Wykład –7-8

WSTĘP

DO FIZYKI JADRA

ATOMOWEGO A O

Wykład –7-8

2

Rozpraszanie elastyczne

• odgrywa zasadniczą rolę w fizyce jądrowej i cząstek elementarnych

• to rozpraszanie, w którym nie ulegają wzbudzeniu żadne wewnętrzne stopnie swobody parametrów zderzenia i całkowita energia kinetyczna pozostaje stała

• to rozpraszanie towarzyszy nieodmiennie wszystkim reakcjom jądrowym

Opis w układzie CM, gdyż:

• suma pędów przed i po zderzeniu jest równa zeru

• cząstki rozbiegają się po zderzeniu pod kątem 180^o

• istnieje tylko jeden kąt rozpraszania θ

• energia kinetyczna dana jest przez E=m_r

v

gdzie v jest prędkością względną, a m_r masą zredukowaną m_r=m₁m₂/(m₁+m₂)

• w tym układzie problem rozpraszania to rozpraszanie jednej cząstki o zredukowanej masie m_r na centrum siły zlokalizowanym w początku układu współrzędnych

4

Stacjonarny opis rozpraszania elastycznego

Pytanie o kątowy rozkład elastycznie rozproszonych

cząstek przy zadanym potencjale rozpraszającym

Założenie

• mamy do czynienia z lokalnym potencjałem centralnym

(siła działa zawsze w kierunku centrum rozpraszającego)

• potencjał winien być krótkozasięgowy

(w praktyce wystarczy założenie, że w dużych odległościach od centrum rozpraszającego potencjał maleje silniej niż 1/r)

• w mechanice klasycznej proces zależy od czasu

(w kwantowej oznacza to, że mamy do czynienia z pakietami falowymi –

nadbiegający pakiet po spotkaniu centrum rozpraszającego rozchodzi się jako pakiet fal kulistych)

6

Padająca fala płaska i rozbiegająca się fala kulista w rozpraszaniu elastycznym.

detektor

θ

przysłona

z

• graniczny przypadek – wiązka biegnąca w kierunku osi z mająca dokładnie określone wartości energii

(dokładnie określony pęd p_z pociąga za sobą duże rozmycie fali z kierunku z – rozpraszanie można więc przez pewien czas traktować jako stacjonarne Ponieważ

zachodzi też to i falę możemy

traktować jako falę płaską

• z centrum rozpraszającego

wybiega następnie stacjonarna fala kulista

y x

y

x p

p = = 0 = η/Δ = η/Δ _{Δ ,x Δ y → ∞}

r

z

ϕ _z ^{p k}

k

ηρ ρ Δ

=

=

= λ

π 2 1

r kz kr z kr

r

k^ρ⋅ ^ρ= ^cosϕ = =

Fala płaska – linia przerywana to kolejne czoła fal.

8

Fala płaska nadbiegająca (i rozchodząca się w kierunku z to

Fala kulista rozbiegająca się to

( )

[

]

[

( )

]

^[

^{( )}

^]

exp ρ⋅ ρ− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ρ⋅ ρ =

ω

( ) ^{i k r / r}

exp ρ ρ

⋅

Całkowita funkcja falowa dla procesu stacjonarnego poza obszarem oddziaływania to

( ) ^{r A} [ ^e

^f ( ) ^e

^r ]

T

ρ

/

+

= θ

ψ

Zależność amplitudy fali rozproszonej od kąta rozproszenia θ

Określony przez warunki brzegowe i warunek normalizacji

10

Związek f(θ) – (dσ/dΩ)

• gęstość cząstek P (cm^-3) dana przez P=Ψ^*Ψ

• strumień cząstek padających z prędkością v_e wynosi je=v_eP (s^-1 cm^-2)

• dla fali padającej zachodzi P=|Ae^ikz|²=A² więc j_e=A²v_e

• strumień cząstek rozproszonych – j_a – to to strumień dI cząstek przepływających przez element powierzchni dF dany przez

(s^-1)

• ponieważ dF=r²dΩ to

( )

( )

2dF v Af e / r dF v A f dF / r

v dF

j_a = _aψ _a = _a θ ^ikr = _a θ

( ) ^Ω

= v A f d

dF

j

θ

• różniczkowy przekrój czynny

jest równy kwadratowi modułu amplitudy rozpraszania

• formalnie otrzymamy to również posługując się kwantowym wyrażeniem na strumień cząstek

