Zagadnienie odwrotne w rozpraszaniu na potencjale i w rozpadzie Gamowa

(1)

Zagadnienie odwrotne w

rozpraszaniu na potencjale i w

rozpadzie Gamowa

(2)

• Wstęp

• Problem klasyczny i kwantowy – Problem klasyczny

– Potencjał kanoniczny – Problem kwantowy

• Wzór Gamowa – wzór Gamowa

– odwrotny wzór Gamowa

• Zastosowanie – rozpad α

– zimna emisja elektronów

• Podsumowanie

(3)

(4)

T



E



=



^2m

∫

_x

1E

x₂E  dx



^E−U

^

^x

^

x₂



_U



−x₁



_U



= 1

π



^2m

∫

₀^U ^T

^

^E

^

^dE



^{U −E}

x



U^



= 1

2π



^2m

∫

₀^U^ ^T

^

^E

^

^dE



^{U −E}^

(5)

T



E



=



^2m

∫

_x

1E

x₂E  dx



^E−U

^

^x

^

x₂



_U



−x₁



_U



= 1

π



^2m

∫

₀^U ^T

^

^E

^

^dE



^{U −E}

x



U^



= 1

2π



^2m

∫

₀^U^ ^T

^

^E

^

^dE



^{U −E}^

(6)

T



E



=



^2m

∫

x₁E 

x2E  dx



^E−U

^

^x

^

x₂



U



−x₁



U



= 1

π



^2m

∫

₀^U ^T

_ ^

_{U −E}^E

^

^dE

x



U^



= 1

2π



^2m

∫

₀^U^ ^T

^

^E

^

^dE



^{U −E}^



^E>U0





^{E ≤U}0



T



E



=



^m²

^∫

⁰^L

^

^E−U^dx

^

^x

^

R



E



=



^m²

^∫

⁰^x¹^^E

^

^E−U^dx

^

^x

^

x



^U^



=1

π



^m²

^∫

⁰^U^ ^R

^

^{U −E}

^

^^E

^

^dE

(7)

(8)

(9)

T  E=



^m²

^∫

⁰^L

^

E− V  x dx=



^m²

^∫

⁰^V⁰

^

^{E− V} ^{d }^dx^V ^{d V}

T  E=



^m²

^∫

⁰^V⁰

^∫

⁰^L

^

E− V [ V −V  x] dx d V =



^m²

^∫

⁰^L

^

E−V  x dx

(10)

a).Parabola zadana wzorem:

V x=4V₀

[ ^

^L^x

^

⁻

^

^L^x

^

²

]

(11)

wartości punktów:

V x=4V₀

[ ^

^L^x

^

⁻

^

^L^x

^

²

]

x_±=L

2

[

^1±

^[

¹⁻^V^V^⁰

^]

^^{1/ 2}^

]

(12)

wartości punktów:

Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny postaci:

V x=4V₀

[ ^

^L^x

^

⁻

^

^L^x

^

²

]

x_±=L

2

[

^1±

^[

¹⁻^V^V^⁰

^]

^^{1/ 2}^

]

V x=V₀

[

² ^L^x ⁻

^

^x^L

^

²

]

xV^ =^{L− x}^^x−−0

(13)

wartości punktów:

Po dokonaniu odwrócenia powyższego wzoru otrzymamy potencjał kanoniczny postaci:

V x=4V₀

[ ^

^L^x

^

⁻

^

^L^x

^

²

]

x_±=L

2

[

^1±

^[

¹⁻^V^V^⁰

^]

^^{1/ 2}^

]

V x=V

[

² ^x ⁻

^

^x

^

²

]

xV^ =^{L− x}^^x−−0

(14)

V  y=ay

³

 by

²

 cyd

yV^ =



^y23−y₂₂



^



^y21−0



(15)

V  y  =ay

³

+by

²

+cy+d

yV^ =



^y23−y₂₂



^



^y21−0



V   y  =− ay

³

8 − by

²

8 +y  ^c ² ⁻ ^5b ^24a

²

 ^ 72 a ^b

³²

− bc 6a V  y  =ay

³

+by

²

+cy+d

yV^ =



^y23−y₂₂



^



^y21−0



V   y  =− ay

³

8 − by

²

8 +y  ^c ² ⁻ ^5b ^24a

²

 ^ 72 a ^b

³²

− bc

6a

(16)

(17)

dla E > 0:

₁x ~ e^ikx,



x −∞



₂x ~ b



k



e^−ikx,



x −∞



₃x ~ a



k



e^ikx,



x ∞



(18)

dla E > 0:

dla E < 0:

