ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Séria I: PRACE MATEMATYCZNE XXV (1985)
RoSc isl a w Ra b c z u k e t Zb ig n ie w Ro m a n o w ic z (Wroclaw)
Sur les périodes principales de là somme et du produit des fonctions périodiques
On sait que les opérations arithmétiques effectuées sur les fonctions réelles périodiques ayant les périodes commensurables conduisent aussi aux fonctions périodiques.
Il est aisé de voir que si les fonctions réelles / et g ont les périodes principales commensurables a et b respectivement, la période principale de la somme, par exemple, même s’il existe, depend non seulement des nombres a et b mais aussi de la forme des fonctions / et g.
Néanmois le théorème suivant a lieu:
Th é o r è m e 1. Si les fonctions f g: R -> G étant un groupe arbitraire muni de Toperation -, ont les périodes commensurables a et b respectivement et si la fonction fg a la période principale c, il existe les entiers positifs p, q, r tels que
(1) pa = qb = rc, où {p, q) = {q, r) = {p, r) = 1.
D é m o n s t r a t i o n . Il existe les entiers positifs p et q, (p, q) = 1 tels que pa = qb et le nombre pa est évidemment la période de la fonction fg.
Par suite, si c est la période principale de la fonction fg, il existe un entier positif r tel que pa = rc. Les nombres p, q, r sont détérminés de façon unique. Si l’on avait (p, r) = d > 1, cela aboutirait à l’égalité px a = r x c, où pl , r l e N , N étant l’ensemble des entiers positifs, p = pl d, r — r1d et {Pi, ri) — 1- Par suite, le nombre b comme la période principale de la fonction g = f ~ 1{fg) aurait dû satisfaire à la condition
Pi a = <?! b, q ^ N , Pi < p.
Il y a une contradition car pa = qb et (p, q) = 1. On a donc (p, r) = 1 et, de même, on obtient (q, r) = 1.
Remarquons que si G est un groupe topologique et les fonctions f et g ayant les périodes principals commensurables, sont continues en un point
x0eR et fg Ф const, la fonction fg possède, elle aussi, la période principale.
Cela résulte du fait que si / est continue, périodique et si l’ensemble de ses périodes est dense dans R, alors / est constante (voir [1], [2]).
124 R. R abczu k et Z. R o m a n o w ic z
On peut se poser la question naturelle suivante. Est-ce que pour tous les trois entiers positifs a, b, c satisfaisant à la condition (1), il existe les fonctions /, g, h: R - * G de périodes principales a, b et c respectivement telles que
h = f g ?
Dans le cas où nous envisageons les suites, c’est-à-dire les fonctions définies sur l’ensemble des entiers Z, la réponse affirmative a été donnée par M. Schinzel en 1974 moyennant l’exemple ci-dessous qui n’a été nulle part publié (nous le citons avec le consentement de l’auteur).
Soient a, b, c les entiers positifs satisfaisant à la condition
nl a = n2b = n3c, où (и,-, rij) = 1, i , j = 1 , 2 , 3 .
Alors tout entier positif divisible par (a, b, c) (1) peut se mettre sous la forme ta + ub + vc, t, u, v eZ et si
t 1a + u1b + vl c — t2a + u2b + v2c, on a
?! = f2(mod щ), «i = u2(mod n2), = p2(mod n3).
En posant
a„ = b„ = 1, c„ = 2 pour п ф 0 (mod (a, b, c)) et puis, si n = ta + ub + vc,
1 pour U = 0 (mod n2) et V = 0 (mod из), 2 pour U = 0 (mod n2) et V Ф 0 (mod Из), ou и Ф 0 (mod n2) et V == 0 (mod Из), 3 pour и Ф 0 (mod n2) et V Ф 0 (mod Из), 3 pour t = 0 (mod щ) et V = 0 (mod n3), 2 pour t = 0 (mod щ) et V Ф 0 (mod n3), ou t Ф 0 (mod «i) et V = 0 (mod n3), 1 pour t Ф 0 (mod щ) et V Ф 0 (mod n3), 3 pour t Ф 0 (mod «t) et U = 0 (mod iИ2), 4 pour t = 0 (mod «i) et U = 0 (mod И2), ou t Ф 0 (mod «i) et UФ 0 (mod ,И2), 5 pour t = 0 (mod «i) et UФ 0 (mod iп2),
(1) L’écriture (a, b, c) désigne le plus grand commun diviseur des nombres a, b, et c.
on obtient les trois suites an, bn et cn de périodes principales a, b et c respectivement telles que
a„ + b„ = cn.
