Zagadnienie optymalnego przydziału realizatorów w pewnego typu kompleksie zadań zależnych

ZESZYTY NA UK OW E P O L I TE CH NI KI ŚLĄSKIEJ Seria: A U T O M A T Y K A z. 63

________ 1983 Nr kol. 735

Wojciech S M I L S K I

Instytut Cy be rn et yk i Technicznej Politechniki Y/rocławskiej

ZAGADNIENIE OP TY M A L N E G O PR ZY DZ IA ŁU R E AL IZ AT OR ÓW W PEWNEGO TYPU KO MP LE KS IE ZADAŃ ZALEŻNYCH

S t r e s z c z e n i e . W pracy Jest rozważany pewien sp ec yf ic zn y typ kom- plek9u zada ń zależnych oraz zwię za ny z nim problem mi nimalno-kosz- towego p r zy dz ia łu zadań do realizatorów. Pr oblem ten zo st ał s f or mu­

łowany w postaci zadania pr og ra mo wa ni a liniowego ca łkowitoliczbowe- go. W prac y wykazano pewne włas no śc i takiego sformułowania p r o b l e ­ mu, co um oż l i w i ł o udowodnienie, dla ograniczeń r ó w n o ś c i o w y c h . t w i e r ­ dzenie o ca łk ow it ol ic zb ow ośc i rozwiązania optymalnego tego problemu.

1. WSTĘP

W pracy Jest rozważany pewien sz cz eg ól ny typ kompleksu zadań z a l e ż ­ nych. P o s z c z e g ó l n e zadania w c ho dz ęc e w skład kompleksu maję określone względne ch wi le ich ro zp oczęcia i zakończenia. Stęd też możliwe Jest z b u­

dowanie a priori di agramu czas ow eg o opis uj ęc eg o harm on og ra m realizacji po­

szczególnych zadań kompleksu. P r z y k ł a d o w y taki diagram został przedstawio­

ny na rys. 1. Op is uj e on ż ę da ne chwile rozpoczęcia i zako ńc ze ni a każdego

Rys. 1. P r z y kł ad ow y diagram

128 V/. Sibilskl

zadania, ze względu na stan zaawan so wa ni a pozostałych zadań kompleksu.

Pr zy kładowo opatrz rys. l) zadanie 4 po winno być rozpoczęte w chwili, « której zadanie 3 znajdzie 3ię w ściśle określonej fazie reallzscj i. Sytua- cja taka wy st ęp uj e wówczas, gdy mamy do czynienia z procesem przemysłowym którego reżim technologiczny wy musza rozpoc zy na ni e i kończenie każdego zadania w ściśle określonych chwilach czasu, zależnych od stanu zaawanso­

wania zadań ro zp oc zę ty ch wcześniej i un ie możliwia pr ze ry wa ni e realizacji zadań,

Ola zadanej liczby uniwer sa ln yc h r e a l iz at or ów powstaje w ó w c z a s , przy określonych dodatkowo kosztach realiz ac ji każdego zadania na każdym rea­

lizatorze, pr ob le m takiego przydziału real iz at or ów do zadań kompleksu, aby sumaryczne koszty realizacji kompleksu zadań były minimalne. Problea powyższy można sformułować również w zagadn ie ni ac h za rz ądzania złożonymi przedsię wz ię ci am i typu badawczego, czy też projektowego.

2. DEFINICOE I O Z NA CZ EN IA

W celu ścisłego sf ormułowania pr oblemu zostanę wp ro wa dz on e następujące definicje i oznaczenia.

N iech :

- T oznacza zbiór dyskretnych chwil czasu, na le żą cy ch do p r ze dz ia łu czase

< 0 ,T>:

T i 1 , 2 ....t|.

1

- M oznacza zbiór zadań, które na le ży zrealizować w przedz ia le czasu <0,I>

M » f {l,2 ...m j .

