Metody czasu ciągłego w projektowaniu cyfrowych układów regulacji. Część 1: Operatory i transformacje dyskretne

Z E SZY TY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J

Seria: A U TO M A TY K A z. 120

1996

N r kol. 1340

Marian BŁA CH U TA

M E T O D Y C Z A S U C I Ą G Ł E G O W P R O J E K T O W A N I U C Y F R O W Y C H U K Ł A D Ó W R E G U L A C J I

CZĘŚĆ 1: O P E R A T O R Y I T R A N S F O R M A C JE D Y SK R E T N E *

S tr e s z c z e n ie . W pracy dokonano krytycznego porów nania dokładnych m etod opisu obiektów ciągłych z ekstrapolatorem (transform acje: Z , T, W ) w zastoso­

w aniu do an a liz y i syntezy układów regulacji, zw łaszcza przy założeniu wyso­

kiej częstotliw ości próbkow ania oraz skończonej dokładności obliczeń. Porów na­

n ia dokonano w aspekcie p rostoty pojęciowej, dokładności i efektyw ności. O m ó­

wiono p roblem stabilności oraz właściwości linii pierw iastkow ych i c h a rak te ry sty k częstotliw ościow ych układów dyskretnych dla różnych form opisu. W skazano na m ożliwie daleko posunięte uproszczenia zastępczego m odelu ciągłego, w ynikające z właściwości asym ptotycznych tran sfo rm at W i obow iązujące d la stosunkow o szerokiego zakresu częstotliwości próbkowania. W yniki m ogą być w ykorzystane przez p ro jek tan tó w cyfrowych układów regulacji.

C O N T IN U O U S -TIM E M ETH O D S IN T H E D IG ITA L SYSTEM S D ESIG N PART 1 : D IS C R E T E -T IM E TR A N SFO R M S AND O PE R A T O R S

S u m m a r y . A critical com parison of exact discrete-tim e description m ethods of con tin u o u stim e system s w ith an ex tra p o lato r ( Z , F and W transform s) and th e ir ap plication to th e analysis and synthesis of control system s, p articu la rly a t high sam pling rate s and assum ing finite accuracy of calculations, is presen ted . T h e com parison h as been perform ed tak in g th e sim plicity, accuracy an d efficiency into account. T h e problem s of stability, and th e properties of root loci an d frequency p lots w hen using different descriptions are addressed. T h e possibility of a far going sim plification of th e equivalent psedo-continuous-tim e m odel, w hich results from th e asy m p to tic properties of th e W transform and is valid for a w ide range of sam pling periods, is p ointed out.

' Wykonano to ramach projektu BW-j 19/It Aul/95/S

100 M. B ła c h u ta

1. W p r o w a d z e n ie

Celem opracow ania je s t syntetyczne spojrzenie n a spotykane w lite ra tu rz e m etody opisu układów regulacji dyskretnej obiektów ciągłych, realizowanych ja k o cyfrowe, oraz ich o cena w św ietle dw u aspektów: stosunkowo wysokiej częstotliwości próbkow ania oraz skończonej dokładności obliczeń.

W łaściw ości dyskretnych algorytm ów regulacji oraz popraw ny w ybór odpowiedniej m eto d y do ich analizy i syntezy są silnie zależne od okresu próbkow ania A .

K onsekw encją wysokiej częstotliwości próbkowania je st degenerow anie się klasycznych m e to d opisu op arty ch n a operatorze przesunięcia lub transform acji Z . M anifestuje się to zbliżaniem współczynników m odelu dyskretnego do pewnych w artości niezależnych od p ara m etró w ob iek tu ciągłego. Pociąga to za sobą u tra tę inform acji isto tn y ch dla syntezy reg u la to ra oraz m oże być przyczyną niepopraw nego działan ia algorytm ów sterow ania i błędów sym ulacji cyfrowej.

B ardzo obszerny przegląd m etod projektow ania regulatorów dyskretnych zn a jd u je się np. w pracach Iserm an n a (1980), A ckerm anna (1985), P h illipsa i N agle’a (1990) oraz F ranklina, Pow ella i W orkm ana (1990).

Spośród m eto d p rojektow ania regulatorów dyskretnych m eto d am i dyskretnym i należy w yróżnić m e to d ę Ragazziniego (Ragazzini, Franklin, 1958), w lite ra tu rz e polskiej omó­

w ioną np. w pracy B łachuty (1994). M etoda ta pozwala na konstrukcję reg u la to ra - w form ie funkcji w ym iernej zm iennej z - zapew niającego pożądane właściwości sta ty c zn e i d ynam iczne u k ła d u regulacji, przy czym nie n ak ład a się żadnych w stępnych ograniczeń n a rzą d i s tr u k tu r ę regulatora. Isto tn ą trudnością tej m etody je st konieczność podjęcia przez p ro je k ta n ta decyzji o skreślaniu zer tran sm itan cji przez bieguny reg u lato ra. P od­

jęcie decyzji niewłaściw ej grozi u tr a tą stabilności, tzw. "dzw onieniem ” reg u la to ra lub też niew ykorzystaniem jego potencjalnych możliwości. Je st to m iędzy innym i zw iązane z tru d n o ścią rozróżnienia zer tran sm itan cji wnoszonych przez proces próbkow ania od zer w noszonych przez tra n sm ita n c ję części ciągłej. W św ietle przedstaw ionych powyżej roz­

w ażań problem y te p o tę g u ją się przy zwiększaniu częstotliwości próbkow ania. P odobne problem y w y stę p u ją również przy zastosow aniu innych dyskretnych m eto d p rojektow a­

n ia regulatorów cyfrowych. Prowadzi to niekiedy do absurdalnych - jeśli n ie sto ją za nim i arg u m e n ty o ograniczeniach technicznych toru transm isji sygnału, u k ła d u p om iaro­

wego lub u rząd zen ia wykonawczego - wniosków o konieczności stosow ania odpow iednio długiego okresu próbkow ania.

W łaściw ym rozw iązaniem tego dylem atu je st stosowanie m etod opisu układów dys­

k retn y ch niew rażliw ych n a skracanie okresu próbkowania. Są nim i znane z lite ra tu ry (Ra-

Metody czasu ciągłego w p ro jek to w an iu cyfrowych układów regulacji 101

gazzini, F ranklin, 1958; Kuo, 1970; Houpis, Lam ont, 1985; G oodw in e t al., 1986; F ranklin et al., 1990; P hilip s, Nagle, 1990) transform acje W i T. W szczególności, m odnej obecnie transform acji F zo stała poświęcona monografia M iddletona i G oodw ina (1990), w k tó ­ rej lansuje się jej uniw ersalne zastosow anie do m odelowania, analizy i syntezy układów regulacji.

