Wybrane metody agregacji grafu i ich zastosowanie w systemach transportowych

(1)

Z E SZ Y T Y N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: T R A N SPO R T z. 47

2003 N r kol. 1586

B arbara M A Ż B IC -K U LM A

1 WYBRANE METODY AGREGACJI GRAFU I ICH ZASTOSOWANIE W SYSTEMACH TRANSPORTOWYCH

S treszczen ie. Przystępując do opisu m atem atycznego sieci transportow ej, np. drogow ej, lotniczej itp., w prow adza się zw ykle pojęcie grafu połączeń W praktyce system ów transportow ych taki g ra f m a zarów no dużo w ierzchołków , ja k i połączeń. Posługiw anie się nim je s t trudne i m a duży w pływ na czas w ykonyw anych obliczeń, znalezienia np. optym alnej drogi m iędzy dw om a zadanym i w ierzchołkam i. Stąd też w artykule przedstaw iono trzy m etody agregacji grafu połączeń. Pierw sza i druga m etoda d o ty czą grafu skierow anego, trzecia zaś m a zastosow anie w tedy, gdy rozpatryw anym i gałęziam i grafu s ą kraw ędzie. D la każdej z zaprezentow anych m etod przedstaw iono prosty przykład ilustrujący przedstaw iony algorytm .

CERTAIN METHODS OF GRAPHS AGGREGATION AND THEIR APPLICATIONS IN TRANSPORTATIONS SYSTEMS

S u m m a ry . In the paper, the connection graph is defined. The connection graph in practical (transportation) problem s has m any vertices and connections. D irect applications o f such graphs in com puter calculations for instance, in order to find an optim al path betw een given vercices o f the graph, can be very difficult. T herefore aggregation m ethods should be introduced. The paper presents three m ethods o f aggregation. In conclusion, an exam ple is presented.

1. W PR O W A D Z E N IE

Jak ogólnie w iadom o [1], [2], [3],[5], [

8

], system transportow y je s t zdefiniow any trzem a zasadniczym i w ielkościam i:

• zadaniem - p o trzeb ą przem ieszczania obiektów (ładunków lub (i) osób),

• składem - rodzajem i liczbą elem entów określających w yposażenie i załogę system u,

• o rg an izacją - sposobem oddziaływ ania elem entów system u podczas realizacji zadania.

System em przew ozow ym nazw iem y system transportow y, który realizuje zadanie przem ieszczania obiektów . Z adania przew ozow e o k reślają p o trzeb y klientów system u. S ą one z kolei scharakteryzow ane poprzez następujące w ielkości:

1 Instytut Badań Systemowych PAN, ul. Newelska 5, 01-447 Warszawa, tel: (+48 22) 837 57 13, kul ma@i bspan. waw,pl

(2)

- rodzaj i liczbę obiektów , ja k ą należy przew ieźć, trasę przew ożonych obiektów ,

term in przew ożenia.

W literaturze przedm iotu istnieje w iele klasyfikacji system ów transportow ych. I tak np.:

ze w zględu na rodzaj przew ożonych obiektów (transport tow arow y, osobow y), ze w zględu na liczbę przew ożonych obiektów (transport regularny, sporadyczny), ze w zględu n a trasę przew ożonych obiektów (transport w ew nątrzzakładow y, m iejski, m iędzym iastow y, m iędzynarodow y),

- ze w zględu na rodzaj drogi (transport kolejow y, drogow y, lotniczy, m orski).

