Źródło, odbiornik i linia skojarzonego układu trójfazowego

(1)

Wykład XVII. PODSTAWOWE STRUKTURY OBWODÓW TRÓJFAZOWYCH

Układ wielofazowy i układ trójfazowy

Terminem układ wielofazowy określa się zbiór – w liczbie dwa lub większej – takich, związanych ze sobą strukturalnie obwodów elektrycznych, że w każdym z nich działa jedno źródło napięcia sinusoidalnego o częstotliwości takiej samej jak w obwodach pozostałych, oraz początkowym kącie fazowym różnym niż w obwodach pozostałych.

Obwody tworzące układ wielofazowy noszą nazwę faz tego układu. Jak wiadomo, termin „faza”

oznacza też bieżącą wartość argumentu przebiegu sinusoidalnego, tj. ω^t⁺ψ, dlatego aby nie po- wodować nieporozumień, zaznacza się zwykle, czy chodzi o fazę układu, czy o fazę przebiegu (unika się też używania skróconej nazwy początkowego kąta fazowego: „faza początkowa”).

Uporządkowanie początkowych kątów fazowych ψu napięć źródłowych w fazach układu – wg ma- lejących wartości – wyznacza kolejność faz układu. Jeśli punkty o tych wartościach dzielą prze- dział o długości równej 2π⁼360° (okres funkcji sinus) na równe odcinki, a przy tym wartości sku- teczne napięć w fazach są jednakowe, to taki układ wielofazowy nazywa się symetrycznym.

Fazy układu oznacza się kolejnymi literami alfabetu (oznaczeniem pierwszej fazy może, ale nie musi być litera A) lub cyframi (w takim wypadku oznaczeniem pierwszej fazy jest zawsze cyfra 1).

Warto zaznaczyć, że kolejność faz nie jest równoznaczna z ich numeracją (oznaczeniem faz). Za pierwszą fazę można obrać dowolną fazę układu. Używa się też pojęć: zgodna i przeciwna kolej- ność faz, np. w związku ze sposobem przyłączenia zacisków odbiornika do zacisków źródła.

Układ trójfazowy to układ o trzech fazach (obwodach fazowych). Fazy układu trójfazowego ozna- cza się literami, np. A, B, C, albo cyframi 1, 2, 3. Fazom układu oznaczonym cyframi 1, 2, 3 odpo- wiadają kolejności faz zgodne: 1, 2, 3; 2, 3, 1 i 3, 1, 2, oraz przeciwne: 1, 3, 2; 2, 1, 3 i 3, 2, 1.

Różnice faz początkowych napięć źródłowych symetrycznego układu trójfazowego są równe ±120°, jak na rys. obok, gdzie dla wskazu w fazie A przyjęto początkowy kąt fazowy równy 0.

Funkcje czasu wyrażające te napięcia są następujących postaci:

t E

t

e_A⁽ ⁾= _m⋅^sinω , (7.19a) )

120 sin(

)

(t =E ⋅ t− ^o

e_B _m ω , (7.19b) )

120 sin(

)

(t =E ⋅ t+ ^o

e_C _m ω , (7.19c) a wartości symboliczne -

E

E_A = , ³

2π

⋅

⋅ −

= ^j

B E e

E , ³

2π

⋅ ⋅

= ^j

C E e

E . (7.20) Gdy obwody fazowe nie są połączone ze sobą galwanicznie, to układ wielofazowy (trójfazowy) określa się jako nieskojarzony, gdy natomiast występuje tego rodzaju połączenie – jako skojarzony.

Źródłowe napięcia fazowe są zwykle „pobierane” z trójfazowego uzwojenia generatora lub trans- formatora, toteż w praktyce spotyka się wyłącznie układy trójfazowe skojarzone o zasilaniu symetrycznym. Takie właśnie obwody są dalej omawiane.

Źródło, odbiornik i linia skojarzonego układu trójfazowego

W układach trójfazowych występują źródła trójfazowe, odbiorniki trójfazowe oraz – pomijane czę- sto w obliczeniach – linie trójfazowe (między źródłami i odbiornikami). W układach trójfazowych skojarzonych, elementy fazowe źródła oraz odbiornika trójfazowego mogą być łączone w gwiazdę lub w trójkąt.

