Aspecten van filters

(1)

delft

laboratorium voor grondmechanica

s t i e l t j e s w e g 2 p o s t b u s 69

t e l e f o o n : (015)-56 92 2 3 ' t e l e x : s o l a b nl 33326 postgiro: 234342 b a n k ; m e e s e n h o p e nv delft A s p e c t e n v a n f i l t e r s d o o r M.A. K o e n d e r s L a b o r a t o r i u m v o o r G r o n d m e c h a n i c a CO-406413/7 s e p t e m b e r 1978 s u p e r v i s i e : F. M o l e n k a m p t y p e w e r k : G. A l b e r t s b e r g / M . Q u e r o l .

V A N

* Werkzaamheden ten behoeve van opdrachtgevers worden slechts uitgevoerd op voorwaarde dat de opdrachtgever afstand doet van ieder recht op aansprakelijkstelling en zich verplicht tot vrijwaring voor Iedere aansprakelijkheid jegens derden.

(2)

e:1:' zoal b,,=,kend

is

over cr:i.tE:,riu voor f:Uterstab111tcit c.q. stabiliteit tan aanzien van interne erosie. Gedetailleerd ,lOrdi: ingegaan op het gedrag van Fulle~ckromTIJen en rnodific2,-ties daarvan. Bet eerate deel wordt afgerond met de bereke-nlng 'l[l.n een prak·t:LE;ch voorbee1.d t.b.v. de Oosterscheldedam.

In he.t tweede deel ,,,ordt. een t.heoretische ve}~kennillg 1..1i tge-voerd op grond waarvan men de kine·tiek - dat is de beschrij-vin9 \TD.n de bewegin<;'T ~ van kor~'els

in

een gepakt bed kan

be-g·x:i.jpen. VOO1: dit doel \'Tordt de Bolt.zmann-transport.vergelij-king <.Jemodificeex'd. Er 'dordt een sterk geschematiseerd reken-· voorbeeld gegeven, Daarnaast

is

een eenvouc1iger: moch"l gegE'!ven I

dat. het rnogelijk maakt om de min:i.mn.al benoc1igo.e dikte van 8en filtErr.laag uit, te rekenell.

(3)

C r i t e r i a v o o r d e s t a b i l i t e i t v a n f i l t e r s I I I n t e r n e m i g r a t i e I I I F i l t e r s t a b i l i t e i t e n i n t e r n e m i g r a t i e v o o r Füllerkromnien V I I • T r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e n V I I I A a n b e v e l i n g e n v o o r v e r d e r o n d e r z o e k G r a f i e k e n L i t e r a t u u r A x ^ p e n d i x A E n i g e g r e p e n u i t d e t h e r m o d y n a m i c a e n d e s t a t i s t i s c h e m e c h a n i c a ' 1/n I V V V I F i l t e r k i n e t i e k

(4)

s t r o o m t . H e t f i l t e r h e e t s t a b i e l a l s de d o o r l a t e n d h e l d c o n s t a n t b l i j f t e n / o f a l s d e e l t j e s v a n de ene l a a g n i e t i n de a n d e r e d o o r d r i n g e n . De t w e e l a g e n w o r d e n g e k a r a l c t e r i s e e r d d o o r h u n z e e f k r o i m n e n , d J . c h t h e i d e n d o o r l a t e n d h e l d . Van b e l a n g i s v o o r t s de h y d r a u l i s c h e gradiënt d i e o p t r e e d t , I n n a v o l g i n g v a n T e r z a g h i en K a r p o f f ( l i t . 10, 24) g e v e n de m e e s t e o n d e r z o e k e n de c r i t e r i a v o o r f i l t e r s t a b i l i t e i t o p d o o r v e r l i o u d i n g e n v a n b e p a a l d e p u n t e n v a n d e z e e f -grommen t e e i s e n m e t v e r m e l d i n g v a n n e v e n v o o r w a a r d e n . De d e e l t j e s v a n de l a a g m e t h e t k l e i n s t e m a t e r i a a l n o e m t men b a s i s d e e l t j e s . Hun d i a m e t e r . v ; o r d t a a n g e g e v e n m e t d. . De d e e l t j e s v a n de l a a g m e t h e t g r o t e r e m a t e r i a a l h e t e n f i l t e r d e e l t j e s . De d i a m e t e r w o r d t g e n o t e e r d m e t D. De c r i t e r i a v a n T e r z a g h i t . a . v . f i l t e r s t a b i l i t e i t z i j n : D 15 ^85 D 50 D •'50 2 5 ; •- < 20 [ l i t 26) 15 Om e e n g o e d e d o o r l a t e n d h e i d t e g a r a n d e r e n m o e t b o v e n d i e n g r o t e r d a n 4 z i j n . Na T e r z e i g h i i s e r aan h e t o n d e r w e r p u i t e r a a r d m e e r a a n d a c h t b e s t e e d . I n t a b e l 1 , o v e r g e n o m e n v a n T h a n i k a c h a l a n en S a k t h i v a d i v e l ( l i t . 2 5 ) s t a a n d e r e s u l t a t e n v a n de v o o r n a c i m s t e o n d e r z o e k e r s . 100 gewicMs

f

50 ]... f i g . 1 Z e e f k r o m m e n v a n b a s i s en f i l t e r -m a t e r i a a l -p. d i a n i f r t e r I n h e t a l g e m e e n l e g g e n de c r i t e r i a de s t e i l h e i d v a n en de a f s t a n d t u s s e n de z e e f k r o m m e n v a s t . N e a s t c r i t e r i a , d i e b e t r e k k i n g h e b b e n o p v e r h o u d i n g s g e t a l l e n v a n de z e e f k r o m m e n m o e t e n o o k e i s e n g e s t e l d w o r d e n aan de a b s o l u t e a f m , e t i n g e n v a n de k o r r e l s . D i t h e e f t t e ma-k e n met h e t f e i t , d a t h e t a a n t a l m a n i e r e n , v/aarop ma-k l e i n e d e e l t j e s t o t s t i l s t a n d g e b r a c h t k u n n e n w o r d e n , g r o t e r i s d a n v o o r g r o t e r e d e e l t j e s .

(5)

- 2 A De d i s c u s s i e o v e r d i t f e n o m e e n i s n o g n i e t a f g e r o n d ( l i t , 2 6 ) E l e k t r i s c h e k r a c h t e n z o u d e n e e n g e r i n g e r o l k u n n e n s p e l e n . Ook w o r d e n h y d r o d y n a m i s c h e e n s t a t i s t i s c h e a r g u m e n t e n g e b r u i k t . De l a a t s t e l i j k e n v o o r a l s n o g h e t b e s t ( " h e t a a n t a l m a n i e r e n " ) . N a a r a a n l e i d i n g v a n h e t p r o j e c t "A c r i t i c a l r e a p p r a i s a l o f t h e d e s i g n c r i t e r i a f o r f i l t e r s " s t e l l e n T h a n i k a c h a l a n e n S a k t h i v a d i v e l o n t w e r p c r i t e r i a v o o r , u i t g a a n d e v a n d e b e l a n g r i j k s t e e x p e -r i m e n t e l e o n d e -r z o e k i n g e n . Z i j c o -r -r e l e -r e n a c h t e -r e e n v o l g e n s d e ^ 6 0 ^^50 , ^ 6 0 ^ °10 , ""60 ^ ^ 0 — — m.et - r — , d e - — m e t e n d e - — m e t -:;—. ^ 1 0 ^ 5 0 ^ 1 0 ^ 1 0 ^ 1 0 ^"lO

TA B U 1. Grain size criteria for cohesionless soih—-coraparison of results

Investigators Terzaghi

Nev.'ton and Hurley Bertram

The U.S. Corps of Engineers The U.S. Corps of

Engineers Taylor

Mallet and Pacquant Sichartdt Mayer Leatherwood and Peterson Karpoff (USbR) Zweck and Davidenkcfi' Kasvakarai and Esashi Year 1922 1940 1940 1941 1953 1948 1954 1952 1954 1954 1955 1956 Giadallon of filter material

Uniform filter for graded base soil Uniform Graded L'nlfoi';n Close packing Loose packing Intermediate packing Uniform and graded Uniform

Graded Crushed stone iViedium and coarse

sand Fine sand Fine sand graded

1961 log

(?^f

-2) =

dsn Ma.ximunn niter material size <4 32 >4 15 25 times the average base material Nature of the grain size curves of

filter and base materials to be parallel <25 -5— < 1.5 (uniform) •; 6.5 6.46 2.42 4.44 6-10 5.3 D, <5 '• < 6; and ^ > 4 0( graded I < 4 4.1 12-40 6-18 1,9 5-10 12-58 9-30 5-10 5-15 5-25 7.5 crn to be parallel in the finer sizes loeK'^.o - 0.001)1000]

(6)

(•-—- e n - — zxjn m a t e n v o o r d e s t e i l h e d e n v a n d e f i l t e r k r o n m i e n v a n ^ 1 0 10 r e s p , f i l t e r m a t e r i a a l e n b a s i s m a t e r i a a l , d e u n i f o r m i t e i t s c o ë f f i c i ë n t ) . ? i i e d e f i q n r e n 2, 3, 4. ( f i g . 4 ) TEST RESULTS OF STABLE I UNSTABLE U.S. CORPS Of= „

KARfOSF O LE,!,yKiCRV','OOD 6 PETEK50N DSLVASi-IEVSKII tt at. ® d c o „ DI G „ o 4 i-O 0 iO d l o f i g . 2. f i g . 3, 6 0 'lO c ..s f u n c t i e v a n ^50 ^ 6 0 D D a l s f u n c t i e v a n 10 •^60 f i g . 4. a l s f u n c t i e v a n 10

AO

ho

to iOO i z o (4 O

'^K)' ^'^^'^ ''^'^^ fSRCEKT m m OF FILTER TO GASE fMTERIALS

( f i g , 3 ) U.S. CORPS OF TEST rieStf-TS OF ST.'-.9LE I UHSTAELt: < ? 0 T E S T RESULTS ( f i g . 2) STABLE KAt!POr.= O u s.conps OF ENGINEER D OAYAPRAKASM O . CUPTA f fiELYASHKVSitli cl oi O UNSTAeLE B A rROPOSCD LIMIT 0' UNSVADLE OP u ENGINKERS KARPOFF O a\YAPRAKASH I „. OUPTA ^ BELVASHfïVSKII «ttó.O LEATI-ERViOOP t PCTEfiSON

d 10 RATtO OF TEN reRCENT SIZES O," FILTER TO W«5E W.TE.D.'ALS

(7)

Een c r i t e r i u m v o o i : d e a b s o l u t e a f m e t i n g e n v o l g t u i t e x p e r i m e n t e n ( z i e f i g , 5 n a a r K a w a k a m i e n E s a s h i , l i t . 1 1 ) . De s t a b i l i t e i t i s g e g a r a n d e e r d o n d e r d e l i j n : 10 r D l o g 1 2 ^10 - 2 1.9 10 l o g [ (d^Q - O.OODx 10-^] ( d ^ ^ i n m i l l i m e t e r s ) -1-1-rrn Xf-il RftSULVS OF ^ iTAELgj FAILURE KAMFOFF U-S. COF-iPE OF Eijcas. t PF.Tf.RSOI^I tELYASf-SVSKIi a el. O t? a m & 'Sl 0 O S I O ? 0 EFFECTIVE GRAIN SIZE OF CASS MAÏCRIAI. d j o MlLLlMSmfi

f i g , 5 s t a b i l i t e i t s c r i t e r i a m e t i n a c h t n e m i n g v a n d e a b o s u l t e k o r r e l d i a m e t e r <3.^Q.

