BADANIE SKUTECZNOŚCI DZIAŁANIA WYBRANYCH UKŁADÓW STEROWANIA REDUKCJI DRGAŃ
W TRAKCIE SKRAWANIA
Z ZASTOSOWANIEM AKTYWNEGO NARZĘDZIA
Mateusz Kasprowiak
1a, Arkadiusz Parus
1b1Instytut Technologii Mechanicznej, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
amateusz.kasprowiak@zut.edu.pl, barkadiusz.parusz@zut.edu.pl
Streszczenie
Artykuł stanowi krótki przegląd rozwiązań dostępnych na rynku, pozwalających tłumić drgania w trakcie obróbki skrawaniem. W opisie można również znaleźć informacje dotyczące istoty drgań samowzbudnych. Kolejną cześć artykułu stanowi model aktywnego narzędzia na bazie piezoelektrycznego siłownika wraz z przedmiotem obrabia- nym oraz modelem procesu skrawania. Następnie zaprezentowane zostały wyniki badań symulacyjnych dla dwóch układów sterowania (LQG, LMS). Całość symulacji przeprowadzona została w środowisku MatlabSimulink.
Słowa kluczowe: drgania, tłumienie drgań, aktywne narzędzie, LMS, LQG, piezosiłownik, regeneracja śladu
STUDY OF EFFICIENCY OF WORKING CHOSEN CONTROLS IN VIBRATIONS DAMPING
DURING MACHINING PROCESS WITH APPLICATION OF ACTIVE TOOL
Summary
The article account for short overview of solutions which are available on the market, which let dumping the vi- brations during machining process. In the description it is also possible to find information about essence of chat- ter vibrations. The next part of this paper include model of active machine tool based on piezoelectric actuator with work piece and model of machining process. In the next step the results of simulation research were pre- sented for two control systems. All of the simulations were made in Matlab Simulink Softwere.
Keywords: vibrations, vibrations damping, active tool, LMS, LQG, piezoactuator, external modulation
1. WSTĘP
Dzisiejsza technologia, nauka oraz jej zastosowanie kła- dzie coraz większy nacisk na jakość i dokładność wyko- nywanych detali, podzespołów oraz całych urządzeń.
Dotyczy to niemalże każdej dziedziny życia i nauki,
począwszy od przemysłu lotniczego, motoryzacyjnego, a skończywszy na elektronicznym, czy optycznym. Ściśle związany z zagadnieniem dokładności obróbki jest pro- blem wibracji, gdzie dużą rolę w ich tłumieniu odgrywa
aktywna kontrola drgań. Do budowy aktywnych ukła- dów tłumienia drgań często stosowane są siłowniki pie- zoelektryczne, a ich dużą zaletą jest: mała waga, małe wymiary, a także praca w szerokim paśmie częstotliwo- ści. Do budowy aktywnych narzędzi najczęściej wykorzy- stuje się wielowarstwowe ceramiczne piezoelektryczne siłowniki. Dzięki zlokalizowaniu piezosiłownika [1]
w narzędziu, które jest specjalnie do tego celu zaprojek- towane możliwy jest stosunkowo prosty i szybki montaż w obrabiarce, ponieważ nie trzeba ingerować w strukturę kinematyczną, układ nośny oraz układ sterowania obra- biarki.
2. DRGANIA SAMOWZBUDNE TY- PU CHATTER
Drgania typu „chatter” zainteresowały badaczy już ponad 100 lat temu. W latach 40. XX wieku wyprowa- dzono już pierwsze hipotezy oraz udowodniono przyczy- ny ich powstawania. Przeprowadzając badania odnośnie do drgań oraz ich genezy, zaczęto się również zastana- wiać, w jaki sposób skutecznie można je tłumić. Pierw- sze badania doświadczalne oraz matematyczny opis drgań samowzbudnych typu chatter zapoczątkował R.N.
Arnold, który jako jeden z prekursorów tej dziedziny opisał zjawisko „chatteru” w prostych układach narzę- dziowych. Swoich odkryć dokonał w 1946 roku [2].