( ) ^θ

σ

j dF j

d

d _{ve va}

e

a ⎯⎯ →⎯

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω

=

[

]

2

ψ

ψ

ψ

ψ

= mi

j η

12

Rozkład na fale cząstkowe

By odpowiedzieć na

pytanie o kątowy rozkład elastycznie rozproszonych cząstek przy zadanym potencjale rozpraszającym

trzeba wyznaczyć amplitudę rozpraszania f(θ)

• punktem wyjścia do rozwiązania zagadnienia rozpraszania Rutherforda jest parametr zderzenia b

• w klasycznym opisie zderzenia każdej wartości b odpowiada dokładnie określony kąt rozproszenia θ

• strumień cząstek padających dzielimy na strefy

koncentryczne o promieniach zawartych między b i b+db i dla każdej strefy określa się odpowiedni zakres kątów

rozproszenia

• w przypadku kwantowym postępuje się podobnie

• ponieważ pęd p jest jednakowy dla wszystkich padających cząstek to cząstka o parametrze zderzenia b ma moment pędu bxp

14

λ 2λ 3λ 4λ

x

y Rozkład wiązki padającej na strefy

koncentryczne w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku biegu wiązki. Jedna ze stref

wyróżniona

• dla każdej strefy

• cząstka padająca w odległości ma moment pędu

• zgodnie z tym klasycznym obrazem cząstki poruszające się w l-tej strefie mają momenty pędu zawarte między

Δ η η = /

= k p

Δ

= l b

η Δ l pl =

= pb

( )^η

η i l +1 l

• związany z tą strefą całkowity przekrój czynny σ_l jest równy jej powierzchni

• dla ustalonej energii (ustalonej długości fali padającej

cząstki, tylko od zasięgu potencjału rozpraszania zależy ile różnych wartości l będzie wnosić do sumarycznego

przekroju czynnego

• dla uzyskania ilościowych informacji należy padającą falę płaską exp(ikz) rozłożyć na funkcje własne należące do

( ) ¹

^Δ

^π

^Δ

( ^{2 1} ) ^{π Δ}

π

σ

= l + − l = l +

16

• ostateczne rozwinięcie fali płaskiej to

gdzie j_l(kr) – sferyczne funkcje Bessela, P_l(cosθ) zwykłe wielomiany Legendre’a

• zależność gęstości strumienia cząstek od promienia jest przy ustalonej wartości l opisywana przez [(2l+1)j_l(kr)]²

• dla rosnących l najbardziej prawdopodobna odległość od centrum rozpraszającego staje się coraz większa

( ) ( ) (

)

θ 2 1 cos

0 cos

l l

l l

ikr

ikz e l i j kr P

e

∑

=

+

=

=

• w rozwiązaniu problemu rozpraszania interesuje nas amplituda w dużej odległości od centrum, więc w równaniu

zamiast dokładnej postaci funkcji Bessela wstawmy przybliżenie

( ) ( ) (

)

θ 2 1 cos

0 cos

l l

l l

ikr

ikz e l i j kr P

e

∑

=

+

=

=

( )

l kr

kr

j_l ^{r l}

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎯

⎯ →

⎯ ^>>

2 π sin 1

η

18

ponieważ

to

padająca fala płaska opisana w dużej odległości od centrum

(

)

ϕ = i e⁻ⁱ − eⁱ 2

sin 1

( ) ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

⎯→

⎯ ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

−i kr lπ i kr lπ

l e e

kr kr i

j ²

1 2

1

2

( ) (

)

ψ 2 1 ^{π π} cos

2

1 ₂^{1 1}₂

0

1

l l

kr i l

kr i

l

l ikz

e l i e e P

e kr

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+

=

= ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞ −

=

∑

( ) (

)

ψ 2 1 ^{π π} cos

2

1 ₂^{1 1}₂

0

1

l l

kr i l

kr i

l

l ikz

e l i e e P

e kr

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+

=

= ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞ −

=

∑

• padająca fala płaska zapisana została w postaci fal

kulistych, o kątowej zależności amplitud opisanej przez P_l(cosθ)

i pierwsza funkcja wykładnicza przedstawia zbiegającą się, a druga rozbiegającą się falę kulistą

• w dużych odległościach od centrum rozpraszającego każde rozwiązanie równania Schrödingera dla cząstki swobodnej można rozwinąć w podobny sposób

20

( ) ^{r A} [ ^e

^f ( ) ^e

^r ]

