DOBÓR CZĘSTOŚCI WYMUSZENIA PRZENOŚNIKA DZIAŁAJĄCEGO NA ZASADZIE ELIMINATORA FRAHMA
Z WARUNKU MINIMALIZACJI SIŁ PRZEKAZYWANYCH NA PODŁOŻE
P
IOTRC
ZUBAKAGH, Wydział IMiR, Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, e-mail: czubak@agh.edu.pl
Streszczenie. Przenośniki wibracyjne znajdują zastosowanie w przemyśle do transportu ciągłego materiałów sypkich na niewielkie odległości (do 20m). Ze względu na ich specyfikę ruchu największą wadą tego typu przenośników jest przenoszenie znaczących sił dynamicznych na podłoże. W celu obniżenia reakcji dynamicznych zaproponowano już w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku wykorzystanie w budowie przenośników wibracyjnych efektu eliminatora dynamicznego Frahma. Intensywny rozwój tego typu przenośników zaczął się z początkiem XXI wieku.
W przemyśle nie stosuje się, jak do tej pory, tego typu rozwiązania do przenoszenia nadawy o znacznej masie ze względu na powszechne przekonanie, że wraz ze wzrostem masy nadawy występuje znaczny wzrost sił przekazywanych na podłoże.
W niniejszej pracy wykazano, że przy odpowiednim doborze parametrów przenośnika działającego na zasadzie eliminatora Frahma - pomimo obciążenia go znaczną masą nadawy - można uzyskać bardzo niskie wartości sił przekazywanych na podłoże.
1. WSTĘP
Przenośniki i podajniki wibracyjne znajdują zastosowanie w przemyśle do transportu ciągłego materiałów sypkich na niewielkie odległości, (do 20m). Ze względu na specyfikę ruchu największą wadą tego typu przenośników jest przenoszenie znaczących sił dynamicznych na podłoże [1,2,3,4].
Dla obniżenia reakcji dynamicznych zaproponowano już w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku [5] wykorzystanie w budowie przenośników wibracyjnych efektu eliminatora dynamicznego Frahma [6]. Prawdziwy rozwój tego typu przenośników zaczął się z początkiem XXI wieku. W pracy analizowano przenośniki, w których siła wymuszająca przyłożona jest do ramy wibroizolującej i działa w kierunku drgań, przechodząc przez środek ciężkości ramy i rynny [7,8,9]. W przemyśle nie stosuje się, jak do tej pory, tego typu rozwiązania do przenoszenia masywnej nadawy ze względu na powszechne przekonanie, że wraz ze wzrostem masy nadawy występuje znaczny wzrost sił przekazywanych na podłoże.
Producenci przenośników zazwyczaj zalecają stosowanie tego typu rozwiązania do lekkich nadaw (przemysł spożywczy). W niniejszej pracy wykazano, że przy odpowiednim doborze parametrów przenośnika działającego na zasadzie eliminatora Frahma, mimo obciążenia go
znaczną masą nadawy, można uzyskać bardzo niskie wartości sił przekazywanych na podłoże, niższe niż w przenośnikach wibracyjnych posadowionych na ramie wibroizolacyjnej, co jest szczególnie istotne przy usytuowaniu przenośnika w miejscach czułych na drgania.
Rys.1. Przenośnik wibracyjny. US. Pat 6,659,267 2003. FMC Technologies
W przenośnikach działających na zasadzie eliminatora Frahma rama przenośnika jest wzbudzana do drgań siłą o charakterze sinusoidalnymP0sint, natomiast masą tłumiącą drgania ramy jest rynna przenośnika (rys. 1). Rynna przenośnika połączona jest z ramą za pomocą sprężyn listwowych o współczynniku sprężystości ks , spełniającym zależność 1 tworząc eliminator Frahma.
2 r
s M
k (1)
W stanie ustalonym rynna drga z amplitudą wywołującą w elemencie sprężystym listwowym siły przeciwne do siły wymuszającej wibratora, co powoduje wygaszenie drgań ramy wibroizolującej, zatem sama wzbudzana jest do drgań za pomocą siły identycznej do siły wzbudzającej pochodzącej od wibratorów. W literaturze światowej brak jest opracowań oceniających skuteczność tego typu rozwiązania.
2. MODEL PRZENOŚNIKA OBCIĄŻONEGO NADAWĄ
Ze względu na silną zależność skuteczności eliminatora od tłumienia w układzie [10,11,12,13,14] obliczenia prowadzone bez uwzględnienia nadawy są zwykle obarczone dużym błędem.
W celu oceny wpływu nadawy na skuteczność redukcji sił przekazywanych przez przenośnik analizowanego typu na podłoże zbudowano model symulacyjny odpowiadający schematowi pokazanemu na rys. 2.
