WYZNACZENIE ZALEŻNOŚCI POZWALAJĄCEJ NA OPTYMALNY DOBÓR MASY RAMY WIBROIZOLUJĄCEJ KRÓTKIEGO PRZENOŚNIKA WIBRACYJNEGO

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 83-90, Gliwice 2006

WYZNACZENIE ZALEŻNOŚCI POZWALAJĄCEJ

NA OPTYMALNY DOBÓR MASY RAMY WIBROIZOLUJĄCEJ KRÓTKIEGO PRZENOŚNIKA WIBRACYJNEGO

PIOTR CZUBAK

Katedra Mechaniki i Wibroakustyki, Wydział IMiR, AGH Kraków

Streszczenie. W pracy analizowano przenośniki krótkie (do kilku metrów) posadowione na ramie wibroizolowanej od podłoża. Dotychczas projektowane ramy wibroizolujące miały znacznie większą masę od masy rynny przenośnika, co jak wykazano w pracy, nie jest słusznym podejściem. W pracy określono bezwymiarowy współczynnik, przydatny przy projektowaniu optymalnych ram wibroizolujących, stosunku siły przekazywanej na podłoże przez przenośnik bez ramy wibroizolacyjnej do siły przekazywanej przez przenośnik wibroizolowany.

1. WSTĘP

W transporcie wibracyjnym materiałów sypkich na niewielkie odległości (do 20m).

wykorzystuje się przenośniki wibracyjne. Ze względu na ich wadę, którą jest przenoszenie znaczących sił dynamicznych na podłoże [1,2], przenośniki częstokroć zawiesza się na drogich masywnych ramach, miękko wibroizolowanych od podłoża. W niniejszej pracy analizowano przenośniki krótkie, rzędu kilku metrów, w których rynnę można traktować jako ciało sztywne, posadowione na ramie wibroizolowanej od podłoża. Dotychczas projektowane ramy wibroizolujące miały znacznie większą masę od masy rynny przenośnika [3], co jak wykazano w pracy, nie jest słusznym podejściem.

W pracy określono bezwymiarowy współczynnik, przydatny przy projektowaniu optymalnych ram wibroizolujących, stosunku siły przekazywanej na podłoże przez przenośnik bez ramy wibroizolacyjnej do siły przekazywanej przez przenośnik wibroizolowany.

Współczynnik ten jest zależny od stosunku masy rynny do masy ramy wibroizolującej oraz od stosunku częstości parcjalnej rynny posadowionej na zawieszeniu listwowym do częstości siły wymuszającej. Zależność ta daje możliwość określenia skuteczności wibroizolacji niezależnie od masy rynny i wartości siły wymuszającej.

W celu sprawdzenia poprawności działania przenośnika wibroizolowanego ramą przeprowadzono symulację rozruchu i pracy ustalonej układu.

2. WYZNACZENIE BEZWYMIAROWEGO STOSUNKU SIŁY PRZEKAZYWANEJ NA PODŁOŻE PRZEZ PRZENOŚNIK NIEWIBROIZOLOWANY DO WIBROIZOLO- WANEGO RAMĄ

Na rysunku 1 przedstawiony jest model przenośnika wibracyjnego posadowionego poprzez układ listew resorujących bezpośrednio na podłożu. W celu obniżenia sił przekazywanych na podłoże przenośniki tego typu zawiesza się na masywnych ramach wibroizolowanych od podłoża, (rys 2).