- N oznacza zbiór uniwer sa ln yc h real iz at or ów fkażde zadanie ze zbioru może być wykonane przez dowolny z r e a l iz at or ów ze zbioru N):

N * f

jl

,2,j .. ,n

j,

- T' oznacza zbiór chwil, w przeciągu których należy wykonać zadanie ] e'

t e T [zadanie j jest realizowane, zgodnie z za danym diagr8ae' zaiowym opisującym kompleks zadań, w chwili tj,

'zakłada się, że każd y zbiór t zawiera kolejne liczby natural"«' tzn. żo 0 t « T ). że min T < t < m a x T i zadanie j nie Jest, zgoc- nie z zadanym diagramem, realizowane w chwili tj.

Zagadnienie o p t y ma ln eg o przydziału r e a l i z a t o r ó w . . 129

- M oznacza zbiór zadań realizowanych w chwili

t

^e

T

^:

- X =f | c e

T

^[

V

f ta ,t2 e t ): M t ^ M t i «-> (Mt c M t )|.

Będzie użyt ec zn e ponBdto, w trakcie dowodzenia ca łk ow itoliczbowości rozwięzań bazowych pr oblemu i w p ro wa dz en ie pewnych zasad numeracji zadań J f M . Niec h mi an ow ic ie zadania te będę ponumerowa/ie w taki sposób, sby spełnione były na st ęp uj ęc e warunki:

a) Jeśli min <. min , to J < k ,

b) Jeśli min = min i max < max , to J < k, gdzie J ,k - numery zadań.

W celu zi lu st ro wa ni a wp ro wa dz on yc h definicji rozważmy pr zy kł ad ow y d i a­

gram p r z e d s ta wi on y na rys, 1. Zachodzi dla niego:

T « ( l , 2 ....

22

J, M = [l,

2

,3, 4, 5,6,7], = T? = { l,2.3,4.5}, Tj » 1 1 , 2 14 j , - | 8 ,9...1 4], T 5 «= (l3 , 1 4...22].

Tg - Ty - 1 1 7 , 1 8 ...2 2}, = M 2 = ... = M g - (1,2,3], Hg = ki? » (3 }, M g = Mg ■ ... = M 12 = (3,4] itd.

Oefinicia zbioru f nie Jest Jednoznaczna - np. na st ęp uj ęc e zb io ry chwil:

1.3.17], (1,1 3, 1 8 ] ... (1,1 3,2 2], (1,1 4,1 7], (l,1 4 , 1 8 ] ... (1,1 4,22]., 2.13.17], (2,13,18] itd., spełniają wa runki tej definicji. Nie prowadzi to Jednak, Jak się okaże, do niejedno zn ac zn oś ci w sf or mułowaniu problemu.

Można zauważyć, że nie Jest konieczne określanie Je dn oc ze śn ie zbiorów Tj oraz M f , gdyż Jedne z nich można wyznaczyć na pods ta wi e znajomości drugich. Z n aj ąc zb io ry T można określić zb io ry i odwrotnie - na podstawie znajotńości zb io ró w M t można określić zb iory . Mianowicie:

- J e ś l i dane sa zbiory T i ,T2 "

•'

^,Tm

' to c*^a

k8ŻC,09 0 t

eT

^Jest

M t - ( j e Mjt c tJ ,

- jeśli dane są zbiory M ,M^ ,.., ,M^., to dla każdego J c M Jest

TJ = { « T j j e M . j .

3. SFORMUŁOWAŃJfi PR03L2:IU

Rozważany pr oblem można sformułować w postaci zadaniB programowania li­

niowego c a ł k o w i r ol ic zb ow ego v/ sposób następujący. Dla zadanego diagramu czasowego opis uj ąc eg o pewien kompleks zad;.ń ro zw ażeręno typu, a więc dla

df J e M | zadanie J jest realizowane w chwili t ] ,

130 W. Sibilskl

określonych zb iorów T , M, T ji M (lub M t , t e T ) oraz zbioru uniwersal­

nych re al iz a t o r ó w N i zadanych kosztów, realizecj i ^kosztów przydziału) ij zadania j przez realizator i, dla i = l,2,...,n, j = l,2,...,m, należy znaleźć mi nimum funkcji relu

I 2

i=l J=1

a ij*ij 1)

przy og ra niczeniach

= 1, dla J ■= 1 , 2 , . . .,m, 1*1

(2⁾

Z

3« M t

dla 1,2

,

, n , t c t

ij 1 lub O, dla 1 .2, ,n, j 1,2, , m ,

gdzie

13

(3)

(4'

i,

1, Jeśli zadanie J ma zostać w y k o na ne przez realizator O, w pr ze ci wn ym przypadku.