T eo ria system ów transportow ych [5] nie zajm uje się bezpośrednio badaniem zjaw isk fizycznych, lecz badaniem m odeli tych zjaw isk. M odel system u transportow ego [ 1] pow inien być tak skonstruow any, aby m ógł zastąpić rzeczyw isty system , będąc jednocześnie narzędziem um ożliw iającym rozw iązanie konkretnego zadania transportow ego. Przystępując do opisu m atem atycznego sieci transportow ej, np. kolejow ej, autobusow ej, m iejskiej czy lotniczej, w prow adzam y zw ykle pojęcie grafu połączeń. W ierzchołkam i tego grafu s ą zw ykle (w zależności od rozpatryw anego zagadnienia bądź stacje kolejow e [1], [3], b ądź przystanki autobusow e [7] , czy też w przypadku transportu lotniczego - porty lotnicze [5] itp.). G ałęzie tego grafu p o z w a la ją określić istniejące bezpośrednie połączenia m iędzy w ierzchołkam i grafu. Jak łatw o m ożna zauw ażyć, taki g ra f m oże m ieć zarów no d u ż ą liczbę w ierzchołków , ja k i połączeń. Posługiw anie się nim je s t trudne i m a duży w pływ n a czas w ykonyw anych obliczeń. Stąd też w niniejszej pracy przedstaw im y dw ie m etody agregacji w ierzchołków grafu połączeń. Pierw sza z nich dotyczy agregacji grafu skierow anego (tzn. takiego grafu którego gałęziam i są łu k i). D ruga m a zaś zastosow anie w tedy, gdy rozpatryw anym i gałęziam i grafu s ą kraw ędzie. P rzedstaw ione poniżej m etody p o z w a la ją n a znaczne zm niejszenie zarów no liczby w ierzchołków , ja k i gałęzi rozpatryw anego grafu połączeń.

2. G R A F PO ŁĄ C ZE Ń

R ozw ażm y pew ien obszar. N a tym obszarze w yróżnim y pew ne punkty, które ponum erujem y kolejnym i liczbam i naturalnym i. O trzym am y zatem zb ió r w yróżnionych punktów :

I = {

1,2

i j

1

}

P unkty te m o g ą być połączone m iędzy sobą. Pow staje w ów czas zb ió r num eró w połączeń:

U = { 1,2,..„u,...,U }

oraz funkcja P (i.u,j) ( P c I x U x I ) określona następująco:

f l, gdy istnieje połączenie punktu i z punktem j P (i.u j) = <

[0

w przeciw nym przypadku

(3)

W ybrane m etody agregacji grafu i ich zastosow anie 389

spełniająca następujące w arunki:

1 P : I x U x I -> { 0, 1}

2 V V ( i , u , j ) e P v ( j . u j ) e P

ueU i , j e l

Tak zdefiniow any g ra f będziem y dalej nazyw ać grafem połączeń. Poniżej przedstaw im y dw a przykłady takich grafów:

P rzykład 1

K ażdy p ro ces pro d u kcyjn y p o leg a na przetw arzaniu dóbr p rz e z kolejne urządzenia (środki produkcji) aż do otrzym ania w yrobów finalnych. K olejność w ykonyw ana tych operacji j e s t z g óry narzucona p o p rze z przyją tą technologią. S tą d też p ro c e s p ro d u kcyjn y m ożna p rzed sta w ić za p o m o cą grafu G = {I, U. P j, gdzie I je s t zborem num erów urządzeń (środków produkcji), U je s t zbiorem num erów połączeń, a fu n k c ja P określa kolejność przetw arzania. Tak zdefiniow any g r a f połączeń G j e s t nazyw any zw ykle grafem produkcji.

P rzykład 2

Przyjmijm y, iż rozpatryw anym obszarem je s t Polska. Z biór 1 je s t zbiorem num erów stacji kolejow ych w Polsce, zaś zb ió r U zbiorem num erów torów kolejow ych. W tym p rzypadku fu n k c ja P określa, która stacja z którą j e s t połączona. Tak zdefiniow any g r a f nazyw any je s t w

literaturze siecią kolejową.

3. A G R E G A C JA G RA FU PO ŁĄ C ZEŃ

Z definiow any pow yżej g ra f połączeń m oże się składać zarów no z dużej liczby w ierzchołków , ja k i gałęzi. Posługiw anie się nim w celu znalezienia np. najkrótszej drogi m iędzy dw om a w ierzchołkam i je s t skom plikow ane i czasochłonne. Stąd też zaistniała konieczność agregacji tych grafów.

