3 Funkcja liniowa
W 1951 roku jeden z etapów Tour de France po raz pierwszy kończył się podjazdem pod Mont Ventoux (1912 m n.p.m.). Podjazd ten ma długość około 21 km, różnica wzniesień to prawie 1600 m, a śred- nie nachylenie wynosi 7,6%.
O nachyleniu prostej będącej wykresem funkcji li- niowej, danej równaniem y = ax + b, decyduje współczynnika.
O X
Y
y =ax+b
3. Funkcja liniowa 93
Układ współrzędnych – powtórzenie
Prostokątny układ współrzędnych to układ dwóch prostopadłych osi liczbowych o wspólnym po- czątku. Oś pozioma nazywana jest osią OX lub osią odciętych, zaś oś pionowa to oś OY lub ina- czej oś rzędnych.
Każdy punkt płaszczyzny jest w układzie współ- rzędnych jednoznacznie określony przez parę liczb zwanych współrzędnymi. Na przykład punktowiP na rysunku obok odpowiadają współrzędne (4, 2).
1 1
O X
Y
P (4, 2)
Prostokątny układ współrzędnych nazywany jest również kartezjańskim układem współrzędnych na cześć francuskiego matematyka, fizyka i filozofa Ren´e Descartesa (1596–1650) zwanego w Polsce Kartezjuszem.
1. Odczytaj współrzędne punktów: P , Q, R, S, T , U, W (rysunek obok).
2. Podaj, w której ćwiartce układu współrzęd- nych położony jest punkt:
a) A(−3, 6), c) C1
2,13 , b) B(4, −11), d) D(−50, −60).
1 1
O X
Y S T
P
Q R
U W
3. Naszkicuj układ współrzędnych. Zaznacz w nim punkty: A(−2, 4), B(0, 5), C(−1, −4), D
6, 112 .
Punktami kratowymi nazywamy punkty, których obie współrzędne są liczbami całkowitymi.
DEFINICJA
4. Naszkicuj prostokąt ABCD. Ile punktów kratowych leży wewnątrz tego prostokąta?
a) A(1, −1), B(4, −1), C(4, 3), D(1, 3) b) A(−4, −2), B(5, −2), C(5, 4), D(−4, 4)
5. Dany jest trójkątT1 o wierzchołkach: A(−4, −2), B(2, −2) i C(−4, 4) oraz trójkątT2 o wierzchołkach:D(0, 2), E(8, 2) i F (4, 6). Do wnętrza którego z tych trójkątów należy więcej punktów kratowych i o ile?
Odpowiedzi do zadań 1. P (4, 0), Q(2, 3), R(5, 1),
S(0, 4), T (−2, 3), U(3, −2), W (−1, −2)
2. a) II b) IV c) I d) III 3.
1 1
O X
Y A
B
C
D
4. a) 6 punktów kratowych
1 1
O X
Y
A B
C D
b) 40 punktów kratowych
1 1
O X
Y
A B
C D
5. Wewnątrz trójkąta T1 jest 10 punktów kratowych, a wewnątrz trójkąta T jest 9 punktów kratowych.
Y F
3.1. Sposoby opisu funkcji
Tabela wyników ligi piłkarskiej jest przykładem opisu funkcji, która każdej drużynie biorą- cej udział w rozgrywkach przy- porządkowuje liczbę zdobytych punktów.
Funkcjąze zbioruX w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi x ∈ X odpowiada dokładnie jeden element y ∈ Y.
ZbiórX nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami.
DEFINICJA
Aby określić funkcję, należy podać zbiory X i Y oraz regułę, według której argumentom ze zbioru X przyporządkowujemy elementy ze zbioru Y, zwane wartościami funkcji.
Funkcje zwykle oznaczamy małymi literami, na przykład:f, g, h.
Ćwiczenie 1
Dane są zbiory X = {1, 2, 3, 4, 5} i Y = {−2, −1, 1, 2} oraz funkcja f przed- stawiona za pomocą grafu.
a) Podaj wartości funkcji f dla argumentów pa- rzystych.
b) Dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartość 2, a dla jakich – wartość 1?
c) Przedstaw funkcję f za pomocą tabeli.
X Y
1 2
3 4
5 −2
−1 2 1 f
Mówiąc o funkcji, używamy zapisu f: X → Y , a określając wartość, którą funkcjaf przyjmuje dla argumentu x, piszemy y = f(x).
Ćwiczenie 2
Wartości funkcji f : {0, 1, 2, 3, 4} → {−2, 0, 1, 2}
podano w tabeli. Przedstaw funkcjęf za pomocą grafu.
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 1 −2 0 2
x 0 1 2 3 4
f(x) 1 1 −2 0 2
Komentarz
Ponieważ uczniom trudno jest zrozumieć definicję funkcji, należy poświęcić odpowiednią ilość czasu na jej dokładne wytłumaczenie.
Warto podać uczniom kilka przykładów funkcji z życia co- dziennego, a także wskazać re- lacje, które nie są funkcjami.
Szczególnie ważne jest pod- kreślenie faktu, że każdemu argumentowi przyporządko- wana jest dokładnie jedna wartość.