W sf or mu ło wa ny m zadaniu chodzi o mi ni ma li za cj ę su ma ry cz ny ch kosztów realizacji zadań kompleksu. O g ra ni cz en ie (2) gwarantuje, że każde zadanie zostanie w y ko na ne prze z dokładnie jeden realizator, natomiast ogranicze­

nie (3) zapewnia, że w każdej chwili czasu każdy realizator bę dz ie wyko­

nywał co najwyżej jedno zadanie.

Sf or mu ł o w a n y problem jost nowy, w stosunku do zn anych w literaturze.

Różn i się on w sp os ób istotny, ze wz gl ęd u no postać o g ra ni cz eń (3), kl as ycznego zadania pr zy dz ia łu W . [5]- Po ka za ny na rys. 1 przykładowy diagram sugeruje pewne p o do bi eń st wo problemu do zaga dn ie ń planowania sle- ciowego [3], czy też do z a ga dn ie ń sterowania rozdzi ał em zadań 1 zasobów w kompleksie op er ac ji [7]. W zagadn ie ni ac h planow an ia sieciowego, dla dane­

go grafu o p i s uj ąc eg o ko le jn oś cl ow e zwięzki logiczne m i ę d z y poszczególny­

mi czynnościami, na le ży określić takie terminy rozpoczęcia i zakończeni«

każdej czynności, aby czas wy ko na ni a cBłego p r ze ds ię wz ię ci a był mlniaal- ny. G d y pr oblem polega na m i ni ma li za cj i ko sztów pr zedsięwzięcia, to rów­

nież na leży określić terminy rozpoczęcia i zakończenia każdej o p e r a c j i "

takie, aby czas realizacji kompleksu nie pr ze kr oc zy ł zadanej liczby. Na­

tomiast w rozważanym w prac y pr ob le mi e terminy rozpoczęcia i zakończeni«

każdego zadania (czynności) sę z góry określone, na le ży natomiast znałeś t8ki p r zy dz ia ł zadań do realizatorów, aby zm in im al iz ow ać s u ma ry cz ny koszt

Zagadnienie op ty ma ln eg o przydz ia łu realizatorów.. 131

wykonania w s zy st ki ch zadań. S f or mu ło wa ny problem różni się również, z tych samych po wo dó w co wyżej wymienione, od pr ob le mó w op tymalizacji ko­

lejności op eracji w dyskretnych systemach produkcyjnych pr ze ds ta wi on yc h w [2]. Ponadto, opis an eg o przez dany diagram kompleksu zadań nie można w ogólnym przypadku przedstawić w postaci grafu w konwencji "operacja na lu­

ku", a z reguły tak przeds ta wi an e sę czynności w prob le ma ty ce planowania sieciowego. M o żl iw a jest natomiast zobr az ow an ie zależności p o m i ęd zy z a d a ­ niami opisanymi przez diagram typu prze ds ta wi on eg o na rys, 1, w postaci grafu w konwencji "operacja na wierzchołku". Istnieję diagramy, dla k t ó­

rych otrz ym an y w tej konwencji graf okazuje się być grafem nieodw ra ca ln ym [ó] . Próbuj ęc natomiast um ie jscowić rozważany problem w kontekście z a g a d ­ nień s t er ow an ia rozdziałem zadań i za so bó w w ko mp le ks ie operacji należy wspomnieć o dotyczęeej tych zaga dn ie ń umowie terminologicznej z a p r o p o n o ­ wanej VI W : "Będziemy mó wi li o sterowaniu ro zd zi ał em zadań. Jeżeli kężde operacja żęda w każdej chwili czasu jednej jednostki zasobu tylko je d n e ­ go rodzaju. W pozo st ał yc h pr zy pa dk ac h po wiemy o sterowaniu ro zd zi ał em za­