Il est aisé de vérifier l’égalité ci-dessus ainsi que la périodicité des suites a„ et bn ayant les périodes principales a et b respectivement.
Pour montrer que le nombre c est la période principale de la suite cn admettons que cette période soit égale à d.
Il est clair que d\c et on a cd = 4. Par conséquant, d = 0 (mod (a, b, c)) et d — t0a + u0 b + v0c, d’où
(2) «i d = («! t0) a + (nt u0) b + K v0) c,
(3) n2d = (n2t0)a + (n2u0)b + {n2v0)c.
Comme c„ld = c„2d = 4 donc en vertu de la définition des suites en question et de l’égalité (2) on a nx u0 = 0 (mod n2) et d’après (3) on obtient n210 = 0 (mod Wj). Par suite,
u0 = 0 (mod n2), t0 = 0 (mod n j , d = 0 (mod c), et vu d\c on obtient d = c, ce qui achève la démonstration.
Dans ce travail nous présentons une méthode générale de la résolution de l’équation
fg = h
dans la classe des fonctions de périodes principales a, b et c satisfaisant à la condition (1).
En principe nous allons borner nos considérations aux suites pério
diques. Par la suite nous supposerons, bien que cela ne soit pas partout indispensable, qu’il s’agit de fonctions prenant les valeurs d’un certain groupe abélien non trivial G.
En premier lieu il nous faudra étudier quelques propriétés des suites périodiques qui nous seront utiles plus tard.
Le m m e 1. Si rentier positif a est la période de la suite f: Z -» G et b e N, le nombre a/(a, b) est une période de la suite f , f ( n ) = f ( i + nb) pour tout i e Z . Si, de plus les suites f possèdent la période principale commune c, les nombres b/(a, b), a sont premiers entre eux et a est la période principale de la fonction f Г égalité c = a f a , b) a lieu.
D é m o n s t r a t i o n . Comme ab/(a, b) est un multiple du nombre a, donc f ( n + a/(a, b)) =f {n ), i, n e Z,
et par conséquant a/(a, b) est la période de f .
126 R. R abczu k et Z. R o m a n o w ic z
Pour montrer la seconde partie du lemme observons que
Comme
forme к ---- —+ /a, k, le Z. En particulier 1 = k t + Alors on a
(a, b) (a, b)
forme к
où kb/(a, b) = i + kb, i e {0, 1, ..., b — 1}, k e Z . Il en résulte aussitôt que
donc a\c(a, b) c’est-à-dire -— — c.
D’où vient, compte tenu de (4), c = a/(a, b), ce qui achève la démonstration.
Lemme 2. Soit f : Z- +G. Si pour tout ie {0 , — 1} la suite f 1, n) = f ( i + ari), a la période d x et pour tout j e { 0, 1, b — 1} la suite J)2, f j 2{n) = / (j + nb), a la période d2, la suite f a la période (adlt bd2).
D é m o n s t r a t i o n . Tout entier m peut se mettre sous la forme i + nia, i e { 0, 1, ..., a — 1}, nl e Z . Alors on а
De même, en posant m = j + n2b, j e { 0, 1, ..., b — 1}, n2e Z , on obtient
Par conséquent les nombres adt et bd2 sont les périodes de la suite. Il s’ensuit que le nombre (adb bd2) est aussi une période de cette suite, ce qui achève la démonstration.
Pour tous les deux entiers positifs b et c, (b, c) = 1, désignons par Q(b,c) l’ensemble de toutes les suites périodiques /: Z - > G de période bc satisfaisant à la condition
Soit de plus Q°(b, c) le sous-ensemble de Q{b, c) se composant de telles suites auxquelles le nombre bc est la période principale. Les suites appartenant à la classe Q(b, c) vont jouer un rôle important dans nos considérations ultérieures vu le lemme suivant.