I n d i e n h e t e f f e c t o n b e l a n g r i j k z o u z i j n , z o u d e g e -s t i p p e l d e l i j n -s t a b i e l v a n i n -s t a b i e l -s c h e i d e n ( p l a a t j e u i t T h a n i k a c h a l a r a & S a k t h i v a d i v e l )

(8)

De e x p e i c i m e n t e n - d i e b i j h e t . o p s t e l l e n v a n d e c r i t e r i a v a n b l z 3 e n 4 g e b r u i k t a i j n w a r e n s t e e d s z o i n g e r i c h t d a t de o m s t a n d i g h e d e n ;', i n d e dcanrnenboxiw z o g o e d m o g e l i j k z i j n n a g e b o o t s t . K a r p o f f b i j v o o r -b e e l d d e e d p r o e v e n o p vèrdicht...rcateriacil ( l i t 1 0 ) . B e l y a s h e v s k i i ( l i t 2) g e b r u i k t e . c y c l i s c h e v e r h a n g e n - z i j h e t d a t d e z e n i e t e r g g r o o t v j a r e n (<( 1 0 0 % ) . B i j a l l e p r o e v e n s t o n d d e s t r o o m r i c h t i n g l o o d r e c h t o p h e t s c h e i d i n g s v l a k b a s i s - f i l t e r m a t e r i a a l . W a n n e e r i n h e t v e r v o l g s p r a k e i s : v a n r e l a t i e v e f i l t e r c r i t e r i a v / o r d t b e d o e l d d e i n f i g . 2, 3, 4 u i t g e w e r k t e l i j n e n : ^ 6 0 S o > • ,415 S o S o 3. 32 S o S.0 . 9 4 1 ' S.0 ^ 1 0 5. 65 S o S o .4 ? i o . ^ 1 0 ' 2. 0 W a n n e e r s p r a l c e i s v a n h e t a b s o l u t e c r i t e r i u m w o r d t b e d o e l d h e t c r i t e r i u m v a n f i g . 5: l o g D d 10 10 - 2 < 10 l o g 1.9 10 - 0 . 0 0 1 ) X 10 - 3 1

(9)

5 -I -I . -I n t e r n e m i g r a t i e I n t e r n e m i g r a t i e t r e e d t o p i n d i e n k o r r e l s i n e e n p a k k e t e e n a f -s t a n d k u n n e n a f l e g g e n d i e g r o o t i -s t . o . v . d e d i a m e t e r v a n d e k o r r e l s t . g . v , e e n h y d r a u l i s c h e g r a d i ë n t . N e t a l s b i j c r i t e r i a v o o r d e s t a b i l i t e i t v a n f i l t e r s h e e f t men g e t r a c h t d e s t a b i l i -t e i -t v a n e e n p a k k e -t g r o n d z e l f u i -t -t e d r u k k e n i n k a r a k -t e r i s -t i e k e g e t a l l e n v a n d e z e e f k r o m m e , 6 0 , ( D e u n i f o r m i t e i t s c o ë f f i c i ë n t U = — ) ; 10 I s t o m i n a ( l i t . 7) G e e n i n t e r n e m i g r a t i e a l s 1 U < 10 M o g e l i j k i n t e r n e m i g r a t i e ( a f h a n k e l i j k v a n d e h y d r a u l i s c h e g r a d i ë n t ) a l s 10 < U < 20 I n t e r n e m i g r a t i e a l s U > 20 A n d e r e o n d e r z o e k e r s g e v e n g e t a l l e n d i e h i e r a a n o n g e v e e r g e l i j k z i j n ( l i t . 1 3 ) , I n h e t a l g e i r i e e n k a n i n t e r n e m i g r a t i e ( s y n o n i e m e n z i j n s u f f o s i e , i n t e r n e s u f f o s i e , i n t e r n e e r o s i e ) o p t r e d e n a l s d e k l e i n e r e k o r r e l s k l e i n e r z i j n a a n a e p o n e n v a n neL. K u . L . ' . f . - L o r . c j - c u . j . ^ , ^ . u . ^ v . * v * ^ , . - ^i,. d i t f e i t g e b a s e e r d z i j n , h e b b e n tv/ee b e z w a r e n : 1 . A l s e e n k l e i n e k o r r e l m i g r e e r t l a a t h i j e e n g r o t e r e p o r i e a c h t e r , w a a r d o o r e e n i e t s g r o t e r e k o r r e l z o u k u n n e n v e r p l a a t s e n , d i e o p z i j n b e u r t w e e r e e n g r o t e r g a t a c h t e r l a a t e t c . Op d i e m a n i e r z o u g e e n e n k e l r e ë e l p a k k e t g r o n d s t a b i e l z i j n . 2. A l z i j n d e k o r r e l s g r o t e r d a n d e k l e i n s t e p o r i e , d a n n o g k u n n e n b i j v o l d o e n d e k r a c h t t . g . v . d e w a t e r s t r o o m t w e e k o r r e l s t e g e -l i j k -l o s -l a t e n u i t h e t s k e -l e t . D e z e a r g u m e n t e n b r a c h t e n Lubote'h.kov ( ü t , 15)- e r t o e om n i e t s l e c h t s e n k e l e p u n t e n v a n d e z e e f k r o n m i e , d o c h om d e g e h e l e k o r r e l v e r d e l i n g t e o n d e r z o e k e n ( f i g . 6 ) .

(10)

De i n t e r p r e t a t i e d i e a a n d e z e f i g u u r v e r b o n d e n i s , i s d e v o ] . g e n d e . V e r d e l i i i g e n o n d e r d e o n d e r g r e n s z i j n s t a b i e l , b o v e n d e b o v e n g r e n s i n s t a b i e l . T u s s e n o n d e r - e n b o v e n g r e n s h a n g t h e t v a n d e h y d r a u l i s c h e gradiënt a f . V o o r d e s t a b i l i t e i t i n e e n p a k k e t i s h e t b e l a n g r i j k , d a t z o v c o l mo-g e l i j k d e e J . t j e s k r a c h t v o e l e n v a n o m r i n mo-g e n d e k o r r e l s . D a v i s e n Der e s i e v i c z ( l i t . 4 ) h e b b e n l a t e n z i e n , d a t v o o Der e e n p a k k e t b o l l e n -a l l e n m e t d e z e l f d e s t r -a -a l - i n w i l l e k e u r i g e p -a k k i n g c -a . 2 0 % vem d e d e e l t j e s g e e n k r a c h t v o e l t . T o c h z a l men b i j e e n éénkorrelig p a k k e t z e l d e n o f n o o i t i n t e r n e e r o s i e w a a r n e m e n . De r e d e n i s , d a t e e n d e e l t j e d a t l o s l a a t welis'.vaar e e n k o r t e a f s t a n d k a n a f l e g g e n , d o c h s p o e d i g b l i j f t s t e k e n i n d a t d e e l v a n h e t p a k k e t w a a r w é l k r a c h t o p s t a a t ( b l o c k i n g ) , B i j e e n n i e t - c e n k o r r e l i g p a k k e t i s h e t d a a r n a a s t mogel i j k , d a t tv/ee k mogel e i n e d e e mogel t j e s t e g e mogel i j k i n e e n p o r i e b mogel i j v e n s t e -k e n ( b r i d g i n g ) . D i t l a a t s t e l e v e r t n a a r a l l e w a a r s c h i j n l i j k h e i d s l e c h t s e e n s t a l j i e l p a k k e t o p , i n h e t g e v a l v a n s t a t i o n a i r e s t r o m i n g . V o o r c y c l i s c h e v e r -h a n g e n z u l l e n d e e i s e n t . a . v . d e s t c i b r l i t e i t s t r e n g e r z i j n d a n d i e v a n s t a t i o n a i r e t . a . v . d e s t a b i l i t e i t g e l d e n e n d u s v o o r d e k o r r e l -v e r d e l i n g .

(11)

7 -I -I -I . F i -I t e r s t a b i l i t e i t e n i n t e r n e m i g r a t i e v o o r Füllerkrommen Een z e e f k r o m m e d i e e e n h o g e d i c h t h e i d g a r a n d e e r t , i s d e F ü l l e r -kronmie ( l i t . 33) . P ( d / "\ / — - ~ O < d < d ; d i s d e maxiro.ale k o r r e l d i a m e t e r ^ ' \ / d max max « max Differentiëren n a a r d l e v e r t d e v e r d e l i n g s f u n c t i e : P W ) ^ ï a " • < ï -max • -max We z i e n d a t d e z e d i v e r g e e r t v o o r d -> 0. Om hem f y s i s c h reëel t e m a k e n m o e t e e n k l e i n e f r a c t i e d < d^^^^ w e g g e l a t e n w o r d e n . D e z e m o d i f i c a t i e b e t e k e n t : p ( d ) --^ O v o o r O < d < d . ^ ^ ' m m c — - — ( — . ^ ) " ^ ; d . < d < d max max m e t C zó d a t : d max j J p ( d ) d ( d ) 1 w a a r u i t v o l g t C == ^ — d . ' 1 /• m i n m m i ~ \

• V S

_max Z i e v o o r e e n v o o r b e e l d f i g u u r 7 a . De g e m o d i f i c e e r d e z e e f k r o n m i e P ( d ) v o l d o e t a a n : dP = p ( d ) d ( d ) , d u s : m m 1 - / m m * max ü max met A zó, d a t : P^^^. ( ^ i n ^ = ° S , , , ^ S a x > ^ ^ m m A = " _{V S a x}

(12)

Dus: S : . = rnxn _{1 - /} m i n max d . '1 / m m max ( 1 ) max Z i e v o o r e e n v o o r b e e l d f i g u u r 7 b . p ( d )

t

rn m

P. . ( d )

H • [ m m

'mm

U) ci — F i g . 7. V e r d e l i n g s f u n c t i e p ( d ) e n o v e r s c h r i j d i n g s f u n c t i e P ( d ) v o o r e e n g e m o d i f i c e e r d e Füllerkromme m e t d . = 1 mrii e n d , = 10 mm. m m max H i e r u i t z i e n we d a t d e z e e f k r o m m e b e k e n d i s a l s d . e n d „ g e g e v e n z i j n , m m max De i n v e r s e v a n ( 1 ) i s : P ^ (P d . ram ) = d , m m max ^ m m / S i n

1

max J d = d . ( 2 ) max V o o r h e t gemak l a t e n v/e h i e r n a d e i n d e x d ^ ^ ^ b i j P w e g . C o n s t r u e r e n we n u t w e e F ü l l e r k r o m m e n , d i e vi'e a a n g e v e n m e t b o v e n i n d e x b e n f ( b a s i s e n f i l t e r ) . A a n w e l k e e i s e n m o e t e n d^^^^., S a x ' S i n "^^l*^"®" o p d a t e r e e n s t a b i e l f i l t e r s y s t e e m k o m t v o l g e n s de c r i t e r i a v a n h o o f d -s t u k I ?