X Y
1 2 3
1 2
3 To przyporządkowanie jest funkcją.
X Y
1 2 3
1 2
3 To przyporządkowanie nie jest funkcją.
Ćwiczenie 1
a)f(2) = −1, f(4) = 2 b)f(x) = 2 dla x ∈ {3, 4}, nie istnieje argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 1.
c)
x 1 2 3 4 5
f(x) −2 −1 2 2 −1
x 1 2 3 4 5
f(x) −2 −1 2 2 −1
Ćwiczenie 2
X Y
0 1
2 3 4
1
−2 0
2 f
3.1. Sposoby opisu funkcji 95
Funkcję można również przedstawić za pomocą wykresu.
Ćwiczenie 3
Na wykresie przedstawiono wyniki po- miarów temperatury powietrza od go- dziny 1.00 w nocy do godziny 8.00 rano.
Przedstaw dane z wykresu za pomocą:
a) grafu, b) tabeli.
temperatura [◦C]
godzina O
Y
1 2 3 4 5 6 7 8 X
1 2 3 4 5
Wykresfunkcji f : X → Y to zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f(x)), gdzie x ∈ X.
DEFINICJA
Przykład 1
Na wykresie pokazano zależność między temperaturą wyrażoną w stopniach Celsjusza [◦C] a tą samą temperaturą wyrażoną w stopniach Fahrenheita [◦F]
(skala Fahrenheita używana jest między innymi w Wielkiej Brytanii i Stanach Zjednoczonych).
[◦F]
[◦C]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 32
36 40 44 48 52 56 60 64
68 (20, 68)
Do wykresu należą punkty (0, 32) i (20, 68) – oznacza to, że temperatura 0◦C odpowiada temperaturze 32◦F, a 20◦C odpowiada 68◦F.
Ćwiczenie 4
Zależność między temperaturą w stopniach Celsjusza a tą samą temperaturą w stopniach Fahrenheita wyraża się wzoremf(x) = 95x + 32. Przerysuj tabelę do zeszytu i ją uzupełnij. f
x – temperatura [◦C]
f(x) – temperatura [◦F]
0 5 10
50
15 20 25 30
32 41 59 68 77 86
Ćwiczenie 3 a)
X Y
1 2 7 3 6 4 5 8
4 3 2 1 5 f
b)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 4 3 2 1 1 2 3 5 x 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x) 4 3 2 1 1 2 3 5
Miejscem zerowymfunkcjiy = f(x) nazywamy taki argument x, dla któ- regof(x) = 0.
DEFINICJA
Ćwiczenie 5
Dziedziną funkcjif jest zbiór {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli i podaj jej miejsca zerowe.
a) f(x) = 2x − 2 b) f(x) = x2− 4 c) f(x) = x3+ 1 ZADANIA
1. Funkcję f : {−2, −1, 0, 1, 2} → {−1, 0, 1, 2, 3, 4} przedstawiono za pomocą tabeli. Przedstaw tę funkcję za pomocą grafu i wykresu.
a) x −2 −1 0 1 2
f(x) 4 1 0 1 4
x −2 −1 0 1 2
f(x) 4 1 0 1 4
b) x −2 −1 0 1 2
f(x) −1 0 1 2 3
x −2 −1 0 1 2
f(x) −1 0 1 2 3
2. Funkcjęf przedstawiono w postaci grafu. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli i wykresu. Podaj jej miejsca zerowe.
a) X Y
−2 0 2 1
−1
f −2 −1
0 1
2
b) X Y
1 2 3
4
f 0
1 2
3 4
3. Sporządź tabelę, graf i wykres funkcjif : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} → C, jeśli:
a)f(x) = 2 dla x parzystych i f(x) = −1 dla x nieparzystych, b)f(x) = 0 dla x parzystych i f(x) = 12(x − 3) dla x nieparzystych.
POWTÓRZENIE
1. Funkcję f : {−1, 0, 1, 2, 3} → {−2, −1, 0, 1, 2, 3} przedstawiono za pomocą tabeli. Przedstaw tę funkcję za pomocą grafu i wykresu.
a) x −1 0 1 2 3
f(x) 2 1 −1 2 1
x −1 0 1 2 3
f(x) 2 1 −1 2 1
b) x −1 0 1 2 3
f(x) −2 3 −1 −2 0
x −1 0 1 2 3
f(x) −2 3 −1 −2 0 2. Dziedziną funkcjif jest zbiór {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}. Przedstaw tę funkcję
za pomocą tabeli, jeśli wartości funkcji wyrażają się wzorem:
a) f(x) = 2x, b) f(x) = x − 2, c) f(x) = x + 3.
Ćwiczenie 5 a)x = 1
b)x = −2, x = 2 c) x = −1
Odpowiedzi do zadań 1. a)
X Y
−2 0
−1 1 2
f
4 0 1
−1 2 3
1 1
O X
Y
b)
X Y
2 1
−1 0
−2
f 3
2 1 4 0
−1
1 1
O X
Y
2. a) Miejsca zerowe: 0, 2.
b) Nie ma miejsc zerowych.
3. a)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 2 −1 2 −1 2 −1 2 −1 2 b)
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0 −1 0 0 0 1 0 2 0
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(x) 0 −1 0 0 0 1 0 2 0 Powtórzenie
2. a)
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) −6 −4 −2 0 2 4 6
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) −6 −4 −2 0 2 4 6 b)
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) −5 −4 −3 −2 −1 0 1
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) −5 −4 −3 −2 −1 0 1 c)
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 0 1 2 3 4 5 6
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 0 1 2 3 4 5 6
3.1. Sposoby opisu funkcji 97
3.2. Wykres funkcji liniowej (1)
Przykład 1
Naszkicuj wykres funkcji określonej za pomocą wzoru y = 2x + 1, jeśli jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczy- wistych.