T

ρ

/

+

= θ

ψ

• dla „wyłączonego” potencjału rozpraszającego rozwinięcie funkcji ψ_T ≡ ψ_e bo mamy do czynienia tylko z falą padającą

• „włączenie” potencjału zmienia tyko falę rozbiegającą się – lecz ponieważ proces jest elastyczny, to nie zmienia się

liczba falowa natomiast zmianie ulega tylko amplituda i faza

• dla „włączenia” tych zmian mnożymy wybiegającą falę kulistą przez czynnik η_l będący w ogólnym przypadku liczbą zespoloną

( ) ^η ( ^θ )

ψ

2

1 ₂¹ ₂¹

0

1

l l

kr i l l

kr i

l

l

T l i e e P

kr ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+

= ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞ −

=

∑

zachodzi jednak

ψ

= ψ

+ ψ

gdzie

( )

r f e

ikr

a

θ

ψ ⁼

22

( )

( ) (

) (

)

ψ 2 1 1 ^π cos

2

1 ₂¹

0

1

l l kr i l l

l e

T ikr

a l i e P

kr r

f e ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞

=

+ −

+

=

−

=

=

∑

i bezpośrednio amplituda rozpraszania

wykorzystując, że

( ) ∑

( )( ) ( )

=

− +

=

0

cos 1

1

2 _l 2l ^l P^l k

f θ i η θ

( ^{/ 2} )

exp l i

i

= π

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 0

* 2 1 1 cos

4

1

∑

=

− +

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω _l l ^l P^l

f k d f

dσ θ θ η θ

θ

Problem rozwiązany, ale jak znaleźć η_l? – to później

Ile wynosi

całkowity przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne?

Ω Ω

= ∫ _d ^{d d}

s

σ σ

24

korzystamy z własności wielomianów Legendre’a

otrzymamy

czyli całkowity przekrój czynny na rozproszenie rozkładamy na sumę przekrojów

( ) (

)

1 2

cos 4 cos

4

ll l l

d l P

P θ θ π δ

π Ω = +

∫

( )

2 2 1 1 _l

l

s l

d k d

dσ π η

σ ⎟ + −

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ Ω Ω

=

∫ ∑

( )

2

,_l

2 1 1

s

π l η

σ = Δ + −

porównując

z

otrzymujemy, że ścisłe traktowanie problemu zmieniło przybliżony wynik o czynnik ⏐1-η_l⏐²

Czy w oparciu o wyniki otrzymane dla rozpraszania elastycznego można wyliczyć przekrój czynny

( )

2

,_l

2 1 1

s

π l η

σ ^{= Δ + −}

( ¹)²Δ² π ²Δ² (^{2 1})πΔ² π

σ _l = l + − l = l +

26

reakcja - każdy proces inny niż rozpraszanie elastyczne dla rozpraszania elastycznego

gdyż przez dowolną powierzchnię kulistą wokół centrum rozpraszającego wbiega i wybiega tyle samo cząstek

w przypadku obecności reakcji jądrowych tak nie jest:

istnieje pewien nie znikający strumień wypadkowy cząstek padających

= 0

∫ ^j

^d Ω

W przypadku rozpraszania elastycznego przekrój czynny na rozpraszanie definiowało się jako:

• dla obliczenia przekroju czynnego reakcji weźmy całkowity strumień j_T związany z ψ_T

e a

j r j d

d = ²

Ω σ

∫ ^Ω

= j r d j

r

1

σ

28

[

]

2

ψ

ψ

ψ

ψ

= mi

j η

•

j

liczymy z

oraz z

a całkowanie uwzględnia związek

i otrzymujemy

( ) ^η ( ^θ )

ψ

2

1 ₂¹ ₂¹

0

1

l l

kr i l l

kr i

l

l

T l i e e P

kr ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

+

= ^⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

∞ −

=

∑

( ) (

)

1 2

cos 4 cos

4

ll l l

d l P

P θ θ π δ

π Ω = +

∫

( ) ( )

∑ ^{+ −}

=

l

l

r

l

k

2

2

2 1 1 η

σ π

analogicznie do przekroju na rozpraszanie również przekrój czynny reakcji daje się przedstawić w postaci sumy

przekrojów

( ) (

)

2

,_l

2 1 1

r

π l η

σ = Δ + −

że przekrój czynny reakcji σ_r,l=0 jeśli ⏐η_l ⏐ =1 wniosek

dla ⏐η ⏐ =1 w wybiegającej fali nie ma żadnych

30

( ^{2 1} )

