Wymiana ciepła przez promieniowanie i przewodzenie

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a ! ENERGETYKA z . 90

________ 1985 N r k o l . 855

S t e f a n WISNIEWSKI

I n s t y t u t T e c h n i k i C i e p l n e j i C h ło d n ic tw a P o l i t e c h n i k i Ł ó d z k i e j

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PROMIENIOWANIE I PRZEWODZENIE

S t r e s z c z e n i e . P o d an o o g ó ln y m o d e l m a te m a ty c z n y w ym iany c i e p ł a p r z e z p r o m ie n io w a n i e i p r z e w o d z e n ie o r a z J e g o r o z w i ą z a n i e d l a s z c z e g ó ln y c h p rz y p a d k ó w w ym iany c i e p ł a m ię d z y r ó w n o le g ły m i ś c i a n k a m i p ł a s k i m i .

W p r z y p a d k u g d y p o w i e r z c h n i e c i a ł s t a ł y c h o r ó ż n y c h t e m p e r a t u r a c h s ą r o z d z i e l o n e o ś r o d k ie m s t a ł y m l u b b a r d z o l e p k i m p ły n e m , t a k ż e n i e w y s t ę p u j e k o n w e k c ja o r a z o ś r o d e k c z ę ś c i o w o p r z e p u s z c z a p r o m i e n i o w a n i e , w y s t ę p u j e rów n o c z e s n a w y m ian a c i e p ł a p r z e z p r o m i e n i o w a n i e i p r z e w o d z e n ie .

W p r z y p a d k u g d y w y m ia n a c i e p ł a j e s t r e a l i z o w a n a p r z e z p r z e w o d z e n ie i p r o m i e n i o w a n i e , c a ł k o w i t a g ę s t o ś ć s t r u m i e n i a c i e p ł a s k ł a d a s i ę z g ę

s t o ś c i k o n d u k c y jn e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a

= “ * a ł “ " * T,eC (1)

o r a z g ę s t o ś c i r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a ró w n e g o r ó ż n i c y m ię d z y g ę s t o ś c i ą s t r u m i e n i a c i e p ł a e m ito w a n e g o i p o c h ł a n i a n e g o p r z e z o ś r o d e k .

D la w ym iany c i e p ł a p r z e z p r o m ie n i o w a n i e i p r z e w o d z e n ie r ó w n a n ie b i l a n s u c i e p ł a ma p o s t a ć

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g d z i e : $ - g ę s t o ś ć s u b s t a n c j i , c p - c i e p ł o w ła ś c i w e p r z y s t a ł y m c i ś n i e n i u , S - t e m p e r a t u r a , t - c z a s , X - w s p ó ł c z y n n i k p r z e w o d z e n i a c i e p ł a , - w y d a jn o ś ć w e w n ę tr z n y c h ź r ó d e ł C i e p ł a , a,» - m o n o c h ro m a ty c z n y o b j ę t o ś c i o w y w s p ó ł c z y n n i k p o c h ł a n i a n i a , e y - m o n o c h r o m a ty c z n a g ę s t o ś ć e m i s j i p r o m ie n i o w a n i a , I v l - m o n o c h r o m a ty c z n a in t e n s y w n o ś ć p r o m i e n i o w a n i a w k i e r u n k u !<* ,

■ i- c z ę s t o t l i w o ś ć p r o m i e n i o w a n i a , to - k ą t b r y ł o w y .

D a l s z e ro z u m o w a n ia z o s t a n ą o g r a n i c z o n e do u s t a l o n e j , je d n o w y m ia ro w e j w y m ian y c i e p ł a p r z e z p r o m ie n i o w a n i e i p r z e w o d z e n ie m ię d z y r ó w n o le g ł y m i , n i e o g r a n i c z o n y m i , p ł a s k i m i p o w i e r z c h n i a m i s z a r y m i o t e m p e r a t u r a c h T.^ >

o r a z e m i s y j n o ś c i a c h i . , r o z d z i e l o n y m i o ś r o d k ie m sz a ry m o g r u b o ś c i s o r a z o b ję t o ś c i o w y m w s p ó łc z y n n i k u p o c h ł a n i a n i a a .

(2)

144 S . W i ś n i e w s k i N a j p r o s t s z e o b l i c z e n i a o p a r t e s ą n a z a ł o ż e n i u o a d d y ty w n o ś c i g ę s t o ś c i k o n d u k c y jn e g o i r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a .

D la o ś r o d k a o b a r d z o m a ł e j g r u b o ś c i o p t y c z n e j Tg « 1 m ożna p r z y j ą ć

i, - Tp)

q = % + Op » “s “ (T1 " T2 )+ ~ “ " » t3)

£ i e 2

g d z i e 6 j e s t s t a ł ą p r o m ie n io w a n i a c i a ł a d o s k o n a l e c z a r n e g o .