Aby naszkicować wykres funkcjiy = 2x+1, sporządzamy tabelę wartości funkcji dla wybranych argumentów.
x −3 −2 −1 0 1 2
y −5 −3 −1 1 3 5
x −3 −2 −1 0 1 2
y −5 −3 −1 1 3 5
1 1
O X
Y
y= 2x
+ 1
Otrzymane punkty zaznaczamy w układzie współrzędnych. Zwróć uwagę, że wszystkie te punkty leżą na jednej prostej – jest ona wykresem funkcji.
Ćwiczenie 1
Dziedziną poniższej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Naszkicuj jej wy- kres.
a) y = x + 2 b)y = 2x − 1 c)y = −x d)y = −x + 3
Funkcję określoną wzorem y = ax + b dla x ∈ R, gdzie a i b są stałymi, nazywamy funkcją liniową.
DEFINICJA
Uwaga.Wzór funkcji liniowej możemy również zapisać w postacif(x) = ax + b.
Wykresem funkcji liniowej jest prosta. Aby naszkicować wykres funkcji linio- wej, wystarczy znaleźć dwa należące do niego punkty i poprowadzić przez nie prostą (przez dwa różne punkty przechodzi tylko jedna prosta).
Przykład 2
Naszkicuj wykres funkcjiy = 53x − 1.
Dlax = 0 mamy y = 53· 0 − 1 = −1.
Dlax = 3 mamy y = 53· 3 − 1 = 4.
Otrzymane wyniki można przedstawić w tabeli.
x 0 3
y −1 4
x 0 3
y −1 4 punkty (0,−1) i (3, 4) należą do wykresu funkcji
1 1
O X
Y
(0,−1) (3, 4)
y=5 3 x −
1 Komentarz 1
Warto przy tym przykładzie powrócić do definicji ze stro- ny 96. i zwrócić uwagę ucz- niów na to, że każdy punkt należący do wykresu funkcji f jest postaci (x, f (x)), czyli w tym przykładzie (x, 2x + 1).
Komentarz 2
Od samego początku szkico- wania wykresów funkcji li- niowej należy zwrócić uwagę uczniów na zależności mię- dzy wykresem funkcji linio- wej, a współczynnikami a i b we wzorze f (x) = ax + b.
Ćwiczenie 1 a)
1 1
O X
Y
b)
1 1
O X
Y
c)
1 1
O X
Y
d) Y
Ćwiczenie 2
Znajdź dwa punkty o obu współrzędnych całkowitych należące do wykresu funkcji. Naszkicuj ten wykres.
a) y = 32x − 2 b)y = −35x c) y =34x + 2 d)y = −47x − 1 Przykład 3
Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcjiy = 3.
Do prostej będącej wykresem tej funkcji należą wszyst- kie punkty o współrzędnych (x, 3), gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. Zauważ, że ta prosta jest równole-
gła do osi OX. 1
1
O X
Y y = 3
Ćwiczenie 3
Naszkicuj wykres funkcji:
a) y = 4, b) y =32, c) y = −2, d) y = 0.
ZADANIA
1. Naszkicuj wykres funkcji. Które z punktówP , Q należą do jej wykresu?
a) y = x − 4, P (−3, −7), Q8
3, −43 b) y = 2x − 3, P
−38, −154
, Q(9, 16) c) y = −4x + 3, P
−1112, −23 , Q1
2, 5 2. Naszkicuj wykres funkcji.
a) y =12x − 2 c) y = −12x + 3 e) y = 23x − 1 g) y = −34x + 4 b) y =13x + 4 d) y = −14x − 2 f) y = 52x + 2 h)y = −53x − 2 3. Sporządź tabelę wartości funkcji dla podanych argumentów.
a) y = −23x − 12, {−3, −34,34, 412, 9} b) y =√
6x, {0,√126,√33,√ 2,√
6}
POWTÓRZENIE
1. Naszkicuj wykres funkcji. Sprawdź, czy punkt P (4, 3) lub Q(−6, −1) na- leży do jej wykresu.
a) y = x + 5 c) y = −x − 7 e) y = 13x + 1 b) y = 2x − 5 d) y = −3x + 4 f) y = −23x − 5
Ćwiczenie 2 a) (0,−2), (2, 1) b) (0, 0), (5,−3) c) (0, 2), (4, 5) d) (0,−1), (7, −5)
1 1
O X
Y
a)
b) c)
d)
Odpowiedzi do zadań 1. a) Punkty P i Q należą do
wykresu funkcji.
b) Punkt P należy do wy- kresu funkcji.
c) Punkty P i Q nie należą do wykresu funkcji.