O perator <5, będący w istocie operatorem ilorazu różnicowego, je st zw iązany z op era­

torem przesunięcia q następująco:

(I-D

Z kolei tran sfo rm ac ja T ciągu / ( i ) je s t zdefiniowana jako su m a szeregu:

r { / ( 0 } = £ / (

0

7

t = 0

Zmienne zespolone 7 i z są zatem zw iązane relacjam i:

7 = — > z = 1 + 7 A. (1.3)

O perator T u stin a A je st zdefiniowany poprzez zależność:

Az,- = u,-. (1.4)

Należy j ą trak to w ać jako symboliczny zapis operacji:

¿(*¿+1 - Xi) = i ( u i+i + Vi). (1.5)

Z (1.4)-(1.5)w ynikają oczyw iste związki pom iędzy op erato ram i q i A:

+ < u >

oraz w i z:

2 z - 1 A . . . A . . .

w = a 7 T T ' z = ( 1 + T d ) / (1 - 2 w ) - ( L 7 )

W opracow aniu polem izuje się z te zą o uniwersalnej przydatności tran sfo rm acji T wykazując, że - być m oże poza problem em obliczeń rekurencyjnych - u stę p u je ona tra n s ­ formacji biliniowej W . D otyczy to zw łaszcza in terpretacji rozkładu pierw iastków i cha­

rak tery sty k częstotliwościowych oraz właściwości asym ptotycznych.

O kazuje się, że dla m odeli n a płaszczyźnie w możliwe je st stosowanie m e to d czasu ciągłego, łącznie z analogam i ciągłym i m etody Ragazziniego (np. K ailath , 1980). D o d a t­

kowym arg u m e n tem n a rzecz transform acji W je st możliwość daleko posuniętych uprosz­

czeń m odelu n a płaszczyźnie w, w ynikająca z właściwości asym ptotycznych tran sfo rm at W i obow iązująca d la stosunkowo szerokiego zakresu częstotliwości próbkow ania.

102 M . B ła c h u ta

W g ranicy u k ła d regulacji dyskretnej zbliża się swymi właściwościam i do u k ła d u re­

gulacji ciągłej. W zw iązku z tym , gdy próbkowanie je s t bardzo częste, ja k to m a miejsce w p rzy p a d k u szybkich regulatorów cyfrowych, wpływ dyskretyzacji n a dynam ikę układu regulacji je s t nieznaczny i wówczas dla celów analizy i syntezy m ożna u k ła d regulacji uw ażać za ciągły. N ajw iększe znaczenie m a ją przypadki pośrednie, gdy jakościowo zacho­

w anie się u k ła d u dyskretnego je st zbliżone do ciągłego ale pogorszenie jakości w skutek próbkow ania je s t ju ż zauw ażalne. Do analizy i syntezy układów regulacji m ożna wówczas stosować m eto d y analogiczne do m eto d stosowanych dla regulacji ciągłej, je d n ak ż e odnie­

sione do pew nych pseudociągłych obiektów zastępczych. M etodyka aproksym acji układu d yskretnego u k ład em ciągłym oraz jej związki z tran sfo rm atą W je st o m aw iana w części drugiej.

2. S t r u k t u r a u k ł a d u r e g u la c ji d y s k r e tn e j

U kłady dyskretne, m im o pewnej stra ty jakości w stosunku do ciągłych, m ogą dawać dodatkow e korzyści. W układach sterow ania coraz częściej stosuje się cyfrowe układy re­

gulacji. M ożliwa je st wówczas realizacja kilku układów regulacji działających jednocześnie w oparciu o jed en procesor lub też w ykorzystyw anie procesora równocześnie do innych celów. U kład cyfrowy um ożliw ia realizację dowolnie złożonych dyskretnych algorytm ów regulacji.

Rys. 1. Schemat ideowy cyfrowego układu regulacji Fig. 1. Structure of a digital control system

U proszczony schem at cyfrowego u kładu regulacji przedstaw iono n a r y s .l, gdzie sy­

gnały analogowe oznaczono linią podw ójną, zaś sygnały cyfrowe lin ią pojedynczą.

Rozw ażm y schem at zastępczy u kładu regulacji impulsowej, składającego się z obiektu ciągłego o tra n sm ita n c ji K ( s ) , regu lato ra dyskretnego o tran sm ita cji Hr(z) oraz ekstra-

M etody czasu ciągłego w p ro jek to w an iu cyfrowych układów regulacji 103

polatora E, przedstaw iony n a rys.2.

Rys. 2. Schemat blokowy układu regulacji dyskretnej Fig. 2. Błock diagram of a sam pled-data control system

Klucz sym bolizuje próbkow anie sygnału ciągłego i przypisyw anie ty m wielkościom wartości cyfrowych. Z adaniem ek stra p o la to ra je st zam iana ciągu liczb w ypracow anych przez reg u lato r i określonych w dyskretnych chwilach czasu iA n a sygnał fizyczny okre­

ślony d la każdej chwili czasu t.

W teorii układów im pulsowych stosuje się często pojęcie im p u lsato ra idealnego, d a ją ­ cego w chwilach próbkow ania pseudofunkcje D iraca o całce proporcjonalnej do w artości sygnału wejściowego (łub jego reprezentacji cyfrowej). Z a pom ocą im p u lsato ra idealnego oraz tzw . członu form ującego określonego odpow iednią tra n sm ita n c ją m ożna zam odelo- wać dowolny ek stra p o la to r. P rzy k ład y przedstaw iono n a ry s.3. Sygnał v ' ( i A ) je s t okre­

ślony jako ciąg im pulsów D iraca o polu powierzchni proporcjonalnym do w artości w yjścia regulatora cyfrowego u (jA ), to znaczy: u '(iA ) = v( i A) S[ t — jA ).

D la celów obliczeniowych tra n sm ita n cję ek stra p o la to ra w łącza się niekiedy do tran s- m itancji o b iektu.

3. T r a n s m i t a n c j ę d y s k r e t n e i ic h w ła ś c iw o śc i

Z badam y obecnie ogólną stru k tu rę transm itancji dyskretnej oraz zależność jej zer i biegunów od s tru k tu ry i param etrów obiektu ciągłego oraz okresu próbkow ania.

N ajpierw w yznaczym y tra n sm ita n cję d y sk retn ą n a płaszczyźnie z, a n astęp n ie skorzy­

stam y z odpow iednich przekształceń prowadzących do płaszczyzn 7 i to.