(13)

~ Q _60 ^ 0 S o - 3.32 ( f i g . 2) ( a ) D 60 D 10 D 10 > .941 _ - . - 5.65 10 ( f i g . 3 ) ( b ) d 60

4Ö

_10

4o

10, f S o . 2.0 ( f i g . 4 ) 1.9 ^°log [ ( d ^ Q - - 0 . 0 0 1 ) j i l O ^ _ ( f i g . 5 ) ( c ) ( d ) U i t ( 2 ) v o l g t : d . f „ / m.i.n ,2 ., r: \0 - ( 0 . 6 -f 0.4 Z - ^ - ) . d ^ ^ / max D 10 ( 0 . 1 ^ 0.9 . c l ^ ^ f d f ' max max 50 max d . b ^ / m m ,2 ^ , " 1 0 "' '^'^ ' d b ' max max 60 d . b „ / m m ,2 ^ , ( 0 . 6 + 0.4 / •- ~) . a,_^b d b ' max max d , ^ = ( 0 . 5 + 0.5 / 50 d , b „ m m . 2 d h' max d b max C r i t e r i u m ( d ) b e v a t e e n a b s o l u t e d i a m e t e r , t e r w i j l ( a ) , ( b ) e n ( c ) u i t . t e d r u k k e n z i j n i n r e l a t i e v e m a t e n . Omdat v;e n a a r a l g e m e n e i n f o r m a t i e z o e k e n l e t t e n v/e n i e t o p c r i t e r m m ( d ) e n s t e l l e n :

(14)

d b ^ = e e n m a a t v o o r d e o n d e r l i n g e a f s t a n d t u s s e n d e z e e f -k r o m m e n (O < £; < 1) „2 ^ .JÏiH!i_ g^,-^ jj^jjg^.,. ^ o o r s t e i l h e i d v a n d e z e e f k r o m m e v a n h e t ' d b b a s i s m a t e r i a a l O < n < 1 d . f ^2 ^ — e e n m a a t v o o r d e s t e i l h e i d v a n de- z e e f k r o m m e v a n h e t "^^^ f i l t e r m a t e r i a a l O < C < 1 Nu w o r d e n d e c r i t e r i a ( a ) , ( b ) e n ( c ) :

^0.1 + 0.9^^ 4

+ 5

^0.1 + 0.9?^ ^0.1 + 0.9iV C

•,0.6 + 0.4ji,2 . / 0 _ . U i . 0 _ ^ , 2 i .. 2 O

( o . T + ~ c r r 9 r i ^ ^0.1 + 0.9n' 5 De o p l o s s i n g s t a a t i n g r a f i e k 1. B i j g e g e v e n ? i s a l l e s was r e c h t s v a n de l i j n 5 = c o n s t a n t l i g t , s t a b i e l e n a l l e s w a t l i n k s l i g t i n s t a b i e l . V o o r e e n c o n c r e e t f i l t e r o n t w e r p m o e t c r i t e r i u m ( d ) n o g g e -t o e -t s -t v r a r d e n . W a n n e e r i s n u e e n ( g e m o d i f i c e e r d e ) : Füllerkromjtie s t a b i e l v o o r i n t e r n e e r o s i e ? Twee m e t h o d e n : 1. G e b r u i k v a n d e o n t w e r p k r o m m e v a n L u b o t c h k o v . 2. S p l i t s d e z e e f k r o m m e b i j e e n w i l l e k e u r i g e d i a m e t e r i n tv^eeën. B e s c h o u w h e t d e e l m e t d e k l e i n s t e d i a m e t e r a l s b a s i s m a t e r i a a l , h e t d e e l m e t de g r o o t s t e d i a m e t e r a l s f i l t e r m a t e r i a a l e n l a a t o p h e t s y s t e e m d e f i l t e r c r i t e r i a l o s . M e t h o d e 1 i s e e n v o u d i g u i t t e v o e r e n . We v i n d e n d a t d ^ ^ ^ > 0.1 d^_^^. H e t i s n i e t a a n t e t o n e n d a t m e t h o d e 2 e e n c o r r e c t e p r o c e d u r e i s . I n d e l i t e r a t u u r w o r d t a l l e e n d o o r K e z d i ( l i t . 12) i e t s d e r g e l i j k s u i t g e v o e r d ( m e t d e f i l t e r c r i t e r i a v a n T e r z a g h i ) . E r z i j n f e i t e l i j k a l l e e n intuïtieve a r g u m e n t e n . Hoe d i t z i j , v o o r z e k e r e . p u s s e n ^ 5 ^ l l a x v o l g t e r e e n z e e f k r o m m e v o o r h e t f i l t e r m a f c e r i a a l :

(15)

11 e n één v o o r h e t b a s i s m a t e r i a a l : max d . d , 1 . 1 1 mm, m m . , . m e t P ( x ) = i - - - - ( / x - /-^ ) X ^ 1 / ToJ n- max . max

max d , d . n , V / i K m , , / m m e n i n v e r s e x = i P { x ) ( 1 - / • ) + v max max' 2 = P ^ ( P ) E r k o m t : f d . 2 - 1 / . I m m dgQ = P ' (0.6P(Ö)) == [ 0 . 6 / Ö + 0.4 / -max ^ max

^ 3 ^ = [ 0 . 5 / . ^ O . B / J S i ]

= P ^ ( 0 . 6 ( 1 -• P ( 6 ) ) + P ( 6 ) ) = [ 0 . 6 + 0.4/5 ] = [ o . l + 0.9/6^ ^ 5 0 " [ 0 - 5 + 0.5/5" Omdat e r g e e n v o o r s c h r i f t i s v o o r 6 e i s e n v/e d a t a a n d e s t a b i l i -t e i -t s c r i -t e r i a ( a ) , ( b ) e n ( c ) v o l d a a n i s v o o r a l l e < iS < 1 (v/e z i e n w e e r a f v a n ( d ) , o m d a t we a l l e e n e e n u i t -m -m d dm-j n _{max Q - ... i i i i i i} I r v i k k i n g v o o r d e v e r h o u d i n g — z o e k e n ) max

(16)

Dus: 6

+

O.4/0 2 .,_ / 0 . 5 + 0.5 /6 — - r - r r ) > .415 0_. 0.1 + 0.9/6

l o .

5/Ö + 0 . 5 / d , m x i i , d max - 3.32 ,0.6 + 0.4/6,2 ^ /.O.l + 0.9/6 ^ o T r T W ö ^ > . 9 4 1 ^ 0 . 1 / 6 + 0 . 9 / m.xn - 5.65 max O.Gv^ó -'r 0 . 4 / 0.1/6 + 0 . 9 / m m max. m m m.ax > .4 .0.1 -i- 0.9/6_ 0.1/6 + 0 , 9 / m m 1 max

M e t een progranmïaatje o p d e H.P. 67 v i n d e n we:

d . — i - > 0.095 ( v e r g e l i j k m e t h o d e 1) max B e i d e c r i t e r i a v o o r i n t e r n e m i g r a t i e l e i d e n t o t b e t r e k k e l i j k s t e i l e k o r r e l v e . r d e l i n g e n . D i t w o r d t . t e c h n i s c h a l s n a d e l i g e r v a r e n . I n h e t v o l g e n d e v 7 o r d t a a n g e t o o n d , d a t t o c h b r e d e r e k o r r e l v e r d e l i n g e n moge-l i j k z i j n .

(17)

- 13 I V . I n t e r n e m i g r a t i e v o o r k r o m m e n v a n d e v o r i n ( - - ; max E e n Füllerkromme i s e e n b i j z o n d e r g e v a l v a n e e n z e e f k r o m m e , d i e d e v o r m h e e f t {.---—) ^"^"en w e l m e t n = 2 . max T . a . v . d e m a t h e m a t i e k k a n m.en e e n v o l s t r e k t a n a l o o g s y s t e e m o p z e t t e n a l s .in h e t v o r i g e i i o o f d s t u k g e d a a n i s . V7e b e k i j k e n h i e r a l l e e n i n t e r -ne s c a b i l i t e i t . M e t d e i n h e t v o r i g e h o o f d s t u k b e s c h r e v e n m e t h o d e 2 v i n d e n v/e v o e r a l l e m o g e l i j k e n - c o r r e s p o n d e r e n d e m e t a l l e r l e i v o r m e n v a n ]:roinmen - e e n w a a r b i j d e kromme n o g n e t i n t e r n s t a b i e l i s . max H e t r e s u l t a a t s t a a t i n f i g u u r 8. We n o t e r e n e e n m i n i m u m b i j n = 0.9. I n f i g u u r 9 z i j n e n i g e b i j b e h o r e n d e k o r r e l v e r d e l i n g e n g e t e k e n d , n a -m e l i j k v o o r n = 2.0, 0.9, 0.5. l 0.12

0.10 0,08

0.06 0.0A

0,02

O ^ QT

O.A 0.6 0.8

10 12 IA

1.6 18 20

2.2 2.A

- t l m m F i g . 8 M i n i m a a l t o e l a a t b a r e a l s f u n c t i e v a n n v o o r z e e f k r o m m e n max v a n t i e vorva ( — — ) v o l q e n s m e t n o a e 2. d max