2. a), b)
1 1
O X
Y
a) b)
c), d)
1 1
O X
Y
d) c)
g), h)
1 1
O X
Y
g)
h)
e), f )
1 1
O X
Y
e) f)
3. a) b)
x −3 −34 34 412 9 y 112 0 −1 −312 −612 x −3 −34 34 412 9 y 112 0 −1 −312 −612
x 0 √126 √33 √
2 √
6 y 0 12 √
2 2√
3 6
x 0 √126 √33 √
2 √
6 y 0 12 √
2 2√
3 6
Powtórzenie
1. a, c), e), f ) Punkt Q należy do wykresu funkcji.
b) Punkt P należy do wykresu funkcji.
d) Punkty P i Q nie należą do wykresu funkcji.
3.2. Wykres funkcji liniowej (1) 99
3.3. Wykres funkcji liniowej (2)
Liczbę a występującą we wzorze funkcji liniowej y = ax + b nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej.
DEFINICJA
Przykład 1
Na rysunku obok przedstawiono wykresy funkcji liniowych:y = 2x, y = 2x + 2 i y = 2x − 3.
Funkcje te mają ten sam – równy 2 – współczyn- nik kierunkowy. Proste będące ich wykresami są równoległe. Zauważmy, że prostą y = 2x + 2 mo- żemy otrzymać, przesuwając prostąy = 2x o dwie jednostki w górę. Prostąy = 2x − 3 możemy otrzy- mać, przesuwając prostą y = 2x o trzy jednostki w dół.
1 1
O X
Y
y=2x−3 y=2x+2
y=2x
Ćwiczenie 1
W tym samym układzie współrzędnych naszkicuj wykresy funkcji liniowych:
y = 3x, y = 3x + 1, y = 3x + 3 i y = 3x − 2.
Wykresy funkcji liniowych o tym samym współczynniku kierunkowym są prostymi równoległymi.
Ćwiczenie 2
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych te spośród prostych:l1,l2,l3,l4, które są równoległe do prostejy = −12x.
l1:y = −12x + 1, l2: y =12x + 2, l3: y = −12x − 2, l4:y = −0,5x − 3
Przykład 2
Wyznacz równanie prostejl przechodzącej przez punkt P (3, 5) i równoległej do prostejk: y = 2x − 7.
Prostal jest równoległa do prostej k, ma więc ten sam współczynnik kierun- kowy równy 2. Zatem l: y = 2x + b dla pewnego b ∈ R. Podstawiamy do równania współrzędne punktuP : 5 = 2 · 3 + b i otrzymujemy b = −1. Prosta l ma zatem równaniey = 2x − 1.
Ćwiczenie 1
1 1
O X
Y
y=3 x+3
y=3 x+1
y=3 x
y=3 x−2
Ćwiczenie 2
Y
Ćwiczenie 3
Wyznacz równanie prostej l przechodzącej przez punkt P i równoległej do prostejk. Naszkicuj prostą l.
a) k: y = 2x − 7, P (2, 1) c) k: y = 12x + 6, P (−2, −5) b) k: y = −3x + 6, P (1, −1) d) k: y = 23x −√
2, P3
2, 0 Przykład 3
Wyznacz punkt przecięcia wykresu funkcjiy = 45x + 3 z osią OY .
Jeśli podstawimy x = 0 do wzoru funkcji, to otrzymamy rzędną punktu, w którym jej wykres przecina ośOY .
Zatemy = 45· 0 + 3 = 3, czyli wykres przecina oś OY w punkcie (0, 3).
Ćwiczenie 4
Wyznacz punkt przecięcia wykresu funkcji z osiąOY . a) y = 5x − 9 b)y = −6x +34 c) y =23x +√
2 d)y = −√ 3x
Prosta będąca wykresem funkcji liniowej y = ax + b przecina oś OY w punkcie (0, b).
Ćwiczenie 5
Wszystkie proste na rysunku przechodzą przez punkt (0, 3). Który wzór odpowiada której prostej?
l1: y = x + 3 l3:y = −12x + 3 l2: y = 3 l4:y = 3x + 3
Y
1
X O 1
l2 l3 l1
l4
Zbiór wszystkich prostych przechodzących przez ustalony punkt nazy- wamy pękiem prostych, a punkt przecięcia tych prostych – środkiem pęku.
Ćwiczenie 6
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych te spośród prostych:l1, l2, ..., l8, które przecinają oś OY w punkcie (0, 2), a w drugim te, które przecinają oś OY w punkcie (0, −1).
l1: y = 3x + 2 l3:y = −1 l5: y = −2x + 2 l7: y =12x − 1 l2: y = 3x − 1 l4:y = 2 l6: y = −2x − 1 l8: y =12x + 2
Ćwiczenie 3 a)l: y = 2x − 3
1 1
O X
Y
l
b)l: y = −3x + 2
1 1
O X
Y
l c) l: y =12x − 4
1 1
O X
Y
l
d)l: y =23x − 1
1 1
O X
Y l
Ćwiczenie 4 a) (0,−9) b)
0,34 c)
0,√ 2 d) (0, 0) Ćwiczenie 6
1 1
O X
Y l1
l4
l5 l8
1 1
O X
Y l2
l3 l6
l7
3.3. Wykres funkcji liniowej (2) 101
ZADANIA
1. Które spośród prostych:l1, l2, ..., l8 są równoległe?
l1: y = 2 l3: y = 12x − 3 l5: y = −12x + 3 l7: y = 8 −12x l2: y = −12 l4: y = 2x − 3 l6: y = 4 + 2x l8: y = 2x −√
3 2. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych proste:k1, k2,k3ik4. Podaj
punkty, w których te proste przecinają oś rzędnych.