3.1. A g re g a c ja s t r u k tu r a ln a

N iech dany będzie g ra f połączeń G - { I , U , P ). D la dalszych rozw ażań będziem y zakładać, że:

o G ra f G je s t unigrafem (tzn. jeże li m iędzy dw om a w ierzchołkam i i, j istnieje połączenie, to je st ono dokładnie jedno,

o G raf G je s t grafem skierow anym (tzn. iż dla każdego elem entu zbioru U spełniony je s t w arunek: (i * j ^a ( i , u , j) e P) => ( j , u , i ) i. P, gdzie i , j e l , u

6

U).

o G ra f G nie zaw iera pętli, tzn. dla każdego w ierzchołka i e I : ( i.u ,i) i P .

o G ra f G nie zaw iera dróg cyklicznych, tzn. że jeże li istnieje droga m iędzy w ierzchołkiem i a w ierzchołkiem j, to nie istnieje droga m iędzy w ierzchołkiem j a w ierzchołkiem i.

Przyjm ując pow yższe założenia g ra f G = { I , U , P } m ożna zapisać w postaci G

=(l,r),

^gdzie f : I - » 2 1 .

(4)

W prow adzim y teraz pojęcie m acierzy relacji oraz w arstw y grafu G:

D efinicja 3.1.1

M acierz A = a;; , gdzie m = I

fi, gdy j e T ( i ) a — <

[0

w przeciw nym przypadku nazyw am y m ac ie rz ą relacji grafu G.

Z auw ażm y, że przy przyjętych założeniach elem enty m acierzy relacji dla i = j s ą zeram i ( a:j =

0

d la i = j )

C iąg podzbiorów w ierzchołków grafu W |,W

2

,... , W k c I. nazyw am y w arstw am i, je ż e li spełnione s ą następujące w arunki:

1

⁾ jeże li x e W , => Vr~' =

0

2) jeże li x e Wk => T / ' c {W^W2,...

3) je ż e li ^xe W k , k > 0 to r

/ 1

n W k_, * 0 4) ( j W k = I

k=I

gdzie:

r , - zb ió r tych w ierzchołków y e / , d la których istnieje droga z w ierzchołka x do w ierzchołka y (zbiór następników w ierzchołka x).

r / ' - zb ió r tych w ierzchołków y e I , dla których istnieje droga z w ierzchołka y do w ierzchołka x (zbiór poprzedników w ierzchołka x).

Z a K orzanem [4] przytoczym y teraz następujące tw ierdzenia:

T w ierd zen ie 3.1.1

Z b ió r w ierzchołków tw orzących w arstw ę grafu połączeń G spełniającego założenia 1 - 4 tw orzy je d e n z podgrafów pustych

2

^{grafu G.}

T w ierdzenie 3.1.2

Jeżeli x e ( T / , to c {W/+\ , ł f / + 2 , g d zie k o znacza liczbę w arstw .

Jak łatw o m ożna zauw ażyć, w w yniku podziału grafu na w arstw y otrzym ujem y tró jk ą tn ą m acierz relacji A Praw dziw e je s t także ogólne tw ierdzenie:

' Grafem pustym nazywamy graf, którego zbiór gatęzi jest zbiorem pustym.

(5)

Tw ierdzenie 3.1.3

N iech Wf , W2 , ,W k s ą w arstw am i grafu G. Zakładam y, że w ierzchołki grafu G zostały tak przenum erow ane, że jeżeli ( i e Ws , j e W t a s < t ) => i < j , to w ów czas elem enty a,,- m acierzy relacji A ' spełniają następujący w arunek: a ;/ = 0 dla j < i.

Dowód:

D la j = i elem ent an = 0 , gdyż z założenia 3 rozpatryw any g ra f nie m a pętli.

