Przestronny model mechanizmu dźwigniowego i jego możliwości

(1)

Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J 1989

Seria. M E C H A N I K A z. 91 Nr kol. 1026

XIII M I Ę D Z Y N A R O D O W E K O L O K W I U M

"MODELE W P R O J E K T O W A N I U I K O N S T R U O W A N I U MASZYN"

13th I N T E R N A T I O N A L C O N F E R E N C E ON

" M O DELS IN D E S I G N I N G A N D C O N S T R U C T I O N S O F MACHINES"

2 8 - 2 8 . 0 4 . 1 9 8 9 ZAKOP A N E

T a d e u s z B I L

Wydział Mechaniczny;

W y ż s z a .Szkół a I n ż ynierska K o s z a l i n

P R Z E S T R Z E N N Y M O D E L M E C H A N I Z M U D Ź W I G N I O W E G O I J E G O MCELIWOŚCI

S t r e s z c z e n i e . W pr a c y p r z e d s t a w i o n o model m a t e m a t y c z n y t r ó j c z ł o n o w e g o p r z e s t r z e n n e g o m e c h a n i z m u dźwigniowego, który u o g ó l n i a cała kl a s ę m e c h a n i z m ó w elementarnych. P r z e d s t a w i o n o k i l k a p r z y k ł a d ó w s y n t e z y m e c h a n i z m ó w o t r z y m a n y c h m e t o d a op t y m a l i z a c j i na p o d s t a w i e o p r a c o w a n e g o modelu.

1. W p r o w a d z e n i e

We w s p ó ł c z e s n e j t e c hnice sp o t y k a n a jest wiel k a liczba r ó ż n o r a k i c h u k ł a d ó w k i n e m a t y c z n y c h i mechanizmów. Przy ich p r o j e k t o w a n i u p o j a w i a sie z a t e m p o t r z e b a porówn y w a n i a r ó ż nych s t r u k t u r tych u k ł a d ó w w celu w y b r a n i a najlepszej z o k r eślonego punktu widzenia. Ta k i e p o r ó w n a n i e jest m o ż l i w e jedynie przy znajomości p o d s t a w o w y c h c h a r a k t e r y s t y k p o s z c z e g ó l n y c h struktur.

P r z y p r o j e k t o w a n i u m e c h a n i z m ó w poja w i a sio p r o blem przeglądu w s z y s t k i c h m o ż l i w y c h struktur. Istnieje taka teore t y c z n a możliwość [1], P r o c e s w y b o r u w a r i a n t u m e c h a n i z m u s p e ł n i a j ą c e g o założenia w y m a g a d w u e t a p o w e g o p r o c e s u syntezy:

1) s y n t e z a (określenie) struktury, 2) s y n teza parametryczna.

Synteza s t r u k t u r y p r o w a d z o n a jest w d u ż y m s t o p n i u intuicyjnie.

Synteza p a r a m e t r y c z n a pow t a r z a n a jest dla każdej struktury, a o s t a t e c z n y w y n i k s y n t e z y daje p o r ównanie struktur. Takie postęp o w a n i e prowadzi do p o t r z e b y oprac o w a n i a ogromnej liczby modeli m a t e m a t y c z n y c h m e c h a n i z m ó w d o s t o s o w a n y c h do wymagań.

Je d n o c z e ś n i e ł a t w o zauważyć n i e spójność takie to p o s t ę p o w a n i a : poświ ę c a się duże n a k ł a d y faby znaleźć o p t ymalne wartości par a m e t r ó w struktury, kt ó r a w c z e ś n i e j w y b r a n a z o s tała intuicyjnie (2j.

Celowe z a t e m wyd a j e się stw o r z e n i e w s p ó l n e g o mod e l u m a t e m a t y c z n e g o dla całej gr u p y mechanizmów. kt ó r y umożl i w i ł b y j e d n o e t a p o w ą s y n t e z ę m e c h a n i z m ó w w postaci tylko syntezy p a r a m e t r y c z n e j [3).