Drgania samowzbudne typu chatter wywołane są zjawi- skiem modulacji zewnętrznej, zwanej także zjawiskiem regeneracji śladu. Powstają one na skutek działania sił skrawania, których częstotliwości są zbliżone do często- tliwościami drgań własnych narzędzia oraz przedmiotu obrabianego. Powoduje to pogorszenie jakości obrabianej powierzchni, szybsze zużycie narzędzia, zmniejszenie wydajności obróbki, a także zwiększenie emitowanego hałasu. W skrajnym przypadku może nawet dojść do zniszczenia narzędzia lub powierzchni obrabianej [3], [4].
Tak zwana obróbka po śladzie jest bardzo niekorzyst- nym zjawiskiem występującym podczas obróbki skrawa- niem. Zjawisko to polega na tym, że narzędzie po pierw- szej obróbce natrafia w kolejnym przejściu na nierówno- ści powstałe w wyniku wcześniejszej obróbki.
Rys. 1. Zjawisko obróbki po śladzie
Rys. 1. przedstawia graficzną interpretację tego zja-
z dokładnością obrabianych detali) można również przedstawić za pomocą graficznej interpretacji w postaci tzw. krzywych workowych lub, innymi słowy, wykresu stabilności. Przedstawia ona zależność głębokości skra- wania od prędkości obrotowej narzędzia. Charakterysty- ka workowa poniższego wykresu wynika z mechanizmu samowzbudzenia, jakim jest wyżej wymienione zjawisko modulacji zewnętrznej [5].
Rys. 2. Wykres stabilności dla stolika przy obróbce frezem DIN 845-B-K-N [4]
Z wykresu przedstawionego na rys. 2. wynika, że proces obróbki będzie miał charakter stabilny (nie będą powstawały drgania samowzbudne) dla głębokości skra- wania oraz obrotów poniżej krzywych workowych. Na- tomiast w wypadku wystąpienia punktu pracy na grani- cy krzywych spowoduje przejście układu do pracy na granicy stabilności, poprzez co każde niekontrolowane zakłócenie może spowodować przejście układu w stan nieustalony, co spowoduje rozwój drgań samowzbud- nych[6].
3. SPOSOBY TŁUMIENIA DRGAŃ W OBRABIARKACH
Dzisiejsze osiągnięcia naukowe w dziedzinie redukcji drgań w procesie skrawania dotyczą kilku sfer. Mianowi- cie oscylacje można niwelować poprzez ingerencję w układ konstrukcyjny obrabiarki, ingerując w proces obróbki oraz stosując aktywne układy mechatroniczne w sterowaniu obrabiarki. Wybór określonej metody wiąże się z oszacowaniem stopnia trudności wdrożenia i zastosowania, potrzebami, żądanej jakości, zakresem stosowalności, a także z możliwościami finansowymi.
Ingerencja w układ konstrukcyjny (strukturę dyna- miczną) obrabiarki polega na przekonstruowaniu obra- biarki, czyli ingerencji np. w jej układ nośny poprzez zwiększenie jego sztywności [7]. Metoda ta nie cieszy się dużą popularnością z powodu wysokich kosztów, które trzeba ponieść, aby wprowadzić powyższe zmiany. Na- tomiast zastosowanie dodatkowych tłumików pasywnych nie zawsze daje dobre rezultaty, a zmiana geometrii ostrza jest bardzo trudna w technicznej realizowalności
należy zaliczyć sterowanie chwilowym położeniem narzę- dzia względem przedmiotu. Ten sposób polega na połą- czeniu narzędzia z napędem elektrycznym krokowym, pracującym w pętli sprzężenia zwrotnego. W wypadku pojawienia się drgań następuje bardzo mała zmiana aktualnej pozycji narzędzia w celu zmiany kąta natarcia i przyłożenia narzędzia względem przedmiotu. Jest to stosunkowo droga metoda i wymaga dużej ingerencji w konstrukcję uchwytu narzędzia [7].Aktywne tłumienie drgań można zrealizować poprzez zastosowanie w ukła- dzie narzędzia lub przedmiotu obrabianego (stołu obra- biarkowego) dodatkowych elementów w postaci siłowni- ków piezoelektrycznych, łożysk magnetostatycznych lub cieczy reologicznych. Poprzez zastosowanie elementu aktywnego możliwe jest wprowadzenie do układu dodat- kowego oddziaływania za pomocą siły e f (pochodzą- cej od piezoelementu lub innej aktywnej struktury). Siła ta może być kontrolowana poprzez sterowanie napięciem u(t) [3]. Takie aktywne struktury w połączeniu z odpo- wiednimi układami regulacji (PID, LQR czy LMS) dają stosunkowo wysoki współczynnik poprawy, jakości obra- bianej powierzchni, redukcji drgań do stopnia ingerencji w konstrukcję maszyny. Na chwilę obecną mają wysu- blimowany charakter oraz duży potencjał rozwojowy.