sobów". W świetle powyższej umowy rozważany problem należałoby za k w a l i f i ­ kować do p r ob le ma ty ki sterowania ro zd zi ał em zadań. ¿Jednakże w p r o b l e m a t y ­ ce tej, omówionej w [7], wy st ęp uj ę Jedynie zadania minlmslno-czasowe.

4. WŁ AS NO ŚC I P R O B LE MU I TV'IERDZENIE O CA ŁK OW IT OL IC ZB OW OŚC I R O Z W IĄ ZA NI A O P T Y MA LN EG O

Własność 1 (istnienie rozwięzanla problemu) Ro zw lę za ni e pr oblemu nie istnieje, Jeśli

I

(3t e t ) : card M^ >- n.

Inaczej - ro zw ięzanie pr oblemu istnieją, jeśli

f V t « t ) : c a r d M n.

Z po wy ż s z e g o wynika, że minimalna liczba realizatorów, dla której ist­

nieje rozw ię za ni e problemu nm in - J eBt określona n a s t ę p u j ę c o :

n_,„ = ma x( ca rd M

nln t€t 1

Własność 2 (c harakteryzacja problemu z og ra ni cz en ia mi równościowymi) Sfor mu ło wa ny w p. 3 problem Jest, w ogólnym przypadku, problemem z ograniczeniami n i e r ć w n o ś c i o w y m i , lecz w sytuacji gdy

i V t | t ) : card M t » n ,

132 W. Sibilskl

to og ra ni cz en ia f3 staję się og raniczeniami równościowymi

X

3 e M t

¹³

dla 1 . 2 . t ei (31)

a problem 9taje się problemem z ograniczeniami równościowymi.

Oczywiste Jest, że Jeśli rozważamy problem z og ra niczeniami r ó w n oś ci ow y­

mi, to n Jest równe n m in *

Dla pr zy kładowego diagramu pr ze ds ta wi on eg o na rys. 1, przy ję ci e liczby r e al iz at or ów n-3 prowadzi do problemu z ograniczeniami równościowymi.

Dla tego diagramu oraz danej ma ci er zy kosztów realizacji zadań h j ] 3x7 można pr zy kł ad ow e zadanie sformułować następująco: należy znaleźć minimum funkcji calu

3 7

Z z

i-1 J»1 a iJx iJ' (5)

pr zy ograniczeniach:

3

Zi-1 x iJ = 1. dla

3

- 1,2,... ,7, <6)

x il ♦ x 12 + x 13 - l'

x i3 " X 14 + X 15 ” 1 . , dla i » 1,2,3, (7)

X i5 + x i6 ♦ x i7 - 1

x i3

^{= 1 lub 0, dla} i “ 1,2.3,

3

= 1 , 2 ...7. (8) Zo st an ie pokazane, że dla o g ra ni cz eń równościowych w s zy st ki e rozwiąza­

nia bazowe sf or mu ło wa ne go w p. 3 problemu są całkowitollczbowe. Będzie to uprawniać do odrzucenia ograniczenia całkowitol ic zb ow ego (4) na zmienne oraz, po wprowadzeniu ograniczeń na nieujemność tych zmiennych, do stosowania do rozwiązywania takich pr ob le mó w znanych metod rozwiązywania ciągłych zadań programowania liniowego. Otrz ym an e rozwiązanie będzie ze- r o - J e d y n k o w o , gdyż prawa strona ograniczeń

( z )

, (3 ) składa się wyłącznie z Jedynek. Po wyższe zostało sformułowane w postaci twierdzenia.