β

τ

Rys.1.Model przenośnika wibracyjnego posadowionego bezpośrednio na fundamencie

b b

kx

Po*sin(wt)

x x

x y₁

m

m

J

J

β

1

2

H

h

Rys.2. Schemat przenośnika wibracyjnego, posadowionego na elastycznie podpartej sztywnej ramie

Układ powyższy posiada cztery stopnie swobody związane odpowiednio ze współrzędnymi x,y,τ i β. Przy założeniu, że kx = ky i kierunek siły wymuszającej przechodzi zarówno przez środek ciężkości, jak i przez środek układu zawieszenia, można układ przenośnika sprowadzić do układu przedstawionego na rysunku.3.

m

m

1

τ τ

2

k k

b

b x

y

P 0

Rys.3. Uproszczony schemat wibroizolowanego przenośnika

W celu określenia bezwymiarowego stosunku siły przekazywanej na podłoże przez układ bez wibroizolacji i z wibroizolacją porównano siły przekazywane przez układy przedstawione na rysunkach 1 i 3.

Po wyznaczeniu i rozwiązaniu równań ruchu dla tych układów, z pominięciem tłumienia względem amplitud drgań, a co za tym idzie wyznaczeniu sił przekazywanych na podłoże, można wyznaczyć stosunek sił przekazywanych przez układy w zależności od stosunku mas rynny do masy ramy wibroizolującej i stosunku częstości parcjalnej rynny posadowionej na zawieszeniu listwowym do częstości siły wymuszającej.

Zapisując równania ruchu dla układów przedstawionych na rysunkach 1 i 3 w postaci:

{

m1τ&&+k_ττ =P0⁽t⁾ - dla przenośnika bez ramy (1)





= +

−

−

=

− +

0 )

(

) ( )

(

2

0 1

ky y

x k y m

t P y x k x m

τ τ

&

&

&

&

- dla przenośnika z ramą (2)

zakładając, że:

2 1 p

t m

k = ω



 +

= 1

1 2

m k m

k _t - (sztywność zawieszenia ramy rośnie wraz z jej masą) (3)

jak również zakładając wymuszenie monoharmoniczne w postaci:

) sin(

)

( ²

0 t m e t

P = _w ω ω (4)

oraz ograniczając się do stanu ustalonego, układy równań różniczkowych (1) i (2) można zapisać następująco:

{

^{−m1ω2Τ+m1ωp2Τ=P0 (5)}







 =

 

 +

+

− +

−

=

− +

−

0 1

) (

) (

1 2 1 2

1 2 2

0 2

1 2

1

m Y m m Y X k m Y m

P Y X m X m

p p

p

ω ω

ω

ω ω

τ

(6)

Po rozwiązaniu równań względem amplitud otrzymuje się:

























 −





=

1

2 2

1 0

ω ω ω^p m

T P (7)

































 

 +



 



− 



 



− 

 +



 









=

















 +

 

− 





−

 +

 

















 +

 −

 



=

1 2 4

1 2 2 2

1 2 4 2

1

2

0

1 2 4

1 2 2 2

1 2 4 2

1

1 2 2

1 2 2

0

2 2

2 2

2

m m m

m m

m m

P Y

m m m

m m

m m

m m m

P m

X

p p

p p

p

p p

p p

p p

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω ω

ω

(8)

Na tej podstawie można wyznaczyć siły przenoszone na podłoże przez układy:

T k

F_r1 = _t ⋅ - dla przenośnika bez ramy Y

k

F_r2 = ⋅ - dla przenośnika z ramą (9)

gdzie:

1

F - siła przekazywana na podłoże przez przenośnik bez ramy wibroizolującej, r 2

F - siła przekazywana na podłoże przez przenośnik po dodaniu ramy wibroizolującej. r

Znając te wartości, można wyznaczyć ich iloraz, który po przekształceniach przyjmuje postać:

























 +

 

− 





−

 +

 













 −











 +

= ₄

1 2 2

1 2 2

1 2 4

2

1 2 2

1 2 1 2

2 2

1 1

ω ω ω

ω ω

ω ω

ω

ω ω

p p

p p

p

r r

m m m

m m

m

m m

m m F

F (10)

gdzie:

1 2

m

m - stosunek masy ramy do masy rynny wibroizolującej,

ω ω_p

- stosunek częstości parcjalnej rynny posadowionej na zawieszeniu listwowym do częstości siły wymuszającej P0.