a) k1:y = 13x, k2:y = 13x − 4, k3:y = 13x + 3, k4:y = 13x + 5 b) k1:y = −2x, k2:y = −2x − 1, k3: y = −2x + 8, k4:y = −2x +12 3. Wyznacz wzór prostejl, która przechodzi przez punkt P i jest równoległa
do prostejk. W jakim punkcie prosta l przecina oś OY ?
a) k: y = 4x − 2, P (0, 5) c) k: y = −43x + 6, P (−6, 5) b) k: y = −3x + 4, P (1, 8) d) k: y =√
3x − 3, P 2√
3, 6 4. Oblicz pole zacieniowanej figury.
a) b)
y = −61x + 3
y =
23x −2 Y
X O 6
1 1
y =
12x +
52
y =
12x −
32 6
Y
X O
1 1
5. Prostey = x − 2 i y = −12x + 4 przecinają się w punkcie (4, 2). Oblicz pole trójkąta ograniczonego tymi prostymi oraz osiąOY .
POWTÓRZENIE
1. Wskaż pary prostych równoległych.
l1:y = 34x −43 l3:y = −2x + 1 l5:y = 2 + 113x l2:y = 43x +34 l4:y = 0,75x − 2 l6:y =√3
−8x +35 2. Prostal przecina oś OY w punkcie P , a prosta k – w punkcie Q. Naszkicuj
te proste. Podaj długość odcinkaP Q.
a) l: y = 2x + 6, k: y = x + 3 c) l: y = −14x − 2, k: y = −32x +52 b) l: y = 3x − 4, k: y = 12x + 2 d) l: y = x +12, k: y = −12x + 312 Odpowiedzi do zadań
1. l1 l2, l4 l6 l8 oraz l5 l7
2. a) k1: (0, 0), k2: (0,−4), k3: (0, 3), k4: (0, 5) b)k1: (0, 0), k2: (0,−1), k3: (0, 8), k4: (0,12) 3. a) y = 4x + 5, P
b)y = −3x + 11, (0, 11) c)y = −43x − 3, (0, −3) d)y =√
3x, (0, 0) 4. a) 15 b) 24 5.
1 1
O X
Y
l y= −1
2x+ 4
y=x − 2
(4, 2)
P =12 · (4 − (−2)) · 4 = 12
Powtórzenie
1. l1 l4, l2 l5, l3 l6
2. a)|P Q| = 3
1 1
O X
Y
l P k Q
b)|P Q| = 6 Y
k
c)|P Q| = 4,5 Y
d)|P Q| = 3 Y
3.4. Własności funkcji liniowej
Miejsce zerowe funkcji liniowej
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y = 2x + 3.
Jej miejsce zerowe jest równe −32. Aby je wyznaczyć, rozwiązujemy równanie 2x + 3 = 0.
Jeślia = 0, to funkcja liniowa y = ax + b ma jedno miejsce zerowe:−ba.
y=2x+3 1 1
O X
Y
Ćwiczenie 1
Uzasadnij powyższe twierdzenie.
Ćwiczenie 2
Wyznacz miejsce zerowe funkcji:
a) y = 2x + 6, c) y = −3x + 4, e) y = 12x − 3, g) y = 73x −149, b) y = −4x + 2, d) y = −6x − 9, f) y = −1,5x − 6, h) y =√
2x+8.
Przykład 1
Wyznacz punkty, w których prostay = −12x + 2 przecina osie układu współ- rzędnych. Oblicz pole trójkąta ograniczonego tą prostą i osiami układu współ- rzędnych.
Aby wyznaczyć punkt, w którym prosta przecina ośOX, znajdujemy miejsce zerowe funkcji, której jest wykresem:
−12x + 2 = 0, stąd x = 4
Zatem prostay = −12x + 2 przecina:
– oś OX w punkcie A(4, 0), – oś OY w punkcie B(0, 2).
Szkicujemy prostą y = −12x + 2 (rysunek obok).
Pole trójkątaAOB: P = 12· 4 · 2 = 4. 1 1
O X
Y
A(4, 0) B(0, 2)
Ćwiczenie 3
Wyznacz punkty, w których prosta l przecina osie układu współrzędnych.
Oblicz pole trójkąta ograniczonego tą prostą i osiami układu współrzędnych.
a) l: y = 2x − 6 b) l: y = −13x − 2 c) l: y = 35x + 3
Ćwiczenie 1 y = ax + b 0 = ax + b ax = −b / : a = 0 x = −ba
Ćwiczenie 2 a)x = −3 b)x = 12 c) x = 43 d)x = −32 e)x = 6 f ) x = −4 g)x = 23 h)x = −4√
2
Ćwiczenie 3 a) (3, 0), (0,−6), P = 12· 3 · 6 = 9 b) (−6, 0), (0, −2), P = 12· 6 · 2 = 6 c) (−5, 0), (0, 3), P = 12· 5 · 3 = 152
3.4. Własności funkcji liniowej 103
Monotoniczność funkcji liniowej
1 1
O X
Y
1 1
O X
Y
1 1
O X
Y
Na rysunku przedstawio- no wykres funkcji liniowej, której wartości rosną wraz ze wzrostem argumentów.