Redukcja drgań samowzbudnych może odbywać się poprzez regulację prędkości obrotowej wrzeciona. Meto- da ta polega na dopasowaniu prędkości obrotowej narzę- dzia np. do częstotliwości drgań własnych lub kąta prze- sunięcia fazowego pomiędzy dwoma kolejnymi przej- ściami narzędzia [7]. Do realizacji tej metody stosowane są układy sterowania adaptacyjnego, sztucznych sieci neuronowych oraz logiki rozmytej. Można również pro- gramowo dokonać zmiany prędkości wrzeciona po wcze- śniejszej obserwacji procesu, co jest łatwiejsze, ponieważ nie zachodzi potrzeba ingerowania w układ sterowania obrabiarki[7].
4. MODEL AKTYWNEGO NA- RZĘDZIA
W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych oraz analizy zachowania się modelu obiektu konieczne jest wykonanie modelu symulacyjnego np. opartego o zbiór równań różniczkowych. Na model badanego obiektu składają się trzy podstawowe układy, którymi są: model narzędzia, model siły skrawania oraz model przedmiotu obrabianego. Rys. 3. zawiera wszystkie trzy wspomina- ne składowe. Na podstawie poniższego modelu wypro- wadzone zostały równania różniczkowe opisujące dyna- miczne zachowanie się układu.
Rys. 3. Model układu narzędzie - siła skrawania - przedmiot obrabiany
Tab. 1. Parametry modelu
Ilość warstw piezosiłownika n=228 Stała piezoelektryczna gEE=625e-12 Sztywność piezosiłownika hi=300e6 N/m
Masa narzędzia j=1 kg
Sztywność narzędzia h=15e6 N/m Tłumienie narzędzia k=100 kg/s Masa przedmiotu obrabianego j=10 kg Sztywność przedmiotu obrabianego hD=8e6 N/m Tłumienie narzędzia k=1000 kg/s
Model narzędzia składa się z szeregowo połączonych elementów sprężystych l (współczynnik sprężystości materiału narzędzia) oraz l (współczynnik sprężystości piezoelementu). W modelu narzędzia uwzględniono występowanie tłumienia m, masy n oraz siły genero- wanej przez piezosiłownik e. Zmienna o i oD określa chwilowe położenie narzędzia i przedmiotu obrabianego.
Znając powyższe założenia, można zapisać równania różniczkowe pod postacią 1 i 2 opisujące dynamikę pro- cesu.
pqpr
pqNpr_ k_ j_s ti tuvw (1)
hD_D kD_D jD_Ds tuvw (2)
Wektor stanu obiektu: x d a
dD a
dE a
dF a
y
z{ {{ {{
|_ a
_ a
_D a
_D a }~~~~~
(3)
gdzie d - przemieszczenie narzędzia, dD - prędkość na- rzędzia, dE - przemieszczenie przedmiotu obrabianego, dF - prędkość przedmiotu obrabianego.