104 M . B łac h u ta

a) ekstrapolator całkujący

_L

a

b) ekstrapolator zerowego rzędu Rys. 3. Schematy zastępcze układów z ekstrapolatoram i

Fig. 3. EquivaJent błock-diagrams of systems with extrapolators

3 .1 . P ł a s z c z y z n a z

T ra n sm ita n c ję d y sk retn ą H ( z ) definiuje się jako:

H ( z ) = Z { h ( i A ) } = f : h ( i A ) z - \ (3.1)

¿=0

gdzie Z je s t sym bolem transform acji Z ciągu h ( i A ) , będącego ciągiem próbek odpowie­

dzi zestaw u ek stra p o la to r-o b ie k t n a pojedynczy im puls o wartości jednostkow ej podany n a wejście e k s tra p o la to ra w chwili t = 0. Aby model dyskretny u kładu zam kniętego z reg u lato rem d ziała ją cy m bez opóźnienia spełniał zasadę przy czy nowości, tzn . aby wynik p o m ia ru w chwili iA , nie zależał od sterow ania w chwili z'A, konieczne je st utworzenie ciągu w artości lew ostronnych:

h( i A ) = lim fi(i’A — e), e > 0. (3.2)

N a ogól fu nkcja h( t) je st ciągła dla t > 0 i wówczas nie zachodzi p o trz e b a rozróż­

n ia n ia w artości lew ostronnych i praw ostronnych. W arto podkreślić, że w niektórych pod­

ręcznikach (np. A strom , W itte n m ark , 1984, str. 54-55) nie zw raca się uwagi n a możli­

wość nieciągłości funkcji h(t), co prowadzi do błędnych wyników. N a p rzykład popraw ną tr a n s m ita n c ją d y sk retn ą dla układu ciągłego o tran sm itan cji I (( s ) = 1 je s t H ( z ) — z -1 , podczas gdy w edług algorytm u ze str. 55 cytowanej pracy otrzym uje się H ( z ) = 1.

D la u k ła d u pierwszego rzędu

(3 -3) odpow iedź n a pojedynczy im puls z ek strap o lato ra zerowego rzędu je st określona zależ-

M etody czasu ciąg łeg o w p ro jek to w an iu cyfrowych układów regulacji 105

ilością:

- / 1 - e" 1/T> 0 < i < A . h ( ł ) ~ | c-«-A)/r _ e-</r t > A ■ (3-4)

P rzyjm ijm y oznaczenie:

d = e~£ilT. (3.5)

Poszukiwany ciąg /t(iA ) je s t wówczas określony następująco:

/i(0) = 0; h ( i A ) = ¿ - ' ( l - d), i = 1 , 2 , 3 , . . . (3.6)

W zw iązku z ty m tra n sm ita n c ja dysk retn a je st określona zależnością:

°° z

H ( z ) = (1 - d ) z ~ i + z ~ 2d( 1 - d) = (! - d)z ~l + z d( l - ■ (3-7)

¡=o z “

Po prostych przekształceniach:

H ( z ) = (3.8)

z — a

Załóżmy, że tra n sm ita n c ja obiektu ciągłego je st określona wzorem:

K I A — n£L i(3T- + 1) _

w n u ( * Ti + 1) k aT¡ + 1 '

(3.9)

gdzie n > m oraz Ti ^ Tj d la i yś j .

K o rz y sta jąc z liniowości transform acji Z mamy:

TI/ x 1 — d i b oz + . . . bn- 2 z "h & n -i r i m \

» U = £ ' + . . . ' (3' 10)

Z powyższego w ynika, że różnica stopni m ianow nika i licznika tra n sm ita n c ji dyskretnej wynosi 1 niezależnie od różnicy stopni m ianow nika i licznika tra n sm ita n c ji ciągłej.

W spółczynniki a,- w ielom ianu m ianow nika tran sm ita n cji dyskretnej są zw iązane z bie­

gunam i d¡ tra n sm ita n c ji dyskretnej następująco:

z n + a r z "-1 + . . . + a „ _ iz + an = {z - ¿ i)(z - d2) . . . ( z - d„), (3.11)

przy czym d; = e-A/Ti, i = 1, 2, . . . n.

P odobnie, d la licznika tran sm itan cji H { z ) mamy:

boz" + feizn_1 + . . . + bn- \ Z + bn = bo(z — z i)(z — z j ) . . . (z — z„). (3.12)

N iestety, ogólne wzory wiążące zera Zj tran sm itan cji I I ( z ) z p a ra m e tra m i u kładu ciągłego nie istnieją.

106 M . B ła c h u ta

Szczególną uwagę poświęcim y możliwości pojaw ienia się zer leżących n a zew nątrz okręgu jednostkow ego lub w lewym półkolu blisko okręgu jednostkow ego. P o sia d a ją one isto tn y w pływ n a przebieg ch arakterystyk częstotliwościowych oraz isto tn e znaczenie dla m e todyki syntezy regulatorów dyskretnych.

O biektem odgryw ającym dużą rolę w badaniu właściwości tran sm ita n cji dyskretnych je s t ob iek t o tran sm ita n cji:

K{ a) = l/s * . (3.13)

T ra n sm ita n c ja d y sk retn a u kładu z ekstrapolatorem zerowego rzędu w yraża się w przy­

p ad k u ob iek tu (3.13) wzorem (A stróm et al., 1984; Ciarkę, 1984):

H ( z ) = > B k ( z ) = b\zk 1 + ¿2zk 2 + • • • + bk (3-14)

W spółczynniki 6,- m ogą być obliczone za pom ocą formuły:

6. = E ( - i r j' / ( ) , i = 1 , 2 , . . . k (3.15)

Przykładow o:

B x{z) = 1 B 2(z) = z + 1

B 3(z) = z 2 + 4z + 1 (3.16)

B t ( z ) — z 3 + 11 z 2 + llzr + 1

5 5(z) = z* + 26z3 + 66 ż 1 + 26z + 1.

W sk u tek sym etrii współczynników wielomiany jBjt(z) p o siad ają tę w łasność, że jeśli z;

je s t zerem w ielom ianu, to je st nim również z f 1. K onsekw encją tego fak tu je s t to , że dla k > 1 każdy z wielomianów Bk ( z ) posiada zera leżące n a okręgu jednostkow ym lub na ze w n ątrz tego okręgu. In n ą in teresującą i w ażną w łaściwością tych wielom ianów je s t to, że ich zera leżą w lewej pólpłaszczyznie z i są rzeczywiste ujem ne.