2 ,

max

,

=

= l +

l

r

σ π Δ

σ

dla η_l=0

• reakcji towarzyszy więc również fala rozproszona i

największą wartość przekroju czynnego na rozpraszanie otrzymamy dla

η

=-1

( ^{2 1} )

4

max

,

= l +

l

s

π Δ

σ

max max

,

,

4

l r l

s

σ

σ =

gdyż podczas rozpraszania elastycznego fale padające i rozproszone mogą interferować – i przy interferencji wzmacniającej amplituda ulega podwojeniu pociągając za sobą czterokrotny wzrost przekroju czynnego

32

W przypadku czystego rozpraszania elastycznego stosowany jest inny opis

• przyjmując wprowadza się rzeczywisty kąt δ zwany „przesunięciem fazowym”

• korzystając z przekształcenia

• i z

• otrzymamy

i l

l e ^δ

η = ²

( ^δ )

δ δ ⁱ

i e

e 1 ²

2 sin = 1 −

( ) ∑^∞ ( )( ) ( )

=

− +

=

0

cos 1

1

2 _l 2l ^l P^l k

f θ i η θ

( )

_∑ (

) (

) ^{( )}

_∑ ⁽

^{) ( )}

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

l l

l l i

l

i P l e P

e k l

f θ i 2 1 1 ^δl cosθ 2 1 ^δl sinδ cosθ 2

2 Δ

• korzystając z

• dostajemy

( ) (^' ) ^'

1 2 cos 4

cos

4

ll l l

d l P

P θ θ π δ

π Ω = +

∫

( ) ( )

l

s

f θ d π l δ

σ ⁼ ∫

^{Ω =} 4 ^Δ

∑ 2 ⁺ 1 sin

34

Przypadek rozpraszania cząstek o l=0 (rozpraszanie w fali s)

• tu ponieważ

• to z

• wynika, że

przekrój jest izotropowy

(

)

0

θ

P

( )

_∑ (

) (

) ^{( )}

_∑ ⁽

^{) ( )}

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

l l

l l i

l

i P l e P

e k l

f θ i 2 1 1 ^δl cosθ 2 1 ^δl sinδ cosθ 2

2 Δ

0 0

e

sin δ

f = Δ

• całkowity przekrój czynny

tzn, że centrum rozpraszające działa jak kula o promieniu f₀

• wartość graniczną wielkości –f₀ dla bardzo dużych długości fali padających cząstek nazywamy „długością rozpraszania a”

2 0 0

2 2

0

4 π sin δ 4 π f

σ = Δ =

( ^f ) ^a

k_→0

−

=

lim

36

że przekrój czynny na rozpraszanie w fali s zależy tylko od przesunięcia fazowego δ₀

fizycznie taki przypadek jest realizowany, gdy λ jest duże w porównaniu do średnicy obszaru działania potencjału rozpraszającego

Długość fali neutronu (fm) dla różnych energii

E 1eV 1keV 1MeV 100MeV

λ 4500 140 4.5 0.45

więc dla jądra o średnicy ~6fm rozpraszanie termicznych i powolnych neutronów mamy do czynienia z falą s

38

Przykład rozpraszania

dla zadanego potencjału rozpraszającego

V₀

R₀

E r V(r)

Problem rozpraszania rozwiążemy w dowolnym przypadku, dla którego jesteśmy w stanie podać wartości δ_l.

Jak to zrobić?

Rozważmy rozpraszanie w fali s na przyciągającym, sferycznie symetrycznym potencjale prostokątnym

• dla fal s istnieje tylko jedna wartość przesunięcia fazy δ₀ (szukamy więc związku między δ₀ i parametrami potencjału prostokątnego)

• poszukujemy rozwiązań równania Schrödingera dla r<R₀ i r>R₀ spełniające warunek ciągłości dla r=R₀

• ponieważ potencjał zależy tylko od r to rozwiązania

równania dają się rozseparować, a ponieważ przyjmujemy rozpraszanie w fali s to l=0 i Θ(θ)Φ(ϕ)≡1

• przy podstawieniu

u(r)=rR(r)=rψ

i dla l=0 równanie Schrödingera przyjmuje postać

40

[

]

k² = 2m₂ −

η ^{k = 1 2m}

[

]

η

ikr

ikr

e

e

u = α + β

gdzie

• dla stałego V równanie ma rozwiązanie

• jako warunek brzegowy przyjmijmy by dla r=0

rozwiązanie u_i=0 (w przeciwnym razie ψ=u/r będzie rozbieżne)