D la j < i m ożliw e są dw a przypadki:

o w ierzchołki i, j n ależ ą do tej samej w arstw y. W ów czas av = 0, gdyż z tw ierdzenia 3.1.1 w ynika, iż w ew nątrz w arstw y nie m a połączeń,

o w ierzchołek j należy do w arstw y w cześniejszej n iż w ierzchołek i. W ów czas korzystając z tw ierdzenia 3.1.2 w ynika, że atj = 0.

c.n.u K orzystając z pow yższego tw ierdzenia będziem y w ięc zakładać, że: a ff= 0 dla j < i. D la dalszych rozw ażań w yróżnim y teraz dw a typy połączeń m iędzy w ierzchołkam i grafu:

1. P o łą c z e n i e s z e r e g o w e

C iąg w ierzchołków i , j \ , j 2 r - t j n * g d zie i< j \ < j 2 < ... < j n je s t połączony szeregow o w tedy i tylko w tedy gdy spełniony je s t następujący w arunek:

r, = U \}, r, = o2}, r, , = u.) a r,*1 = ...,ry;' =

W przypadku gdy j e T( oraz w ierzchołki i , j s ą połączone szeregow o, to zachodzi następujący w arunek: T, = { j} T . - = { /} .

Połączenie szeregow e n a rysunku m ożna przedstaw ić następująco:

Rys. 1. Połączenie szeregowe Fig. 1. Serial connection

2. P o łą c z e n i e r ó w n o l e g ł e

C iąg w ierzchołków i/, f? i„ je st połączony rów nolegle w tedy i tylko w tedy gdy spełniony je s t następujący w arunek:

(6)

(r/,=r-2 =... = r-„) a (r,--1 =r(J-' =...= r,„_l)

Połączenie rów noległe m ożna na rysunku przedstaw ić następująco:

Rys. 2. Połączenie równoległe Fig. 2. Parallel connection

W prow adzim y teraz pojęcie agregacji szeregow ej i rów noległej.

A g re g a c ja szereg o w a:

Z ałóżm y, że w ierzchołki k ,l,,l2, /„ s ą połączone szeregow o. W ów czas agregacja szeregow a zbioru w ierzchołków { k ,lt,l2, polega na zastąpieniu go jednym w ierzchołkiem (agregatem ). N o w ą m acierz relacji Ą otrzym ujem y z m acierzy A przez podstaw ienia a kJ = a, i a,t . = au . = ... = . =

0

dla j =

1

,

2

,...n .

M ożna zatem łatw o udow odnić następujące tw ierdzenie:

T w ie rd z e n ie 3.1.4

Jeżeli w ierzchołki k, 1 s ą połączone szeregow o, to agregacja tych w ierzchołków odpow iada lew ostronnem u pom nożeniu m acierzy A przez m acierz: L = [Z.v, ], gd zie :

/ss =

1

dla s # k, l Ikk =

0

^, ^{In =}

0

^, ^{/« =}

1 4

^{, =}

0

^dla pozostałych.

L em a t 3.1.1

Jeżeli w ierzchołki i , j , k , gdzie ( i < j < k), s ą połączone szeregow o, to kolejność agregacji nie je s t istotna.

L em at ten je s t oczyw iście praw dziw y przy agregacji n w ierzchołków połączonych

szeregow o. >

(7)

L em at 3.1.2

Jeżeli w ierzchołki i , j i . j 2 ... j„. ( i < j i < j 2 < ... < j„ ) s ą połączone szeregow o, to

U i . j i . j i j j = L ( i , j j ... L ( i , j 2) L ( i , j i )

L em at 3.1.3

Jeżeli w ierzchołki i , j i , j 2 ... .j„. oraz k , // , l2 , .../,„ s ą połączone szeregow o i

{ k , h , h I,,,} n { i . j , , j 2 j n} = 0

to m acierze L (i , j i , j 2 . j j i L ( k , / / , U , ..., Q kom utują.

A g re g a c ja ró w n o leg ła:

Z ałóżm y, że w ierzchołki ki, k 2,... k„ s ą połączone rów nolegle. W ów czas agregacja rów noległa zbioru w ierzchołków { kj , k2 k„ } polega na zastąpieniu go jed n y m w ierzchołkiem ki (agregatem ) o w ejściach i w yjściach takich sam ych ja k każdego z w ierzchołków agregow anych.

M acierz relacji now ego grafu (o zagregow anych połączeniach rów noległych) otrzym am y z m acierzy A przez w yzerow anie w ierszy i kolum n odpow iadających zagregow anym w ierzchołkom z w yjątkiem kolum ny i w iersza o najniższym num erze. Tak w ięc ak^ = ... = ak„, =

0 1

ait = ...= a it . =

0

^dla ^{i , j =}

1

^,

2

,...,«.