/( m + adi) = f ( i + {n1+ d 1)a) =f( m) .
f (m + bd2) =f ( m ) .
(5) f ( n b + mc) = f ( n b ) - f ( m c ) f 1 (0), n , m e Z .
Lemme 3. Soient les trois entiers positifs a, b, c premiers entre eux par couples. Si f g, h: Z -> G, h —fg et les nombres bc, ac, ab sont les périodes, respectivement, de ces suites, on a
f e Q ( b , c ) , g e Q ( a , c ) , he Q( a, b) .
D é m o n s tr a t io n . On va montrer seulement que f eQ(b, c). Quels que soient les entiers positifs к, l on a
h (kac) = / (kac -f lab) • g (lab) = / (kac) • g (0), MO) = f (lab) ■ g (lab) =f(0)-g(0),
d’où
(6) / (kac + lab) = f ( k a c ) - f ( l a b ) - f ~ 1( 0).
Comme les nombres a, b, c sont premiers entre eux par couples donc le nombre n b eZ , est de la forme rqab + m ^ c , n1, m l e Z et le nombre me, me Z, peut se mettre sous la forme n2bc + m2ac, n2, m2e Z . Par suite en vertu de (6) et l’hypothèse concernant la périodicité de f, on obtient sans peine
/ (nb + me) = / {nb) •/ (me) -f ~ 1 (0), ce qui achève la démonstration.
A présent il nous faudra étudier quelques propriétés des suites appartenant à la classe Q(b, c).
Lemme 4. Si f eQ{b, c), on a
f { i + nb + me) = f ( i + nb) ■f( i + me) • / " 1 (i) quels que soient i, m, ne Z.
D é m o n s tr a t io n . Comme i — n^ b + ml c, nl5 mt e Z , donc en vertu de (5) on a
f { i + nb + mc) = f ( ( n + n1)b)-f((m + m1) c ) - f ~ l { 0), / (i + nb) = /( ( « + «!) b) • / (mx c)-f " 1 (0), f ( i + mc) = / ( « ! b)-f({m + ml) c ) - f ~ l (0),
/ ( i ) = / K b) -f (mlC) - f - l (0), d’où vient immédiatement la thèse du lemme 4.
Lemme 5. Si f eQ(b, c), les suites f 1, où ffiri) = f ( i + nb), i e Z , ont les mêmes périodes principales.
De même, les suites f 2, f 2(ri) = f ( i + nc), i e Z , ont les mêmes périodes principales.
D é m o n s tr a t io n . Comme i = nl b + mi c, nl , m 1e Z , donc d’après la
128 R. Ra bc zuk et Z. R o ma n o w i c z
définition de la classe Q(b, c) on a
f X(n) = f o ( n + nl) - f ( m i c ) - f ~ l {0),
et par conséquent chaque période de la suite f 1 est la période de la suite f c et vice versa.
Lemme 6. Si f e ü ( b , c) est le nombre bx cx, où bx\b et cx\c, est la périod de f on a f e Q ( b x, cx).
D é m o n s tr a t io n . Soient b = bx b2 et c = c1c2. Comme le nombr nbl +mci , n , m e Z peut se mettre sous la forme nx b + mx c, nl , m l e Z , oi nx b2 = «(mod Ci) et mx c2 = m(mod bx), donc compte tenu de l’identité (5) e la périodicité de / ayant, par l’hypothèse, la période bx cx, on obtient
f { n b x + mc1) = f ( n x b) -/(m i c) • / " 1 (0) = f ( n b 1) •f ( m c 1) • / " 1 (0), par suite f e Q ( b x, c x).
Lemme 7. Si f eQ(b, c) et les entiers c 1 et bx, où cx\c et bx\b sont les périodes des suites f 1 et f 2, où f 1 (n) =f(nb), f 2(n) =f( nc) respectivement on a f e Q ( b t , cx).
D é m o n s tr a t io n . En vertu du lemme 6 il suffit de montrer que le nombre bl c i est la période de la suite /. Il est aisé de voir en se basant sui le lemme 5, que le nombre cl est la période de la suite f 1, f l {n) = f ( i + nb).
i e Z . De même, le nombre bl est la période de la suite f 2, / 2(n) = f ( i + nc).
i e Z . Par suite, d’après le lemme 2 le nombre ^ c1 = (bclf est la période de /.