Rys. 2. Model przenośnika wibracyjnego obciążonego nadawą
W skład analizowanego układu wchodzą dwa wibratory inercyjne, wymuszone silnikami indukcyjnymi opisanymi za pomocą charakterystyki statycznej, wzbudzające do drgań ramę zawieszoną na układzie sprężyn spiralnych. Rynna przenośnika wraz z nadawą [11,15]
zawieszona jest na ramie za pomocą układu listew resorujących pozwalających na ruch względny rynny i ramy tylko wzdłuż osi s.
Model matematyczny takiego układu składa się z równania macierzowego (2) opisującego ruch maszyny, równania (9) opisującego moment elektromagnetyczny silników napędowych, równań (8) służących do wyznaczenia ruchu kolejnych warstw nadawy oraz zależności (6) i (7) opisujących oddziaływania normalne i styczne pomiędzy warstwami nadawy, jak również pomiędzy nadawą i korpusem maszyny.
] [ ] [ ]
[M q Q (2)
r r
r r
r r
k r r r r r r
r
r r
r r
k
r r
r r
k
m h
a M M
M
J me
l h a
h me me
me
h a M
l h a
h me J J a h M
l h l h a m M a a m h M h h m
M me
a M a a m M
m M
M me
h M h h m M
m M
M
0 )
cos sin ( sin
cos
2 0 2
)) sin(
) cos(
) sin(
) cos(
( cos
sin 2 cos cos 2
) cos
sin (
)) sin(
) cos(
) sin(
) cos(
( )
(
) ) (
( )
(
sin cos
sin 2 )
( 2
0
cos cos
cos 2 )
( 0
2
] [
1 1
0 2
2 2 1
1
1 1
2 2 1
1 2
2 2 1 2 1 2 2 2 2 2
1 2
1
2 1
2 1
(3) [q][xys]T (4)
sin ) (
cos ) (
)) cos(
) (sin(
) ( 2
) 2 ( ) ( )
( ) 2 ( ) (
) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( 1
)) cos(
) sin(
( )) cos(
) sin(
(
) 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( )) 1 cos(
) (sin(
) ( ) ( cos sin 2
] [
) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 ) 01 ( 1 ) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 ) 01 ( 1
2
) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 )
01 ( 1 ) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 ) 01 ( 1
2 2
2 2
2 2 2 1
1 2
) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 ) 01 ( 1 2 1
2 1
2
) 05 ( 1 ) 04 ( 1 ) 03 ( 1 ) 02 ( 1 ) 01 ( 1 2
F F F F F T
T T T T s k
mge sign b
a d F a d F a F a d F a d F H T T T T T l l y b l l y b l l y k l l y k
H b x H b Hx k H k l
h e m l
h me
F F F F F l y b l y b l y k l y k me
T T T T T H x b H x k me
Q
s
s
r r
r r r
r y
y y
y
x x x x
y y
y y
x x
2Mel
(5) gdzie:
s - współrzędna zależna,
Fj,(j-1,k) – składowa normalna nacisku warstwy j-tej na j-1 w kolumnie k-tej,
Tj,(j-j,k) – składowa styczna nacisku warstwy j-tej na j-1 w kolumnie k-tej,
j - wskaźnik warstwy materiału, j=0 odnosi się do korpusu maszyny, k – wskaźnik kolumny warstwy materiału.
Jeśli kolejne warstwy nadawy (w danej kolumnie) j i j-1 nie stykają się, wówczas siła kontaktowa na kierunku normalnym Fj,(j-1,k) i stycznym Tj,(j-1,k) pomiędzy tymi warstwami jest równa zero. W przeciwnym razie występuje siła kontaktowa na kierunku normalnym pomiędzy warstwami j,k i j-1,k nadawy (lub w przypadku pierwszej warstwy: między warstwą a rynną), której model [11] ma postać:
1 sgn( ) sgn( )
2 1 1 )
( 1, , 1, ,
2 ,
, 1 ) . 1 (
, j k jk j k jk
p k j k j k j j
k R
F (6)
oraz pochodząca od tarcia siła na kierunku stycznym:
) sgn( , 1,
) , 1 ( , )
, 1 (
, j k j j k jk j k
j F
T
(7)Równania ruchu na kierunkach i poszczególnych warstw nadawy, z uwzględnieniem oddziaływania przenośnika na dolne warstwy nadawy, mają postać:
) , ( , 1 ) , 1 ( , , ,
) , ( , 1 ) , 1 ( , ,
k j j k j j k nj k
nj
k j j k j j k nj
F F
g m m
T T
m
(8)
2 2
1
) (
) (
) (
) (
2
i ss ut
ss
ut ss i ss ut
el
M
M - moment generowany przez silniki napędowe (9)
Mut- moment utyku silników napędowych,
ss- częstość synchroniczna silników napędowych,
ut- częstość utyku silników napędowych.