M ożem y w ięc analogicznie do tw ierdzenia 3.1.4 sform ułow ać następujące tw ierdzenie:

T w ie rd z e n ie 3.1.5

Jeżeli w ierzchołki k / , k2 ... k„ s ą połączone rów nolegle to ich agregacja odpow iada pom nożeniu m acierzy A lewo- i praw ostronnie przez m acierz:

P = [ Pst]■ g d z ie p ss= l dla s ^ ,..., k n i p st = 0 dla pozostałych.

A nalogicznie ja k dla połączeń szeregow ych m ożna łatw o udow odnić następujące lem aty:

L em at 3.1.4

Jeżeli w ierzchołki k i , k 2 k„ s ą połączone rów nolegle, to P (k „ k 2 ,k„) = P (k l,k„ )P (kl,k,,_l)P (k „ k 2)

L em at 3.1.5

Jeżeli w ierzchołki k i . k 2 k„ i l i , l 2 l,„ s ą połączone rów nolegle i { k, , k2 k „} n / / / , l2, ,lm} = 0 .

to m acierze P (k / , k2 k„ ) i P d i , l2 /,„ ) kom utują.

A lgorytm agregacji strukturalnej grafu składa się z dw u n a przem ian w ykonyw anych operacji:

1

. agregacji połączeń szeregow ych,

2

. agregacji połączeń rów noległych.

Ten cykliczny algorytm pow tarzam y tak długo, dopóki nie w y czerp ią się w szystkie m ożliw ości agregacji w ierzchołków grafu. B azując na pow yższym rezultatach m ożna udow odnić następujące tw ierdzenie:

(8)

T w ierd zen ie 3.1.6

R ezultat agregacji je s t taki sam niezależnie od tego, czy zaczniem y od agregacji połączeń szeregow ych, czy rów noległych.

P rzy k ła d 3.1.1

R ozpatrzm y następujący graf:

Rys. 3. Przykładowy graf połączeń Fig. 3. Example o f the connection graph

M acierz relacji rozpatryw anego grafu m a postać:

'

0 1 1 0 0 1

“

0 0 1 0 0

0 0 1

A =

0 0 0 1 0 1

o

1

^. krok algorytm u

Jak łatw o m o żn a zauw ażyć, dw ie pary w ierzchołków tzn. (2,4) i (3,5) s ą połączone szeregow o. Stąd m acierz Li = L (2,4) L (3,5) =

' 1 0 0 0 0 0' '1 0 0 0 0 0“ '1 0 0 0 0 0'

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

_

¹^_ ¹ ⁰

i A] — L

2

A —

(9)

'1 0 0 0 0 0" '0 1 1 0 0 f '0 1 1 0 0 f

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 1 0

Stąd g ra f G po agregacji szeregow ej będzie następującej postaci:

Rys. 4. Postać grafu G przedstawionego na rys 3 po agregacji szeregowej Fig. 4. Graph G (fig 3) after the serial aggregation

2

. krok algorytm u (agregacja połączeń rów noległych)

Jak łatw o m ożna zauw ażyć, w m acierzy A | dw ie kolum ny (druga i trzecia) s ą takie same. Stąd po w ykorzystaniu tw ierdzenia 3.1.5 m acierz P m a postać:

P=

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

m acierz relacji m a postać: A

2

= P Ai P =

O

o

0 0 0

'

"0 1 1 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0

1 0

0 0 0 0

1 0 0

1 0

1

(10)

0 0 0 1

0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

T ak w ięc w rezultacie otrzym ujem y g ra f postaci:

Rys. 5. Postać grafu G przedstawionego na rys 4 po agregacji równoległej Fig. 5. Graph G (fig 4) after the parallel aggregation

3.2. A g re g a c ja lin io w a

N iech dany b ędzie g ra f połączeń G = {I , U , P}. Podobnie ja k poprzednio (punkt 3.1) będziem y zakładać, że:

o G ra f G je st unigrafem . o G ra f G nie zaw iera pętli.