O becnie zbadam y zachowanie się tran sm itan cji dyskretnej d la bardzo m ałych okre­

sów próbkow ania. W ynik pokryw a się z w ynikiem A stróm a e t al. (1984), je s t on jednak uzyskany w sposób bardziej prosty i bezpośredni.

R ozw ińm y tra n sm ita n c ję K ( s ) , dzieląc licznik przez m ianow nik w n astęp u jący szereg:

K { s ) = » 0/ s n- m + /il / s n- m+1 + . . . , (3.17)

gdzie . . są p ara m etra m i M arkowa oraz

_ T i T j . . . r m

fi° ~ TxTt . . . T n (3.18)

M etody czasu ciąg łeg o w p ro je k to w a n iu cyfrowych układów regulacji 107

Na podstaw ie (3.6) m ożna napisać:

W zw iązku z ty m , że kolejne w yrazy szeregu są m ałym i rzędu wyższego, m am y

lim Am~ n H ( z ) = ^ . (3.20)

a-o w ( n - m ) ! ( z — l ) n v '

W ynik zaw arty w zależności (3.20) m ożna sform ułować następująco:

Niech n będzie stopniem mianownika, zaś m stopniem licznika tra n sm ita n c ji w ym iernej K( s ) oraz m < n. Wówczas przy okresie próbkow ania A zm ierzającym do zera:

- n biegunów tra n sm ita n cji zm ierza do wartości 1, - m zer tra n sm ita n c ji zm ierza do wartości 1 ,

- pozostałe n — m — 1 zer zm ierza do zer B n- m(z), gdzie Bk je st w ielom ianem zdefi­

niowanym przez (3.14)-(3.15).

O znacza to, że przy m ałych okresach próbkow ania oraz k > 1 zawsze istn ieją zera transm itancji d y sk retn ej, zn ajdujące się w pobliżu lub n a zew nątrz okręgu jednostkow ego, niezależnie od w artości param etrów układu ciągłego. Podobnie zanika związek pom iędzy p aram etram i u k ła d u ciągłego a biegunam i tran sm itan cji zbliżającym i się do w artości 1.

W ynika stą d , że w p rzypadku bardzo m ałych okresów próbkow ania tra n sm ita n c ja dyskretna tra c i sens i u kład m ożna p raktycznie traktow ać ja k ciągły. Dzięki relacji z = e,A jest to oczyw iste, gdyż:

lim t f ( e 'A) = K { s ) . (3.21)

A—*0

Wzór (3.21) w ynika z rozkładu H ( e ‘A ) n a ułam ki p roste oraz reguły de P H ospitala:

n i _ . —A/Ti u i ..-A /T i

lim

E

Należy podkreślić, iż w literatu rz e (H ersh, 1993) stw ierdza się - w oczyw isty sposób błędnie - że tra n sm ita n c ja d y sk retn a nie zm ierza do ciągłej. D alszą in te rp re ta c ję tego zjawiska m o żn a znaleźć w następnych punktach.

O becnie rozw ażym y zachowanie się tran sm itan cji dyskretnej p rzy okresie próbkow ania bardzo dużym . Załóżm y, że tra n sm ita n c ja obiektu ciągłego je st określona w zorem (3.9), przy czym w szystkie sta łe czasowe są dodatnie, tzn. obiekt je st stabilny. Zauważm y, że:

lim di = lim e~A/,T' = 0 , i = 1 , 2 , . . . n . (3.23)

a—o a—o

W związku z ty m n a podstaw ie (3.10) oraz fak tu , że wzm ocnienie u k ła d u (3.9) je st równe 1, dostaje się (A stro m e t al., 1984; Ciarkę, 1984):

limi H ( z ) = z ~ 1Y l Ci = z -1 = *— - . (3.24)

A - O i = 1 Z

108 M. B łac h u ta

Transm itancja dyskretna degeneruje się zatem do opóźnienia dyskretnego. W ynik ten m ożna również zinterpretow ać w ten sposób, że zarówno bieguny, ja k i zera transm itancji zm ierzają do w artości zerowych.

W przy p ad k u sta ły c h czasowych znacznie różniących się, Ti > T i > . . . > 7* >•

. . . > r „ , i skończonych wartości A tran sm itan cję d y sk retn ą m ożna przybliżać przyjm ując di > d2 > . . . > dk ^ 0 oraz <4 +1 = . . . dn = 0.

Nieco inaczej w ygląda sytuacja w przypadku obiektów całkujących o tran sm ita n cji:

T s i . \ ... n ,- = i( s r , + l ) _ J t , • łk-j; Cj+k . . . ( ) s ^ u ^ ( s T j + i ) U 1 S s r , + r (3~ 5) O dpow iada jej tra n sm ita n c ja dyskretna

. A A; B d z ) "A* 1 - d i

(z) ~ I r Ci *■ (* - 1)1'+ , § Ci+^ -

M am y zatem

lim H ( z ) = lim (3.27)

A-OO V ' A —*oo ¿1 ( z - 1 ) * v '

i obecnie k — 1 zer tran sm itan cji zm ierza do zer wielomianu Bk( z ) , zaś k biegunów jest równe 1. P o zostałe zera i bieguny zm ierzają do wartości zerowych.

3 .2 . P ł a s z c z y z n a 7

T ransform acja T (M iddleton, Goodwin, 1990), zw iązana z operatorem S określonym w ( 1 .1 ), je s t zdefiniow ana poprzez zm ienną zespoloną 7 następująco:

7 = lub z = l + 7 A , (3.28)

co prow adzi do tra n sm ita n cji dyskretnej K ( 7 ) określonej na płaszczyźnie 7 zależnością:

K { l ) = H{ z ) U +7a- (3.29)

D la ob iek tu pierwszego rzędu zachodzi

= j r ~ T 7 ’ (3'3°)

1

d = e ~ * / T . (3.31)

M ożna z łatw ością pokazać, że:

M etody czasu ciągłego w p ro jek to w an iu cyfrowych układów regulacji 109

Istotnie, k o rzy sta ją c z reguły de 1’H ospitala, mamy:

¿ 2 o l - e x p ( —A / T ) ¿ 2 o ( l / T ) e x p ( —A /T ) T ' ^3' 33) Załóżm y, że obiekt o transm itancji:

W.N _ n fel(3T,- -pi) _ Y ' ^ (o i)j\

( ) n ^ ^ + i) " i i s T . + r (3- }

gdzie n > m oraz T; Ty dla i yf j w spółpracuje z ek stra p o la to re m zerowego rzędu.