En employant les lemmes 5 et 1 on obtient aussi
Lemme 8. Si f e£2°(b, c), le nombre c est la période principale de la suite f 1, f 1 {ri) = f { i + nb), i e Z . De même, le nombre b est la période principale de la suite f 2, f 2(n) = f ( i + nc), i e Z .
D é m o n s tr a t io n . En effet, le nombre c est une période de la fonction fo en vertu du lemme 1. Si le nombre cx était la période principale de fo il serait a fortiori la période principale de la fonction f 1, i e Z d’après le lemme 5 et évidemment c jc . Par suite quelque soit ne Z, n = kb + i on aurait
f ( n + ct b) = /[(fc + Cl)b + i] = / x{k + cx) = / 1(/c) = /( * b + 0 = /( « ) . Il en résulte que le nombre cx b est une période de la fonction / et puisque cb est la période principale de / et cx\c on obtient cx = c. De plus on obtient moyennant les lemmes 6 et 1.
Lemme 9. Si f eQ(b, c) et les entiers c et b sont les périodes principales des suites f 1, f 1( n) =f (n b) et f 2, f 2(ri)=f(nc) respectivement, on a f e ü ° { b , c).
D é m o n s tr a t io n . La période principale de la fonction / doit être de la forme bx c x, où bx\b et cx\c. On a / eQ{bx, cx) en vertu du lemme 6 d’où cx
et bx sont, d’après le lemme 1, des périodes des fonctions f 1 et f 2 respectivement dont les périodes principales respectives sont égales à c et b.
On déduit que cx = c et bx = b ce qui achève la démonstration du lemme 9.
Le Lemme 10 avec le lemme 8 caractérisent tout à fait la classe Q°(b, c).
Lemme 10. Il existe une suite et une seule f eQ(b, c) telle que,
(7) f(bn) = pn, f(cn) = y„, ne Z,
où fln et y„ sont les deux suites données satisfaisant aux conditions (8) Ро = Уо, Pn+c = Pn, Уп+ь = Уп> n e Z .
De plus, si cx et bx sont les périodes principales des suites et y„
respectivement, on a f GÜ°(bx, cx).
D é m o n s t r a tio n . Chaque entier t peut se mettre sous la forme kb + lc, k, le Z et l’égalité kb-\-lc = k'b + l'c entraîne k' = k (mod c) et Г = /(mod b).
Par conséquent, en posant
(9) / w = /u /*ô\
on obtient la suite /: Z -* G bien définie satisfaisant aux conditions (5) et (7).
Pour prouver que f eQ(b, c) il suffit de montrer que le nombre bc est la période de /. Ceci découle directement du fait que f satisfait aux conditions (5) et (7) et que les formules (8) ont lieu. Si les nombres cx et bx sont les périodes principales des suites et yn, on a évidemment cx\c et bx\b et en vertu des lemmes 6 et 9 on obtient immédiatement que f e ü ° { b x, cx). La suite / définie par (9) est l’élément unique de la classe Q(b, c) satisfaisant à la condition (7), où et yn sont les deux suites données auxquelles (8) a lieu.
Cette suite appartient à la classe Q°{b, c) si et seulement si les nombres c et b sont les périodes principales des suites /?„ et y„. Par conséquent, les éléments de la classe Q°(b, c) sont détérminés de façon unique par les couples des suites ayant les périodes principales c et b respectivement.
Maintenant nous allons montrer le théorème fondamental de notre travail.
Théorème 2. Soient a, b, c les entiers positifs premiers entre eux par couples. Pour chaque suite f eQ{b, c) et pour une suite txn arbitraire de période a il existe une suite et une seule g e ü { a , c) telle que
g (ne) — ct„ et f g e ü ( a , b ) .
De plus, si f E Ü ° { b x, c x), bx\b, cx\c et le nombre ax, ax\a, est la période principale de la suite a„, on a
g e Q ° ( a x, c x) et f g e Q (y{a1, bx).