(2)

14 T. Bi'i

2. Model m a t e m a t y c z n y m e c h a n i z m ó w dźwig n i o w y c h

ze w z g lędu na płaszczyzna) z W praktyce s t o s o w a n e są r ó ż n o r o d n e m e c h a n i z m y d ź w igniowe służące do p r zetworzenia ruchu p o s t ę p o w e g o i obro t o w e g o na obrotowy. Wśród nich wyróż n i a się n a s t ę p u j ą c e m e c h a n i z m y elementarne: tangensowy, sinusowy. k o r b o w o - w o d z i k o w y . c z w orobok prze g u b o w y w różn y c h m o d y f i k a c j a c h i m e c h a n i z m y k u l i s o w e (jarzmowe) ki l k u postaci.

M e c h a n i z m y te m o g ą być w y k o n a n e jako e l ementarne trójczłonowe z jedną parą k i n e m a t y c z n ą w y ż s z ą lub jako elementarne c z t e r o członowe tylko z parami k i nematycznymi niższymi. Para kinema t y c z n a w y ż s z a może być w y k o n a n a w postaciach: dwie powierzchnie cylindryczne, p o w i e r z c h n i a sferyczna - płaszczyzna i inne. W y m i e n i o n e p o s t a c i e stosowane są w praktyce

m o ż liwości w y k o n a n i a tych powierzchni (wałek, kula, dużą d o k ł a d n o ś c i ą w y m i a r o w ą i kształtową.

Dla w y m i e n i o n y c h wyżej m e c h a n i z m ó w elementai—

n y c h w s p ó l n y m m o d e l e m jest u o g ó l n i o n y model m e c h a n i z m u d ź w i g n i o  w e g o trój c z ł o n o w e g o z w y ż s z ą parą k i n e m a  tyczną w postaci dwu powierzchni c y l i n  d r y c z n y c h (mechanizm drążkowy) — (rys. 1).

M e c h a n i z m ten składa się z d w u r u c h o m y c h o g n i w w postaci dźwigni z a k o ń c z o n y c h p o wierzchniami cylin

drycznymi . Ogniwa

p o ł ą c z o n e są z ostoją popr z e z pary k_ine m a -

tyczne A i B. W

p a r a c h tych moż e wystąpić, w zależności

od potrzeb. ruch

p o s t ę p o w y o b r otowy lub śrubo w y . Położenie i w y m i a r y k a ż d e g o członu

opisać m o ż n a 5

parametrami ( r y s. 2 ):

odległość 1. d o w o l n e g o i

punk t u osi w a ł e c z k a od

po c zątku układu

współrzędnych, w

k t ó r y m element ten

jest przedstawiony;

promień r wałeczka;

or a z trzy k ą t y 4>. , iń.

przestrzeni. Położenie czterema p a r a m e t r a m i :

Rys. 1. Sche m a t m e c h a n i z m u d ź w i g n i o w e g o

Rys. 2. Po ł o ż e n i e e l e m e n t ó w pary wyższej w przestrzeni.

i 6 usta l a j ą c e położenie wz a j e m n e u k ł a d ó w w s p ó ł r z ę d n y c h

trzy przesu n i ę c i a

osi w a ł e c z k a w mo ż n a opisać 1_ o d p o w i e d n i o x' y' "z

wzdłuż osi x, y, z -i kąt obrotu a w z g l ę d e m osi Oy. W ten sposób cały m e c h a n i z m t r ć j c z ł o n o w y o p i s y w a n y jest 14 parametrami, z

(3)

Przestrzenny m o d e l m e c hanizmu.

15

których nie w s z y s t k i e są niezależne. Z m i e n i a j ą c w a r t o ś c i tych p a r a m e t r ó w , u z y s k u j e m y m e c h a n i z m y o r ó ż n y c h własnościach.