wq dD a
w ppqpr
qNpr q d a uq
qdD a p
q
w dF a
w p
dE a u
dF a
= (4)
Wspomniana już siła generowana przez piezosiłownik ti
w równaniu 4, zależna jest od ilości warstw piezoelemen- tu, stałej piezoelektrycznej, sztywności oraz przyłożone- go napięcia i wynosi odpowiednio [1]:
ti gEEh (5)
gdzie,
– ilość warstw piezosiłownika
EE – stała piezoelektryczna l – sztywność piezoelementu
– napięcie na przetworniku
W celu syntezy układu sterowania dogodnie jest prze- stawić model układu pod postacią równań stanu:
d d (6) _ d (7)
gdzie A=
z{ {{
| ¡
ppqpr
qNpr q uq
q
¡
p
u
}~~~
B=
z{ {{
|
q
p
q
}~~~ C=x
¡ ¡ ¡ ¡ y
D=0
d z{ {{
| ¡
ppqpr
qNpr q uq
q
¡
p
u
}~~~
¢ d dD dE
dF
£
z{ {{
|
q
p
q
}~~~
9tuvw > (8)
<
_ x
¡ ¡ ¡ ¡
y ¢ d dD dE
dF
£ 9tuvw > (9)
Wektor wejściowy 9tuvw >
gdzie,
tuvw - siła skrawania
- to napięcie zasilania piezosiłownika
Mając w ten sposób zdeklarowany model narzędzia, pozostaje jeszcze zamodelować ostatni z brakujących elementów, czyli model siły skrawania. Model siły skra- wania opisany jest równaniem 10.
tuvw W3¤¥ d dD :¦i^ § (10)
gdzie,
¨#<OnnV – wartość posuwu
©<OnnV – szerokość warstwy skrawanej
ª<O¬¬«V– współczynnik oporu właściwego skrawania
Siła skrawania zależna jest od posuwu, szerokości war- stwy skrawanej, przemieszczenia narzędzia i przedmiotu obrabianego. Szczególną uwagę należy poświęcić oporowi właściwemu K, ponieważ wyznaczany jest doświadczal- nie i zależy, między innymi od takich parametrów jak:
rodzaj narzędzia, kąt natarcia, kąt przyłożenia, rodzaj obrabianego materiału oraz parametrów obróbki.
5. STEROWANIE
5.1 UKŁAD REGULACJI LQG
Rodzaj regulowanego obiektu, jego zachowanie, dynami- ka oraz możliwość jego opisu matematycznego pozwalają określić klasę układów sterowania obiektem. Drgania mogą mieć charakter stochastyczny i daje się je opisać statystycznie. Właściwości te można wykorzystać przy doborze układów sterowania. Przykładem może być układ LQG (ang. Linear – Quadratic – Gaussiancon- trol). Jest sterowaniem realizowanym w warunkach niepewności, narażonym na działanie addytywnych białych szumów Gaussa oraz posiadającym niekompletne informacje o stanie (np. nie wszystkie zmienne stanu są mierzone i dostępne dla sprzężenia zwrotnego). Regula- tor LQG jest kombinacją filtru Kalmana i regulatora liniowo-kwadratowego LQR [10].Aby syntezować układ regulacji LQR, należy kierować się wskaźnikiem minima- lizacji kosztów zgodnym z równaniem 10.
® ¯ ° ¯´∞ ±²¯ ±³ ga (10)
Innymi słowy, celem sterowania jest utrzymanie układu w stanie równowagi bądź w punkcie pracy, a realizowane jest to poprzez wyznaczenie takiego sygnału sterującego u(t), który będzie minimalizować kwadratowy wskaźnik, jakości. Ponadto Q oraz R są półdodatnio określonymi macierzami wag wskaźników kosztów.
Rys. 4. Schemat blokowy regulatora LQG
5.2 UKŁAD REGULACJI ADAPTA- CYJNEJ LMS
Regulator LQG jest ściśle oparty na modelu obiektu.