Układy „gwiazdowe” i „trójkątowe” można rysować sytuując elementy fazowe: 1) pod kątami od- powiadającymi mniej więcej symetrycznemu przesunięciu wskazów, 2) równolegle do siebie.

Na poniższym rysunku pokazano obie wersje graficzne: a) źródła „gwiazdowego”, b) źródła „trój- kątowego” (dla uproszczenia przyjęto źródła idealne), c) odbiornika „gwiazdowego”, d) odbiornika „trójkątowego”.

EA

EC

EB

2π – 3

2π 3

(2)

W układach gwiazdowych źródła i odbiornika występują punkty wspólne, nazywane neutralnymi (oznaczenie: N, jak na rys.) lub zerowymi (oznaczenie: 0). Zależnie od tego, czy punkty te są połą- czone z resztą układu, czy też nie (linia przerywana), źródła oraz odbiorniki są czterozaciskowe lub trójzaciskowe. Oczywiście, źródła i odbiorniki „trójkątowe” są zawsze trójzaciskowe.

W linii trójfazowej występują 3 przewody, nazywane fazowymi, i ewentualnie – przewód czwarty, nazywany neutralnym lub zerowym, który łączy punkty neutralne (zerowe) układów gwiazdowych źródła i odbiornika. Zależnie od tego, czy w linii jest przewód neutralny (zerowy), czy też nie, na- zywa się ją czteroprzewodową lub trójprzewodową. Na poniższym rysunku pokazano: a’) układ z linią czteroprzewodową – w jedynej możliwej konfiguracji ze źródłem i odbiornikiem (gwiazda- gwiazda); a’’, a’’’, b’, b’’) układy z linią trójprzewodową – we wszystkich konfiguracjach ze źró- dłem i odbiornikiem (gwiazda-gwiazda, gwiazda-trójkąt, trójkąt-gwiazda, trójkąt-trójkąt).

Uwaga. Terminy „neutralny” i „zerowy”

(punkt, przewód) są używane zamiennie, ale preferuje się nazwę pierwszą. Pojęcie punktu lub przewodu zerowego bywa bowiem zawę- żane do takiego, który jest uziemiony (połą- czony galwanicznie z ziemią, dokładniej – z jej wierzchnią warstwą przewodzącą).

c) d)

≡

A

B

C

ZAB

ZCA

ZBC

A

B

C

ZAB

ZCA

ZBC

≡

A

B

C

N

ZA

ZC

ZB

A

B

C

N ZA

ZC

ZB

a) b)

≡

A

B

C EAB

ECA

EBC

A

B

C EAB

ECA

EBC

A

B

C

N EA

EC

EB

≡

A

B

C

N EA

EC

EB

a’)

a’’)

a’’’)

A’

B’

C’

N’

ZA

ZC

ZB

A

B

C

N EA

EC

EB

ZAA’

ZCC’

ZBB’

ZN’N

A’

B’

C’

ZA

ZC

ZB

A

B

C EA

EC

EB

ZAA’

ZCC’

ZBB’

A

B

C EA

EC

EB

ZAA’

ZCC’

ZBB’

A’

B’

C’

ZAB

ZCA

ZBC

ZAA’

ZCC’

ZBB’

A’

B’

C’

ZAB

ZCA

ZBC

A

B

C EAB

ECA

EBC

b’)

b’’)

ZAA’

ZCC’

ZBB’

A’

B’

C’

ZA

ZC

ZB

A

B

C EAB

ECA

EBC

(3)

Obwód trójfazowy. Prąd trójfazowy i napięcie trójfazowe

Źródłowe napięcia występujące w układach trójfazowych tworzą trójfazowe układy napięć źródło- wych; podobnie można mówić o trójfazowych układach napięć: w linii zasilającej i w odbiorniku, oraz o trójfazowych układach prądów: w źródle, linii i odbiorniku. Aby uniknąć niejednoznaczności terminu „układ”, określającego: 1) zbiór elementów tworzących pewną strukturę (powiązane ze sobą obwody fazowe), 2) zbiór wielkości tego samego rodzaju, występujących w jakimś obiekcie (powiązane ze sobą napięcia albo prądy), używa się, odpowiednio, terminów: 1) obwód trójfazowy, 2) napięcie trójfazowe i prąd trójfazowy.