Twierdzenie

Sfor mu ło wa ny w p. 3 problem Jest, dla ograni cz eń równościowych, ograniczeń (2), (3') oraz przy dodatkowym ograniczeniu

tzn.

x ij > 0 , dla i = 1 , 2 n, J = 1 , 2 m ,

Zagadnienie op ty malnego przydziału realizatorów. . . 133

problemem progra mo wa ni a liniowego o wszystkich całkowitych.

rozwiązaniach bazowych

Oowó d

Ro zważmy ogra ni cz en ia (2), (3*) problemu. Dla ro zp at ry wa ne go p r z y k ł a ­ dowego za dania są to og ra niczenia (7), a macierz ich ws pó łc zy nn ik ów przedstawiono na rys. 2. W ogólnym przypadku problemu z og raniczeniami równościowymi ma ci er z ich w s p ó ł c z y n n i k ó w będzie miała postać pokazaną na rys. 3. P r z y ję to zasadę wypi sy wa ni a ograniczeń (3') w kolejności zgodnej z kolejnością realizacji zadań w czasie. Przyjęcie takiej umowy ułstwi dostrzeżenie i w y k o r z y s t a n i e pewnych w ł as no śc i ma ci er zy w a p ó ł c z y n n i k ó w o- graniczeń. Na rys. 3 oznaczono

k =* cardtf.

Zachodzi

(9)

gdyż dla dwóch zadań możliwe jest tylko jedno rozważane ograniczenie, a każde ko lejne za danie (trzecie, czwarte itd.) wprowadza co najwyżej Jedno dodatkowe ograniczenie, a zatem liczba ograni cz eń k Jest dla ka żdego r e a ­ lizatora, mn iejsza od liczby zadań m. Łatwo można zauważyć, że wi ersze

«acierzy w s p ó ł c z y n n i k ó w ograniczeń (2), (3*) są zależne. Usuwając grupę ostatnich k wierszy, posiad aj ąc yc h Jedynki w kolumnach związanych z ostatnim r e al iz at or em (dla zadania pr zy kł ad ow eg o są to osta tn ie 3 wiersze saclerzy w s p ó ł c z y n n i k ó w ograni cz eń z rys. 2), otrzymamy ma ci er z o n i e z a ­ leżnych wierszach.

1 realizator 2 realizator 3 realizator

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 X11X 1 2 X 13X 14X 15X 16X 17X21X 2 2 X 2 3 X2 4 X2 5 X2 6 X2 7 X 3 1 X 32X 3 3 X3 4 X 3 5 X 36X 37

numery kolumn z m ie n­

ne pro­

blemu o g r a ­ nicz e­

nia (

6

)

ogra­

nicz e­

nia (7)

lys. 2. Ma c i e r z ws pó łc z y n n i k ó w ograniczeń dla pr zykładowego zadania

134 W. Slbllskl

A- ■ 1 .

1 1

1 1 . . .

1 1

og rani­

czenia (2)

og ra ni­

czenia (3' )

Rye. 3. Ogólna postać ma cierzy w s p ó ł c z y n n i k ó w og ra ni cz eń dla problemu z og ra ni cz en ia mi równościowymi

Tę ostatnią oznaczmy przez A (rys. 3), a liczbę Jej wi e r s z y o kolumn od­

powiednio przez p i r. Zachodzi:

p = m + ( n - l ) k , r » n m.

z (9) mamy

gdzie d > O, a w i ę c :

z czego w y n i k a , że

k + d ,

p - n k + d r = n k + n d ,

W ni ni ej sz ym dowodzie będzie wykorzystane, udowodnione' w [4] oraz przed­

stawione w [5], nast ęp uj ąc e twierdzenie dotyczące ma cierzy A = ■ 1 s c it2 v , j - 1,2, .. .,w, rzędu v, której w s zy st ki e el ementy są licz­

bami całkowitymi. Otóż twierdzenie to orzeka, że w a r u n k i e m koniecznym 1 dost at ec zn ym na to, aby wielościan:

X a U X J = b i ' d l 8

3 = 1

1 . 2 V ,

x 3 > 0 ’