Symulacje przeprowadzone były przy następujących parametrach:
l = 4 m
l1 = 1 m (zmienna) l2 = 0,6 m ( zmienna) h1 = 0,6 m (zmienna)
h2 = 1 m (zmienna) H = 0,0 m
h = 0,0 m Hr = 0,0 m ar = 0,0 m d = 0,8 m
= 450 (zmienny) kx = ky = 2328000 N/m ks = 42171481 N/m bx = by =
2
, ,y xy
x k
Ns/m bs =
2
s sk
Ns/m
y
= 0,14 x,
= 0,9 s
m = 15 kg J0 = 0
e = m zmienna zależna od współczynnika podrzutu K.
Mr = 3700 kg Mk = 2600 kg
m = 800 kg (zmienna) n Jk = 500 kgm2Jr = 700 kgm2 Mut = 50 Nm
ss = 106 rad/s ( zmienna)
ut = 15,9*2 rad/s (zmienna)
bs = 0,0 Nms2 R = 0,13
= 0,4
3. WYZNACZENIE SIŁ PRZEKAZYWANYCH NA PODŁOŻE Z UWZGLĘDNIENIEM ODDZIAŁYWANIA NADAWY
Drgania przenośnika symulowane były dla wielu kątów nachylenia 90o,60o,45o,30o,20o, jak również dla różnych współczynników podrzutu i różnych mas nadawy. Wartością analizowaną była siła przekazywana na podłoże. Rys. 3 to tylko przykładowy wykres. Na podstawie podobnych wykresów dla różnych kątów nachylenia i różnych współczynników podrzutu zostały wyciągnięte wnioski odnośnie do strojenia przenośników działających na zasadzie eliminatora Frahma i obciążonych masywną nadawą.
Rys 3. Siła przekazywana na podłoże w zależności od częstotliwości wymuszenia dla masy mn=800[kg] i dla różnych współczynników podrzutu K, gdzie:
a – częstość wymuszenia wyznaczona z zależności 10
b – częstość wymuszenia wyznaczona z zależności: ks Mr )
Rys. 3 przedstawia siłę przekazywaną na podłoże w zależności od częstotliwości wymuszenia dla masy nadawy mn=800[kg] dla różnych współczynników podrzutu. Kąt pochylenia kierunku drgań 450. Wykres ten powstał poprzez aproksymację punktów wyznaczonych każdorazowo, w stanie ustalonym, dla danej częstotliwości i masy nadawy.
Po przeanalizowaniu wielu podobnych do powyższego wykresów można wysnuć następujące wnioski.
Jeśli masa nadawy jest mniejsza niż 5% masy rynny (która powinna być stosunkowo masywna [16]), to przenośnik należy stroić, nie uwzględniając masy nadawy. Jeśli masa nadawy jest większa niż 5% masy rynny, to przenośnik należy stroić, uwzględniając jej masę w zależności od wartości współczynnika podrzutu K.
Jeżeli współczynnik podrzutu K dla przenośnika jest w zakresie:
A) 1 K 1,6 - przenośnik należy stroić, uwzględniając masę nadawy zgodnie z empirycznie wyznaczoną zależnością:
2
nsin
r s
m M
k
(10)
gdzie:
Mr - masa rynny przenośnika,
ks - sumaryczny współczynnik sztywności listew resorujących na kierunku roboczym s, mn - masa nadawy.
- kąt odchylenia kierunku drgań rynny od poziomu.
Pozostaje to w zgodzie z formułą [15] określającą wpływ masy nadawy na współczynnik podrzutu w przypadku maszyny bezpośrednio posadowionej na fundamencie i obciążonej nadawą.
B) 1,6 K 1,9 - przenośnik można stroić w szerokim zakresie między częstością wynikającą z uwzględnienia nadawy a częstością wynikającą bezpośrednio ze wzorów nieuwzględniających wpływu nadawy na częstość wymuszenia:
r s n
r s
M k m
M
k
sin2 (11)
W tym przypadku minimum siły przekazywanej na podłoże występuje w szerokim zakresie częstości wymuszenia, przy czym wartość tej siły jest znacznie większa niż w przypadku strojenia dla 1 K1,6.
C) 1,9 K 2,4 - przenośnik należy stroić na częstość wymuszenia zgodnie z zależnością:
r s
M
k
(12)
W tym przypadku strojenie nie zależy od masy nadawy, przy czym siły przekazywane na podłoże są znacznie większe niż w poprzednich przypadkach.