(18)

We z i e n d a t L u b o t c h k o v n i e t i n t e g e n s p r a a k i s m e t d e h i e r g e v o l g d e a n a l y t i s c h e m e t h o d e , m a a r d a t m e t name v o o r n < 0.9 d e a n a l y t i s c h e m e t h o d e v e e l s t r e n g e r i s . D i t i s t e v / i j t e n a a n d e b e t r e k k e l i j k s c h e r p e b o c h t d i e i n d i t s o o r t kronmaes v o o r k l e i n e r e n g a a t o p t r e d e n . H e t i s i n t e r e s s a n t om o o k e e n s d e uniformiteitscoëfficiënt t e b e r e -k e n e n e n d i e t e v e r g e l i j -k e n m e t d e c r i t e r i a v a n I s t o m i n a ( l i t . 7 ) v o o r n = 2 U = 4 , 0 ? n = 0 , 9 U = 4 , 6 ; n = 0 , 5 U = 2 , 4 . I s t o m i n a g e e f t a l s c r i t e r i u m d a t e r g e e n i n t e r n e m i g r a t i e o p t r e e d t a l s U < 10. Z o a l s r e e d s o p g e m e r k t , g e v e n a n d e r e o n d e r z o e k e r s g e -t a l l e n d i e h i e r a a n o n g e v e e r g e l i j k z i j n . H e -t k l e i n s -t e g e -t a l d a -t we tegenkv/amen was 6. We c o n c l u d e r e n : 1 . D a t d e intuïtieve m e t h o d e v / a a r b i j d e z e e f k r o n m i e o p a l l e m o g e l i j k e p u n t e n i n tweeën g e s p l i t s t w o r d t , w a a r n a o p d e b e i d e g e b i e d e n d e f i l t e r r e g e l s v a n S a k t h i v a d i v e l w o r d t l o s g e l a t e n , l e i d t t o t e e n z e e r s t r e n g c r i t e r i u m t . n . v . i n t e r n e s t a b i l i t e i t . 2. D a t d e z e m e t h o d e d a a r o m o o k b i j h o g e c y c l i s c h e v e r h a n g e n w a a r -s c h i j n l i j k n o g l e i d t t o t e e n h o g e g r a a d v a n v e i l i g h e i d . 3. D a t m e t d e z e m e t h o d e t o c h n o g t a m e l i j k b r e d e k o r r e l v e r d e l i n g e n k u n n e n v;orden t o e g e l a t e n , m i t s men d e v e r d e l i n g n a u w k e u r i g samen-s t e l t m e t e e n n samen-s 0.9

(19)

15 -V3a g a a n de n u v e r k x e g e n r e g e l s g e b r u i k e n v o o r h e t p r o b l e e m , z o a l s d a t o p t r e e d t b i j d e t e bouwen, p i j l e r d a m i n d e O o s t e r s c h e l d e . H e t n a t u u r l i j k e f i j n e z a n d ( z i e f i g u u r 10) m o e t w o r d e n a f g e d e k t m.et g r o v e r e l a g e n , w e l k e a a n de b o v e n z i j d e v a n d e d r e m p e l z o g r o f m o e t e n z i j n , d a t z e o n d e r a l l e o m s t a n d i g h e d e n s t r o o m b e s t e n d i g z i j n . Een l a a g i s s t r o o m b e s t e n d i g a l s : 1. De l a a g v o l d o e n d e g r o f i s om t r a n s p o r t v a n e e n e n k e l e k o r r e l t e voork.omen. D i t h a n g t u i t e r a a r d a f v a n de g r o o t t e v a n d e o p -t r e d e n d e s -t r o o m s n e l h e i d . 2. De l a a g m o e t i n t e r n s t a b i e l z i j n o m d a t a n d e r s o n d e r g r o t e v e r -h a n g e n m a t e r i a a l z o u k u n n e n u i t s p o e l e n . De k a r a k t e r i s t i e k e g r o o t h e d e n v a n o p v o l g e n d e l a g e n , z o a l s k o r r e l -v e r d e l i n g , a b s o l u t e a f m e t i n g e n ( e n m o g e l i j k de d i c h t h e i d ) , z u l l e n m o e t e n v o l d o e n a a n f i l t e r c r i t e r i a . T e n e i n d e d e s t r o o m b e s t e n d i g h e i d v a n e l k e l a a g z o g o e d m o g e l i j k t e d o e n z i j n , z a l d e g r o o t s t e k o r r e l a f m e t i n g v a n e l k e l a a g m a x i m a a l m o e t e n v/orden g e k o z e n . A l m e t a l e i s e n we v o o r de e e r s t e k u n s t m a t i g e l a a g d a t 1 . d e z e i n t e r n s t a h i i e l i s 2. d e k o r r e l d i a m e t e r m a x i m a a l l s 3. v o l d a a n i s aan de r e l a t i e v e f i l t e r c r i t e r i a 4. v o l d a a n i s a a n h e t a b s o l u t e f i l t e r c r i t e r i u m - , d , 1/n Vte p r o b e r e n een k o r r e l d i a m e t e r v a n ae v o r m \- ) max Op h e t e e r s t e g e z i c h t i s men g e n e i g d om g e z i e n d e e i s v a n i n t e r n e s t a b i l i t e i t en m a x i m a l e k o r r e l a f m e t i n g n = 0,9 t e nemen, m a a r d a t h o e f t h e l e m a a l n i e t h e t o p t i m a l e f i l t e r t e l e v e r e n . T e s t e n v a n d e c r i t e r i a v a n T a n i k a c h a l a m & S a k t h i v a d i v e l l e v e r t o n -d e r s t a a n -d e t a b e l v o o r -d e maximóial t o e l a a t b a r e -d ^ ^ ^ f , g e g e v e n -d e -d ^ ^ , d ^ ^ e n d ^ ^ v a n d e n a t u u r l i j k e o n d e r l a a g a l s f u n c t i e v a n 50 GO d . f mx«-max

(20)

U i t a l l e v o o r n o e m d e c r i t e r i a v o l g t v o o r e l k e c o m b i n a t i e e e n o p t i m a l e w a a r d e v a n d f . max Z o a l s u i t f i g u u r 8 b l i j k t , z i j n e c h t e r b e p a a l d e c o m b i n a t i e s n i e t i n t e r n s t a b i e l ; i n d e t a b e l i s d i t g e m a r k e e r d m e t .' V o o r d e o v e -r i g e c o m b i n a t i e s i s u i t g a . a n d e v a n d e -r e l a t i e v e f i l t e -r c -r i t e -r i a d f b e p a a l d . D e z e i s v e r v o l g e n s g e t o e t s t o p h e t a b s o l u t e c r i -max t e r i u m . D a a r w a a r d i t m a a t g e v e n d b l e e k ( n > 2) i s d i t a a n g e g e v e n m e t ( ) . T e r p l a a t s e i s d f a a n g e p a s t om o o k a a n h e t a b s o l u t e c r i t e r i i m i t e v o l d o e n , . d m mm max \ a . f \ d f n \max 0.025 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.6 0.025

-

3.7 3.7 3.7 0.9 6.0 5.8 5.3 5.2 4.8 1.2

• -

-

6.6 6.1 5.7 1.4

-

6.5 6.3 1.6

-

6.6 6.3 1.8

-

6.5 2.0

-

( 6 . 7 ) 2.4

-

( 6 . 2 ) = i n t e r n i n s t a b i e l ( ) = , a b s o l u u t c r i t e r i u m m a a t g e v e n d E e n v e i l i g e m a a r t o c h r e d e l i j k o p t i m a l e w a a r d e l i g t b i j n = 1,4, ( d e w a a r d e n h e b b e n e e n b e e t j e t e l i j d e n v a n d e i n t e r v a l g r o o t t e v a n n e n S i n ' ^ i n d e t a b e l ) , S i i n £ - 0.08 e n d f = 5,5 nmi.

T~ f'

d f max max V o o r d e z e k e u z e c h e c k e n v,'e d e T e r z a g h i - r e g e l s :

(21)

17 -Of e e n m a x i m a l e k o r r e l g r o o t t e v a n 6,5 nun i n d e r d a a d l e i d t t o t v o l d o e n d e s t r o o m b e s t e n d i g h e i d i n de b o u w f a s e i s o p d i t o g e n b l i k n o g o n z e k e r . Z e k e r i s e c h t e r , d a t d e z e l a a g n i e t s t r o o m b e s t e n d i g o n d e r d e o m s t a n d i g h e d e n d a t e r e e n p i j l e r o p g e -p l a a t s t i s . E r m o e t v o o r d i e s i t u a t i e n o g e e n l a a g b o v e n o p . M e t d e z e l f d e m e t h o d e n a l s h i e r v o o r z i j n b e s p r o k e n , k o m t e f : r' d i n mm max V d f i n smax

j

s ^

L J

0.04 0.06 0.08 0.10 0. 12

i

0.6 i - . ( 3 0 . 0 ) 17.5 17. 1 16.5 16.0 0.9 32.4 ( 3 0 . 0 ) ( 2 7 . 2 ( 2 4 . 8 ) 2 2 . 8 2 1 . 1 1.2

-

.34.7) ( 3 0 . - i ) ( 2 6 . 6 ) 2 3 . 9 1.4

-

( 3 2 . 5 ) ( 2 8 . 3 ) 1.6

-

( 3 4 . 3 ) ( 2 9 . 6 $ 1.8

-

( 3 0 . 5 ) ( 2 6 . 7 ) ; 2.0 ï .. .

--

-

_{( 3 1 . 2 )} ( 2 7 . 2 ) - = i n t e r n i n s t a b i e l ( ) = a b s o l u u t c r i t e r i u m maatge^vend i . . . •• V7e z i e n d a t h e t a b s o l u t e k r i t e r i u m o v e r a l m a a t g e v e n d i s . D i t was o o k t e v e r w a c h t e n , g e z i e n d e g r o t e k o r r e l d i a m e t e r s . E r . . t e k e n t z i c h d u i d e l i j ] e e n o p t i m u m a f i n de b u u r t v a n n - 1.2, - 0.06 en d^^^^ = 34.7 mm. max De T e r z a g h i r e g e l s g e v e n : D. 15 S s S o ""15 5.4 < 2 0 , P r i m a i n o r d e . P l a a t j e s v a n , d e z o g e v o n d e n k o r r e l v e r d e l i n g e n v o o r de tv/ee k u n s t m a t i g e l a g e n s t a a n i n f i g . 10.