P rzyjm ijm y oznaczenie T; = A / ( l — d,). Wówczas, n a podstaw ie (3.30) m am y:

K ( y ) = £ i— = i M i L t l S ) . (3.35)

} h i T i + 1 n?=1(i+ 7 T i v ;

T ransform ata F pozw ala n a dalszą analizę właściwości tran sm ita n c ji dysk retn ej.

N a p o d sta w ie (3.32), (3.34) oraz (3.35) widać, że zależność graniczna:

K m tf ( 7 ) = /Ć(5)|.=7 (3.36)

obowiązuje d la dowolnej tran sm ita n cji dyskretnej u kładu z e k stra p o la to re m zerowego rzędu i oznacza, że przy okresie próbkow ania zm ierzającym do zera właściwości u kładu dyskretnego z b liża ją się do właściwości u kładu ciągłego. W związku z ty m w tran sm ita n cji K ( 7) przy A —> 0 zachodzi T; —> Ti, i = 1 , 2, . . . n; h —* Tk, k — 1 , 2 . . . m oraz Tj —> 0, j = m + 1 , . . . n — 1. W ynik te n je s t również zaw arty w arty k u le H ersha (1993), został on ta m je d n a k o trzym any w sposób nieporów nyw alnie bardziej złożony. Z kolei przy A —* 00 zachodzi T; —+ A oraz, n a podstaw ie (3.35), i ; —» A . Z atem :

( 3 ' 3 7 )

3.3. P ł a s z c z y z n a w

T ransform acja W zdefiniow ana poprzez

2 z - 1 , 1 + |u>A

w = lub z = j— — (3.38)

A z + 1 1 - yiuA

prowadzi do tra n sm ita n c ji dyskretnej K ( w ) określonej n a płaszczyźnie w zależnością:

I<{w) = H ( z ) \ 1+. A . (3.39)

z='-±hTZJZ

T ransform acja ta , zw ana biliniową lub T ustina, je st szeroko rozpow szechniona w lite ra ­ turze. Z godnie z oryginalną p racą T u stin a (1947) służy ona n a ogół do aproksym acji dys­

kretnej u k ła d u ciągłego lu b aproksym acji ciągłej u kładu dyskretnego. D la obydw u tych

110 M . B ła c h u ta

zastosow ań należy we wzorach (3.38) w miejsce w podstaw ić s. A proksym acje te są ważne d la stosunkow o m ałych okresów próbkowania. W niniejszej pracy takiego utożsam iania nie dokonujem y, zaś transform acja W je st ważna dla dowolnych okresów próbkowania.

D la o b ie k tu pierwszego rzędu zachodzi:

= ¿ aJ Sm ’ (3-4°)

I - d 2 W T 1

gdzie

d = e " A /r. (3.41)

M ożna z łatw ością pokazać, że:

hm K ( w ) = K ( s ) , =w. (3.42)

Isto tn ie , k o rzy sta ją c z reguły de 1’H ospitala, mam y:

i- l + e x p ( —A / T ) A l + e x p ( - A / T ) - ( A / T ) e x p ( - A / r ) „ /ojoN l - o , _ e x p ( - A / T ) 2 ~ 1 - » --- (2/T) exp(—A /T ) --- = T ' (3'43>

Załóżm y, że obiekt o tran sm itan cji:

iv- / \ _ n ,= ! (sTj - f i ) _ a . .

( ) n u ( a T i + 1 ) S ^ + r ( - 5

gdzie n > m oraz T,- j t T j dla i / j w spółpracuje z ekstrap o lato rem zerowego rzędu.

P rzy jm ijm y oznaczenie T * = y . Wówczas, n a podstaw ie (3.40) m am y:

/ ? M = (■ - » f i £ = (1 - 4 ) { f H - (3.45) T ra n sfo rm ata W pozw ala na dalszą analizę właściwości tran sm ita n cji dyskretnej.

N a p odstaw ie (3.42), (3.44) oraz (3.45) widać, że zależność graniczna:

lim /{ (w ) = K ( s ) , =w (3.46)

obow iązuje d la dowolnej tran sm itan cji dyskretnej układu z ek stra p o la to re m zerowego rzędu i oznacza, że przy okresie próbkowania zm ierzającym do zera właściwości układu dyskretnego z b liżają się do właściwości układu ciągłego. W .związku z ty m w tran sm ita n cji K ( w ) p rzy A -+ 0 zachodzi T •* —» T;, i = 1 ,2 ,. . . n ; t£ —+ r/t, k — l , 2 . . . m oraz Tj ~ * 0, j — m + l , . . . n — 1. Okazuje się, że przybliżenie T* = T obow iązuje dla szerokiego zakresu częstotliwości próbkowania. U jm uje to ta b e la 1.

W zw iązku z ty m , że zbieżność T •* —> 7) je st bardzo szybka, p ro stą i obow iązującą w stosunkow o szerokim zakresie okresów próbkowania aproksym acją K ( w ) jest:

M etody czasu ciąg łeg o w p ro je k to w a n iu cyfrowych układów regulacji 111

T ab e la 1

A /T 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

T ' / T 1.0008 1.0033 1.0075 1.0133 1.0207 1.0298 1.0405 1.0528 1.0666 1.0820

Dla sk o rzy stan ia z tej aproksym acji obliczanie H ( z ) nie je s t konieczne i K (tu) m ożna wy­

znaczyć w prost n a podstaw ie tran sm itan cji obiektu K ( s ) . Z kolei przy A —> co zachodzi T" —t y oraz, n a podstaw ie (3.47), r* —+ A. Zatem :

lim = (3.48)

&-*oo Z Z

D la w artości A tak ich , że m oduł zera wielomianu K ( z ) je st równy 1, stopień licznika transm itancji ulega obniżeniu o jeden. Istotnie, jeśli d la A = A ' — t je s t r,- > 0, zaś d la A = A ' + £ je s t T,- < 0, gdzie e je st dowolnie m a łą liczbą, to z ciągłości d la A = A ' wynika t,- “ 0. O dpow iada to zeru z,- — —1.

4. O c e n a s ta b iln o ś c i

N a ogół w ym aganiem podstaw ow ym staw ianym układowi regulacji je st jego stabilność.