D la o ś r o d k a o d u ż e j g r u b o ś c i o p t y c z n e j T s

1

, g d y m ożna z a s t o s o w a ć p r z y b l i ż e n i e d y f u z y j n e R o s s e l a n d a , b ę d z i e

q = — { A + ~ — ) ~ = c o n s t . ( 4 )

3 a d x

P o w y ż sz e r ó w n a n ie n i e j e s t s ł u s z n e w p o b l i ż u p o w i e r z c h n i ś c i a n k i , g d z i e n i e j e s t s p e ł n i o n y w a ru n e k T s >■>' 1 • Z w i ę k s z e n i e d o k ł a d n o ś c i r o z w i ą z a n i a o s i ą  g a s i ę p r z e z w p ro w a d z e n ie usk o k ó w t e m p e r a t u r y o ś r o d k a n a p o w i e r z c h n i a c h ś c i a n e k T1 - T ( 0 ) o r a z T ( s ) - T2 ( r y s . 1 ) .

R ys. 1 . U skok t e m p e r a t u r y n ą p o w i e r z c h n i ś c i a n k i p irz y z a s t o s o w a n i u p r z y b l i ż e n i a d y f u z y j n e g o d o w ym iany c i e p ł a p r z e z p r o m i e n i o w a n i e i p r z e w o d z e n i e : 1 - r o z w i ą z a n i e d o k ł a d n e , 2 - r o z w i ą z a n i e p r z y b l i ż o n e

K o ż n a w y k a z a ć , ż e g ę s t o ś ć r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a w y n o s i

- [T 4 - T4 ( 0 ) ] = ---[ T 4 ( s ) - T4 ) , ( 5 )

r 1 1 1 1 1

c ' 1 £ ” 2

Ł 1 «-2

P r z y p o s ł u g i w a n i u s i ę p r z y b l i ż e n i e m d y f u z y jn y m g ę s t o ś ć r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a w y n o s i

(3)

Wysiana c i e p ł a . . . 145

q = - ~ — ■- • — w c o n s t ( 6 )

r 3 a d x

a p o s c a ł k o w a n i u p o w y ż s z e g o r ó w n a n ia w g r a n i c a c h t e m p e r a t u r od T ( o ) do i ( s ) o r a z w s p ó ł r z ę d n e j od 0 do s o t r z y m u j e s i ę

<*r " “ “ ^ * ° ). - * * ( s ) J . |7 )

3 a s

Za p o m o cą ró w n a ń ( 5 ) m ożna u s u n ą ć t e m p e r a t u r y T ( 0 ) o r a z T ( s ) z r ó w n a n ia {7} a w te d y

g - ń )

a r --- 8 . ' («1

— + — --- 1 ł ^ a s

£ £ ' 4

1 2 ą

Wobec p o w y ż s z e g o w y n ik c a ł k o w a n i a r ó w n a n ia ( 4 ) ma p o s t a ć p e ł n ą

, ST (T ^ - T p )

q - ^ - T2 ) +-- ---- --- Ł — J --- _ ( 9 )

— + — - 1 + * a s

0 1 Z

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l u b p o s t a ć b e z w y m ia ro w ą

<i Tr ... 1 - f l ^

4N1 (1 + e? ) + --- , (1 0 )

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1 £ 2

<*T i —L + - 2 — -i + 2 T

£ , 4

g d z i e :

- g r u b o ś ć o p t y c z n a o ś r o d k a

Ts - a s , (1 1 )

- p a r a m e t r k o n d u k c y j n o ^ r a d i a c y j n y

^ a b e r

H1 - — ł "' , ( 1 2 )

' /. C rnj 1 - b e z w y m ia ro w a t e m p e r a t u r a

e = — , ®2 = Z T ’ i 13)

T 1 T 1

R ó w n a n ie (1 0 ) j e s t w y s t a r c z a j ą c o d o k ł a d n e d l a p o w i e r z c h n i d o s k o n a l e c z a r n y c h ( £ - | = £ ? = 1 ) • B łę d y p o w s t a j ą c e p r z y o b l i c z a n i u g ę s t o ś c i k o n d u k - c y j n e g o i r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a w zn aczn y m s t o p n i u k o m p e n s u j ą . s i ę .

D o k ł a d n i e j s z e r o z w i ą z a n i e o tr z y m u j e s i ę p r z y z a s t o s o w a n i u w s p ó ł c z y n n i k a a k o m o d a c ji

(4)

146 S . Wiśniewski

V1 - — [T 4 - T4 (O )] . (1 4 )

qr 1

G ę s t o ś ć r a d i a c y j n e g o s t r u m i e n i a c i e p ł a n a p o w i e r z c h n i o t e m p e r a t u r z e T1 w y n o si

16<?T 1 /d T \ 1 6 * * ? q

' ' ~ (Ą . 0 ' — ■ " 5 |

— 3 5 — + A c z y l i w s p ó łc z y n n i k a k o m o d a c ji J e s t ró w n y ( r y s . 2 )

y B2a ( i i § l + * H t4 - t 4 ( o)j . (16)

4 q 3 a 4T ^ 1

R y s . 2 . W s p ó łc z y n n ik a k o m o d a c ji p r z y z a s t o s o w a n i u p r z y b l i ż e n i a d y f u z y j n e g o do w ym iany c i e p ł a p r z e z p r o m ie n i o w a n ie i p r z e w o d z e n ie