(22)

1.0

O Q

veronderstelde natuurlijke laag

_{Kunstmatige ' laag}

k u n s t m a t i g e k i a g

1 1

( 1 ,v

/

*

1 /

! 1 /

1 i i

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. . .

I

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1 I

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0.2 0.3 0.4 0.6 0.8

2 3 4 6 6 7 S 910

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diameter fn mïllimeters

fig. 10 Zeefkrommen

(23)

3 8 -V I . Fx I t e r k i . n e. t i e k I n h e t v o o r g a a n d e z i j n c r i t e r i a g e g e v e n v o o r .het a l o f n i e t bev/egen v a n k o r r e l s . D e z e c r i t e r i a kwamen t o t s t a n d , u i t g a a n d e v a n d e v e r -o n d e r s t e l l i n g d a t d e f i l t e r c r i t e r i a k u n n e n w -o r d e n u i t g e d r u k t i n e . i g e n s c h a p p e n v a n d e k o r r e l v e r d e l i n g e n . U i t f i g u u r 2, 3 e n 4 b l i j k t e c h t e r d a t b i j v r i j w e l d e z e l f d e e i g e n s c h a p p e n v a n d e k o r r e l v e r d e l i n g z o w e l s t a b i e l e a l s i n s t a b i e l e f i l t e r s y s t e m e n k u n n e n v o o r k o m e n . H i e r u i t v a l t o p t e m a k e n d a t e r o o k a n d e r e p a r a m e t e r s m o e t e n z i j n w e l k e e e n n i e t o n b e l a n g r i j k e r o l s p e l e n . S u b j e c t i e f v a l t o n d e r m e e r t e d e n k e n a a n : - d e g r o o t t e e n d e g e s c h i e d e n i s v a n d e v e r h a n g e n - d e e f f e c t i e v e s p a n n i n g e n - d e d i c h t h e i d v a n h e t f i l t e r m a t e r i a a l H e t l i g t v o o r d e h a n d b i j h e t v e r d e r z o e k e n n a a r d e b e l a n g r i j k e p a r a m e t e r s d e b e n a d e r i n g om t e k e r e n e n v a n u i t d e k i n e t i e k v a n h e t f i l t e r s y s t e e m t e v / e r k e n . I n d i e n e e n f i l t e r p r o c e s o p g a n g k o m t i s h e t i n t e r e s s a n t n a t e g a a n h o e s n e l b a s i s d e e l t j e s z i c h v e r p l a a t s e n , w a a r z e v a s t l o p e n , w a t d e - c o n c e n t r a t i e v a n d e s t r o m e n d e d e e l t j e s i s e n h o e g r o o t o p z e k e r e t i j d d e h o e v e e l h e i d v a s t g e l o p e n d e e l t j e s i s a l s f u n c t i e v a n d e d i a -m e t e r . Men v a t d e z e p r o c e s s e n sa-men o n d e r d e naa-m f i l t e r k i n e t i e k . D u i d e n vje m e t c ( x , t ) d e c o n c e n t r a t i e v a n d e s t r o m e n d e d e e l t j e s a a n , d a n s t e l t men v a a k ( K u i s m a n l i t . 6, F r e n e t t e l i t . 5 e n v e l e a n d e r e n ) : w a a r i n V d e s n e l h e i d v a n b a s i s d e e l t j e s e n X e e n a b s o r p t i e c o ë f f i ciënt. De absorptiecoëfficiënt w o r d t a f h a n k e l i j k v a n d e t i j d g e n o -men e n e r g e l d t : z o v e e l o n d e r z o e k e r s z o v e e l v o o r s t e l l e n v o o r d e t i j d s a f h a n k e l i j k h e i d v a n A ( H u i s m a n l i t . 6 g e e f t e e n l i j s t ) .

(24)

w a t e r , h e t b l i j v e n s t e k e n v a n d e e l t j e s e t c . H i j s c h r i j f t u i t -d r u k k i n g e n o p v o o r -de. e n e r g i e -d i s i p a t i e v a n e l k p r o c e s . H i e r b i j m a a k t h i j g e b r u i k v a n e n k e l e b e g r i p p e n u i t d e t h e r m o -d y n a m i c a e n -d e s t a t i s t i s c h e m e c h a n i c a ( e e n k o r t e i n l e i -d i n g i n b e i d e o n d e r w e r p e n i s o p g e n o m e n i n A p p e n d i x . A ) . H i j e i s t d a t d e dissipatie.zó i s , d a t d e „entropieproduktie e x t r e m a a l ( m a x i m a a l ) w o r d t . D i t n a a r a n a l o g i e v a n Z i e g l e r ( l i t . 3 5 ) , H e t i s z e e r d e v r a a g o f d i t e e n c o r r e c t e p r o c e d u r e i s , w a n t : 1 . Z i e g l e r e i s t e e n f a s e r u i m t e m e t e e n c o n s t a n t a a n t a l f a s e p u n t e n e n i n h e t s y s t e e m v a n A l b i k e x " i s d i t a a n t a l n i e t c o n s t a n t . 2. AlbiJce.r i d e n t i f i c e e i ' t e e n p a r a m e t e r Ö m e t d e c o n c e n t r a t i e v a n d e i n g e s p e e l d e d e e l t j e s . H i j g e b r u i k t d e z e p a r a m e t e r 9 o p d e -z e l f d e w i j -z e a l s d e t e m p e r a t u u r i n d e t h e r m o d y n a m i c a . H i j v e r o n d e r s t e l t d a t e r e e n g r o o t h e i d X b e s t a a t d i e d e z e l f d e v o r m h e e f t a l s d e e x t r o p i e S i n d e t h e r m o d y n a m i c a . H i j n e e m t z e l f s a a n d a t d e z e l f d e w e t t e n v o o r X g e l d e n a l s v o o r d e e n t r o -p i e S e n n o e m t X f e i t e l i j k e n t r o -p i e . V o o r e e n c o n s i s t e n t e f y s i c a x s n e t n o d x g a l s v o o r X d e e n t r o p x e v / o r d t g e k o z e n cm v o o r G d e t e m . p e r a t u u r t e nemen, z o a l s b l i j k t u i t d r i e k v / a r t eeuv; e x p e r i m e n t e r e n . De v.raag o f n a a s t 0 e e n t w e e d e p a r a m e t e r Q.^ g e b r u i k t k a n w o r d e n m e t e e n t w e e d e d e f i n i t i e v o o r d e e n t . r o p i e m o e t o n t k e n n e n d b e a n t v / o o r d w o r d e n , o m d a t d e e n t r o p i e S o p e e n c o n s t a n t e n a e e n d u i d i g gedefiniëerd i s S = k l o g W, w a a r i n VJ d e t h e . r m o d y n a m i s c h e w a a r s c h i j n l i j k h e i d e n k : c o n s t a n t e v a n B o l t z m a n n . 3. A l b i k e r k a n z i j n s y s t e e m n i e t o p l o s s e n . De t e e x t r e m a i l s e r e n u i t d r x i k k i n g i s e e n f u n c t i e e n n i e t e e n f u n c t i o n a a l . H i j i j k t m.b.v. d e (fenomenológisch g e v o n d e n ) v e r g e l i j k i n g v a n S a k t h i v a d i v e l ( l i t , 2 1 ) ( S a k t h i v a d i v e l d o e t e e n k e u z e v o o r \ ) .

(25)

- 20 N i e t t e m i n i s A l b i k e r s w e r k n u t t i g . H i j d o e t g r o o t s c h a l i g e e x p e r i -m e n t e n e n h e t i d e e v a n z i j n t h e o r i e i s n i e t s l e c h t . U i t h e t w e r k v a n B o l t z m a n n ( z i e v a n Kampen l i t . 8) i s b e k e n d h o e a l s men d e k i n e t i e k v a n e e n s y s t e e m k e n t e e n e x t r e m a l i s e r i n g s -p r i n c i -p e v o l g t . D i t s t a a t i n d e s t a t i s t i s c h e m e c h a n i c a b e k e n d a l s h e t H - t h e o r e r a a . U i t e e n t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g v i n d t men m.b.v. e e n f u n c t i e v a n L y a p u n o v e e n e v e n w i c h t s t o e s t a n d . A l b i k e r h e e f t . l a t e n z i e n , d a t h e t f i l t e r p r o c e s o p g e v a t mag w o r d e n a l s e e n q u a s i s t a t i s c h p r o c e s . B l i j f t o v e r h e t v i n d e n v a n de c o r r e c t e k i n e t i e k , w a n t e e n a l g e m e n e v o r m v o o r e e n t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g i s n i e t m o e i l i j k o p t e s c h r i j v e n . I n h e t v o l g e n d e w o r d t h i e r t o e e e n p o g i n g g e w a a g d . "^^ ^ ^ • ' J r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e n Omdat h e t f i l t e r p r o c e s i n de e e r s t e p l a a t s e e n t r a n s p o r t p r o c e s i s l i g t h e t v o o r de h a n d t e p r o b e r e n t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e n o p t e s c h r i j v e n . T r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e n z i j n d i n g e n d i e u i t g a a n d e van. h e t b e -h o u d v a n m.assa - v e r t e l l e n -h o e s t r o m e n z i c -h g e d r a g e n . We s t e l l e n - d e z e v e r g e l i j k i n g e n n i e t o p i n de g e w o n e d r i e d i m e n s i o n a l e r u i m t e m a a r i n d e f a s e r u i m t e v a n p l a a t s , s n e l h e i d e n d i a m e t e r . M e t b e -h u l p v a n k a n s d i c -h t -h e i d s f u n c t i e s k a n -h e t v a s t - e n / o f l o s r a k e n v a n d e e l t j e s w o r d e n b e s c h r e v e n . E r w o r d e n 2 a a n p a k k e n b e s c h o u w d : A. De B o l t z m a n n v e r g e l i j k i n g e n w a a r b i j k a n s d i c h t h e i d s f u n c t i e s a l s c o n t i n u e v a r i a b e l e n w o r d e n o p g e v a t . B. De M a s t e r v e r g e l i j k i n g w a a r b i j e e n k a n s f u n c t i e o p e e n d i s c r e t e v a r i a b e l e w o r d t g e d e f i n i e e r d . B e i d e a a n p a k k e n l e i d e n t o t e e n e e r s t e o r d e d i f f e r e n t i a a l v e r g e -l i j k i n g i n de t i j d . De f e i t e -l i j k e k i n e t i e k w o r d t b e s c h r e v e n d o o r o v e r g a n g s v / a a r s c h i j n l i j k h e d e n . D e z e o v e r g a n g s w a a r s c h i j n l i j k h e d e n w o r d e n v e r k r e g e n d o o r m i c r o s c o p i s c h e p r o c e s s e n t e v e r o n d e r s t e l -l e n , o f d o o r e e n f e n e m e n o 3 - o g i s c h e r e -l a t i e i n t e v o e r e n . H e t e e r s t e w o r d t i n d e t a i l b e s p r o k e n i n A. H e t t w e e d e g e b e u r t i n B.