Uwaga. Termin „obwód trójfazowy” jest powszechnie stosowany w elektroenergetyce, gdzie wy- stępują układy trójfazowe o rozbudowanej strukturze. Przyjęło się tu mówić o obwodach jedno- i trójfazowych jako układach „widzianych” przez grupę odbiorów. Obwody takie to podsystemy rozdzielczo-odbiorcze, związane z odbiornikami zasilanymi z jednej linii układu elektroenergetycznego. Część układu nazywana obwodem trójfazowym jest więc tu układem złożonym z zastępczego źródła trójfazowego, linii trójfazowej i przyłączonych do niej odbiorników. Pełna analiza funkcjo- nowania systemu elektroenergetycznego prowadzona jest na różnych poziomach, odpowiadających hierarchii podsystemów.

Napięcia, prądy i moce w obwodach trójfazowych

W obwodach trójfazowych można wyróżnić następujące napięcia oraz prądy:

a) napięcia fazowe źródła oraz odbiornika, tj. napięcia na ich elementach fazowych,

b) napięcia fazowe układu i linii zasilającej, tj. napięcia między przewodami fazowymi i przewodem neutralnym, a w układzie z uziemionym punktem neutralnym źródła, bez przewodu neutralnego (zerowego) – napięcia między przewodami fazowymi a wnętrzem ziemi (tzw. ziemią odległą),

c) napięcia międzyfazowe źródła oraz odbiornika, tj. napięcia między punktami (zaciskami) źró- dła oraz odbiornika, przyłączonymi do przewodów fazowych,

d) napięcie międzyfazowe, inaczej: międzyprzewodowe lub liniowe, układu i linii zasilającej, tj.

napięcia między przewodami fazowymi,

e) prądy fazowe źródła oraz odbiornika, tj. prądy w ich elementach fazowych,

f) prądy liniowe, inaczej: przewodowe, oraz prąd powrotny (neutralny, zerowy) układu i linii za- silającej, tj. prądy w przewodach fazowych oraz prąd w przewodzie neutralnym, a w układzie z uziemionym punktem neutralnym źródła – w ziemi.

Symbole napięć i prądów fazowych (źródła, linii, odbiornika) opatruje się czasami indeksem „f”.

Wartości skuteczne fazowego i międzyfazowego (międzyprzewodowego) symetrycznego napięcia trójfazowego linii zapisuje się w związku z tym jako: Uf i U, a np. fazowe napięcia źródłowe ukła- du „trójkątowego”, które są jednocześnie w tym wypadku napięciami międzyfazowymi źródła oraz linii (EAB , EBC ,ECA ), mogą być zapisane jako EfA , EfB , EfC .

Moce: czynna P, bierna Q oraz zespolona S, wydawane przez źródło trójfazowe lub pobierane przez odbiornik trójfazowy, są równe odpowiednio:

fC fB

fA P P

P

P= + + ^,Q=Q_fA +Q_fB +Q_fC^,S =S_fA+S _fB+S_fC . (7.21a, b, c) Omawiane będą obwody trójfazowe z idealnym (zwykle też symetrycznym) źródłem i bezimpedan- cyjną linią zasilającą odbiornik.

Jeśli w tzw. gałęzi powrotnej układu gwiazda-gwiazda (między punktami neutralnymi źródła i od- biornika) występuje impedancja ZN’N , to będzie ona traktowana jako element odbiornika ZN . W takim wypadku, całkowite moce pobierane w odbiorniku są obliczane z zależności:

N fC fB

fA P P P

P

P= + + + , Q=Q_fA +Q_fB +Q_fC +Q_N , S =S_fA+S_fB +S _fC +S_N . (7.22a, b, c) gdzie: PN , QN , SN – moce tracone w gałęzi powrotnej, w impedancji ZN =ZN’N odbiornika.

(4)

Odbiornik zasilany czteroprzewodowo

Na rys. obok pokazano obwód trójfazowy z odbiornikiem o układzie gwiazdowym, zasilanym czteroprzewodowo.

W ogólnym przypadku: ZN ≠ 0 , ZA ≠ ZB ≠ ZC .