Na rysunku przedstawio- no wykres funkcji liniowej, której wartości maleją wraz ze wzrostem argumentów.
Na rysunku przedstawio- no wykres funkcji linio- wej, która przyjmuje sta- le tę samą wartość.
Funkcjęf nazywamy:
– rosnącą, jeśli dla dowolnych argumentówx1,x2 spełniony jest warunek:
jeślix1< x2, tof(x1)< f(x2),
– malejącą, jeśli dla dowolnych argumentówx1,x2spełniony jest warunek:
jeślix1< x2, tof(x1)> f(x2),
– stałą, jeśli dla dowolnych argumentów x1, x2 prawdziwa jest równość:
f(x1) =f(x2).
DEFINICJA
Funkcje rosnące, malejące i stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi.
To, czy funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca czy stała, zależy od jej współ- czynnika kierunkowego.
Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest rosnąca dla a > 0, malejąca dla a < 0, stała dla a = 0.
TWIERDZENIE
Ćwiczenie 4
Dany jest wykres funkcjif(x) = ax + b. Podaj znaki współczynników a i b.
a) b) c)
1 1
O X
f Y
1 1
O X
Y f
1 1
O X
Y f Ćwiczenie 4
a)a < 0 i b > 0 b)a > 0 i b < 0 c) a < 0 i b < 0
Ćwiczenie 5
Określ monotoniczność funkcji f.
a) f(x) = 5x − 12 b) f(x) = 8 − 3x c) f(x) = (3 − 2√
2)x d) f(x) = −3 ZADANIA
1. Wyznacz punkty, w których prosta przecina osie układu współrzędnych.
Naszkicuj tę prostą.
a) y = x + 5 c) y = −2x + 4 e) y = 32x − 6 g) y = −34x + 3 b) y = 2x − 4 d) y = 12x − 3 f) y = −x +32 h) y = 25x − 4 2. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji: f, g i h.
Określ monotoniczność każdej z tych funkcji.
a) f(x) = x − 4, g(x) = −12x − 4, h(x) = −4 b) f(x) = −0,5x + 3, g(x) = 3, h(x) = 0,75x + 3
3. Podaj miejsce zerowe funkcji oraz zbiór argumentów, dla których przyj- muje ona wartości ujemne.
a) y = 3x − 6 b) y = 6x + 4 c) y = −23x + 2 d) y =√ 2x + 4 4. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układu współrzędnych i prostą:
a) y = −2x + 4, b) y = 3x − 6, c) y = −12x − 4, d) y = 6x + 3.
5. Określ monotoniczność funkcji f(x) = mx − 4.
a) m = 13− 0,3 b) m =√
3− 2 c) m = 1 −√
2 d) m = 3 − 2√ 2 6. Określ monotoniczność funkcji f w zależności od parametru m.
a) f(x) = (m + 1)x + 5 b) f(x) = (5 − m)x c) f(x) = (1 + 5m)x 7. Dla jakich wartościa, b funkcja y = ax + b:
a) nie ma miejsc zerowych, b) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych?
POWTÓRZENIE
1. Wyznacz punkty, w których prosta przecina osie układu współrzędnych.
Naszkicuj tę prostą i określ monotoniczność funkcji, której jest wykresem.
a) y = 3x + 6 b) y = −2x − 3 c) y = 12x + 3 d) y = −23x − 2 2. Przez które ćwiartki układu współrzędnych przechodzi prosta:
a) y = −32x + 1, c) y = −8x − 3, e) y = (1 −√
2)x + 3, b) y = 4x + 1, d) y = 12x − 1, f) y = −5?
Ćwiczenie 5 a) funkcja rosnąca b) funkcja malejąca c) funkcja rosnąca d) funkcja stała
Odpowiedzi do zadań 1. a) (0, 5), (−5, 0)
b) (0,−4), (2, 0) c) (0, 4), (2, 0) d) (0,−3), (6, 0) e) (0,−6), (4, 0) f ) (0,32), (32, 0) g) (0, 3), (4, 0) h) (0,−4), (10, 0)
2. a) f jest rosnąca, g – ma- lejąca, h – stała
b)f jest malejąca, g – stała, h – rosnąca 3. a) y = 0 dla x = 2,
y < 0 dla x < 2 b)y = 0 dla x = −23, y < 0 dla x < −23 c)y = 0 dla x = 3, y < 0 dla x > 3 d)y = 0 dla x = −2√
2, y < 0 dla x < −2√
2 4. a) 4 b) 6 c) 16 d) 34 5. a), d) rosnąca
b), c) malejąca
6. a) rosnąca dla m >−1, malejąca dla m <−1, stała dla m =−1 b) rosnąca dla m < 5, malejąca dla m > 5, stała dla m = 5 c) rosnąca dla m >−15, malejąca dla m <−15, stała dla m =−15 7. a) a = 0 i b= 0
b)a = 0 i b = 0
Powtórzenie 1. a) (−2, 0), (0, 6),
rosnąca
b) (−32, 0), (0, −3), malejąca
c) (−6, 0), (0, 3), rosnąca
d) (−3, 0), (0, −2), malejąca
2. a) I, II, IV
1 1
O X
Y
b) I, II, III
1 1
O X
Y
c) II, III, IV
1 1
O X
Y
d) I, III, IV
1 1
O X
Y
e) I, II, IV
1 1
O X
Y
f ) III, IV
3.4. Własności funkcji liniowej 105
3.5. Równanie prostej na płaszczyźnie
Jeśli znamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej, możemy wy- znaczyć jej równanie. Dla prostej będącej wykresem funkcji liniowej wyzna- czamy równanie postaciy = ax + b.