(26)

h. T r a n s p o r t v e r g e . 1 i j k . 1 ng v a n B o l t z m a n n ( N i i b o e r l i t . 20 e n N i e n h u i s l i t . 19) B e s c h o u w een s y s t e e m m e t d e e l t j e s . P e r v o l m i e - e e n h e i d b e v i n d t z i c h o p z e k e r e t i j d t e n p l a a t s r e e n a a n t a l o p e n i n g e n m e t d i a m e t e r D, La.at d i t a a n -t a l f 2 ( r , D , -t ) z i j n . h e e f t d u s d e d i m e n s i e : a a n t a l o p e n i n g e n m ( v o l u m e ) . m ( d i a m e t e r ) D o o r d i t o p e n i n g e n - s t e l s e l l a t e n we v ; a t e r stromen.... I n , d i t w a t e r . b e v i n d e n z i c h d e e l t j e s m e t e e n d i a -m e t e r d e n s n e l h e i d V. We k u n n e n e e n v e r d e l i n g s f u n c t i e o p s c h r i j v e n f ^ ( r , V, d , t ) v o o r d e fetromende d e e l t j e s ; f ^ h e e f t d . i m e n s i e : a a n t a l s b r o m e n d e d e e l t j e s m^ ( v o l u m e ) . ( - ~ ) ' ^ ( d e e l t j e s s n e l h e i d ) .m ( d i a m e t e r d e e l t j e ) sec n i s d e d i m e n s i e v a n d e s n e l h e i d s r u i m t e . I n d i e n e r t i j d e n s h e t f i l t e r e n g e e n e n k e l d e e l t j e z o u b l i j v e n v a s t -z i t t e n t u s s e n d e o p e n i n g e n -z o u f ^ ( r , V, d , t ) v o l d o e n a a n d e v r i j e s t r o m i n c j : a f ^ 9 f ^ 9 f j

(.«)

De n o t a t i e T T" b e t e k e n t e e n gradiënt. a i s d e v e r s n e l l i n g s v e c t o r t . g . v . u i t v / e n d i g e k r a c h t e n ( b i j v . d e z v 7 a a r t e k r a c h t ) . V g l . ( K ) z e g t n i e t s a n d e r s d a n d a t f n i e t v e r -a n d e r t -a l s we m e t d e d e e l t j e s m e e b e w e g e n . D i t i s w e . i n i g i n t e r e s s a n t . H e t g a a t e r j u i s t om v/at e r g e b e u r t a l s e r w e l d e e l t j e s a c h t e r b l i j v e n i n o f l o s r a k e n u i t h e t k o r r e l -p a k k e t . We z u l l e n ( K ) a a n v u l l e n m e t : 9 f (—=-) t . g . v . b o t s i n g e n e n s p o n t a n e u i t b a r s t r n g e n . 9 1 V o e r e n v/e n u e e r s t i n d e d i a g r a n m o t a t i e . D e z e w e r k t a l s v o l g t :

(27)

22 -Z e t e e n p u n t . D e z e s t e l t v o o r e e n z e k e r e tijd-ruimte-coördinaat ( ] : , t ^ ) . Z e t l i n k s v a n d e p u n t a l l e g a t e n e n d e e l t j e s d i e o p t i j d t < t ^ a a n v / e z i g w a r e n e n r e c h t s v a n d e p u n t a l l e g a t e n e n d e e l t j e s d i e o p t i j d t = t^'''£ a a n w e z i g z i j n (e i s e e n k l e i n t i j d j e ) . V?e komen d a n a a n d e v o l g e n d e p r o c e s s e n : s o D

(4,'O'

c o r r e s p o n d e e r t m e t : e e n g a t m e t d i a m e t e r D e n e e n d e e l t j e m e t s n e l h e i d 'v e n d i a m e t e r d g a a n o v e r i n e e n g a t m e t d i a m e t e r D e n e e n d e e l t j e m^et d i s m e t e r d e n s n e l h e i d v . I n d i e n v = v ' b e s c h r i j f t d i t d i a g r a m i d u s e e n v r i j e d o o r g a n g , I s "v 5^ v d a n k r i j g t h e t d e e l t j e b i j h e t p a s s e -r e n v a n h e t g a t e e n s n e l h e i d s v e -r a n d e -r i n g . D, 0% 3 b e s c h r i j f t " b l o c k i n g " D O b e s c h r i j f t " b r i d g i n g " v a n twee: d e e l t j e s s p o n t a n e s u f f o s i e ( e r kom.en s p o n t a a n e n k e l e . d e e l t j e s l o s )

(28)

^ X^""'' • geïnduceerde s u f f c s i e Jl' „ s ^^'^ ' " ' ' I j ^ i ( d o o r b o t s i n g k o m e n e e n a a n t a l ^'--"^ -.^ d e e l t j e s l o s ) , M i e t a l l e p r o c e s s e r i z i j n e v e n v / a a r s c h i j n l i j k . Da i n d r u k b e s t a a t , d a t d e k a n s o p " b r i d g j . n g " v e e l k l e i n e r i s d a n d e k a n s o p v r i j e d o o r g a n g o f " b l o c k i n g " , o m d a t v o o r b r i d g i r i g o p d e z e l f d e p l a a t s tv/ee d e e l t j e s n o d i g z i j n , d i e a a n b e p a a l d e c o n d i t i e s v o l d o e n , t e r w i j l v o o r b l o c k i n g c f v r i j e d o o r g a n g s l e c h t s één d e e l t j e n o d i g i s . V e r d e r beschouv/en we e e n q u a s i - s i : . a b i e l s y s t e e m , d.v7.z. h e t k o r r e l ' s ] c e l e t o n d e r g a a t s l e c V i t s k l e i n e m o d i f i c a t i e s . D e z e aanname s l u i t m e e r p u n t s p r o c e s s e n u i t . De v e r a n d e r i n g e n z j . j n l c : i k a a l , Dus d e k a n s o p : s p o n t a a n p i p i n g geïnduceerd p i p i n g w o r d t v e r s c h r i k k e l i j k k l e i n genomen t . o . v . d e e e n p u n t s p r o c s s s e n . H e t a a r d i g e v a n d e d i a g r a m n o t a t i e i s , d a t men v r i j v / e l o n m i d d e l l i j k z i e t v ; e l k e t e i r m e n v e r s c h i j n e n i n : 3 f (—-) t . g . v . o n t m o e t i n g e n e n s p o n t a n e u i t b a r s t i . n g e n A l l e s l i n k s v a n de p u n t i n h e t c e n t r u m v a n h e t d i a g r a m v e r d v / i j n t o p t i j d - p l a a t s ( r , t^^) e n k r i j g t e e i \ m i n t e k e n . A l l e s r e c h t s v a n d i t p u n t v e r s c h i j n t e n k r i j g t een. p l u s t e k e n . Om d i t w i s k u n d i g t e f O i ' m u l e r e n defi.niëren we e e n f u n c t i e ü, d i a a a n g e e f t v/at d e k a n s i s d a t e e n b e p n c i l d d i a g r a m z a l " g e b e u r e n " .

(29)

'De t w e e p r o c e s s e n d i e p l a a t s v i n d e n z i j n ; '^jx'S' ^ D i t g e b e u r t a l s D > d ^ > _{D i t g e b e u r t a l s D < d} V o o r U s c h r i j v e n we d u s : ,6( v ' - v ) 5 ( D - d ' ) 6 { d - d ' ) . a l s D > d U U

\

_{6 ( V ' ) 5 ( D ' - D j ^ j 5 (d--d') a l s D < d} w a a r i n o d e d e l t a f u n t i e v a n D i r a c . j 6 ( x - x ' ) f (x)dx--=f ( x ' ) a l s a < x ' < b ^ - O a n d e r s E r k o m t : 3 f 8 f f ^ „ v — - j d D V f 2 ( x , D , t ) - f 1 j d D V f 2 ( x , D , t ) -1-d d + f^ J " d D V f , ( x , D , t ) + y dD dD' d v ' v ' f ^ ( x , v ' , d , t ) f 2 ( x , D ' , t ) d , 6 { v ) 6(D-D,,

(30)

De kans i s v o o r één g a t en v o o r één d e e l t j e . M a c r o s c o p i s c h e v e r a n d e r i n g e n v/orden b e s c h r e v e n d o o r t e v e r m e n i g v u l d i g e n met h e t a a n t a l g a t e n en h e t a a n t a l d e e l t j e s op t i j d t i n een r u i m -t e - e l e m e n -t j e dr' op p l a a -t s "r en -t e soimneren o v e r a l l e m o g e l i j k e g a t g r o o t t e s , a l l e m o g e l i j k e d e e l t j e s d i a m e t e r s en a l l e m o g e l i j -k e s n e l h e d e n . Dus v o o r de d e e l t j e s : /dDdD*d(d';dv'v f ^ ( x , v , d , t ) f 2 ( x , D , t ) . .U. (D';d',v' D;d,v) + /dDdD"d{d»)d v' .V". . f ( x , V , d ' , t ) f 2 ( x , D ' , , t ) U {D;d,V ^ D' ;d'' , v M en v o o r de g a t e n : 3f„(x,D,t) ^ / d ( d ) d ( d ' ) c a D ' d v d v ' v f ^ ( x , V , d , t ) f 2 ( x , D , t ) . .ü (D';d',V' •^.D;d,v) + /d (d) d ( d ' J dD' d v' d v . V . f ^ ( x , V " , d ' , t ) f^{x,D',t) U (D;d,v ^- D';d',V') U s e l e c t e e r t de p r o c e s s e n (diagrammen) d i e p l a a t s v i n d e n en b e v a t dus a l l e f y s i c a . Een v o o r b e e l d :

D e e l t j e s l o p e n door een g a t e n s y s t e e m met twee s o o r t e n g a t e n . D en D, . De d e e l t j e s hebben een d i a m e t e r d„ met D, < d < D .

g k o K o g Hun s n e l h e i d i s c o n s t a n t : v ^ .