W trakcie sterowania obiekt ulega zmianie (masa, sztywność, tłumienie), z tego względu skuteczność LQG może się zmniejszyć. Rozwiązaniem są układy adapta- cyjne, które są w stanie dopasować się do zmieniających się warunków. Przykładem jest LMS. Wykorzystując sygnał błędu jako sygnał wejściowy do filtra adaptacyj- nego FIR (ang. FiniteImpulseResponse), czyli filtru o skończonej odpowiedzi impulsowej, może skutecznie redukować poziom drgań. Filtr adaptacyjny FIR, jest podstawowym elementem filtracji adaptacyjnej, oddzia- łuje na pętle sprzężenia zwrotnego. Na rys. 5. zaznaczo- ny jest schemat blokowy adaptacyjnego sprzężenia zwrotnego układu, który oparty jest na filtrze FIR. Blok z jednostką opóźnienia q-1 na wejściu do regulatora jest nieodzowną częścią tego filtra, zaangażowaną do adapta- cyjnej cyfrowej filtracji pętli sprzężenia zwrotnego. Ce- lem filtracji jest znalezienie minimum średniego błędu kwadratowego, co można np. wykonać poprzez algorytm oparty na metodzie najmniejszego spadku [9]. Można również zastosować metodę Newtona w celu poszukiwa- nia minimum funkcji, lecz ze względu na dużą trudność implementacji tego algorytmu metoda ta praktycznie nie jest stosowana. Niemniej jednak idea obu metod jest ta sama, czyli wykorzystanie gradientu średniego błędu kwadratowego do znalezienia minimum.
Rys. 5. Schemat blokowy regulatora LMS
Rys. 5. prezentuje regulator wykorzystujący filtrację LMS oraz pętlę sprzężenia zwrotnego, gdzie E – oznacza dynamiczny układ pierwotny (ang. dynamic forward path) ponad sterowaniem, estymacją tej wartości jest µ¶.
6. WYNIKI SYMULACJI
Na potrzeby symulacji zostały przyjęte następujące parametry obróbki skrawaniem:
prędkość obrotowa wrzeciona - 800 [6·.
¬?¸V, posuw - 0,5 [¬¬
6·.V,
szerokość warstwy skrawanej - 0,6 [nnV.
Dodatkowo założono, iż sztywność przedmiotu obrabia- nego jest większa od narzędzia, w związku z tym ele- mentem wzbudzającym drgania jest narzędzie. Skrawa- nym materiałem podczas symulacji jest stal ST 45, natomiast kąt pomiędzy powierzchnią przyłożenia a powierzchnią pomocniczą wynosi 45 stopni.
Poniżej przedstawione zostały wyniki symulacji obróbki toczeniem, które zostały przeprowadzone dla układu bez sterowania oraz układu ze sterowaniem LQG i LMS.
Rys. 6. Wyniki symulacji - przemieszczenie narzędzia bez ukła- du sterowania, z układem sterowania LMS oraz układem stero- wania LQG
Rys. 7. Wyniki symulacji - przemieszczenie przedmiotu obra- bianego bez układu sterowania, z układem sterowania LMS oraz układem sterowania LQG
Rys. 8. Wyniki symulacji - siła skrawania bez układu sterowa- nia, z układem sterowania LMS oraz układem sterowania LQG Analizując rys. 6 oraz 7, zauważono zmniejszenie się amplitudy drgań narzędzia przy jednocześnie minimalnie zmniejszonej amplitudzie drgań przedmiotu obrabianego, co jest efektem jednego z założeń symulacji - czyli przedmiot obrabiany został potraktowany jako element znacznie sztywniejszy od narzędzia, a czynnikiem wzbu- dzającym drgania jest smukłe i podatne narzędzie. Sto- sując układ sterowania LMS, uzyskano mniejszą ampli- tudę drgań o 10 µm w porównaniu do symulacji bez układu sterowania. Z kolei wykorzystując układ stero- wania LQG, uzyskano zmniejszenie się amplitudy o 7,5µm. Ponadto ważnym spostrzeżeniem, jest również fakt, iż nie stosując żadnego układu sterowania, ampli- tuda drgań narzędzia sukcesywnie wzrasta. Zarówno układ sterowania LQG, jak i LMS powodują zmniejsze- nie amplitudy drgań narzędzia, a także zapobiegają
wzrostowi amplitudy drgań narzędzia skrawającego. Na rys. 8 przedstawiono wykres siły skrawania w czasie dla trzech wariantów symulacji. Analogicznie: bez układu sterowania, z układem sterowania LMS oraz LQG. Jak wynika z powyższego rysunku, siła skrawania również uległa zmniejszeniu oraz przede wszystkim stabilizuje się poprzez co obróbka skrawaniem ma charakter stabilny, co z kolei skutkuje zmniejszeniem zużycia się ostrza oraz elementów obrabiarki.