• podstawienie r=0 daje α+β=0, czyli β=-α i rozwiązanie przyjmuje postać

( ^{k r i k r} ) ( ^{k r i k r} )

u

= α cos

+ sin

+ β cos

− sin

[

]

1 2

V E

m

k

= +

η

• w obszarze wewnętrznym r<R₀ (oznaczany indeksem i V(r)=-V₀ mamy

• i rozwiązanie w postaci

42

• w obszarze zewnętrznym r>R₀ (indeks a) otrzymujemy

gdzie

• dla r=R₀ z warunków ciągłości funkcji i ich pochodnych wynikają równania

[ ] ^{( )}

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= +

=

−

=

= ⁻

a a

a i a

i a r

ik i

r ik a

T

T k r k

k r e

k k e

e e

k e r i

u ^{a 2 a} 1 sin ₀ sin ⁰

2

0 0

0 δ δ

ψ ^{δ δ δ}

mE k_a 1 2

= η

( )

(

)

0 0

0

cos cos

sin 1 sin

0

0

R k Ak

R k e

R k A

R k k e

i i

a i

i a

i a

= +

=

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

δ

δ

δ

δ

• dzieląc stronami dostajemy

• otrzymamy szukaną wartość

• tu δ₀ jest jednoznacznie określone przez R₀,

(

)

(

)

1 tg k R

R k k

k_a tg ^a _i ⎟⎟ ⁱ

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ δ

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ + ⎛

−

=

0

tgk R

k arctg k

R

k

i a a

δ

44

• wyznaczenie δ₀ przez takie parametry jak R₀, energia cząstek E (za pośrednictwem k_a) i V₀ (za pośrednictwem k_i)

pozwala wyznaczyć przekrój czynny na rozpraszanie

Pytanie zasadnicze

czy takie samo δ₀ otrzymamy dla różnych kombinacji R₀ i V₀

Odpowiedź –

tak

Pytanie zasadnicze

jakie informacje uzyskujemy w rzeczywistości z pomiarów rozpraszania

46

• ograniczmy się ponownie do neutronowych fal s

• do zbadania wpływu potencjału na funkcje falowe

- rozważmy funkcję u(r) będącą poprawnym rozwiązaniem równania Schrödingera wewnątrz potencjału prostokątnego

• i na zewnątrz

- oraz funkcję v(r), która dla r>R₀ jest identyczna z u(r) natomiast w obszarze potencjału nie zależy od niego i v(0)=1, czyli

r k u

∝ sin

(

)

sin + δ

∝ k r

u

( ) ( )

0 0

sin sin

δ δ

≡ k r + r

v

2 0

'' + uk = u

• ograniczmy się do krótkozasięgowego potencjału rozpraszania o brzegu w R₀

• jeśli rozważymy przypadek graniczny E→0 to:

•

• równanie Schrodingera redukuje się do

• tzn. u₀ ma na zewnątrz potencjału postać

• wynik jest identyczny z graniczną postacią dla fal nieskończenie długich

0 1 2

k_a = mE → η

'' = 0 u

(^{r a})

c u₀ = −

( )

sin + δ

∝ k r u

48

• zgodnie z definicją v₀ jest zarówno w obszarze wewnętrznym jak i zewnętrznym określona przez

przy czym stała c winna być dobrana tak by v₀(0)=1, tzn.

lub

• z drugiej strony

(^{r a})

c u₀ = −

c = − a1

a v₀ = 1− r

( )

0 0

0

0 1

sin

sin δ

δ

δ k rctg

r k

a

a + ⎯k⎯ →_a⎯_→ +

ctg a

k

1

−

δ =

• więc amplitudę rozpraszania f₀ można zapisać jako

• przechodząc z k_a do zera i porównując z

• dostajemy

• wynika stąd, że całkowity przekrój czynny

czyli w granicznym przypadku bardzo małych energii cząstek

padających proces przebiega tak jakby rozpraszane były wszystkie

a a

i

a e k ctg ik

f k

= −

=

0 0

0

sin 1 1 ₀

δ δ

δ

ctg a

k_a 1

− δ =

a f

ka

−

=

→ 0

lim

2 0

4 a π

σ =

50

• każdy potencjał dający taką samą długość rozpraszania, daje taki sam przekrój czynny dla E→0.

r 1 v₀(r)=1-r/a

u₀(r)

wewnątrz

u₀(r)=v₀(r) zewnątrz R₀

a

Długość rozpraszania a.