D) 2,4 K - przenośnik tego typu nie będzie działał poprawnie z masą powyżej 3%
masy rynny. Siły przekazywane na podłoże są znacznie większe od sił przekazywanych w poprzednich przypadkach. Wynika to z chaotycznego ruchu nadawy na rynnie, mimo że dla K3,3 jest to jeszcze ruch jednotaktowy.
WNIOSKI
1. Autor zaproponował korzystanie z zależności (9) przy wyznaczaniu częstotliwości wymuszenia przenośnika działającego na zasadzie eliminatora Frahma obciążonego nadawą o znacznej masie, gdy współczynnik podrzutu K<1,6.
2. Dla badanego typu przenośników niekorzystna jest praca przy współczynniku podrzutu 1
,
2
K ze względu na znaczny wzrost sił przekazywanych na podłoże.
LITERATURA
[1] Blechman I.I.: Vibrational mechanics. Moscow: Fizmatlit, 1994.
[2] Banaszewski T.: Przesiewacze. Katowice: Wyd. Śląsk, 1990.
[3] Czubak P.: Mass optimisation of the vibroinsulating frame of a short vibratory conveyor.
“ Mechanics” 2006, Vol.25, No.1, p. 33–40.
[4] Michalczyk J., Czubak P.: Natural vibrations of long vibratory conveyors. “Archives of Metallurgy and Materials” 2006, Vol. 51 No. 1, p. 145–154.
[5] Long G, Tsuchiya T.: Vibratory conveyors. US pat 2,951,581, 1960.
[6] Frahm H.: Device for damping vibrations of bodies, US Patent No.989958, 1909.
[7] Patterson H.: Two-Mass, Base-Excited Conveyor. US pat 6,659,267, 2003.
[8] Jones P, Ruff J., Gale J.: Excited frame conveyor and excitation process for same. US pat 6,655,523, 2003.
[9] Sleppy P.: Excited base conveyor system, US pat. 6,415,913, 2002.
[10] Michalczyk J., Czubak P.: Influence of collisions with a feed material on cophasal mutual synchronisation of driving vibrators of vibratory machines. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2010, Vol. 48, No. 1, p. 155–172.
[11] Michalczyk J.: Phenomenon of force impulse restitution in collision modelling. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 2008, No. 4, Vol. 46, p. 907–908.
[12] Guillermo Rein Soto-Yarrritu, Martinez A.A.: Computer simulation of granular material:
vibrating feeders. “Powder Handling & Processing” 2001, Vol. 13, No 2, p. 181-185.
[13] Rouijaa M., Kruelle C.A., Rehberg I., Grochowski R. , Walzel P.: Transport and pattern formation in granular materials on a vibratory conveyor. “Chem. Eng. Technology” 2005, 28, p. 41-44.
[14] Czubak P.: Equalization of the transport velocity in a new two-way vibratory conveyor.
“Archives of Civil and Mechanical Engineering” 2011, Vol. XI, p. 573-586.
[15] Michalczyk J, Cieplok G.: Wyznaczenie ruchu rynny maszyny wibracyjnej z uwzględnieniem zakłóceń wywołanych zderzeniami z nadawą. „Mechanika” 1999, t.18, z. 2, s. 233–261.
[16] Czubak P, Michalczyk J.: Własności ruchowe przenośników wibracyjnych działających na zasadzie eliminatora dynamicznego. „Modelowanie Inżynierskie” 2007, nr 33, t. 2, s. 55–60.
SELECTION OF THE EXCITATION FREQUENCY OF THE CONVEYOR OPERATING
ON THE FRAHM’S ELIMINATOR BASIS
TAKING INTO ACCOUNT THE CONDITION OF MINIMISING FORCES TRANSMITTED TO THE FOUNDATIONS
Summary. Vibratory conveyors are applied in the mining industry for continuous transport of loose materials at rather small distances (to 20m). Due to a specificity of their motion the most serious fault of this type of conveyors is transmitting significant dynamic forces on the foundation.
For decreasing dynamic reactions the utilization of the Frahm’s dynamic eliminator, in building vibratory conveyors, was proposed already in the sixtieth of the last century. An intensive development of this type of conveyors started at the beginning of the 21st century.
However, so far, this type of solution is not applied in the industry for transporting feed materials of a significant weight, since it is generally believed that when the feed weight increases the forces transmitted to the foundation also significantly increase.
It is shown, in the hereby paper, that at the proper selection of parameters of the conveyor operating on the basis of the Frahm’s eliminator – despite of its heavy load - very low values of forces transmitted to the foundation can be achieved.
These forces are lower than in the case of vibratory conveyors placed on vibroinsulating frames. This is especially important when conveyers are situated in places very susceptible to vibrations.