^dla

1

= 1 ,2 ,

był ca łk ow it ol ic zb ow y (tzn. ws zy st ki e Jego wi er zc ho łk i - rozwiązania ba­

zowe były c a ł k o w i t o l i c z b o w a ) Jest. aby dowolny minor stopnia v dla #*■

Z: gadnienle optymalnego przydziału realizatorów. 135

clerzy A był równy O lub ¿1. Dowód zo9t an ie pr ze pr ow ad zo ny od dz ie l­

nie dla dwóch na st ępujących przypadków:

a) gdy minor stopnia p ma ci er zy A nie zawiera żadnej kolumny z w ią za­

nej z ostatnim realizatorem, tzn. żadnej spośród kolumn (n-l)m+l, ( n - 1 ) m + 2 , . . . ,n m (odpowiednio - żadnej spośród ostatnich 7 kolumn ma­

cierzy w s pó łc zy nn ik ów og ra ni cz eń zadania przykładowego),

b) gdy minor stopnia p maci er zy A zawiera co najmniej jedną kolumnę związaną z 09tatnim realizatorem, tzn. co najmniej jedną spośród ko­

lumn (n-l)m+l, ( n - 1 ) m + 2 ,... ,n m (odpowiednio - co najmniej Jedną spo­

śród ostatnich 7 kolumn ma cierzy ws pó łc z y n n i k ó w og ra ni cz eń zadania p r z y k ł a d o w e g o ))

Przypadek a)

Usuw aj ąc z maci er zy A wszy st ki e kolumny związane z ostatnim re al iz a­

torem, otrzymamy macierz o wymi ar ac h p x (r-m), o zależnych wierszach (takiego typu jak wyjściowa macierz, z której otrzymano ma cierz a). W y ­ bierając z niej dowolne p kolumn otrz ym am y ma cierz kwadratową (p x p) również o wierszach zależnych. W y z n a c z n i k takiej ma ci er zy Jest oczywiście równy 0.

Przypadek b)

W przypadku tym będziemy wy ko rz ys ty wa ć do obliczania wy zn ac z n i k ó w do­

brze znaną w al ge br ze numerycznej metodę, polegającą na redukcji wy z n a c z ­ nika stopnia s do wy zn ac zn ik a stopnia (s-l), zgodnie z równaniem:

a ll °12 * " 8 lS S22 a23 a2s a 21 a 22 **' a 23

= a ll

a 32 a 33 • “ B 3s

a sl a s2 " • a ss a s2 a;3 — a'sa gdzie

a 11 a i k

a' * a dla i,k ■= 2 , 3 ,e

a łl (zakładamy, że / 0).

Również w tym przypadku Jest możliwe, że pewne mi no ry stopnia p będą rów­

ne zero. Na pr zykład będzie tak, gdy w y bi er ze my na st ępujące kolumny ma­

cierzy ws pó łc z y n n i k ó w ograniczeń zadania przykładowego: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17. O t rz ym an y minor pr ze dstawiono na rys. 4. 2 po­

danego przykładu wynika zatem, że waru nk ie m koniecznym (sle nie w y s t a r ­ czającym) niezerowości rozważanych mi no ró w jest taki wybór kolumn z m a ­ cierzy A, aby w każdym wi erszu ws pó łc z y n n i k ó w ograni cz eń (2), wystąpiła co najmniej jedna Jedynka (wiersz 6 oraz 7 minora z rys. 4 nie s p eł ni a­

ją tego warunku). Inaczej mówiąc, każdy minor stopnia p powinien zowie-

136 W. Slbilski

wybrane kolumny maci er zy z rys. 2 1 2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17

1 1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1 1

Rys. 4. W y b r a n y minor 3topnia p*13 dla maci er zy A z rys. 2

rać co najmniej Jedną z kolumn: 1. m + 1 , 2n + l t(n-l)m+l, co najmniej jedna z kolumn: 2, m+2 , 2 m + 2 ,...,( n - 1 ) ą + 2 ,..., oraz co najmniej jedną z kolumn: m, 2m „ 3 m n m (patrz rys. 3). Wt e d y mo żliwe Jest up or z ą d k o ­ wanie wybranych kolumn w taki sposób, poczyn aj ąc od lewej strony, że w i-tej kolumnie (dla i » l,2,...,m) będzie występować jedynka w i-tym wierszu. Taki e up or zą dk ow an ie pierwszych m kolumn ułatwia obliczenie wy­

znacznika wybranej podm ac ie rz y (p x p).