D é m o n s tr a t io n . Il existe les entiers p et q tels que a = pc + qb.
9 — Roczniki PTM — Prace Matematyczne XXV
130 R. Rabc z u k et Z. R o m a n o w i c z
Posons
(10) g (na + mc) = / (0) • / “ 1 (nqh), n , m e Z .
On va montrer que (10) définit bien la suite g: Z -> G de période ac. Chaque entier t peut se mettre sous la forme na + mc, n, m e Z et l’égalité na + mc
= nx a + mxc entraîne n = n1 (mod c) et m = ml (mod a). Comme les suites i m et / - 1 (ш/Ь) sont périodiques et de périodes a et c respectivement, donc f ( t ) ne dépend pas de la manière de réprésenter le nombre r et en plus on a
g(t + bc) — g(t) et g (me) = xm.
Remarquons aussi que
(11) g(na) =-f(0)-g(0)-f~l (nqb),
donc
g (na + me) = g (na) • g (me) g *(0), c’est-à-dire ge(2(a,c).
Soit maintenant h =fg. On va montrer que le nombre ab est la période de h. En premier lieu observons que, vu la formule (11), l’égalité a = pc + qb et l’hypothèse que bc est la période de suite ^ on a
g (nab) = / (0) • g (0) •/ " 1 (nab - npbc) = / (0) ■ g (0) •/ '"1 (nab) ; il en résulte que
(12) f(nab) -g{nab) =f( 0) -g( Q\ n e Z .
Soit ensuite t e Z. Comme (bc, ac, ab) = 1, donc t = nbc + mac + kab, où n, m, k e Z ; d’où vu / eQ(b, c), geQ( a, c) et l’égalité (12), on obtient
h(t + ab) = f (mac + (k+ l )ab) ‘g(nbc + (k + l)ab)
= f (mac) • / ((к+1) ab) -f " 1 (0) • g (nbc) • g ((k +1 ) ab) • g ~ 1 (0)
=f( mac) •/ (kab) -f ~ 1 (0) • g (nbc) • g (kab) •g~1(0)
= / (mac + kab) • g (nbc + kab) = h (f),
et cela veut dire que ab est la période de h. Par suite en vertu du lemme 3 on a h e ü ( a , b).
Supposons à présent qu’une suite g satisfasse à la thèse du théorème 2 avec la suite donnée f eQ(b, c) et celle a„ de période a. Il vient du lemme 3 que g e Q ( a , c), donc on a
(13) g(na + mc) = g(na)'g(mc)-g~1 (0), n , m e Z .
Comme h = f g possède la période ab et 1 = Р\С + дг Ь, pt , q ^ e Z , donc g(na) = h(npx ac)-f~ 1 (npx ac + nqx ab).
De plus f eQ(b, c) et g a la période ac. Par suite en utilisant encore une fois l’égalité h =fg, on obtient
g(na) = f ( 0 ) g ( 0 ) - f ~ 1(nq1ab).
Cependant les égalités l = p l c + q1b et a = pc + qb entraînent q^a s <7 (mod c), d’où, vu l’hypothèse que bc est la période de /, on a
g(na) = f ( 0 ) - g ( 0 ) - f ~ l (nqb).
De ce qui précède et de l’égalité g(mc) = txm on obtient, en vertu de (13), l’égalité (10) qui montre l’unicité de la fonction g satisfaisant à la thèse du théorème 2.
Supposons maintenant que f е й ( Ь х, cx) et soit at la période principale de la suite yn. Il est évident que bx\b, cx\c et ax\a. En vertu du lemme 1 le nombre cx est la période principale de la suite f ~ 1(nqb) car (a, c) = 1 entraine (q, c) = 1. Par conséquent, en vertu de (10) les nombres ax et cx sont les périodes principales des suites g (ne) et g(na) respectivement, d’où, compte tenu des lemmes 6 et 9, on a g e Q ° ( a 1, cx).
Soit enfin d la période principale de la suite h = fg. Alors d\a1 bx, car en vertu de la première partie de ce théorème qui vient d’etre démontrée, le nombre aï bx est la période de h. D’autre part, en vertu du théorème 1, il existe un entier positif r tel que
«i (bi c x) = bx (ax cj) = rd, (r, ax) = (r, bx)=--l,
d’où on obtient ax bx\d. Par suite d\ax bx, ce qui achève la démonstration du théorème 2.