P onadto założym y, że

o G je s t grafem niezorientow anym tzn. iż dla każdego elem entu zbioru U spełniony je s t w arunek:

( i * j a (i , u , j ) e P ) = > ( j , u , i ) e P , g d zie i , j e I , u e U . D la dalszych ro zw ażań w prow adzim y teraz pojęcie połączenia liniow ego:

D e fin ic ja 3.2.1

W ierzchołki i oraz j s ą połączone liniow o w tedy i tylko w tedy, gdy o istnieje m arszruta łącząca w ierzchołek i z w ierzchołkiem j - L ( i , j ) , o stopień każdego w ierzchołka k e L( i , j ) je s t rów ny

2

.

(11)

Połączenie liniow e m ożna na rysunku przedstaw ić następująco:

Rys. 6. Połączenie liniowe Fig. 6. A linear connection

Poniżej przedstaw im y algorytm agregacji połączeń liniow ych.

W prow adzim y następujące oznaczenia:

G = {I.U .P } - graf, który pow staje po dokonaniu liniowej agregacji w ierzchołków , A = [a A - m acierz połączeń

a ij =

1

^{, gdy} (i , u , j ) e P i , j e l

0

w przeciw nym p rzypadku

T = ,1m) - zbiór takich trójek tj = (y,w

1

(.,w2y) , gdzie j - num er kolum ny, dla

n

której Y u aa = 1 >J

= 1>2

... >m ’

1*1

wl( -n u m e r pierw szego w iersza, w którym dla kolum ny j a j = 1.

W2j - num er drugiego w iersza, w którym dla kolum ny j a-,j = l.

1. D la każdej kolum ny j m acierzy A obliczam y ^ at) .

i m I

n

2. D la każdej kolum ny m acierzy A, dla której ^ a , ( = 2 , w yznaczam y

;=i

tj = ( j , w tj , vv2() zdefiniow ane pow yżej. O trzym ujem y zb ió r T = {tj, Ą , ,tm}•

3. R ozpatrujem y pierw szy elem ent = (l,w n ,w 2l) zbioru T i spraw dzam y, czy num ery w ierszy w n ,W2i nie w y stęp u ją jak o w yróżnione num ery kolum n należące do zbioru T :

( * ) w i r j lub w

2

i= j dla j e T a) jeżeli nie zachodzi w arunek (*), to:

T = {u ą, , U ; / = / - ! : 0 = U v U gdzie:

I - zbiór w ierzchołków pośrednich m arszruty m iędzy w ierzchołkam i określonym i w tj,

U - połączenie pom iędzy w ierzchołkam i określonym i w t/ .

b) jeże li zachodzi w arunek (*), to dołączam y kolejno te trójki, dla których ten w arunek je st spełniony i postępujem y analogicznie ja k w punkcie a).

4. Spraw dzam y, czy zbiór T je s t pusty. Jeżeli tak, to koniec działania algorytm u, jeżeli nie, to bierzem y następny elem ent zbioru T i przechodzim y do punktu 3.

(12)

P rzykła d 2.2.1

R ozpatrzm y następujący g ra f

Rys. 7. Przykładowy graf Fig. 7. Example o f the graph

D la przedstaw ionego pow yżej grafu G m a c ie rz /I m a postać:

1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

Stąd zgodnie z punktem 1 algorytm u w ektor sum p oszczególnych kolum n przed staw ia się następująco:

[1 2 3 1 2 2 2 2 2 3 1 1]

Z biór T m a w tym przypadku postać: T = { tl,t:i, t 3,ti .,ts .,t6 }, gdzie:

/, = ( 2 ,1 ,3 ) ;

/2

= ( 5 , 4 , 6 ) ; t, = ( 6 ,3 ,5 ) ;

/4

= (7 ,3 ,8 ) ; (8 ,7 ,9 ); f6 = (9 ,8 ,1 0 ).