Stosując opisaną wcześniej metodę obliczania wy zn aczników, otrzymamy z minora stopnia p minor stopnia (p-w) , składający się z zer,jedynek oraz - jedynek. P r ze ks zt ał ca ją c go otrzymany równy mu z do kł ad no śc ią do zna­

ku, minor stopnia (p-m), sk ła da ją cy się wy łą c z n i e z (p-m)' kolumn ws p ó ł ­ c zynników ograniczeń (3'). P o w y Za ze prze ks zt ał ce ni a zo st ał y przykładowo zilustrowane na rys. 5. Ot r z y m a n y minor stopnia (p-m) skład8 się w y łą cz­

nie z zer i Jedynek, tak wi ęc oblicz aj ąc Jego wartość (stosując opisaną metodę, ni o Zn a Je dynie odjąć O lub 1 od O lub 1. V.’e wszystkich tych przy-

2 3 4 5 6 8 10 11 12 *4 15 17 21

1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1

8 2 3 4 5 6 14 10 11 12 15 17 21

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1 1

-1 -1

-1 -1 -1 -1 -1

1 -1

1 1 1

1 -1

1 1 1 1

1 1 1

Rys. 5. Et a p y obliczania w y br an eg o minora stopnia p macierzy A z rys. 2

Za ga dnienie op ty ma ln og o przydziału realizatorów.. 137

podkach otrzyma się również 0 lub 1, z w y ją tk ie m przypadku odjęcia 1 od O , gd zi e. ot rz ym an o by (-l). Istnieje więc możliwość otrzymania minora o e l e ­ mentach będących zerami, jedynkami i jedynkami. Postęp uj ąc dalej w ten sam sposób można, obliczajęc w y zn ac zn ik kolejnego, niższego stopnia, odjęć 0, 1 lub ■-1! od 0, 1 lub f-l). W e wszyst ki ch tych przypadkach otrzyma się znowu 0, 1 lub (-1), z w y ją tk ie m sytuacji, vj której odejmować się będzie 1 od (-i), albo f.-l) od 1, kiedy otrzyma się odpowiednio (-2) albo 2. W s z y s t k i e sytuacje, w których ts dwa os tatnie przypadki mogą w y ­ stąpić można sprowadzić do przedstawionej na rys. 6. Ale z poniższej w ł a ­ sności ma cierzy w s p ó ł c z y n n i k ó w ograni cz eń ( 3 ‘ ) wynika, że powyższa sytu a­

cja nie może wystąpić.

1 ... — 1 ...

1 ... 1 ...

Rys. 6. Postać h i p o te ty cz ne go wy zn ac zn ik a

Wł as no ść 3

Jeśli w jakiejkolwiek kolumnie ma ci er zy w s p ó ł c z y n n i k ó w ograniczeń f3') wy stąpi Jedynka, a po niej ftzn. w następnym wi er sz u tej kolumny) 0.

to ws zy st ki e kolejne elem en ty tej ko lumny ftzn. wy st ępujące w następ­

nych wierszach) są.rów ni eż równa 0.

Własność po wyższa jest ko ns ekwencją w p ro wa dz on yc h zasad numeracji zadań Je M, umowy dotyczącej w y p i sy wa ni a og ra n i c z e ń ( 3 ‘) w kolejności zgodnej z kolejnością realizowania zadań w czasie oraz wynika z założenia, Ze każdy zbiór zawiera kolejne liczby naturalne. Tak więc w przypadku b) każdy minor stopnia p ma ci er zy A (p x r) jest równy 0, q' lub f-l).