Supposons que les trois entiers positifs A, B, C satisfassent aux conditions
(14) (A, B, C) = 1
et
(15) aA = bB = cC, a, b, c e N, (a, b) = (a, c) = (b, c) = 1.
Alors on a A = bc, B = ac et C = ab.
En se basant sur le théorème 2 et le lemme 10 on obtient la proposition suivante.
Théorème 3. Chaque solution de Г équation
(16) fg = h
dans la classe des suites /, g, h: Z -> G ayant les périodes principales A, B, C respectivement et satisfaisant aux conditions (14) et (15) est définie de façon unique par les trois suites ct„, et yn ayant les périodes principales a, b et c respectivement et remplissant la condition f}0 = Уо- La fonction f est déterminée par les suites et y„ à Гaide de la formule
f ( n b + mc) = finym
132 R. Rabc z u k et Z. R o ma n o w i c z
et la fonction g est de la forme
g(na + mc) = f ( 0 ) - a m • / " 1 (nqb), où a = pc + qb.
Admettons à présent que les entiers positifs A, B, C satisfassent à la condition (15) et à celle
(17) {A, B, C) = d > 1.
Alors on a A = A x d, B = B l d, C — Ct d, où les nombres A x, B lt Cx remplissent les conditions (14) et (15).
Remarquons que si les trois suites f g, h: Z -► G de périodes A, B, C respectivement satisfont à l’équation (16), les suites f , gh hh où
(18) f ( n ) = f ( i + nd), gfn) = g{i + nd), ht(n) = h(i + nd), quelque soit i, satisfont à l’équation
(19) f gi = ht
et possèdent les périodes A x, B x, C x respectivement.
De plus, si les suites f , gh ht satisfont, pour i = 0, 1, ..., d — 1, à l’équation (19) et ont les périodes A x, B x, C x remplissant les conditions (14) et (15), les suites f g, h de périodes A, B, C, auxquelles l’équation (16) a lieu, sont déterminées par les conditions (18) de façon unique.
Il est clair que les suites f , gh hh i — 0, 1, ..., d — 1, peuvent être déterminées moyennant le théorème 2. De cette façon nous pourrons obtenir tous les triples f g, h des suites de périodes A, B, C satisfaisant à l’équa
tion (16).
Remarquons à l’occasion que les nombres A, B, C ne doivent pas nécessairement être les périodes principales des suites f, g, h ainsi déterminées même dans le cas où les nombres A x, B x, Cx sont les périodes principales des suites respectives f , gt, hh i = 0, 1, ..., d — 1.
Ceci résulte du fait que si f e Q ° ( a , b), i = 0, 1, ..., d — 1, la suite / obtenue de f moyennant (18) peut avoir la période principale qui est inférieure à dab.
Posons, par exemple, d = 3, a = 1, b = 2 et envisageons les trois suites
f o ( n ) = f 2( n ) = --- 2---’ --- 2---’ n e Z '
On vérifie aisément que / 0, f x, f 2eQ°(a, b). Par contre la suite / définie par les conditions
/(З и )= /о (л ), / ( l + Зл) =/i(w ), / (2 + 3n) = f 2(n) a la période principale égale à 2.
Cependant la proposition suivante est vraie.
Le m m e 11. Si les suites f , г = 0, 1, ..., d — 1, ont les périodes principales ah la suite f définie par (18) a la période principale
D é m o n s tr a t io n . Si le nombre c est la période principale de la suite /, il est aussi la période de fi, donc at\c pour i = 0, 1, ..., cf— 1. Par suite, on a
Pour achéver la démonstration du lemme 11 il suffit de remarquer que le nombre d [a 0, al7 ..., ad- i ] est la période de /. En effet, pour chaque t e Z on a t = i + nd, n e Z , te (0, 1, ..., d — 1}, donc f {t + d[ a0, alt
= / ( n + [.ao> ax, ..., aà- x]) =fi(n) = f ( t ), ce qui achève la démonstration du lemme 11.