Aby obliczyć prądy: IA , IB , IC , trzeba najpierw wyznaczyć napięcie U_N’N. Stosując metodę węzłową, przy założeniu VN =0, otrzymuje się:

N C B A

C C B B A A N N

N Y Y Y Y

E Y E Y E V Y

U + + +

⋅ +

= ⋅

= _'

' , (7.23a)

gdzie:

A

A Z

Y = 1 ,

B

B Z

Y = 1 ,

C

C Z

Y = 1 ,

N

N Z

Y = 1 . (7.23b) Następnie korzysta się z zależności:

N A N

A E U

U = − _' , U_B =E_B −U_N_'_N , U_C =E_C −U_N_'_N , (7.23c)

A A

A Y U

I = ⋅ , I_B =Y_B ⋅U_B , I_C =Y_C ⋅U_C , (7.23d)

N N N

N Y U

I = ⋅ _' albo I_N =I_A +I_B +I_C . (7.23e) Moc wydawana przez źródło idealne, a pobierana przez odbiornik wraz z gałęzią powrotną, wynosi:

* '

*

N N C N

B C A B

C A C B B A

A I E I E I U I U I U I U I

E jQ P

S = + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ . (7.24)

Szczególnym przypadkiem jest czteroprzewodowy układ gwiazda-gwiazda z bezimpedancyjnym przewodem neutralnym, tzn. Z_N =0 , wobec czego:

'_N =0

UN , U_A =E_A , U_B =E_B , U_C =E_C .

Przykład 1. Odbiornik gwiazdowy o impedancjach faz i gałęzi powrotnej (przyłączonej do punktu neutralnego odbiornika): Z_A =Z_N =(100− j100)Ω, Z_B =Z_C =(100+ j100)Ω, jest zasilany czteroprzewodowo napięciem symetrycznym 3×230/400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prą- dów występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz sporządzić bilans mocy obwodu.

Schemat obwodu z zaznaczeniem charakteru gałęzi – rys. a.

Wartości admitancji fazowych i admitancji gałęzi powrotnej, obliczone wg wzorów (7.23b):

45o 2 2 0,5 2 10 10

) 5 , 0 5 , 0

( ^j

N

A Y j e

Y = = + ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻ ⋅ S,

45o 2 2 0,5 2 10 10

) 5 , 0 5 , 0

( ^j

C

B Y j e

Y = = − ⋅ ⁻ = ⋅ ⁻ ⋅ ⁻ S.

N’

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

EA

EC

EB

ZN

N

IN

UA

UB

UC

UN’N

VN =0 VN’

UA

UB

UC

N’

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

EA

EC

EB

ZN

N

IN

UN’N

a) b)

EA

EC

EB

UA

UC

UB

IN IC

IA

IB

ϕA

ϕB

ϕ^C

UN‘N

ϕN

IN

(5)

Napięcie zasilające 3×230/400 V, określające znamionowe napięcia: fazowe U f =230 V i między- fazowego U=400 V, odpowiada w przybliżeniu warunkowi U= 3 U_f. Bliższe spełnienia tego związku są np. wartości: U_f=231 V i U=400 V (230 3 ≅ 398,37 ; 231 3 ≅ 400,10). Dla ogra- niczenia niepotrzebnych błędów – w tym i następnych przykładach – używać się będzie w obliczeniach tych drugich wartości.

Przyjęte wartości początkowych kątów fazowych napięć źródła:

0o ._A =

ψe ^,ψ_e_._B =−¹²⁰^o^,ψ_e_._C =¹²⁰^o^.

Wartości symboliczne napięć źródła: E_A =231⋅e^j⁰^o =231 V, )

200 5

, 115 (

231 e ¹²⁰ j

E_B = ⋅ ⁻^j ^o = − − V, E_C =231⋅e^j¹²⁰^o =(−115,5+ j200) V.

Wartość symboliczna napięcia na impedancji w gałęzi powrotnej, obliczona wg wzoru (7.23a):

90o '

' 115,5 115,5 ^j

N C B A

C C B B A A N N

N j e

Y Y Y Y

E Y E Y E V Y

U = = ⋅

+ + +

⋅ +

= ⋅

= V.

Wartości symboliczne napięć fazowych odbiornika, obliczone wg wzorów (7.23c):

6o , 26

'_N 231 115,5 258,3 ^j

N A

A E U j e

U = − = − ≅ ⋅ ⁻ V,

1o , 110

'_N 115,5 315,5 336,0 ^j

B N

B E U j e

U = − =− − ≅ ⋅ ⁻ V,

8o , 143 '_N 115,5 84,5 143,1 ^j

N C

C E U j e

U = − =− + ≅ ⋅ V.

Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d, e):

4o ,

826 18

,

1 ^j

A A

A Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A,

1o ,

376 155

,

2 ^j

B B

B Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ ⁻ A,

8o ,

012 98

,

1 ^j

C C

C Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A,

135o '_N 0,817 ^j

N N

N Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A.

Wykres wskazowy odpowiadający wartościom napięć i prądów – rys. b (obok schematu obwodu).

Bilans mocy:

- moc zespolona obwodu, wydawana przez źródło i pobierana przez odbiornik, wg wzoru (7.24)

(VA), 267 1067

012 , 1 231 376

, 2 231 826

, 1 231

¹⁸^,⁴ ³⁵^,¹ ²¹^,²

*

j e

e e

I E I E I E S

j j

j

C C B B A A gen

+

≅

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

(VA), 267 1067

817 , 0 5 , 115 012

, 1 1 , 143 376

, 2 0 , 336 826

, 1 3 , 258

45 45

'

* '

*

j

e e

e I U e

I U e

I U

I U I U I U I U S

j j

j N N N j

C C j

B B j

A A

N N N C C B B A A odb

N C

B A

+

≅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

−

− ô ô ô ô

ϕ ϕ

- moc elementów rezystancyjnych

1067 817

, 0 100 012

, 1 100 376

, 2 100 826

, 1

100 ² ² ² ²

2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I R

P W,

- moc elementów reaktancyjnych

267 817

, 0 100 012

, 1 100 376

, 2 100 826

, 1

100 ² ² ² ²

2 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I X

Q var.

Równanie S_gen =S_odb =P+ jQ jest spełnione, tzn. moce się bilansują.

(6)

Przykład 2. Odbiornik gwiazdowy o wartościach impedancji faz – jak poprzednio, i bezimpedan- cyjnej gałęzi powrotnej (bezpośrednio połączone punkty neutralne źródła i odbiornika):

) 100 100

( j

Z_A = − Ω, Z_B =Z_C =(100+ j100)Ω, Z_N =0=(0+ j0)Ω, jest zasilany czteroprzewodowo napięciem symetrycznym 3×230/400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz sporządzić bilans mocy obwodu.

Wartości admitancji fazowych: Y_A =0,5 2⋅10⁻²⋅e^j⁴⁵^oS, Y_B =Y_C =0,5 2⋅10⁻²⋅e⁻^j⁴⁵^oS.

Napięcia fazowe – w zadanych warunkach i przy założonych jak poprzednio napięciach źródła:

0o

231 ^j

A

A E e

U = = ⋅ V, U_B =E_B =231⋅e⁻^j¹²⁰^o V, U_C =E_C =231⋅e^j¹²⁰^o V.

Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d, e):

45o

633 ,

1 ^j

A A

A Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A,

165o

633 ,

1 ^j

B B

B Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ ⁻ A,

75o

633 ,

1 ^j

C C

C Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A,

90o

309 ,

2 ^j

C B A

N I I I e

I = + + ≅ ⋅ A.

Bilans mocy:

(VA), 267 800

633 , 1 231 633

, 1 231 633

, 1 231

45 45

45

*

j e

e e

e I U e

I U e

I U

I U I U I U I E I E I E S

j j

j

j C C j

B B j

A A

C C B B

A A C C B B A A

C B

A

+

≅

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

ϕ ϕ

ϕ

800 633

, 1 100 633

, 1

100 ² ² ²

2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I R

P W,

267 633

, 1 100 633

, 1

100 ² ² ²

2 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I X

Q var.

Równanie S =P+ jQ jest spełnione, tzn. moce się bilansują.

UA

UB

UC

N’

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

EA

EC

EB

N

IN

a) b)

UA =EA

IN =IA +IB +IC

IC

IA

IB

ϕ^A ϕ^B

ϕ^C

UB =EB

UC =EC

(7)

Odbiornik o układzie gwiazdowym zasilany trójprzewodowo

Na rysunku pokazano obwód trójfazowy z odbiornikiem źródła o układzie gwiazdowym, zasilanym trójprzewodowo ze źródła o układzie gwiazdowym.