Rozw aż an e twierdzenie zo stało więc udowodnione.

LITERATURA

[1] G a rf ln ke l R.S. , Nemh au se r G.L.: P r o g r a mo wa ni e całkowltoliczbov/e. PWN, Wa rs za wa 1978.

[2] Gr ab ow sk i 3.: Uo gó l n i o n e za ga dnienia op ty ma li za cj i kolejności oper a­

cji w dyskretnych systemach produkcyjnych, Pr. Nauk. Inst. Cyber. Tech.

P. Wr. , nr 50, Seria: Mo no g r a f i e nr 9, Wyd. Pol. Wrocł. , Wr oc ło w 1979.

[3] G r ud ze ws ki W . , Szam ko ło wi cz L . : Zast os ow an ia teorii grafów i metod sieciowych w planow an iu pr ze dsięwzięć or ganizacyjno-technicznych.

Skrypt Pol. W r o c ł . , W r o c ł a w 1974.

[

4

]

Ho ffman A . 3., Kruskal 3.B.

:

Integral bo un da ry points of convex poly- hedra. Linear inequalities and related systems. N e w Jersey 1956.

[5] Korbut A.A., Fink el sz te jn 3.3.: Progra mo wa ni e dyskretne. PWN, W a r s z a ­ wa 1974.

136 W. Sib ilsk i

fs] Szamkołowicz L . : O podstawach teorii planowanie sieciowego I. Prace Na ukowe Instytutu Ma te ma ty ki i Fizyki Teoretycznej Poli te ch ni ki W r o c ­

ławskiej , Wyd. Polit. Wrocł. , Wr o c ł a w 1971.

[7] Błażewicz 3 ., Cellary W, , Słowiński P. , Wę glarz 3. : Al go r y t m y st er o­

wania rozdziałem zadań 1 za sobów w kompleksie operacji. Wy da wnictwo Pol. P o z n a ń s k i e j , Poznań 1978.

Recenzent : dr inż. Franciszek Marecki

W p ł y n ę ł o do Redakcji 15.05.P2 r.

3AAAHA O n iM A ^ b H O rO HA3HAmiHHfl

B HEKOTOPOM KOMWIEKCE 3ABHC;Ł/iHX OrTEPAlUtti

V e 3 » :i e

B p a ó o i e o a c c y x f l a e T C f l H e x o T o p u i i c n e m ^ . u e o r . : ? : : : . n K O M iu ie K c a 3 a o « c t i M U X o n e p a w t i i h C 3 i i 3 a H H a s c hmm n p o G z e u a T e n o r a R a 3 n a q e H H j ! o n e p a i m B k H c n o . n m T e - j i h m , K o i o p o e ; < M e e i M H KH M aabH yKi c T O H M O C T b . 3 T a s tp o f ij i e M a O h m a c $ o p w y ^ H p o B a H a b B i t n e 3 a n a w .i H H e i i K o r o n e a o t n c z e H n o r o n p o r p a r t i t i c p o B a H x a . 3 p a ó o i e ó ł u i h r t o - n a s a H u K e K o r o p a e o B O i ł c T B a T a i t o K ( J o p H y ji K p o B K i ; n p o ii.T .M U .M T O c n e j t a z o b o s m o k h k m ,

¿ ¿ i* . paB eH C TB O H H bD C o r p a H H R e H ż i ! , n o K a s a T e . T b O T s o T e o p t - M u 0 p e J i o a i t c j i e H i t o c T H o n - T z u a J i b H o r o p e n e m t a o T o i t T t p o ó n e M u .

THE PR OBLEM OF THE OPTIMAL AS SI G N M E N T OF RE AL IZ ER S AT THE COMPLEX OF DEPENDENT TA S K S OF THE SPECIAL TYPE

S u m m a r y

In the paper some specific type of the complex of dependent tasks and the problem of cost-minimal assignment of tasks to realizers are discused.

The problem is formulated in terms of integer linear programming. It is possible, for the equality c o n s t r a i n t s ,to prove that the optimal solution of the problem is integer-valued.