Szczególnymi przyp a d k a m i są m.in. w s z y s t k i e w y m i e n i o n e wyżej mechanizmy. O g ó l n i e mówiąc, m o ż n a uzyskaó m e c h a n i z m y p r zetworzenia ruchu p o s t ę p o w e g o o b r o t o w e g o i ś r u b o w e g o w d o w o l n e k o m b i n a c j i .

Opis p r z e d s t a w i o n e g o m e c h a n i z m u m o ż e być d o k o n a n y za pomocą jednego tylko równania:

(e x e )

(F -F ) i---- —

1 2 | e x e I ' 1 2

- r - r

i 2 (1)

które okre ś l a o d l egłość m i e d z y dw o m a powi e r z c h n i a m i cylindry c z n y m i w przestrzeni p r z e d s t a w i o n y m i m i w postaci w e k t o r ó w p u n k t ó w leżących na osi a c h tych p o w i e r z c h n i P , w e r s o r ó w k i e r u n k o w y c h ich osi i promieni r . W e r s o r y i w e k t o r y w t y m r ó w n a n i u p o w i n n y być zdefiniowane w n i e r u c h o m y m u k ł a d z i e wspó ł r z ę d n y c h . W t y m celu w p r o w a d ź m y dwa n i e r u c h o m e u k ł a d y wsp ó ł r z ę d n y c h : Q x y z i p o m o c n i c z y O x y z (rys.l), a także r u c h o m e u k ł a d y w s p ó ł r z ę d n y c h 0.x.y.z , w

P P P P v t v i

których o p i s z e m y poł o ż e n i e p o w i e r z c h n i c y l i n d r y c z n y c h (rys.2).

W u k ł a d a c h O x y zi i i i w e k t o r y w e r s o r y mo ż n a przedstawić następująco:

ri

(2)

1 “N N

gdzie: [A x v] ’ [A y <J - m a c l e r z e o b r o t u o d p o w i e d n i o w z g l ę d e m osi 0x^

i Oy. w postaci:

M '

1 0 0

w -

c o s y t 0 - s i n y i

0 c o s ó .V ^{s i n ó i} 0 1 0

0 - s i n ó

t ^{c o s ó t} ^{s i n y t} ⁰ ^{c o s r}

Ma c i e r z o b r o t u jak następuję:

(3 )

wokół osi O z dla obu u k ł a d ó w moż n a zapisać,

M

COSÓt s in ó *

0 0

-sin^. 0 0

cos <p^

0 0

(4 )

+ gdzie: <t> “ <p.

I V .

- kąt obrotu;

iff - wartość p o c z ą t k o w a tego kąta.

N a t o m i a s t pr z e j ś c i e od u k ł a d u p o m o c n i c z e g o

p o d s t a w o w e g o Q x y z m o ż n a p r zedstawić w postaci macierzy:

O x y z

p p p p do układu

' l

(4)

16 T. B i l

M -

C060 O -sina

O

0 sina 1

*

1 O l y

O cosa 1

a

0 0 1

(5)

Z a s t o s o w a n o tu m a c i e r z e 4 - g o r z ę d u dla u m o ż l i w i e n i a jednoczesnego z a p i s u o b r o t u i p r z e s u n i ę c i a wektorów.

W n i e r u c h o m y m u k ł adzie w s p ó ł r z ę d n y c h o t r zymamy więc;

\ 14 cos#*

x2

y i ^m ll s i n # i

V

y2 ^*

2* 0

Z 2

1 cos# cosa+1

* *

-1 sin# +1

2 2 y

- 1 cos# sina+1

2 2 2

H H - N -

s i n ó t c o s # 4 + c o s ó j sinj^ s i n # t cos& i c o s i 't

* ,*

sinó^ s i n # t - c o s ó t s i n r i c o s # 4

(

6

⁾

(7)

(-s in#2 si n#2 -cosói sinrj[ cos#2 ) c o s a + c o s ó2 cosr z s i na -s i nój cos#* -c o s ó 2 s i n?-2 s i n£*

(-sinó s i n#*-cosó siny cos#* )sina+cosó.cosy coda

2 2 2 2 2 2 2 *

(8)

M a c i e r z e B'i C o t r z y m a n o o d p o w i e d n i o z m a c i e r z y B i C po w y k r e ś l e n i u 4-go w i e r s z a i 4- t e j kolumny.