Z punktu widzenia pracy odbiornika, sposób połączenia ele- mentów źródła nie ma znaczenia. Gwiazdowy układ źródła, istniejący rzeczywiście lub zastępczy, pozwala traktować za- silanie trójprzewodowe jako przypadek zasilania czteroprze- wodowego z gałęzią powrotną o zerowej admitancji YN =0. Wtedy to wzory (7.23a), (7.23b) i (7.24) przyjmują formy:

C B A

C C B B A A N

N Y Y Y

E Y E Y E U Y

+ +

⋅ +

= ⋅

' , (7.25a)

A

A Z

Y = 1 ,

B

B Z

Y = 1 ,

C

C Z

Y = 1 , (7.25b)

*

C C B B A A C C B B A

A I E I E I U I U I U I

E jQ P

S = + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ . (7.26)

Zależności (7.23c, d) stosuje się w niezmienionej postaci, a miejsce (7.23e) zajmuje: IN =0 .

Przykład. Odbiornik gwiazdowy: Z_A =(100− j100)Ω, Z_B =Z_C =(100+ j100)Ω, jest zasilany trójprzewodowo napięciem symetrycznym 3×400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów występujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz sporządzić bilans mocy obwodu.

Wartości admitancji fazowych: Y_A =0,5 2⋅10⁻²⋅e^j⁴⁵^oS, Y_B =Y_C =0,5 2⋅10⁻²⋅e⁻^j⁴⁵^oS.

Wartości symboliczne napięć źródła (umownie – gwiazdowego): E_A =231⋅e^j⁰^o =231 V, )

200 5

, 115 (

231 e ¹²⁰ j

E_B = ⋅ ⁻^j ^o = − − V, E_C =231⋅e^j¹²⁰^o =(−115,5+ j200) V.

Wartość symboliczna napięcia między punktami N’ i N, obliczona wg wzoru (7.25a):

4o , 108 '

' 46,2 138,6 146,1 ^j

C B A

C C B B A A N N

N j e

Y Y Y

E Y E Y E V Y

U =− + = ⋅

+ +

⋅ +

= ⋅

= V.

Wartości symboliczne napięć fazowych odbiornika, obliczone wg wzorów (7.23c):

6o , 26 '_N 277,2 138,6 309,9 ^j

A N

A E U j e

U = − = − ≅ ⋅ ⁻ V,

6o , 101

'_N 69,3 338,6 345,6 ^j

N B

B E U j e

U = − =− − ≅ ⋅ ⁻ V,

ZC

UA

UB

UC

N’

ZA

ZB

IA

IB

IC

EA

EC

EB

N

UN’N

UA

UB

UC

N’

ZA

ZB

ZC

IA

IB

IC

EA

EC

EB

N

UN’N

a) b)

EA

EC

EB

UA

UC

UB

IC

IA

IB

ϕA

ϕB

ϕ^C

UN‘N

(8)

5o , 138

'_N 69,3 61,4 92,6 ^j

C N

C E U j e

U = − =− + ≅ ⋅ V.

Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.23d):

4o ,

191 18

,

2 ^j

A A

A Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A,

6o ,

444 146

,

2 ^j

B B

B Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ ⁻ A,

5o ,

655 93

,

0 ^j

C C

C Y U e

I = ⋅ ≅ ⋅ A.

Bilans mocy:

(VA), 60 1 1120 655

, 0 231 444

, 2 231 191

, 2 231

¹⁸^,⁴ ²⁶^,⁶ ²⁶^,⁵

*

j e

e e

I E I E I E S

j j

j

C C B B A A gen

+

≅

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

(VA), 60 1 1120

655 , 0 6 , 92 444

, 2 6 , 345 191

, 2 9 , 309

⁴⁵ ⁴⁵ ⁴⁵

*

j

e e

e

e I U e

I U e

I U I U I U I U S

j j

j

j C C j

B B j

A A C C B B A A

odb ^A ^B ^C

+

≅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

ϕ ϕ

ϕ

1120 655

, 0 100 444

, 2 100 191 , 2

100 ² ² ²

2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I R

P W,

160 655

, 0 100 444

, 2 100 191

, 2

100 ² ² ²

2 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I X

Q var.