(31)

26 -D g ™ = " f 2 j cl(d) dv v f ^ ( x , V ; d , t ) -• f 2 j cl(d) dv v f ^ (x,,v,d, t ) + O D • D ' co -^ f 2

f

cl(d) dv v f ^ ( x , v , d , t ) +

6(D-Dj^)J

d ( d ) dD' dv'v' f ^ ( x , v ' , d , t ) . f 2 ( > ^ r D ' , t ) V J a a r b i j vje a l o v e r de t r i v i a l e , 5 - f u n c t i e s geïntegreerd h e b b e n . Om d i t v e r d e r o p t e l o s s e n s t e l l . e n v/e f ^ ( x , v , d , t ) - 0 ( v ^ t - x ) N ( x , t ) 6(d--d^) 6 ( v - v ^ ) f . , ( x , D , t ) - N, ( x , t ) 6(D-D, ) -f- N ( x , t ) 6(D-D ) ^ K K g g w a a r i n Q - f u n c t i e van H e a v i s i d e ( u n i t - s t e p f u n c t i e ) 0 ( x ~ x ' ) = 1 v o o r X > x' O a n d e r s

De 0 (\)^t-x) maakt d a t e r geen stromende d e e l t j e s op p l c i a t s

X > v ^ t VJaargenoraen v/orden. De d e l t a f u n c t i e s s e l e c t e r e n op s n e l h e i d en d i a m e t e r . I n v u l l e n i n de t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e n en i n -t e g r e r e n o v e r de d e l -t a f u n c -t i e s g e e f -t : a \ ( x , t ) O -> N, ( x , t ) = c o n s t a n t = N, O t K K SN ( x , t ) —9 ^ Q jsj ^ c o n s t a n t = N 3 1 g g 3_ve ( V o t - x ) N ( x , t ) ) 8 (0 ( v Q t - x ) N ( x , t ) ) V p 0 ( V o t - x ) N ( x , t ) N j ^ o f w e l

(32)

N { x , t ) = f ( x - V t ) e^'e^^ O D e z e v o l d o e t als: B = - V A - V N, O

o

k E e n r c i n d v o o r w a a r d e i s N ( o , t ) = N : O (-V A--V N ) t N = f ( - v t ) e O" O k V 7 a a r u i t v o l g t : O O f ( x - v t ) N e x p - { (x-V t ) A + ( x -

V

t ) N . }

T

O O t, O O A J Dus N O x , t ) --= N e x p f - x A + V t A - N , x + V N, t + :cA + O O k O k -V A t -

V

N, t l = O O k

J

- N e k O H e t a a n t a l s t r o m e n d e d e e l t j e s i s : f , ( x , v , d , t ) = N e"\^ 0 ( v t - x ) 6 ( d - d ) 6 ( v - v ) 1 O O O O H e t a a n t a l i n g e s p e e l d e d e e l t j e s o p p l a a t s x e n t i j d t : N . - V N, N e"'S:'^( t -a.tz O k O V O

(33)

28 V o o r n i e t t e g r o t e t i j d e n i s d e z e r e l a t i e o o k e x p e r i m e n t e e l g e -v o n d e n ( H u i s m a n l i t . 6 ) Een p l a a t j e s t a a t i n o n d e r s t a a n d e f i g u u r ,

h o e v e e l h e i d

in g e s p o e l d e \

V o o r g r o t e r e t i j d e n v e r a n d e r t d e d o o r l e i t e n d h e i d e n v7orden u ^ e n N i m p l i c i e t e f u n c t i e s v a n d e t i j d a f h a n k e l i j k v a n h e t a a n t a l i n g e -s p e e l d e d e e l t j e -s . N i e t t e m i n z i e n v.'e d a t m e t d e B o l r z m a n n - t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g e e n r i g i d e b a s i s g e l e g d w o r d t v o o r h e t b e s c h r i j v e n v a n d e f i l t e r k i n e t i e k . D a c i r n a a s t z i j n d e v e r g e l i j k i n g e n l e u k e m a t h e m a t i s c h -f y s i s c h e o b j e c t e n . S a m e n v a t t e n d k a n men s t e l l e n d a t v o o r e e n c o r r e c t e b e s c h r i j v i n g v a n e e n f i l t e r s y s t e e m d r i e g r o o t h e d e n n o d i g z i j n , t.\-j,: a. f j d e v e r d e l i n g s f u n c t i e v a n d e b a s i s d e e l t j e s ; b . £2 d e v e r d e l i n g s f u n c t i e v a n d e g a t e n c. U d e k a n s o p h e t d o o r g a n g h e b b e n v a n e e n b e p a a l d p r o c e s .

(34)

o p d e e e n o f a n d e r e m a n i e r m o e t e n v o l g e n u i t een s t o c h a s t i s c h e k o r r e l s t a p e l i n g s t h e o r i e . D e r g e l i j k e theorieën b e r e k e n e n b i j g e -g e v e n z e e f k r o m m e , d i c h t h e i d e n c o m p o n e n t e n v a n d e s p a n n i n -g s t e n s o r d e k a n s o p e e n p o r i e d i a m e t e r o p z e k e r e p l a a t s r-,. De U, z o a l s v o o r g e s t e l d l n h e t r e k e n v o o r b e e l . d l i j k t v o o r d e g e g e -v e n p r o c e s s e n -v o o r l o p i g g e e n s l e c h t e keu.s. U i t b r e i d i n g e n z i j n m o g e l j . j k d o o r s n e l h e i d s c o r r e c t i . e s i n t e v o e r e n a f h a n k e l i j k v a n d e d i a m e t e r v a n d e b a s i s d e e l t j e s e n d e d i a m e t e . r v a n d e g a t e n . Ook k a n men v o o r e e n v e r b e t e r i n g v a n U d e n k e n a a n e x p e r i m e n t e l e m e t h o d e n v / a a r b i j men d e s n e l h e d e n v o o r e n n a h e t d o o r g a n g v i n d e n v a n e e n d e e l t j e g a t p r o c e s m e e t . D e z e m e t h o d e z o u v o o r a l v a n b e -l a n g k u n n e n z i j n b i j n i e t - b o -l v o n n i g e d e e -l t j e s . O v e r d e k a n s o p h e t l o s r a k e n v a n e e n d e e l t j e v a n h e t s u f f o s i e -p r o c e s k a n h e t v o l g e n d e o -p g e m e r k t w o r d e n . D e z e i s z e k e r e v e n r e d i g m e t e e n r e s i d u f u n c t i e . D a t i s e e n v e r d e -j . i n g s f u n c t i e d i e a a n g e e f t h o e v e e l d e e l t -j e s m e t d i a m e t e r 6 een k r a c h t v o é l e n veai d e o m r i n g e n d e k o r r e l s k l e i n e r d a n d e k r a c h t d i e d e waterstroom» u i t o e f e n t ( d a a r n a a s t h a n c t tJ n a t n n r l i i k o n k a f v a n D) . Om e e n c o r r e c t e r e s i d u f u n c t i e o p t e s c h r i j v e n m.oet men e e n s t o c h a s t i s c h e t h e o r i e h e b b e n o v e r h e t m e c h a n i s c h g e d r a g v a n k o r r e l s i n e e n p a k k i n g , d i e e e n v e r d e l i n g s f u n c t i e l e v e r t v o o r d e k r a c h t e n o p e n d e v e r p l a a t s i n g e n v a n d e d e e l t j e s g e c o r r e l e e r d a a n d e d i a m e t e r v a n d e d e e l t j e s . We z i e n d a t d e t h e o r i e o n d e r s c h e i d m o e t m a k e n t u s s e n ( d e p u n t j e s z i j n d e e l t j e s , d e s t r e e p j e s k r a c h t e n ) s e n E x p e r i m e . n t e e l v / o r d t d i t o n d e r s c h e i d g e m a a k t d o o r e e n m e t i n g v a n de d i c h t h e i d .

(35)

30 -Een e n a n d e r i n t e g e n s t e l l i n g t o t w a t v e e l a l v e r o n d e r s t e l d w o r d t , d a t s t o c h a s t i s c h e korreltheorieën i n s t a a t m o e t e n z i j n om u i t e e n g e g e v e n z e e f k r o i m u e e n u i t w e n d i g e d r u k d e k r a c h t s e n p o r i ë n v e r d e -l i n g e n d e d i c h t h e i d t e v i n d e n . H e t f e i t d a t d i t örmioge-lijk i s i s n i e t o n b e k e n d i n d e s t a t i s t i s c h e ro.echanica. V o o r e e n i d e a a l , g a s v i n d t men p = p k T . Om d e t e m p e r a t u u r t e v i n d e n m o e t men d e . d r u k p-én d e d i c h t h e i d p opgeven.: B. De M a s t e r v e r g e l i j k i n g l n p l a a t s v a n i n d e t a i l e e n t r a n s p o r t v e r g e l i j k i n g o p t e s c h r i j v e n k a n men e e n e e n v o u d i g e r m o d e l m a k e n d o o r e e n f u n c t i e P j ^ ( t ) t e d e finiëren, d i e z e g t h o e g r o o t o p t i j d t d e k a n s i s d a t e r n b a s i s -d e e l t j e s i n h e t f i l t e r z i t t e n . D i t m o d e l h e e f t s l e c h t s p r a k t i s c h n u t v o o r h e t b e p a l e n v a n d e m i n i -m a a l b e n o d i g d e d . l k t e v a n d e f i l t e r l a a g . O n d e r d e aanna-me d a t h e t p r o c e s e e n M a . r k o v - p r o c e E i s ( d . v / . z . d e k a n s o p e e n v e r a n d e r i n g " > n ' > i s o n a f h a n k e l i j k v a n d e v o o r g e s c h i e d e n i s ) g e l d t d e M a s t e r - v e r g e l i j k i n g : d P „ ( t ) n ' ( z i e v a n Kampen, l i t . 8 ) . W^^^^, i s d e k a n s p e r t i j d s e e n h e i d d a t h e t s y s t e e m o v e r g a a t v a n l n > I n ' > . D e z e . t h e o r i e w o r d t d o o r T h a n i k a c h a l a n e n S a k t i h i v a d i v e l ( l i t . 2 7 ) g e b r u i k t om d e b e n o d i g d e d i k t e van' e e n f i l t e r t e o n t w e r p e n . S t e l l e n we d e k a n s p e r t i j d s e e n h e i d d a t e r e e n k o r r e l h e t p a k k e t v e r l a a t A e n d a t e r e e n k o r r e l h e t p a k k e t i n k o m t y .