O s t a t e c z n i e po p o d s t a w i e n i u zależności (6) ~ (8) do równania ( 1 ) o t r z y m a m y :

|(xi - xł >(y3 z< -z3 y4 )f(ył-y2 )(z3 x4 -x3 z4 )-t(zi -z2 ) (x3 y< -y3 x < ) I

J (y3 2 4- z3Y4 ) 2 + (z3x4- x3z4 )a + (x3y 4 - y3x4 ) 2

r - r = s

1 2 (9)

R ó w n a n ie (9) o p i s u j e f u n k c j ę p o ł o ż e n i a m ech a n izm u ( r y s . l ) w s y t u a c j i , g d y o s i e p o w ie r z c h n i c y l i n d r y c z n y c h n i e będą równoległe (m ia n o w n ik r ó w n a n ia (9) r ó ż n y od z e r a ) . W innym pr z y p a d k u r ó w n a n ie t o n a l e ż y z a s t ą p i ć r ó w n a n iem :

s ^ - z ^ y , )2 + ( z x - x z ) 2 + ( z y , - y o ,

f

9 - 2 9 2 3 2 3 2 3 2 3 2 ^{( 1 0 )}

3 ' A n a l i z a m ech an izm u

F u n k c ja p o ł a ż e n i a m ech a n izm u j e s t z a l e ż n o ś c i ą m ię d z y p a r a m e tr a m i o k r e ś l a j ą c y m i p o ł o ż e n i e d ź w ig n i w y j ś c i o w e j m ech a n izm u od p a r a m e t r ó w

(5)

P r z e s t r z e n n y m o d e l mech a n i z m u . 1 7

o k r e ś l a j ą c y c h p o ł a ż e n i e dźwigni wejśc i o w e j . B ę d z i e to np. kat <f>z (jeżeli para B jest obrotowa) i ka,t (jeżeli para A jest obrotowa), lub p r z e s u n i ę c i e 1 (jeżeli para A jest paipa postępowa).

Wartość c o k r e ś l a r z e c z y w i s t a odległość m i ę d z y powierzchniami. W p r z y p a d k u styc z n o ś c i p o w i e r z c h n i zachodzi e m 0.

J eż e l i przyjmiemy, ż e funkcja ta jest z a d a n a np. w postaci:

gdzie: 8 - $ - d l a r u c h u o b r o t o w e g o w parze A, 8 - 1 - d l a r u c h u postępowego,

8 - f ( ^ ,1 ') - d l a ruc h u złożonego,

to p o d s t a w i a j ą c r ć w n a n i e (11) d o r ó w n a n i a (9) lub (10) ot r z y m a m y zależność dla e, k t ó r a b ę d z i e określać różnicę m i ę d z y z a ł o ż o n a a r z e c z y w i s t a funkcja p o ł o ż e n i a m e chanizmu. Wartość c jest w i ę c w p r z y b l i ż e n i u b ł ę d e m funkcji p o ł o ż e n i a mech a n i z m u . Błąd ten m o ż e być o k r e ś l o n y z d o w o l n a dokładn o ś c i ą , p o w t a r z a j ą c iteracyjnie o b l i c z e n i a w g w z o r ó w (9) lub (10) i k o r y g u j ą c w każ d e j iteracji wartość k a t a <fz o w a r t o ś ć b ł ę d u c .