Wzór (10) daje możliwość określenia skuteczności wibroizolacji niezależnie od wartości siły wymuszającej i masy rynny przy założeniu, że spełniony jest warunek dany równaniem (3).

2.1 Wyznaczenie masy ramy dla typowego przenośnika wibracyjnego.

W dalszej części pracy analizowano dobór ramy dla przenośnika wibracyjnego o typowych parametrach (rys. 1), w którym masa rynny wynosiła m1=3700[kg] jej amplituda A=2,37[mm], sztywność zawieszenia listwowego k_τ=1532[kN/m], a częstość siły wymuszającej

[ ]

^rad_s

=105

ω .

Rysunek 4 przedstawia zależność wyznaczoną na postawie wzoru (10), stosunku siły przekazywanej na podłoże przez układ z wibroizolacją do siły przekazywanej na podłoże przez układ bez wibroizolującej ramy, w funkcji stosunku mas ramy do rynny przenośnika.

W analizowanym przypadku:

19 ,

1 =0

= ω

ω

ω ^τ m k

p (11)

F F r1

r2

mm

1 2

Rys.4. Zależność stosunku siły przekazywanej na podłoże przez układ z wibroizolacją do siły przekazywanej na podłoże przez układ nie wibroizolowany od stosunku mas ramy do rynny

przenośnika

Z wykresu przedstawionego na rysunku 4 widać, że otrzymuje się dziesięciokrotne obniżenie sił przenoszonych na podłoże dla masy ramy równej 70% masy rynny.

2.2 Wyznaczenie amplitudy drgań rynny przenośnika z ramą wibroizolacyjną.

Przy projektowaniu przenośników wibracyjnych podpartych na ramie wibroizolacyjnej ważne jest też, aby amplituda drgań rynny na kierunku roboczym nie różniła się znacząco od amplitudy wymaganej technologicznie. Rysunek 5. przedstawia amplitudę drgań rynny w funkcji stosunku masy rynny do masy ramy dla układu przedstawionego na rys. 2, w którym częstość wymuszenia była stała. Jest ona praktycznie stała, niezależnie od masy ramy wibroizolującej, pod warunkiem, że układ pracuje poza strefami rezonansowymi.

m2/m1

X^[mm]

Rys.5. Amplitudy drgań rynny w funkcji stosunku mas ramy wibroizolującej do rynny przy stałej częstotliwości wymuszenia

3. ROZRUCH I STAN PRACY USTALONEJ PRZENOŚNIKA POSADOWIONEGO NA RAMIE WIBROIZOLACYJNEJ.

W dalszej części pracy analizowano rozruch i stan pracy ustalonej przenośnika. W czasie rozruchu układ przedstawiony na rys. 2. musi przejść przez dwie częstości rezonansowe (zakładając, że kx = ky i kierunek siły wymuszającej przechodzi zarówno przez środek ciężkości jak i przez środek układu zawieszenia), a nie przez jedną strefę, jak w układzie przenośnika zawieszonego na listwach resorujących bezpośrednio na podłożu. W symulowanym układzie korpus wzbudzany był do drgań dwoma zsynchronizowanymi, przeciwbieżnymi elektrowibratorami EW 132, o sile wymuszającej 45 [kN] każdy i prędkości obrotowej 940 obr/min. Jest to układ napędowy używany w przemyśle do wzbudzania drgań rynny przenośnika Alwer 1.1 o masie rynny 3700kg, czyli takiej, jak masa rynny układu symulowanego.