(36)

Dan i s W = X6 , . + yó , , n , n n , n ' + l n , n --1

en d e M a s t e r v e r g e l i j k i n g :

clP^,(t)

= AP^ , ( t ) + yp„-,(1) - A P ^ ( t ) - yP„(t) n > 1 d t " n - r • ^ n + r ' n ^ ^ ' n d P ^ ( t ) " " d t — ^S,(^^-) " ^ ^ ^ ( t ) " = O d P ^ ( t ) S t a t i o n n a i r e o p l o s s i n g e n o n t s t a a n d o o r — — = O t e s t e l l e n . D e e l d o o r y e n s t e l ^ = e ( n i e t h e t g r o n d t a l v a n d e n a t u u r l i j k e l o g a r i t l i m e , m a a r ) h e t n u t t i g e f f e c t v a n h e t f i l t e r d a n o - eP . - P - ( e t l ) P n - 1 n-t-I ' n o = P, - eP 1 o V o o r d e o p l o s s i n g l a a t . P = k'^ n E r o n t s t a a t e e n v i e r k a n t s v e r g e l i j k i n g v o o r K: = B en K2 - 1 Dus P = A e " H- B n U i t P^ - e P ^ - O v o l g t B = O, w a a r m e e P^ = Ae"^ H e t g e m i d d e l d a a n t a l d e e l t j e s i n h e t p a k k e t i s : E nP E ne"^ . . n n n 3 , „ n <n> .= = —: e r — l o g h e -E P^ -E^n 9 e n n 3 , , 1 , e = e r - l o g _{3 e ^ 1-e ' 1-e} De s t a n d a a r d a f w i j k i n g : 7 / < n > - <n> =•/ + --1-e / i - e

(37)

- 3 2 B i j g e g e v e n X e n y k a n men n u e e n v o u d i g l i e t g e m i d d e l d e a a n t a l d e e l t j e s ? i n h e t p a k k e t u i t r e k e n e n . A e n y m o e t e n e x p e r i m e n t e e l b e p a a l d w o r d e n ( d o o r e e n r a d i o - a c t i e v e o p s p o r i n g s t e c h n i e k ) . V o o r h e t b e p a l e n v a n d e d i k t e v a n h e t f i ] . t e r m o e t men d e g e m i d -d e l -d e o n -d e r l i n g e a f s t a n -d t u s s e n -d e f i l t e r -d e e l t j e s k e n n e n . T e v e n s n e e m t men a a n d a t e r m a a r één b a s i s d e e l t j e p e r l a a g k a n v a s t z i t t e n . V I I I . J}t^^l^I:lAz^JË^1^92ILJy'ÊEÊ:ë^ o n d e r z o e k Op korte t e r m i j n i s h e t a a n t e b e v e l e . n v o o r a l e x p e r i m e n t e e l t e w e i i c t e g a a n en 1. d e f i l t e r s t a b i l i t e i t t e t e s t e n v a n d e o p bJ.z. 17 V o o r g e s t e l -d e o p t i m a l e f i l t e r c o m b i n a t i e s . H i e r b i j z u l l e n -d i c h t h e i -d , e f f e c t i e v e s p a n n i n g e n e n v e r h a n g e n z o v e e l m o g e l i j k d e w a a r d e n z o a l s i n d e p r o t o t y p e s i t u a t i e m o e t e n b e n a d e r e n . 2. H e t v e r i f i ë r e n v a n h e t s t a b i l i t e i t s c r i t e r i i . m a t e n a a n z i e n v a n i n t e r n e m i g r a t i e a l s f u n c t i e v a n d e s t e i l h e i d e n d e b r e e d t e v a n d e z e e f k r o m m e z o a l s t h e o r e t i s c h g e v o n d e n o p b l z . 13. Op w a t l a n g e r e t e r m . i j n k a n o o k g e t r a c h t w o r d e n a a n e e n v e r d e r e t h e o r e t i s c h e u i t h i o u v / . H i e r b i j k o m e n a a n d e o r d e : 1 . h e t c o n s t r u e r e n v a n e e n s t o c h a s t i s c h e t h e o r i e om h e t m e c h a n i s c h g e d r a g v a n e e n k o r r e l s t a p e l i n g t e b e s c h r i j v e n ; 2. m e t b e h u l p h i e r v a n k o m e n t o t e e n c o r r e c t e b e s c h r i j v i n g v a n d e f i l t e r k i n e t i e k m.et g e b r u i k m a k i n g v a n h e t f o r m a l i s m . e b e s c h r e v e n i n h o o f d s t u k V I I . 3. e x p e r i m e n t e n d o e n z o a l s b e s c h r e v e n o p b l z . 29 om d e k a n s o p h e t d o o r g a n g h e b b e n v a n e e n z e k e r g a t - d e e l t j e p r o c e s t e v i n d e n ; 4. e x p e r i m e n t e n d o e n m e t e e n r a d i o - a c t i e v e o p s p o r i n g s t e c h n i e k om. d e A e n y z o a l s g e b r u i k t o p blz,.. 30 e x p e r i m e n t e e l t e b e -p a l e n .

(38)

(39)

1. B. A l b i k e r 2. N.N. B e l y a s h e v s k i i e t a l . 3. G.E. B e r t r a m 4. R.A. D a v i s en H. D e r e s i e w i c z 5. M. F r e n e t t e 6. L. H u i s m a n 7. V.S. I s t o m i n a 8. Van Kampen 9. V a n Kampen 10. K.P. K a r p o f f 1 1 . K. K a w a k a m i e n Y. E s a s h i K o . l m a t a t i o n e i n e s K i e s g e r ü s t e s . H e f t 5 2 , K a r l s r u h e 1 9 7 2 . B e h a v i o u r a n d S e l e c t i o n o f t h e C o m p o s i t i o n o f G r a d e d F i l t e r s i n t h e P r e s e n c e o f F l u c t u a -t i n g F l o w . H y d r o -t e c h n i c a l C o n s -t r u c -t i o n , No.6 1972 p p . 5 4 1 - 5 4 6 . A n E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f P r o t e c t i v e F i l t e r s . Gra.duate S c h o o l o f E n g i n e e r i n g 1940, H a r v a r d U n i v e r s i t y , n o . 2 6 7 . A D i s c r e t e P r o b a b i l i s t i c M o d e l f o r M e c h a n i c a l Piesponse o f a G r a n u l a r M e d i u m . A c t a M e c h a n i c a 2 7 , 1 9 7 7 , p p . 6 9 - 8 9 . C o l m a t a g e N a t u r e l d ' u n M i l i e u A l l u v i o n n a i r e . P r o c e e d i n g s o f t h e 1 5 t h C o n g r e s s o f t h e I n t e r n a t i o n a l A s s o c i a t i o n f o r H y d r a u l i c R e s e a r c h . I s t a n b u l 1973. V o l . 3 p p . 1 9 3 - 2 0 1 . R a p i d Sand F i l t r a t i o n ; l e c t u r e n o t e s . T H - D e l f t 1 9 7 3 . F i l t r a t i o n S t a b i l i t y o f S o i l s ( R u s s i s c h ) Moscov; L e n i n g r a d 1957 ( z i e ook. l i t . 13) F l u c t u a t i e v e r s c h i j n s e l e n . C o l l e g e d i c t a a t U t r e c h t M e t h o d e n d e r m a t h e m a t i s c h e F y s i c a I I ( n i e t -l i n e a i r e d i f f e r e n t i a a -l v e r g e -l i j k i n g s n ) C o l l e g e d i c t a a t , U t r e c h t . T h e Use o f L a b o r a t o r y T e s t s t o D e v e l o p D e s i g n C r i t e r i a f o r P r o t e c t i v e F i l t e r s . P r o c . A S T M . V o l . 5 5 . 1955 p p . 1 1 8 2 - 1 1 9 3 . On D r a i n a g e F i l t e r f o r E a r t h S t r u c t u r e A b s t r a c t o f P a p e r s . 1 6 t h A n n . M e e t i n g , J a p . S o c . o f C i v . E n g . 1 9 6 1 .

(40)

13. G. Kovacs, O. S t a r o s o l s z J t y , Z. S z i l v a s s y 14. P.N.Leatherv/ood & D.G. P e t e r s o n J r . 15. E.A. LulDOchkov 16. C H , ^ 5 a l l e t en J . P a c q n a n t 1 7 . Mayer 18. C T . Newton en H.W. H u r l e y 19. G. N i e n h u i s 2 0 . B,R.A. M i j b o e r 2 1 . R. S a k h i v a d i v e l . 2 2 . S i c h a r t d t C h a n g e s i n t h e M a t e r i a l s o f E a r t h Dams a n d T h e i r I n f l u e n c e o n P e r m e a b i l i t y . C o n f e r e n t i e B u d a p e s t 1 9 7 3 . H y d r a u l i c H e a s L o s s a t t h e I n t e r f a c e b e t w e e n U n i f o r m S a n d s o f d i f f e r e n t S i z e s . Trans.Am. G e o p h y s i c a l U n i o n , V o l . 3 5 , n o . 4 , 1 9 5 4 p p . 5 8 8 - 5 9 4 . The S e l f F i l t e r i n g B a h a v i o u r o f N o n - C o h e s i v e s o i l s ( R u s s i s c h ) I z v e s t i a VN JJG 1 9 6 2 . 7 1 ( z i e l i t . 13) E r d s t a u d a m m e , Veb V e r l a g T e c h n i k , B e r l i n 1 9 5 4 , p . 3 3 9 . L e s T e r r a i n s p e r m . e a b l e 1954 I n v e s t i g a t i o n s t o d e t e r m i n e t h e P r a c t i c a l A p p l i c a t i o n o f N a t u r a l Bank G r a v e l a s a P r o -t e c -t i v e F i l -t e r f o r a n E a r -t h E m b a n k m e n -t . M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y . A b s t r a c t o f T h e s i s 194.0. R e l a x a t i e v e r s c h i j n s e l e n v a n a t o m e n e n m o l e -c u l e n i n g a s s e n . C o l l e g e d i -c t a a t U t r e -c h t 1 9 7 5 . S t a t i s t i s c h e M e c h a n i c a . C o l l e g e d i c t a a t U t r e c h t 1 9 7 5 , T h e o r y a n d M e c h a n i s m o f F i l t r a t i o n o f N o n -c o l l o i d a l F i n e s t h r o u g h a P o r o u s M e d i u m : HEL 15-5,. HEL 1 5 - 6 , HEL 1 5 - 7 , H y d r . E n g . L a b . C o l l . o f E n g . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y .

K i e s u n d S a n d f l i t e r .im G r o n d - u n d W a s s e r b a u . D i e B a u t e c h . 2 9 ( 3 ) 1 9 5 2 p p . 7 2 - 7 4 .