a. O p t y m a l n a s y n t e z a m e c h a n i z m ó w

S y n tezę m e c h a n i z m ó w p r o w a d z o n o ze w z g l ę d u na dokładność realizacji liniowej funkcji połażenia, przy p r z e t w o r z e n i u ruchu p o s t ę p o w e g o i o b r o t o w e g o na o b r o t o w y w z a k r e s i e o b r o t u dźwigni w y j ś c i o w e j ± 0 . 8 rad. S y n t e z o w a n o w s z y s t k i e m o ż l i w e w a r i a n t y m e c h a n i z m ó w elementa r n y c h . N u m e r y c z n i e syntezę z r e a l i z o w a n o za pomocą a l g o r y t m u o p t y m a l i z a c j i zmien n e j metr y k i DFP (4) na m i k r o k o m p u t e r z e IBM PC/XT. P r o g r a m n a p i s a n o w języku TurboPascal 4.0. J a k o k r y t e r i u m o p t y m a l i z a c j i p r z y j ę t o sumę k w a d r a t ó w błędu c w n p u n k t a c h funkcji p o ł o ż e n i ą m e c h a n i z m u r o z m i e s z c z o n y c h w w ę z ł a c h w i e l o m i a n u C z e b y s z e w a I-go r z ę d u (n - liczba z m i e n n y c h par a m e t r ó w m echanizmu). W t a b l i c y 1 p r z e d s t a w i o n o wyn i k i s y n t e z y m e c h a n i z m ó w przetwo r z e n i a r u c h u p o s t ę p o w e g o na obrotowy, a w t a b l i c y 2 - ruchu obr o t o w e g o na obrotowy. Pod a n e w t a b l i c a c h p a r a m e t r y były zmiennymi decyzyjnymi w p r o c e s i e o p t y m a l n e j syntezy. P a r a m e t r a m i stałymi w p rocesie s y n t e z y p o s z c z e g ó l n y c h m e c h a n i z m ó w były: a . l y ,ls “ 0. P r z y s yntezie m e c h a n i z m u k o r b o w o - w o d z i k o w e g o z m i e n n a | była suma r Ł +r2 - której o p t y m a l n a wartość w y n o s i ł a 0.97. Dla m e c h a n i z m u c z w oroboku p r z e g u b o w e g o w a r tość ta w y n o s i ł a 0.37. W p o z o s t a ł y c h p r z y p a d k a c h suma r t +r2 była n i e z m i e n n a i w y n o s i ł a 0.1. W y m i a r y liniowe t rak t o w a n o jako bezwymiarowe.

Tabl i c a 1.

Naz w a m e c h a n i z m u

P a r a m e t r y Błąd

1i 1

X ^2 ⁶ⁱ ^<52

4>

O l

1 ,0

Ó02 ó<f>x (rad)

S i n usowy 1 .0 1 .0 2 0 ^{f l / Z} 0 0 .1 0 0 .1 0 0 . 0 0 2 8 6

Ta n g e n s o w y 0 . 9 8 1 .0 0 0 ^{ł l / 2} 0 ^{- 0}^{. 1} ^{- 0 . 1 1} 0 0 . 0 0 5 5 3

K o r b - w o d z . 1 . 2 7 1 .0 - .0 0 1 0 0 0 0 ^{0 . 5 2} ^{- 0}^{. 3}³ 0 . 0 0 0 9 2

D r ą ż k o w y 1 1 .0 1 1 . 0 0 ^{- . 9} ⁵ ^{. 6 2} .06 - . 03 - 0 . 05 0 . 0 5 0 . 0 0 0 0 1 3

(6)

