rysunku 2.
Rysunek 2: Wykres zależności prawdopodobieństwa P (B) od p.
g0(p) = (2−p)−1 2 < 0 ∀p ∈ (0, 1], czyli funkcja g(p) jest malejąca na (0, 1]. Ponadto g(0) = 0.5.
Stąd P (B) < 0.5 dla każdego p ∈ (0, 1].
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wykonamy parzystą liczbę rzutów wynosi 1−p2−p. Male- je ono wraz ze wzrostem wartości p i zawsze jest mniejsze od 0.5.
2