W p rzy p a d k u układów ciągłych w arunkiem koniecznym i w ystarczającym stabilności jest, aby p ierw iastki s; rów nania charakterystycznego leżały w lewej półpłaszczyźnie s:

R e (s ,) < 0 , i = 1 , 2 , . . . n. (4.1) A naliza stabilności i jakości układów n a płaszczyźnie z i 7 je s t bardziej złożona i mniej poglądowa. I ta k d la opisu za pom ocą o p erato ra przesunięcia w arunkiem koniecznym i w ystarczającym stabilności je st, aby pierw iastki z,- rów nania charakterystycznego leżały wewnątrz okręgu jednostkowego:

| z; |< 1, t = l , 2 , . . . . n . (4.2) Istnieje w praw dzie cały szereg kryteriów stabilności spraw dzających te n w arunek (Ac- kerm ann, 1972; Iserm ann, 1980; Ju ry , 1966), są one jed n ak n a ogól znacznie bardziej skomplikowane od k ry teriu m H urw itza. Dlatego też je d n ą z zalecanych m eto d b ad a n ia stabilności układów dyskretnych je st uprzednie dokonanie odw zorow ania w n ętrz a okręgu jednostkowego n a lew ą półpłaszczyznę. Należy podkreślić, że tę w łaśnie cechę posiada odwzorowanie W .

W p rzy p a d k u stosow ania opisu z operatorem 6 w arunkiem koniecznym i w y sta rc za ją­

cym stabilności je s t, aby pierw iastki rów nania charakterystycznego 7 ; sp ełn iały zależność:

| 1 + 7, A |< 1, i = 1 , 2 , . . . n (4.3)

112 M. B ła c h u ta

lub

y I 7i I2 + R e ( 7 i) < O, i = 1 , 2 , . . . u . (4.4)

Zgodnie z (4.3) obszarem stabilności na płaszczyźnie 7 je s t w nętrze okręgu o prom ieniu 1 /A i środku ( —1 /A , jO ). J e s t oczywiste, że spraw dzanie stabilności n a płaszczyźnie 7 jest jeszcze bardziej złożone i brak je st odpow iednich kryteriów bezpośrednio spraw dzających

(4.3) lub (4.4).

W p rzy p a d k u analizy u kładu n a płaszczyźnie w w arunek stabilności je s t ta k i sam jak d la regulacji ciągłej:

Re (wi) < 0 , i = 1 , 2 , . . . n, (4.5)

gdzie u>,- są pierw iastkam i rów nania charakterystycznego.

B ad an ie stabilności m oże być w ykonane za pom ocą program u kom puterow ego i wów­

czas złożoność w arunku stabilności nie odgryw a większej roli. Jed n ak że w przypadku pro jek to w a n ia u k ła d u regulacji n a podstaw ie położenia pierw iastków w zględem granicy stabilności decyzje po d ejm u je p ro jek tan t. Niewątpliwie najw ygodniejsza p o d ty m wzglę­

dem je s t płaszczyzna w.

W ażne zagad n ien ia zapasu stabilności na płaszczyźnie zespolonej są om ów ione w części 2.

5. L in ie p ie r w ia s tk o w e

Linie pierw iastkow e należą do podstaw owych narzędzi projektow ania układów regu­

lacji (K uo, 1975; D ’Dazzo, Houpis, 1988; Franklin e t al. 1991). D latego w niniejszym punkcie om aw iam y ich osobliwości dla różnych form opisu układów dyskretnych.

5 .1 . P ł a s z c z y z n a z

Linie pierw iastkow e n a płaszczyźnie z w ykreśla się na tych sam ych zasadach ja k dla układów ciągłych. Is to tn ą różnicą je st to , że w trakcie p rojektow ania interesu je nas ich p rzebieg w pobliżu okręgu jednostkowego. Poniew aż stopień licznika tra n sm ita n c ji dys­

k retn ej je s t dokładnie o jed en mniejszy od stopnia m ianow nika, u —1 gałęzi linii pierw iast­

kowych kończy się w skończonych zerach, zaś je d n a z gałęzi zm ierza do nieskończoności.

Zgodnie z zależnościam i (3.16), (3.20), przy A —♦ 0, zarówno zera ja k i bieguny układu otw artego p rzy jm u ją skończone położenia niezależne od w artości zer i biegunów obiektu ciągłego.

M etody czasu ciąg łeg o w p ro je k to w a n iu cyfrowych układów regulacji 113

5.2. P ł a s z c z y z n a 7

Linie pierw iastkow e n a płaszczyźnie 7 w ykreśla się ta k sam o ja k d la układów ciągłych.

Istotną różnicą je st to , że w trakcie projektow ania interesuje nas ich przebieg w pobliżu okręgu jednostkow ego. Poniew aż stopień licznika tran sm itan cji dyskretnej je s t d okładnie o jeden m niejszy od sto p n ia m ianownika, n — 1 gałęzi linii pierw iastkow ych kończy się w skończonych zerach, zaś je d n a z gałęzi zm ierza do nieskończoności. Is to tn ą korzy stn ą cechą przy A —* 0 je st to , że obecnie bieguny układu dyskretnego zm ierza ją do biegunów układu ciągłego, część zer układu dyskretnego zm ierza do zer u kładu ciągłego, zaś pozo­

stałe zera zm ierza ją do nieskończoności. Pozw ala to n a łatw e rozróżnienie zer ob iek tu od zer wnoszonych przez operację próbkowania.

5.3. P ł a s z c z y z n a w

Cechą linii pierw iastkow ych układów dyskretnych na płaszczyźnie w je s t to , że przy prawie w szystkich skończonych w artościach A ich gałęzie kończą się w skończonych ze­

rach, gdyż zgodnie z (3.43) liczba zer i biegunów tran sm itan cji K { w ) je s t ta k a sam a.

W yjątkiem są ta k ie w artości A , dla których dla pewnego r,- zachodzi t; = 0. Wówczas jedno z zer je s t w nieskończoności i asy m p to tą sta je się oś rzeczyw istych. W przypadku m ałych w artości A zera i bieguny układu dyskretnego są bliskie sw ym odpow iednikom dla u k ła d u ciągłego. N ato m iast jedno z zer, a mianowicie 2 / A , leżące w prawej półpłasz- czyźnie i w noszone przez operację próbkow ania i ekstrapolacji może m ieć dom inujące znaczenie d la jakości u k ła d u zam kniętego. Umożliwia to p ro stą analizę jakości układ u zam kniętego w zależności od A , a ty m sam ym d aje podstaw y do w yboru właściwej czę­

stotliwości próbkow ania.