₁x ~ e^ikx,



x −∞



₂x ~ b



k



e^−ikx,



x −∞



₃x ~ a



k



e^ikx,



x ∞



₁x ~ c_ne^Kⁿ^x,_{x −∞}

₂x ~ d_ne^Kⁿ^x,x ∞

K_n=



⁻^2mE^ℏ² ⁿ

k=



^2mE^ℏ²

(19)

dla E > 0:

dla E < 0:

bk,



^cn. κ_n



 U x=−2 d

dx K x,x dla E > 0:

dla E < 0:

₁x ~ e^ikx,



x −∞



₂x ~ b



k



e^−ikx,



x −∞



₃x ~ a



k



e^ikx,



x ∞



₁x ~ c_ne^Kⁿ^x,x −∞

₂x ~ d_ne^Kⁿ^x,x ∞

K_n=



⁻^2mE^ℏ² ⁿ

k=



^2mE^ℏ²

(20)

Kwantowa cząstka o energii E zderzając się z barierą potencjału daje skończone prawdopodobieństwo pokonania bariery, nawet jeśli jej energia jest mniejsza niż maksymalny potencjał bariery.

TE=exp



⁻²ℏ

∫ 

^2m

^

^U^^x^⁻^E

^

^dx



(21)

T E=exp



⁻²^ℏ ^x

^∫

¹^^E^

^

^2m

^

^U ^^x^⁻^E

^

^dx



(22)

Odwrócenie wzóru Gamowa

dT E

dE =

∫

α U₀



^dU^dx¹⁻ ^dx^dU²



^dU

^∫

^U_α

_

_U −E^dEE −α

T E=exp



⁻²^ℏ ^x

^∫

¹^^E^

^

^2m

^

^U ^^x^⁻^E

^

^dx



(23)

całkowe równanie Abela:

∫

0

E ΦU dU



^{E −U} ^=f ^^E^

dT E

dE =

∫

α U₀





^dU

^∫

^U_α

_

_U −E^dEE −α

T E=exp



⁻²^ℏ ^x

^∫

¹^^E^

^

^2m

^

^U ^^x^⁻^E

^

^dx



(24)

∫

0

E ΦU dU



^{E −U} ^=f ^^E^

dT E

dE =

∫

α U₀



^dU^dx¹⁻^dx^dU²



^dU

^∫

^U_α

_

_U −E^dEE −α

x₁



U



−x₂



U



=− ℏ

π



^2m

∫

_U^U⁰ ^dT_dE

^

^E

^

_T

_

_E

_

^dE



^E−U

T E=exp



⁻²^ℏ ^x

^∫

¹^^E^

^

^2m

^

^U ^^x^⁻^E

^

^dx



(25)

odwrotny wzór:

∫

0

E ΦU dU



^{E −U} ^=f ^^E^

dT E

dE =

∫

α U₀





^dU

^∫

^U_α

_

_U −E^dEE −α

x



U^



=1

π



^m²

^∫

⁰^U^

^ ^

^T^{U − E}^

^

^E

^ ^

^dE

x₁



U



−x₂



U



=− ℏ

π



^2m

∫

_U^U⁰ ^dT_dE

^

^E

^

_T

_

_E

_

^dE



^E−U

T E=exp



⁻²^ℏ ^x

^∫

¹^^E^

^

^2m

^

^U ^^x^⁻^E

^

^dx



(26)

(27)

T  E ~exp−2

ℏ

∫

_R^R^



^{2m V −E}dr

(28)

x U =−1

e EU₀−U 

(29)

• rozwiązanie problemu odwrotnego polegało na jednoznacznym wyznaczeniu potencjału opisującego barierę znając jedynie wartość współczynnika

prawdopodobieństwa

• niejednoznaczność rozwiązania zmusiła do wprowadzenie pojęcia potencjału kanonicznego

• odwrócenie formuły całkowej było możliwe jedynie ale przypadku 1D, bądź dla zmiennych radialnych

(30)

(31)

Transformacja Laplace'a odwzorowuje funkcję f(t) w funkcję f(s) zgodnie ze wzorem:

Odwzorowanie to przyporządkowuje funkcji f(t) zmiennej rzeczywistej t funkcję

zmiennej zespolonej s. Do określenia przekształcenia odwrotnego stosuje się wzór:

Aby przekształcenie było matematycznie dobrze określone musi zachodzić:

dla

gdzie M i ρ są pewnymi stałymi.

f s f s=

∫

^f ^^t^^e^−st^dt

f _t₌ ¹

2π

∫

^f ^^s^^e^st^{ds .}

∣f t∣≤Me^ρt

Zagadnienie odwrotne w rozpraszaniu na potencjale i w rozpadzie Gamowa