Przykład 1
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punktyC(−2, 1) i D(4, 3).
Aby wyznaczyć współczynnikia, b równania
y = ax + b, rozwiązujemy układ równań: 1 1
O X
Y
C
D y =13x +53
1 =a · (−2) + b 3 =a · 4 + b
równania układu otrzymujemy, podstawiając współrzędne punktów C i D do równania y = ax + b
Otrzymujemya = 13, b = 53. Zatem równanie prostej ma postaćy = 13x +53.
Równanie postaciy = ax + b nazywamy równaniem kierunkowym prostej.
DEFINICJA
Przykład 2
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty C(3, 2) i D(3, −1).
Do szukanej prostej należą wszystkie punkty o pierw- szej współrzędnej równej 3. Jej równanie ma postać x = 3.
1 1
O X
Y C
D x = 3
Zwróć uwagę na to, że prosta równoległa do osiOY nie jest wykresem funkcji (dlaczego?), a jej równania nie można zapisać w postaci kierunkowej.
Uwaga. Równanie prostej y = b (równoległej do osi OX) jest równaniem w postaci kierunkowej. Dla tej prostej współczynnika = 0.
Y
X b
y = b
O
Ćwiczenie 1
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punktyC i D. Czy ta prosta jest wykresem funkcji liniowej?
a) C(1, 4), D(3, 6) c) C(−4, 4), D(−2, 3) e) C1
2,15
,D(5, 2) b) C(−3, 4), D(−3, 6) d)C(−5, −3), D(7, −3) f) C(8, −2), D(8, 6) Komentarz
Warto zwrócić uwagę uczniów na przykład 2. i powrócić do definicji funkcji, aby uła- twić im odpowiedź na pyta- nie: „Dlaczego prosta równo- legła do osi OY nie jest wy- kresem funkcji?”.
Ćwiczenie 1 a)y = x + 3, jest b)x = −3, nie jest c) y = −12x + 2, jest d)y = −3, jest e)y =25x, jest f ) x = 8, nie jest
Przykład 3
Naszkicuj prostą daną za pomocą równa- niax + 3y − 3 = 0.
Równanie przekształcamy do postaci kie- runkowej y = −13x + 1 i następnie szkicu- jemy prostą.
x +3y − 3= 0 Y
1 X
O 1
RównanieAx+By +C = 0, gdzie A = 0 lub B = 0, nazywamy równaniem ogólnym prostej.
DEFINICJA
Równanie każdej prostej na płaszczyźnie (również prostej równoległej do osi OY ) można zapisać w postaci Ax + By + C = 0.
Ćwiczenie 2
Naszkicuj prostą daną za pomocą równania:
a)x − y = 0, b)−x + 2y − 4 = 0, c) 12x − y + 2 = 0, d) 4x − 6y = 0.
Ćwiczenie 3
Zapisz równanie prostej w postaciAx+By +C = 0 oraz w postaci y = ax+b.
a) 34x +23y =16 c) x − 3
2 = y − 2
3 e) 1 = 2x − 1
5 − y − 12 b) 119− 113y = −4x d) 3 − 2y
2 = 3x − 1
4 f) x − 2
3 = 2x − 1
2 − y6 ZADANIA
1. Sprawdź, czy punkt C należy do prostej AB.
a) A(0, 1), B(6, 2), C(12, 3) d) A(−2, 6), B(2, −2), C(5, −7) b) A(8, 3), B(6, 4), C(−2, 8) e) A(−4, 5), B(7, 5), C(7, 2√
6) c) A(9, 0), B(4, 5), C(0, 9) f) A(3, 0), B(3, 7), C(3,√
6) 2. Wyznacz równanie prostej przedstawionej na rysunku. Sprawdź, czy punkt
(−10, −5) należy do tej prostej.
a) Y b) c)
X
−1 3 O
Y
−2 1 X
−4 O
Y
X 1 1 4
−2 O 2
Ćwiczenie 2 a)y = x
1 1
O X
Y
b), c) y =12x + 2
1 1
O X
Y
d)y = 23x
1 1
O X
Y
Ćwiczenie 3 a) 9x + 8y− 2 = 0, y = −98x +14 b) 18x− 6y + 5 = 0, y = 3x +56
c) 3x− 2y − 5 = 0, y =32x −52 d) 3x + 4y− 7 = 0, y = −34x +74 e) 4x− 5y − 7 = 0, y =45x −75 f ) 4x− y + 1 = 0, y = 4x + 1
Odpowiedzi do zadań 1. a), b), c), f ) należy
d), e) nie należy
2. a) y = 13x − 1, nie należy b)y = −113x − 223, nie należy c) y = 34x + 212, należy
3.5. Równanie prostej na płaszczyźnie 107
3. Prostal przechodzi przez punkt (3, 6). Wyznacz równanie tej prostej, jeśli:
a) przecina ona ośOY w punkcie o rzędnej równej −3, b) przecina ona ośOX w punkcie o odciętej równej −3.