6. C h a r a k t e r y s t y k i c z ę s to tliw o ś c io w e

6.1 . T r a n s m i t a n c j a H ( z )

P odobnie ja k d la układów ciągłych m ożna zdefiniować ch arak tery sty k ę częstotliw o­

ściową

H (ć“a ) = I Ą z ) . (6.1)

Ponieważ eJtjA je st funkcją okresową argum entu oj A o okresie 2jt, więc ch a rak te ry sty k a częstotliwościowa je s t również funkcją okresową. P onadto wykres / f ( e ;ujA) n a płaszczyźnie

114 M . B ła c h u ta

zm iennej zespolonej je st sym etryczny względem osi rzeczywistych. W ynika z tego, że w ystarczy w yznaczać przebieg charakterystyki dla zakresu zm ian pulsacji 0 < w < tt/ A .

D la obydw u skrajnych wartości pulsacji charakterystyka przyjm uje w artości rzeczywi­

ste: -ff(l) oraz H { —1).

O prócz opisanej ch arakterystyki N yąuista m ożna zdefiniować również ch arakterystyki Bodego: a m p litu d y H ( w A ) i fazy ^ (tu A ), przy czym:

H{ e juA) = H ( w & ) e M uŁ\ (6.2)

gdzie

H (ojA ) = | H ( e ’“A ) |, ^ ( u A ) = A r g f /( e JwA). (6.3)

6 .2 . T r a n s m i t a n c j a K{-i)

Z godnie z (3.28) w celu o trzy m an ia charakterystyki częstotliwościowej należy wpro­

w adzić zm ien n ą zespoloną /? zw iązaną z ui relacją:

eJuA - 1

— ■ (6.4)

C h a ra k te ry sty k a częstotliw ościowa je st zatem odw zorow aniem okręgu o prom ieniu 1/ A i środku ( —1 /A , jO).

In te rp re ta c ja zm iennej ¡3 je st raczej złożona, ta k że pod ty m w zględem płaszczyzna 7 u stęp u je płaszczyźnie w. D la m ałych wartości A i uiA zależność (6.4) sugeruje aprok­

sym ację f3 = ju >. Jej przyjęcie powoduje jed n ak odkształcenie zarówno ch arakterystyk N y ąu ista, ja k i Bodego.

6 .3 . T r a n s m i t a n c j a K ( w )

A nalizę właściwości charakterystyk częstotliwościowych układów dyskretnych oraz ich p rojektow anie je s t szczególnie dogodnie prowadzić n a płaszczyźnie w. R óżnym w arto­

ściom pulsacji w odpow iad ają p unkty n a okręgu jednostkow ym leżącym n a płaszczyźnie z określonym w zorem z = eJuA, zaś po zastosowaniu transform acji W p u n k ty n a prostej w = j u , leżącej n a płaszczyźnie w. Zgodnie z transform acją W jest:

e j ' w A _ 1 + j u A / 2 _ e 2 J a r c t g ( 1/ A / 2 ) i

1 - j u A / 2 a za te m u i v są zw iązane zależnością:

M etody czasu ciągłego w p ro jek to w an iu cyfrowych układów regulacji 115

Zm ienna v nosi nazwę pseudopulsacji. Umożliwia ona traktowanie układów dyskretnych tak jak ciągłych. Ja k w idać, przy zm ianie v od —co do + 00, u A zm ienia się od — t do

■fjr. D latego w zakresie pseudopulsacji —00 < v < + 00 charakterystyki I \ { j v ) s ta ją się nieokresowe.

Przebieg ch arak tery sty k N y ąu ista (amplitudowo-fazowych) u kładu dyskretnego po za­

stosowaniu transform acji W nie ulega zm ianie, zm ienia się jedynie skala pulsacji, będąca param etrem charakterystyki. W związku z tym np. k ryterium N yąuista m oże być stoso­

wane do układów dyskretnych o transm itancji K ( j v ) w taki sam sposób ja k do układu ciągłego o tra n sm ita n cji K(jui) .

C h arak tery sty k i zależne jaw nie od pulsacji, np. charakterystyki Bodego, w ykreśla się na ogól w zakresie 0 < u < + 0 0 , przy czym dla osi pseudopulsacji v przyjm uje się skalę logarytm iczną.

Dla m ałych w artości ¡/A zależność (6.6) sugeruje w = u. Należy podkreślić, że w przeciwieństwie do płaszczyzny 7 przyjęcie tej aproksym acji nie zm ienia k sz ta łtu cha­

rakterystyk N y ąuista. Deform acji ulegają jedynie, w zakresie większych w artości wA, charakterystyki Bodego. W artość okresu próbkow ania może być wówczas d o b ran a tak, aby deform acje w zakresie pulsacji rezonansowych układu regulacji były niewielkie. Wów­

czas właściwości dynam iczne układu dyskretnego będą zbliżone do właściwości układu ciągłego.

W łaściwości charakterystyk częstotliwościowych m ożna najłatw iej zbadać n a p o d sta ­ wie tran sm ita n cji określonej w wyniku transform acji W :

u i \ _ n + iy , , 7,

( " ) ( l u2 ) n ? = i ( y + 1 ) ' ( }

Zauważmy, że

= - (6-8)

Dla praw ie w szystkich wartości A oraz dla i = 1 , 2 . . . n — 1 zachodzi r * ^ 0 , w zw iązku z czym charakterystyka N yąu ista kończy się n a osi rzeczywistych poza początk iem układu współrzędnych. D la izolowanych wartości A oraz pewnego i zachodzi t," = 0 . W tym szczególnym p rzypadku stopień m ianow nika transm itacji je st o jeden wyższy od sto p n ia licznika i ch a rak te ry sty k a N yąuista kończy się w zerze.

Weźmy pod uwagę charakterystykę fazy:

<p(v) = - aretg ( t / y ) + aretg (1n ~ ) - aretg {uT ' ) . (6.9) Przyjmijmy, że t- > 0 d la i = 1 , 2 . . . k oraz r- < 0 d la j = k + 1 , . . . n — 1 . Zgodnie z (6.9) m am y wówczas:

lim tp(is) = - i r / 2 + Aur/2 - (n - k - 1)7t/2 - n7r/2 = - ( n - k)ir. (6.10)

u—*oo

116 M . B ła c h u ta

W zw iązku z ty m p rzyrost fazy układu dyskretnego dla praw ie w szystkich w artości A je s t równy całkow itej w ielokrotności —t.