Ax[mm]

t[s]

Rys 6. Amplituda drgań rynny w czasie rozruchu i w stanie ustalonym pracy przenośnika wibroizolowanego

t[s]

Ay[m]

Rys 7. Amplituda drgań ramy w czasie rozruchu i w stanie ustalonym

Na rysunkach 6. i 7. przedstawiona jest amplituda drgań odpowiednio rynny i ramy w czasie rozruchu układu z ramą wibroizolującą o masie 2600kg. Przy napędzie układu elektrowibratorem EW 132 układ bez problemu przechodzi przez dwie strefy rezonansowe, a amplituda drgań rynny w stanie ustalonym wynosi 2,36 [mm]. Siła przekazywana na podłoże

przedstawiona na rys. 8. jest w stanie ustalonym dziesięciokrotnie niższa niż siła przekazywana przez układ niewibroizolowany rys. 9 co potwierdza poprawność wzoru (10).

Fr[N]

Rys.8. Siła przekazywana na podłoże w czasie rozruchu i w stanie ustalonym przez przenośnik o masie rynny 3700kg wibroizolowany ramą o masie 2600kg.

Fr[N]

t[s]

Rys.9. Siła przekazywana na podłoże w czasie rozruchu i w stanie ustalonym przez niewibroizolowany przenośnik o masie rynny 3700kg

Na rysunkach 8. i 9. widać, że przy napędzie układów przenośnika wibroizolowanego i niewibroizolowanego takim samym elektrowibratorem, układ z masą wibroizolacyjną przekazuje większą siłę na podłoże w początkowej fazie rozruchu. Problem przekazywania większych sił na podłoże przez układ wibroizolowany powiększa się wraz z zastosowaniem elektrowibratorów napędowych o mniejszych mocach.

4. WNIOSKI

1. Przy spełnieniu warunku (3) można z równania (10) wyznaczyć skuteczność wibroizolacji układu dwumasowego w stosunku do jedno-masowego.

2. Przy spełnieniu warunku (3) ramy wibroizolujące o masie równej 70% masy rynny obniżają dziesięciokrotnie wartość sił przekazywanych przez przenośnik na podłoże.

3. W praktycznych przypadkach po zastosowaniu ramy wibroizolacyjnej (nawet o bardzo małej masie) amplituda drgań rynny na kierunku roboczym nie różniła się znacząco od amplitudy wymaganej technologicznie.

4. Przy napędzie układów przenośnika wibroizolowanego i niewibroizolowanego takim samym elektrowibratorem układ z masą wibroizolacyjną przekazuje większą siłę na podłoże w początkowej fazie rozruchu.

LITERATURA

1. Michalczyk J. Czubak P.: Latent Reactions in Suspension Systems of Vibratory Machines Supported by Leaf Springs, The Archive of Mechanical Engineering, 2000.

2. Michalczyk J. Czubak P.: Problemy wibroizolacji maszyn wibracyjnych o znacznej długości — [Problems of Vibroinsulation of Long Vibratory Machines], IX Sympozjum, Wpływ wibracji na otoczenie, wrzesień 2001 Kraków–Janowice.

3. Goździecki M. Swiątkiewicz H.: Przenośniki, WNT Warszawa 1975.

4. Czubak P.: Dobór parametrów ramy wibroizolującej przenośnika wibracyjnego podpartego na układzie listew resorujących — [Selection of parameters of vibroinsulating frame of a vibratory conveyer supported by a system of leaf springs] WibroTech 2003, Kraków, 24–

25 marzec 2003.

DETERMINATION OF THE DEPENDENCY ALLOWING THE OPTIMAL MASS SELECTION

OF THE VIBROINSULATING FRAME OF A SHORT VIBRATORY CONVEYER

Summary. Short vibratory conveyers, of the length of some meters only, placed on the frame vibroinsulated from the foundation were analysed in the paper. The vibroimsulating frames – designed up to the present – were much heavier than the conveyer troughs. The fact, that such way of designing was not the proper one, was proved in the paper. The dimensionless coefficient, useful in the development of optimal vibroinsulating frames, allowing to obtain the ratio of the forces transmitted to the foundation by conveyers without and with the vibroinsulated frame was determined.

Praca została wykonana w ramach realizacji badań statutowych Katedry Mechaniki i Wibroakustyki AGH za rok 2006