Przybliżenie Borna

metoda obliczania przekrojów czynnych dla cząstek o dużych energiach

• tu w postaci fali płaskiej przedstawia się cząstki padające i rozproszone

• wektor fali padającej oznaczmy przez k a fali rozproszonej przez k’

• podczas elastycznego rozproszenia ulega zmianie tylko kierunek wektora k

• cząstki opisują więc funkcje

(padające) (rozproszone)

( )^kr

e

τ

1 ¹ _e

( )

τ

52

• prawdopodobieństwo przejścia ze stanu początkowego do końcowego to

gdzie U(k,k’) to element macierzowy dla danego przejścia dn/dE₀ to liczba możliwych stanów końcowych na przedział energii

• by wykorzystać powyższy związek musimy założyć, że

potencjał rozpraszający można traktować jako ‘zaburzenie’, tzn. że E>>V₀.

( ) ( ) ( )

0

' 2

2 , '

, = s⁻

dE k dn

k U k

k

W η

π

• oznaczmy przez W_θ(k,k’) prawdopodobieństwo rozproszenia w kąt dΩ w kierunku kąta θ. Wówczas

• dla fal płaskich typu

• i potencjału V(r) macierzowy element przejścia to

) (

/ ) ' ,

( k k j cm

d W

d

θ

σ ₌

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω

( )kr

ei

τ

1 ¹ _eⁱ( )^k'r

τ

( ) ^{( )} _∫ ^{( )}

∫

=

τ

τ τ

τ

k

Uk 1 ^{ik' r * ik r} 1 ^{i k k ' r} '

,

54

• na podstawie rozważań z modelu jądra jako gazu Fermiego mamy gęstość stanów jako

• po połączeniu równań i wstawieniu j=v/τ otrzymamy

• powyższe wyrażenie można ponownie traktować jako kwadrat amplitudy rozpraszania f(θ).

• określając wielkości zmiany

( )

(

)

0 2

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ MeV

v p dE

dn

πη τ

θ

( ) ( )

' 4 4 ,

2 2 '

4 3 2 2

2 2 4 2

2

cm d

e r m V

k k v U

p d

d _{i k k r}

∫

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω τ

π π

τ σ

θ η η

η ρ ρ

ρ ρ

η ρ ρ

ρ

ρ q

k k

k k

p p

q = − '= ( − '), − '=

• otrzymujemy

dla

• określenie zakresu stosowalności nie jest łatwe.

( ) ^θ

σ

Ω

( ) ( )

2

/

2 V r e d cm

f m ^{i q r} τ

θ ^{= −}π_η

∫

56

Przyjmijmy bez dowodu, że dla

równanie

stanowi wystarczająco dobre przybliżenie, a R₀ oznacza zasięg potencjału

1 1

/ 1

0

k ± V E − <<

R

( ) ( )

' 4 4 ,

2 2 '

4 3 2 2

2 2 4 2

2

cm d

e r m V

k k v U

p d

d _{i k k r}

∫

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

Ω τ

π π

τ σ

θ η η

Wyliczenia dla potencjału centralnego

• niech oś z ma kierunek wektora q

• kąt rozpraszania niech będzie zdefiniowany w układzie współrzędnych r,θ,ϕ, którego oś z ma kierunek k. W tym układzie

• czyli

' ' '

sin

' cos

2 θ θ ϕ

τ

θ

d drd r

d

qr r

q

=

=

⋅ ρ ρ

( ) ( )

∫

∫∫∫

0 0 0

2 ' cos /

/ d e r sin 'drd 'd '

e ^{i η q r i η qr}

58

• mamy

• to znaczy, że

• po wykonaniu całkowania względem współrzędnych kątowych otrzymamy amplitudę rozpraszania

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

dzdr e q

i r

e ^{i qr i qr}

qr i

qr i

z

∫

∫ ∫

∞ − = − −

−

0

/ /

0 /

/ 2 /

2 /

η η

η η η

η

π π

( ) ( ) ( ) _{r dr}

qr dr qr

qr q r

d

e ^{i qr 2}

0 0

/ 4

/ / / sin

4π sin π

τ

∫ ∫

∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

qr r qr

q V dr m

qr r

r q V

f m ²

0 2 0

/ 4 / sin

/ 2

2 sin π

θ ^{= −} _η

∫

∫