W c e l u w y k o r z y s t a n i a p o w y ż s z e j m e to d y r ó w n a n ie ( 4 ) s p r o w a d z a s i ę d o p o s t a c i b e z w y m ia ro w e j

- f h r !■ - 4 N , Ś S - * s ś i : f ( 1 7 )

G 1 dT 3 d l 1 '

k t ó r a p o w y k o n a n iu c a ł k o w a n i a w g r a n i c a c h od 0 d o T o r a ż od 8 ( 0 ) do 9 ( Ts ) d a 5e

l i - - 4 K .I 6 ( 0 ) - 6 ( T 3 )] ♦ 64 (O ) - 8 4 ( T ) J . (1 8 ) 6 T 1

(5)

Wymiana c i e p ł a .. 147 Z ró w n a n ia (16) w y n ik a

¿ ta y = - A - [ TA T4 ( 0)1+ as. [ T4 - T4 i 0) ] «

3a 4T3 1 3a 1

* A [ T . - T (0 )] + £ £ [ T4 - T4 (O)] (19)

1 3a 1

a w p o s t a c i bezw ym iarow a;)

— y 1 1 ■ "3 = 4 n . [ 1 - o ( s)] + 4 [ 1 - e4 ( o ) ] . ( 2o)

3 1 s i ! j 3

W a n a l o g i c z n y s p o s ó b o tr z y m u j e s i ę d l a d r u g i e j p o w ie r z c h n i

3 Ć T 5" = ® ( T S ) " ® 2 J + 3 l ®4 <T s ) - ® 2J« {21)

g d z i e V2 o d c z y t u j e s i ę z r y s u n k u 2 j a k o o d p o w ia d a ją c e w a r t o ś c i

N , = — * 1 . ( 22)

2 4 f f T £

P o ł ą c z e n i e ró w n a ń (1 8 ) , ( 2 0 ) o r a z (2 1 ) p o z w a la w y e lim in o w a ć n i e z n a n e tem  p e r a t u r y bezw ym iarow e 8 (O ) o r a z S ( Ts ) > a w te d y

- V - | 2 ; l

6 T1 t + + V 2

4 s 1 2

C a łk o w a n ie r ó w n a n ia ( 1 7 ) w g r a n i c a c h od 0 do T o r a z od 8 ( 0 ) d o 8 , po u w z g lę d n ie n iu z a l e ż n o ś c i (2 1 ) o r a z (2 2 ) , d a j e r o z k ł a d b ezw y m ia ro w ej tem p e r a t u r y 6 ( T } w o ś r o d k u r o z d z i e l a j ą c y m ś c i a n k i w p o s t a c i z a l e ż n o ś c i

i - e ^ T )+ 3N1 [ 1 - e ( T }) | t+ V i

zr—1 ;--- — :---3--- 2--- • l 2^) i - e 2 + 3N1 (1 - e2 ) “fs + V1 + V2

P ow yższe r o z w i ą z a n i a p o k r y w a ją s i ę p r a k t y c z n i e z r o z w ią z a n i a m i d o k ła d n y m i d l a T s > 2 . W s k r a j n y c h p r z y p a d k a c h N^ — 0 o r a z N^— <*> r o z w i ą z a n i a t e s ą d o k ła d n e .

LITERATURA

[1] S i e g e l R . , H o w e ll J . R . : T h e rm a l R a d i a t i o n H e a t T r a n s f e r . New Y o rk ; M c G ra w -H ill 1 9 7 2 .

I2 l O z i s i k M .N .: R a d i a t i v e T r a n s f e r a n d I n t e r a c t i o n s w it h C o n d u c tio n a n d C o n v e c t i o n . New Y o rk j J .W i l e y 1 9 7 3 .

| 3 ] W iś n ie w s k i S . : Wymiana c i e p ł a . PWN, W arszaw a 1 9 7 9 .

(6)

S . W i ś n i e w s k i

TEMOOEMEH HSHHEHHBii H TEMOnPOBOflSOCTLK)

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HEAT TRANSFER BY RADIATION AND CONDUCTION S u m m a r y

A g e n e r a l m a t h e m a t ic a l m o d el o f h e a t t r a n s f e r b y r a d i a t i o n an d c o n d u c t i o n h a s b e e n g i v e n . The s o l u t i o n o f t h i s p ro b le m h a s b e e n d e r i v e d f o r a medium o f g r e a t o p t i c a l t h i c k n e s s , e n c l o s e d b e tw e e n tw o p a r a l l e l f l a t s u r f a c e s , a p p l y i n g t h e t e m p e r a t u r e jum p on t h e s u r f a c e s a n d t h e accom oda

t i o n c o e f f i c i e n t , w h ic h i s p a r t i c u l a r l y s u i t a b l e a n d s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e f o r e n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s .

P r a c a w p ły n ę ła do R e d a k c ji w m a ju 1985 r .

R e c e n z e n t! d o c . d r h a b . i n ż . E dw ard K o s to w s k i