Cyfrowe generowanie realizacji niestacjonarnych procesów stochastycznych z ewolucyjnie zmiennym spektrum

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ i«sa

Seria: MECHANIKA z. 99 Nr kol. 1057

SYMPOZJOM "MODELOWANIE W MECHANICE"

POLSKIE TOWARZYSTWO MECHANIKI TEORETYCZNEJ I STOSOWANEJ Beskid Slaski, 1980

Witold Marowskl, Jerzy Wróbel Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechnika Warszawska

CYFROWE GENEROWANIE REALIZACJI | NIESTACJONARNYCH PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Z EWOLUCYJNIE ZMIENNYM SPEKTRUM

Streszczenie. W pracy przedstawiono problematykę cyfrowego generowania, dla potrzeb symulacji cyfrowej, realizacji niestacjo

narnych. normalnych procesów stochastycznych z ewolucyjnie zmien

nym spektrum. Opisano trzy metody generowania takich realizacji.

Omówiono algorytmy oraz przykładowe wyniki generowania realizacji.

l. Ustęp

W problemach stochastycznej dynamiki maszyn wainą role odgrywa pewna klasa niestacjonarnych oddziaływali opisywanych przez ewolucyjnie zmieniająca sie gęstość widmowa. Oddziaływania te.

opisane przez Pristley'a Cl], dobrze nadaja się do modelowania procesów rozruchu i hamowania m a sz y n.

W celu przeprowadzenia symulacji cyfrowej takiego ruchu nalepy wygenerować cyfrowa realizację procesu niestacjonarnego C*J

(2)

230 W. Marowski , J. Wróbel

2. Metody generowanie

Niestacjonarny proces stochastyczny ZQ (t) o zerowej wartości średniej i ewolucyjnie zmiejacej sie gęstości widmowej

|A(t ,w)| G(co) ma swoje spektralne przedstawienie o postaci tl]:2 CD

Zo (t) = J" A(t,<a) e 1<otdZ(o>) , tl)

- 0 0

g d z i e :

A(t,oo) jest deterministyczny funkcją., zależną od czasu i częstości, modulującą pewien stacjonarny proces o gęstości widmowej G(co) (dla procesów stacjonarnych A (t , to) = 1) ,

Z (to) jest procesem o ortogonalnych przyrostach i następujących własnościach:

s

E [dZ(o>1 )dZ (w2 )3 * 0 dla * w2 *2) E [ |dź (u) |2 ] = - j - G(o>)do>.

W metodzie Borgmana [2] realizacją takiego procesu, określonego w zadanym przedziale częstości [to . , to ) , może byó następująca

min max funkcja:

N

i /

z(t) = 2 ^ / 2 G < « V cos( tout + ^ )J (3) k = l

g d z i e :

— realizacje niezależnych zmiennych losowych o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale [0,2rr], to^ — częstości wygenerowane wg następującego algorytmu/

“ k = (k' 4 - > + “min •

- - ■ .

U metodzie Shinozuki C2] realizacja». takiego procesu, określonego w zadanym przedziale częstości t“a i n > “,a x ] ■ może być następująca funkcja:

(3)

Cyfrowe generowanie realizacji. 231

z(t) « 2 S(t,») A u cos( + *>k ), (A)

g d z i e :

S(t,u) - A(t,o>)2 G(u),

^ — realizacje niezależnych zmiennych losowych o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale [0,2n], ' _ częstości wygenerowane wg następującego algorytmu:

\ * |k - - T > + *** * “nin >

a> — Cii .

max m m R---

gdzie 6«. s ą realizacjami niezależnych zmiennych losowych o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale [-ó/2,ó/2]i przy czym ó<<Au>.

W metodzie WYMROW [4] realizacja, procesu niestacjonarnego o ewolucyjnie zmieniającej sie gęstości widmowej jest funkcja:

k*l g d z i e :

_ realizacje niezależnych zmiennych losowych o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale [0,2n].