Odbiornik o układzie trójkątowym

Na rys. obok pokazano obwód trójfazowy z odbiornikiem o układzie trójkątowym, zasilanym trójprzewodowo ze źródła o układzie gwiazdowym.

Z punktu widzenia pracy odbiornika, sposób połączenia elementów źródła nie ma znaczenia, dlatego zaznaczono je liniami przerywa- nymi. Fazy linii zasilającej opatrzono symbo- lami L1, L2, L3 – alternatywnymi do A, B, C.

Napięcia fazowe odbiornika są jednocześnie jego napięciami międzyfazowymi. Między nimi a fazowymi napięciami źródła o układzie gwiazdowym zachodzą następujące związki:

B A

AB E E

U = − , U_BC =E_B −E_C , U_CA =E_C −E_A . (7.27) W ogólnym przypadku (ZAB ≠ZBC ≠ZCA ) korzysta się z zależności:

AB

AB Z

Y = 1 ,

BC

BC Z

Y = 1 ,

CA

CA Z

Y = 1 , (7.28a)

AB AB

AB Y U

I = ⋅ , I_BC =Y_BC ⋅U_BC , I_CA =Y_CA⋅U_CA , (7.28b)

CA AB

A I I

I = − , I_B =I_BC −I_AB , I_C =I_CA −I_BC . (7.28c) ZCA

IAB

IBC

ICA

ZAB

ZBC

IA

IB

IC

EA

EC

EB

A (L1)

B (L2)

C (L3) UCA

UAB

UBC

(9)

Moc wydawana przez źródło idealne o układzie gwiazdowym, a pobierana przez odbiornik o ukła- dzie trójkątowym, wynosi:

*

CA CA BC BC AB AB C

C B B A

A I E I E I U I U I U I

E jQ P

S = + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ . (7.29)

Przykład. Odbiornik o układzie trójkątowym: Z_AB =(100− j100)Ω, Z_BC =Z_CA =(100+ j100)Ω, jest zasilany napięciem symetrycznym 3×400 V. Należy obliczyć wartości napięć i prądów wystę- pujących w obwodzie, przedstawić wykres wskazowy odpowiadający tym wartościom oraz sporzą- dzić bilans mocy obwodu.

Wartości admitancji: Y_AB =0,5 2⋅10⁻²⋅e^j⁴⁵^oS, Y_BC =Y_CA =0,5 2⋅10⁻²⋅e⁻^j⁴⁵^oS.

Wartości symboliczne napięć źródła (umownie – gwiazdowego): E_A =231⋅e^j⁰^o =231 V, )

200 5

, 115 (

231 e ¹²⁰ j

E_B = ⋅ ⁻^j ^o = − − V, E_C =231⋅e^j¹²⁰^o =(−115,5+ j200) V.

Wartości symboliczne napięć fazowych (międzyfazowych) odbiornika, wg wzorów (7.27):

30o

400 00 2 5 ,

346 ^j

B A

AB E E j e

U = − = + ≅ ⋅ V,

90o

400 00

4 ^j

C

BC EB E j e

U = − =− ≅ ⋅ ⁻ V,

150o

400 00 2 5 ,

346 ^j

A C

CA E E j e

U = − =− + ≅ ⋅ V.

Wartości symboliczne prądów, obliczone wg wzorów (7.28b, c):

≅

⋅

≅

⋅

= _AB _AB 2,828 ^j⁷⁵^o

AB Y U e

I (0,732+j2,732) A,

≅

⋅

≅

⋅

= _BC _BC 2,828 ⁻^j¹³⁵^o

BC Y U e

I (–2–j2) A,

≅

⋅

≅

⋅

= _CA _CA 2,828 ^j¹⁰⁵^o

CA Y U e

I (–0,732+j2,732) A.

0o

464 , 1 0 464 ,

1 ^j

CA AB

A I I j e

I = − = + ≅ ⋅ A,

120o

464 , 5 732 , 4 732 ,

2 ^j

AB BC

B I I j e

I = − =− − ≅ ⋅ ⁻ A,

75o

899 , 4 732 , 4 268 ,

1 ^j

BC CA

C I I j e

I = − = + ≅ ⋅ A.