18 T . B i l T a b l i c a 2.

Nazwa m e c h a n i z m u

P a r a m e t r y Błąd

1 1 1 r y 6 <5 ^01 <p

1 Z X ' 1 ' 2 i t j o z ó<f>z trad]

K u 1isowy 1 K u l i s o w y 2 C z w o r o b o k D r ą ż k o w y 2

10.0 1.02 9.0 n/z 0 0.01 0 0.01 0

9.97 1.0 9.0 0 n / z 0 0.09 0.01 0

9.84 1.0 8.86 0 0 0 0 -. 0 2 6 0.11

10.0 1.0 9.0 -.99 .58 - . 0 2 .03 0 . 0 0 5 - 0 . 0 5

0.002030 0.004260 0.000531 0.000009

5. Uwagi i wnioski

1. P r z e d s t a w i o n y w p r a c y f i z y c z n y mo d e l m e c h a n i z m u p r z e s t r z e n n e g o (rys.l) pozwala na j e d n o e t a p o w ą synt e z ę el e m e n t a r n y c h m e c h a n i z m ó w d ź w i g n i o w y c h w postaci s y n t e z y parametrycznej.

2 . Odpowiadający m u model m a t e m a t y c z n y jest prosty i p o z w a l a n a ł a t w ą n u m e r y c z n ą analizę mechanizmów..

3. O p i s a n y model pozwala na s y n t e z ę p r z e s t r z e n n y c h m e c h a n i z m ó w d ź w i g n i o w y c h o prawie liniowej funkcji położenia. znacznie p r z e w y ż s z a j ą c y c h d o k ł a d n o ś c i ą m e c h a n i z m y e l e m e n t a r n e płaskie.

L I T E R A T U R A

|1] S. Miller: P r z e g l ą d i s y s t e m a t y k a m e c h a n i z m ó w - A r c h i w u m Budowy M a s z y n - W a r s z a w a 1984.

(2J W. Tarnowski; W y k o r z y s t a n i e p o i i o p t y m a l i z a c j i do jednoczesnej optymal i z a c j i s t r u k t u r y k o n s t r u k c j i i jej parametrów. Z e s z y t y N a u k o w e W y d z i a ł u M e c h a n i c z n e g o nr 10, WSInż, Ko s z a 1in 1987.

[3] T.Bil : Synteza m e c h a n i z m u d ź w i g n i o w e g o z w y ż s z ą parą k i n e m a t y c z n ą w postaci p o w ierzchni cylindrycznych. Zeszyty Na u kowe Polit e c h n i k i Ś l ą s k i e j 1987, seria M e c h a n i k a z. 85.

(4J H i m m e l b l a u D.M. A p p l i e d n o n l i n e a r programming. N e w York:

M c G r a w - H i 11 1972.

n P O C T P A H C T B E H H A S MOAEJlb PEI4A)KHOrO M E X A H H 3 M A H E E O B 0 3 M 0 X H 0 C T M P e 3 K m e

B pa6o r e npeacraBneHa M a T e M a x M neocajl MOAejib TpSxjBeHHoro

n p o c r p a H C T B e H H o r o p w M a » H o r o M e x a n H 3 M a . K O T O p b t f l o 6 o 6 m a e T u e j i b p t K J i a c c B J i e M e H T a p u u x M e x a H x 3 m o b . IlpeACxaBJieHO hsc k o j i b k o n p H M e p o B C H H T e j a M e x a m i j M O B n o n y M e H b i x m s t o a o m oirrKMMjauiiH H a o c H o s e b t o R moaojim .

T H R E E - D I M E N S I O N S I O N A L M O D E L O F T H E LINK M E C H A N I S M A N D ITS CAPACITY S u m m a r y

A model of t h ree-members t h r e e - d i m e n s i o n a l bar linkage wh i c h may be used as a g e n e r a l i z a t i o n of mode l s of all elem e n t a r y m ec h a n i s m s is proposed. A few e x a mples of a s y n thesis of mech a n i s m s co m p l e t e d by an o p t i m i z a t i o n method, on the p r e s e n t e d model, are given.

Recenzent: doc. dr inz. s . W o j c i e c h W n j v n e l o do Redakeji 3.1.1989 r.