R ozw ażm y zatem elem ent i, = (2 ,1 ,3 ) zbioru T. Z godnie z punktem 3 proponow anego pow yżej algorytm u spraw dzam y, czy w ierzchołki 1 , 3 s ą num eram i tych kolum n m acierzy A, dla których ^ a (J= 2 . P oniew aż tak nie je st, to zgodnie z punktem 3a zaprezentow anego algorytm u:

(13)

N astępnie rozpatrujem y elem ent = ( 5 ,4 ,6 ) . Zauw ażm y, iż w tym przypadku w ierzchołek n

6

^{je st} num erem kolum ny, dla której ^ au = 2 . Stąd zgodnie z punktem 3b algorytm u

i=I

elem enty t2 = (5 ,4 ,6 ) i i, = (6,3,5) łączym y ze s o b ą w następujący elem ent { 5 ,

6

, 4 . 3 }.

A w ięc now y g ra f G będzie postaci I: - ¡ - { 5 , 6 } ; U := U u {u(4,3)}.

Zbiór T będzie teraz postaci : T = j t4 . J 5 , t 6 |. N astępnie bierzem y elem ent tĄ = ( 7 ,3 ,8 ) i postępując analogicznie dołączam y do niego elem enty /

5

= ( 8,7,9) i t6 = (9 ,8 ,1 0 ).

Pow staje elem ent postaci: { 7 ,

8

, 9 , 3, 10 }. N ow y g ra f G będzie postaci /: = 1 - {7,8,9};

U := O u {u(3,10)}.. Z biór T : = 0 , co oznacza zakończenie działania algorytm u.

R ozpatryw any przez nas g ra f po agregacji liniow ej będzie postaci:

Rys. 8. Graf G przedstawiony na rys 7 po agregacji liniowej Fig. 8. Graph G (fig 7) after the linear aggregation

L iteratura

1. A m broziak T.: O pew nych aspektach m odelow ania system ów transportow ych, Prace N aukow e. Transport z.44 O W PW , W arszaw a 2000.

2. B ą k C z .: System y transportow e, Politechnika K rakow ska, K raków 1986.

3. Jacyna M .: M odelow anie w ielokryterialne w zastosow aniu do oceny system ów transportow ych, Prace N aukow e. Transport z.47, O W PW , W arszaw a 2001.

4. K orzan B.: Elem enty teorii grafów i sieci - m etody i zastosow ania, W N T, W arszaw a 1978.

5. Leszczyński J.: M odelow anie system ów i procesów transportow ych, O W PW , W arszaw a 1994.

6

. M alarski M .: M odelow anie procesów ruchu lotniczego dla kontroli i planow ania lotów, Prace N aukow e. Transport z.49, O W PW , W arszaw a 2002.

7. M ażbic-K ulm a B.: A utom atyczny system w yznaczania rozkładu ja z d y autobusów dla potrzeb PK S. M ateriały konferencyjne nt. „M atem atyczne podstaw y teorii system ów transportow ych” . PW N , W a r s z a w a -Ł ó d ź 1981.

8

. Piasecki S.: O ptym alizacja system ów przew ozow ych, W K iŁ, W arszaw a 1973.

(14)

A b s tr a c t

The theory o f transportation system s does not directly cover researches on physical phenom ena, but rather on their m odels. The m odel o f the transportation system should be able to sim ulate a real system , but also should be a tool enabling solving o f given transportation tasks. In order to describe transportation system (rail, bus o r air), as a routine a connection graph w ould be used. V ertices o f the graph can be train stations, bus stops or in case o f air tran sp o rt - airports. The arcs o f the graph show d irect connections betw een vertices. It can be noticed th at such a graph can have m any vertices as w ell as m any arcs. Its application can be difficult and perform ance problem s by calculating can occur. T herefore tw o m ethods o f aggregation w ere introduced in the paper. The first one relates to directed graphs (i.e. graphs in w hich edges are directed). The process o f parallel and serial aggregation w as presented. It was observed that the result o f the aggregation is uncorrelated w ith the sequence o f aggregation. Second m ethod, described in the paper, called linear aggregation can be used o nly w hen graphs arcs are also its edges. P resented m ethods enable to reduce the num ber o f analysed vertices as w ell as arcs o f the graph. Exam ples, visualising the functioning o f d escribed algorithm s, w ere presented.