P oró w n ajm y obecnie ch arakterystyki częstotliwościowe układ u ciągłego i dyskretnego p rzy wysokiej częstotliwości próbkowania. Przyjm ijm y, że tra n sm ita n c ja o b ie k tu ciągłego je s t określona wzorem :

K ( > n ™ i Q , + l)

( ) - n? =1(sTi + i ) , n > m - ((U 1) W ówczas przy A —> 0 zachodzi T ’ —* Ti, dla i = l , 2 . . . n ; t* —» r,-, d la t = 1 , 2 . . . m ; t' —* 0, d la t = m + 1 , . . . n — 1. W efekcie ch arak tery sty k i B odego zarówno am p litu d y , ja k i fazy u kładu ciągłego o tran sm itan cji (1 — ~ j u ) K { j u ) oraz u k ła d u dys­

kretnego o tra n m ita n c ji K { j v ) pokryw ają się d la szerokiego zakresu częstotliw ości. Roz­

bieżności p o ja w ia ją się dopiero dla bardzo wysokich w artości u A lub, inaczej m ów iąc, dla w artości u>A = r .

D la b ard z o dużych w artości A charakterystyka częstotliwościowa u k ła d u dyskretnego zbliża się do ch a rak te ry sty k i przesuwnika fazowego.

7. P o d s u m o w a n ie

W a rty k u le omówiono trzy podstawowe - teoretycznie równoważne - form y tra n sm i­

tancji d y skretnej u k ła d u z ekstrap o lato rem zerowego rzędu, zw iązane z transform acjam i Z , r oraz W . Z badano ich właściwości graniczne przy okresie prókow ania zm ierzającym do zera pokazując, że w spółczynniki tran sm ita n cji określonych zarów no n a płaszczyźnie 7 , ja k i w zm ierzają do współczynników transm itancji części ciągłej u k ład u . Rozw ażania graniczne doprow adziły do sform ułow ania interesującej aproksym acji tra n sm ita n c ji dys­

kretn ej n a płaszczyźnie w otrzym yw anej przez p ro stą m odyfikację tra n sm ita n c ji układu ciągłego. P okazano również w prosty sposób, iż tra n sm ita n c ja określona n a płaszczyź­

n ie z ulega degeneracji polegającej n a tym , źe jej w spółczynniki zm ierza ją do pew nych w artości zależnych je d y n ie od stru k tu ry tran sm itan cji ciągłej (rząd oraz w zględny rząd).

O m ów iono również problem stabilności, właściwości linii pierw iastkow ych oraz charak­

te ry sty k częstotliw ościow ych układów dyskretnych d la w ym ienionych tran sfo rm acji. W y­

kazano, że we w szystkich przypadkach tran sm itan cje określone z a p om ocą transform acji W m a ją korzystniejsze właściwości od tran sm itan cji określonych za pom ocą transform acji T, zw iązanej z o p erato rem S.

L IT E R A T U R A

1. A ckerm ann J . (1985), S am pled-D ata C ontrol System s, S pringer-Verlag

Metody czasu ciąg łeg o w p ro je k to w a n iu cyfrowych ukiadów regulacji 117

2. A strom K. J ., P. H agander and J. Sternby (1984), Zeros of sam pled system s, Auto- m atica, vol.20, pp. 31-38

3. B łac h u ta M . (1994), R egulacja dysk retn a w czasie, [w:] L ab o rato riu m Teorii S te­

row ania i P o d staw A utom atyki. P ra c a zbiorowa pod redakcją M. B łachuty, S krypt P olitechniki Śląskiej n r 1851, Gliwice

4. B łac h u ta M . (1994), K orekcja dyskretnych układów regulacji [w:j L ab o ra to riu m Teo­

rii S terow ania i P odstaw A utom atyki. P ra c a zbiorowa po d red ak cją M . B lachuty, S krypt P olitechniki Śląskiej n r 1851, Gliwice

5. Clarke D. W . (1984), Self-tuning control of nonm inim um phase system s, A u to m atica, vol. 20, pp. 501-517

6. D ’Azzo J . D. and C. H. Houpis C .H ., Linear Control System A nalysis an d Design, C onventional an d M odem , M cGraw-Hill

7. F ranklin G. F. an d J. D Powell (1980), D igital C ontrol of D ynam ic System s, A ddison-W esley

8. Franklin G. F ., J. D Powell, and A. Em am i-Naeini (1991), Feedback C ontrol of D ynam ic S ystem s, Addison-W esley

9. F ranklin G . F ., J . D Powell, and M. L. W orkm an (1990), D igital C ontrol of D ynam ic System s, A ddison-W esley

10. G oodw in G. C., C. Lozano-Leal, M ayne D. Q. and R.H . M iddleton (1986), R approch- m en t betw een continuous and discrete m odel reference a d a p tiv e control, A u to m a tic a, vol. 22, pp. 199-207

11. H ersh M. A. (1993), T h e zeros and poles of d e lta o p era to r sy stem , In t. J . C ontrol, vol 57, pp. 557-575

12. Houpis C. H ., G. B. L am ont (1985), D igital Control System s, M cGraw -H ill

13. Iserm ann R . (1980) D igital C ontrol System s, Springer-Verlag

14. Jp ry E. I. (1966), T heory and A pplications of th e z-Transform M ethod, W iley 15. K uo B. C. (1975), A u to m a tic Control System s, P rentice-H all

16. Kuo B. C. (1970), D iscrete-D ata Control System s, Prentice-H all

118 M . B ła c h u ta

17. M iddleton R. H ., an d G.C. Goodwin (1990), D igital E stim atio n and Control: A Unified A pproach, P rentice-H all

18. P hillip s C. L. and H .T. Nagle (1990), D igital Control System s A nalysis an d Design, P ren tice-H all

19. R agazzini J . R. and G .F . Franklin (1958), S am pled-D ata C ontrol System s, M cG raw -H ill

20. T u stin A. (1947), A m ethod of analyzing th e behaviour of linear system s in term s of tim e series, J IE E (London), vol. 94, p t IIA , pp. 130-142

Recenzent: Prof. dr hab. inż. J a n D u d a A GH Krakow

W płynęło do R edakcji d n ia 28.11.1994

A b s t r a c t

A critical com parison of exact discrete-tim e description m ethods of continuoustim e system s w ith an ex tra p o la to r (Z , T and W transform s) and th e ir application to th e an a­

lysis an d synthesis of control system s, p articularly a t high sam pling rate s an d assum ing finite accu racy of calculations, is presented. T he com parison has been perform ed taking th e sim plicity, accuracy and efficiency in to account. T he problem s of stability, an d the p ro p ertie s of ro o t loci and frequency plots w hen using different descriptions are addres­

sed. T h e p o ssibility of a far going sim plification of th e equivalent psedo-continuous-tim e m odel, w hich resu lts from th e asy m p to tic properties of th e W tran sfo rm an d is valid for a w ide ran g e of sam pling periods, is pointed out.