Bilans mocy:

(VA), 800 2400

899 , 4 231 464

, 5 231 464

, 1 231

⁰ ⁰ ⁴⁵

*

j e

e e

I E I E I E S

j j

j

C C B B A A gen

+

≅

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

IAB

IBC

ICA

ZAB

ZBC

ZCA

IA

IB

IC

EA

EC

EB

A (L1)

B (L2)

C (L3) UCA

UAB

UBC

a) b)

-ICA

IA

IC

IB

ϕAB

ϕBC

EB UAB

UBC

UCA

EA

EC

IAB

-IAB

IBC -IBC

ICA

ϕCA

(10)

(VA), 00 8 2400

828 , 2 400 828

, 2 400 828

, 2 400

45 45

45

*

j

e e

e

e I U e

I U e

I U

I U I

U I

U S

j j

j

j CA CA j

BC BC j

AB AB

CA CA BC

BC AB AB odb

CA AB BC

+

≅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅

⋅ +

⋅

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

− ô ô ô

ϕ ϕ

ϕ

2400 828

, 2 100 828

, 2

100 ² ² ²

2 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I R

P W,

800 828

, 2 100 828

, 2

100 ² ² ²

2 =− ⋅ + ⋅ + ⋅ ≅

⋅

=

∑

k

k k I X

Q var.

Uwaga. Zadanie powyższe można rozwiązać z powodzeniem na podstawie starannie narysowane- go wykresu wskazowego. Procedura postępowania jest następująca:

1. Oblicza się wartości kątów fazowych impedancji gałęzi, wartości impedancji gałęzi i wartości skuteczne prądów w gałęziach:

45o

−

AB =

ϕ ^,ϕ_BC =ϕ_CA =⁴⁵^o^;Z =Z_AB =Z_BC =Z_CA =¹⁰⁰ ² ≅¹⁴¹^,⁴ Ω , 828

, 2 2 2 2 100

400 = ≅

=

= Z

I U I

I_AB _BC _CA A .

2. Przyjmuje się skale napięcia i prądu.

3. Rysuje się trójkąt napięć: U_AB, U_BC, U_CA.

4. Przy właściwych napięciach i pod odpowiednimi kątami nanosi się wskazy prądów: IAB o 45°

przed UAB, IBC o 45° za UBC, ICA o 45° za UCA. Następnie dodaje się graficznie wskazy: -ICA do IAB , -IAB do IBC , -IBC do ICA , otrzymując prądy w linii (przewodach zasilających): IA, IB, IC. 5. Z zależności geometrycznych na wykresie wskazowym, określa się początkowe kąty fazowe i

wartości skuteczne prądów (wartościom skutecznym odpowiadają długości wskazów). Można tak wyznaczyć np. : ψ_i_._B =−135ô +15ô =−120ô^,I_B =²^,⁸²⁸⋅²⋅^cos¹⁵ô ≅⁵^,⁴⁶ A.

6. Moce wydawane lub pobierane w poszczególnych fazach oblicza się jako iloczyny długości wskazów napięcia i prądu oraz cosinusa (dla mocy czynnej) lub sinusa (dla mocy biernej) kąta między tymi wskazami. Trzeba przy tym określić znak tego kąta (jest on dodatni, gdy prąd

„opóźnia się” względem napięcia).

Wniosek. Szkic wykresu wskazowego jest zawsze potrzebny do kontroli wyników obliczeń. Jeśli związki geometryczne między wskazami są w miarę proste, to można uzyskać rozwiązanie obwodu bez stosowania rachunku symbolicznego. Widać to dobrze np. dla innego obwodu (rys. poniżej), w którym szuka się wartości I2 i I3 , przy danych: wartości I1 =3 A i związku liczbowym X_C =R 3.

Oblicza się (z danych):

60o 31

23 =ϕ =−

ϕ ^;

R Z

Z₂₃ = ₃₁ =2 ,

stąd I₂₃ =I₃₁ =0,5⋅I₁₂ . Wyznacza się (z wykresu):

12 =2

I A, I₃₁ =1 A, 73

, 1

2 = 3≅

I A,

73 , 1

3 = 3≅

I A.

I1

-I23 U12

ϕ U23

U31

I31

-I31

I12

ϕ -I12

ϕ I23

I2 ϕ

I3

I12

R R I23

C R C I31

I1

I2

I3

U31

U12

U23

L1

L2

L3