4. Wyznacz wzór funkcji liniowej, jeśli:
a) do jej wykresu należy punkt (0, 4) i przyjmuje ona wartości ujemne tylko dlax < −6,
b) do jej wykresu należy punkt (0, −2) i przyjmuje ona wartości nieujemne tylko dlax −4,
c) trójkąt ograniczony jej wykresem i osiami układu współrzędnych jest równoramienny, a funkcja przyjmuje wartości ujemne tylko dlax > 3.
5. Wyznacz równania prostych, w których są zawarte boki równoległoboku ABCD.
a) b) c)
1 1
O X
Y
A B
C D
1 1
O X
Y
A
B C D
1 1
O X
Y
A
B C
D
6. Naszkicuj prostą o podanym równaniu. Wyznacz punkty, w których prze- cina ona osie układu współrzędnych.
a) 2x − y + 2 = 0 c) −32x + 12y − 2 = 0 e) −4
y −14x
= 16 b) 10x + 5y − 5 = 0 d) 12x −34y − 214= 0 f) 2
1− 13y
− 4x = 0 7. Które z poniższych równań opisują tę samą prostą?
l : −34x + y − 1 = 0 n: 9x − 12y + 12 = 0 p: 3x − 4y + 4 = 0 m: −3x + 4y + 4 = 0 o: 6x − 8y + 12 = 0 r : −32x + 2y − 2 = 0 POWTÓRZENIE
1. Wykres funkcji liniowej przechodzi przez punkt P i przecina oś OY w punkcie (0, 4). Podaj wzór tej funkcji i naszkicuj jej wykres.
a) P (2, 6) b) P (−6, 1) c) P (5, −11) d) P3
4, −2 2. Dany jest prostokątABCD (rysunek obok).
Wyznacz równania prostych, w których za- wierają się:
a) boki tego prostokąta,
b) przekątne tego prostokąta. 1
1
O X
Y
A B
C D
3. a) y = 3x− 3 b)y = x + 3
4. a) y =23x + 4 b)y = −12x − 2 c)y = −x + 3
5. a) AB: y =−1, DC: y = 2, AD: y = 3x + 5, BC: y = 3x − 10 b)AB: y = −12x − 1, DC: y = −21x + 2, AD: x = −2, BC: x = 2
c) AB: y = 13x −23, DC: y =13x + 2, AD: y = −x − 2, BC: y = −x + 6 6. a) (0, 2), (−1, 0) b) (0, 1), (12, 0) c) (0, 4), (−34, 0) d) (0,−3), (92, 0) e) (0,−4), (16, 0) f ) (0, 3), (12, 0) 7. l, n, p, r
Powtórzenie 1. a) y = x + 4
b)y =12x + 4 c)y = −3x + 4 d)y = −8x + 4
2. a) AD: x = 2, BC: x = 7, AB: y = 1, DC: y = 4 b)AC: y =35x −15, BD: y = −35x + 515
3.6. Współczynnik kierunkowy prostej
Jeśli prostay = ax+b przechodzi przez dwa różne punkty (x1, y1) i (x2, y2), to współczynnik kierunkowy:
a = y2− y1
x2− x1
TWIERDZENIE
Dowód
Podstawiamy współrzędne punktów (x1, y1) i (x2, y2) do równania prostej i zapisujemy układ równań:
gdzie x1= x2
y1=ax1+b y2=ax2+b
Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:
y2− y1=ax2− ax1
czyliy2− y1=a(x2− x1), skąda = y2−y1
x2−x1.
(x1, y1)
(x2, y2)
x2− x1
y2− y1
x1 x2
y1
y2
Y
X O
Ćwiczenie 1
Oblicz współczynnik kierunkowy prostej, do której należą punktyA i B.
a) A(3, 7), B(9, 12) b) A(3, 5), B(−7, −5) c) A(12, −2), B(6, 8) Ćwiczenie 2
Czy prosta przechodząca przez punktyP (4, 8) i Q(−2, −1) jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S?
a) R(0, 6), S(−4, 0) b) R(−2, 4), S(1, 7) c) R(5, −52),S(8, 2)
Interpretacja współczynnika kierunkowego
Współczynnik kierunkowy prostej pozwala określić, jak bardzo jest ona „stroma”. Na przykład dla pro- stej y = 2x + 1 wzrostowi argumen- tu o jedną jednostkę odpowiada wzrost wartości funkcji o dwie jed- nostki, a dla prostej y = 13x + 1 wzrostowi argumentu o trzy jednost- ki odpowiada wzrost wartości funkcji o jedną jednostkę.
y=2x+1
y =13x +1 Y
X O
1 1
Ćwiczenie 1 a)a =12−79−3 = 56 b)a =−5−5−7−3 = 1 c) a =6−128+2 =−35
Ćwiczenie 2 aP Q=32 a)aRS= 32, jest b)aRS= 1, nie jest c) aRS= 32, jest
Komentarz
Warto uświadomić uczniom, że wykres funkcji liniowej ła- twiej jest narysować, kiedy ro- zumie się, co oznacza współ- czynnik kierunkowy. Wystar- czy wtedy znać współrzędne jednego punktu należącego do wykresu (np. punktu przecię- cia z osią OY ).
3.6. Współczynnik kierunkowy prostej 109