Częstości sa odpowiednio uszeregowanymi realizacjami niezależnych zmiennych losowych o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa w przedziale ^wn i n ,wmax^ * natomiast amplitudy wyznacza sie z zależności

N

A (t , k ) cos ( <*>kt ♦ ¥>k ) , (5)

(4)

23 2 W. Marowski, J, Wrób*l

uszeregowanymi w porządku rosnącym.

Szczegółowe algorytmy i podprogramy komputerowe służące do generowania realizacji procesów niestacjonarnych przedstawiono w sprawozdaniu [3].

3. Przykład

Opisane wy tej algorytmy m o g ą być wykorzystane do symulacyjnego badania procesów rozpędzania i hamowania pojazdów. D r o g ę (po której porusza sie pojazd | mo2na bowiem traktować jako realizacje stacjonarnego procesu stochastycznego o zerowej wartości średniej i znanej gęstości widmowej S(t,o>) [4]:

(

^{c a t}

"— ¡ - T S

h a t 0

dla e [ , .<*> ] m m ’ max )

S(t,w) - 4 h a t + uT (7)

dla u ef [u . ,u ]

0 m m ’ max

a h

( 8 )

T g d z i e :

2

a - wariancja procesu,

h — stała określająca szybkość zmiany gęstości wi d mo we j, a — przyspieszenia pojazdu.

Na r y s .1 pokazano przykładowy przebieg realizacji niestacjonarnego procesu stochastycznego. Realizacja ta została wygenerowana przy użyciu trzeciej z omawianych m e t o d .

W sprawozdaniu [3] zamieszczono wyniki badart jakości wygenerowanych realizacji. Zadowalające rezultaty uzyskano juZ przy nieduZej liczbie harmonik.

Otrzymane realizacje umożliwiły przeprowadzenie symulacyjnego badania proces<5w rozpędzania i hamowania pojazdu. Wyniki tych badan zamieszczono rćwnieZ w sprawozdaniu [3].

(5)

Cyfr owe generowanio r eali za.cj i . 233

,3.!. Przykładowa realizacja procesu niestacjonarnego o widmie określonym wzorem (7). Dane: a=0.5 [n/e ],

LITERATURA

[1]

[2]

[3]

[A3

Pristley M B . : Evolutionary spectra and nonstationary processes, journal ot the Royal Statistical Society, 1.65.

3.27, 20A-236.

Shinozuka M. : Simulation of multivariate and multidimensional random processes, Journal o Acoustical Society of America. 1977, vol. A9, no 1, part 2,

" s p r a w o z d a n i e nr. 02.18.03.27 "Polioptymalny dobór charakterystyk dynamicznych pojazdów w “ losowości", CPBP 02.18 "Podstawy rozwoju systemów i środków

transportowych", Warszawa, 1989. ,

Wróbel J-: Symulacyjne badanie jakości w n - stochastycznej dynamice maszyn, Prace

Mechanika, z. 92, 198S.

(6)

234 W. Marowski . J. Wröbel

H W CJÏOBOE H EH EP H P O B A H H E H E C T A ß U b H B IX C TO X A C T H H EC K M X n P O U E C C O B C 3BOXIIOUHOHHO M 3 M E H » » m H M C S I C IIE K T P O M

P g j n w

B paßoTe npecTaBjmeTcst npo&neixaTMica «tcaoeoro cnuyjnpoeataa, peajTO3aunn H e oTaSuimœ, MopnajibBux c-roj<ac-rH«jecicxx npoueccoe c aso- m=MMoHHO H 3 M e H s a w M c a onetTpoM. O m c a H u TpH MeTOAa renepKpo- BaHii TaKliX peajM3amtx. OßcywABHU ajiropuTMu H npxMepKue pe3yjrraTw reHepxpoBaHH« peaj«3auMx

.

DIGITAL GENERATION OF REALIZATION OF NONST A U ONARY STOCHASTIC PROCESSES WITH EVOLUTIONARY SPECTRUM

Summary

The problem of digital generation of realizations of nonstationary stochastic processes with evolutionary Bpectrum is presented for the digital simulation purposes. Three methods of generation are described. Algorithms and some examples are d is cussed.