7. WNIOSKI
Dzięki wykorzystaniu aktywnych struktur, takich jak np. piezosiłowniki w konstrukcji narzędzia skrawającego, wraz z odpowiednim układem sterowania można w skuteczny sposób zredukować poziom drgań wynikają- cych z procesu obróbki skrawaniem. Na podstawie za- prezentowanych wyników można stwierdzić, iż weryfika- cja skuteczności działania takich układów sterowania jak LQG oraz LMS w czasie obróbki skrawaniem aktywnym narzędziem jest pozytywna. Mniejsza amplituda drgań przedmiotu obrabianego oraz narzędzia skutkuje zmniej- szeniem się siły skrawania, a co się z tym wiąże - wydłuża się żywotność narzędzia, jak i wszystkich pod- zespołów obrabiarki. Ponadto obróbka ma charakter stabilny oraz można uzyskać większe dokładności, co jest z kolei najważniejszym aspektem.
Literatura
1. Preumont A.: Mechatronics dynamics of electromechanical and piezoelectric systems. Springer 2006.
2. Chodnicki M.: Nadzorowanie drgań podczas frezowania przedmiotów podatnych z wykorzystaniem aktywnego sterowania optymalnego. Gdańsk: Pol. Gd., Wydz. Mech..,Kat. Mechaniki i Mechatroniki, 2011. Rozprawa dok- torska.
3. Kecik K., Rusinek R., Warminski J., Weremczuk A. Chatter control in the milling process of composite materi- als. “Journal of Physics” Conference Series 2012, 382(1), p. 1-6.
4. Weremczuk A.: Analiza drgań typu chatter w obróbce skrawaniem oraz metody ich eliminacji. Lublin: Pol.
Lubelska, Wydz. Mech., Kat. Mech. Stos., 2004. Rozprawa doktorska.
5. Marchelek K.: Projektowanie systemu obrabiarka - proces skrawania odpornego na drgania samowzbudne. „In- żynier” - pismo Politechniki Szczecińskiej 2007 nr 4(27), s. 12-16.
6. Pajor M., Hoffman M., Marchelek K.: Identyfikacja parametrów modeli procesu skrawania dla wieloostrzowych narzędzi obrotowych. „Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, 307-314.
7. Galewski M.: Nadzorowanie drgań podczas frezowania szybkościowego smukłym narzędziem z wykorzystaniem zmiennej prędkości obrotowej wrzeciona. Gdańsk: Pol. Gd., Wydz. Mech., Kat. Mech. i Wytrz. Mat. 2007.
Rozprawa doktorska.
8. Pettersson L.: Vibrations in metal cutting. Ronneby, Dep. of Telecommunications and Signal Processing, Bleking Institute of Technology, 2002.
9. Claesson I., Hakansson L.:Adaptive active control of machine tool vibration in a lathe. “International Journal of Acoustics and Vibration” 1998, Vol. 3, No. 4, p. 1826-1831.
10. Brian D.O. Anderson, John B. Moore: Optimal control linear quadratic methods. Prentice-Hall 1989.