Ce lemme fournit une condition nécessaire pour que la suite / ait la période principale da, à savoir, il faut que a = [a0, ax, ..., ad_ i]. Ladite condition n’est pas toutefois suffisante, ce qui montre l’exemple envisagé antérieurement. Il est à noter que les auteurs ne disposent pas d’une condition nécessaire et suffisante simple afin que la suite / ait la période principale da.
Cependant on peut énoncer plusieurs conditions suffisantes. Par exemple, il suffit de supposer qu’une des suites ait la période principale a et son ensemble des valeurs soit disjoint avec l’ensemble des valeurs des suites restantes. Alors les suites restantes peuvent avoir les périodes principales arbitraires étant les diviseurs du nombre a. Supposons maintenant que les nombres réels positifs A, B, C satisfaisant à la condition (15) soient les périodes principales des fonctions f, g, h: R -> G.
Alors les fonctions / i , gx, hx: R -» G, où
ont les périodes principales bc, ac, ab respectivement et vice versa. De plus l’équation (16) est vérifiée si et seulement si f i g i = h l . Dans les considérations qui suivent on pourra se borner à l’étude des solutions de l’équation (16) en admettant que les fonctions /, g, h aient les périodes principales bc, ac, ab, où les nombres a, b, c sont les entiers positifs premiers entre eux par couples. Soient les fonctions /, g, h les solutions en question de l’équation (16). Alors pour chaque nombre те< 0, 1) les suites fix, gx, hx, où
<2) L’écriture \_a0, a x, . . . , ad_ A désigne le plus petit multiple commun des nombres
«o, a,, ..., ad_ j .
C = d i O o , a u . . . , a ^ - i ] (2), o ù d x\d .
[_a0, a^, ..., ad- i]|c.
(20) fi(n) = f ( r + n), gx(n) = д(т + п), hx(n) = h(x+ n),
134 R. Ra bc zuk et Z. R o m a n o w i c z
satisfont à l’équation
(21) fxQx — K
et possèdent les périodes égales à bc, ac, ab respectivement, donc f ze ü { b , c ) , gze ü ( a , c), hzeQ{a,b).
Réciproquement, si les suites f z, gz, hz: Z ~*G, те<0, 1) ont les périodes bc, ac, ab respectivement, où les entiers a, b, c sont premiers entre eux et vérifient l’équation (21), les fonctions f g, h: R -> G définies par (20) satisfont à l’équation (16) et possèdent les périodes (pas nécessairement principales) égales à bc, ac, ab respectivement.
Les suites f z, gz, hz peuvent être déterminées (à l’aide du théorème 2 et de la remarque suivant après la démonstration du lemme 11), de telle façon que les nombres bc, ac, ab soient les périodes principales des fonctions /, g et h.
Les méthodes présentées ci-dessus peuvent être appliquées directement dans le cas où l’on considère la somme et le produit des fonctions réelles périodiques en prenant comme G l’ensemble des nombres réels avec l’addition ou bien l’ensemble des nombres réels différents de zéro avec la multiplication respectivement. Remarquons finalement que si G est le groupe des nombres réels avec l’addition, la solution de l’équation
(22) f + g = h
dans la classe des fonctions continues f, g, h: R -* R de périodes principales bc, ac et ab respectivement (a, b, c sont les entiers positifs premiers entre eux par couples) peut être obtenue de la manière suivante. On trouve d’abord les suites / g, h : Z —> R de périodes principales bc, ac et ab respectivement en s’appuyant sur le théorème 2 et puis on les étend aux fonctions définies sur R, linéairement sur chaque intervalle (n, n+ 1), ne Z.
Les fonctions ainsi obtenues possèdent les périodes principales bc, ac et ab respectivement et vérifient l’équation (22).
Bibliographie
[1] R. H. C ox, L. C. K u rtz, Real periodic functions, Amer. Math. Monthly 73 (1966), 761-762.
[2] A. L o m n ic k i, Sur les fonctions multipériodiques uniformes d'une variable réelle, C. R. Soc.
Sci. Varsovie, Classe III, 11 (1918), 808-846.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE WROCLAW INSTITUT DE MATHÉMATIQUES
