Schemat oceniania arkusza II

(1)

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

Strona 1 z 4

Schemat oceniania arkusza II

Uwaga: Za prawidáowe rozwiązanie kaĪdego z zadaĔ inną metodą niĪ przedstawiona w schemacie naleĪy przyznaü maksymalną liczbĊ punktów.

Nr zadania

Nr

czynnoĞci Etapy rozwiązania zadania Liczba

punktów 11.1. Zapisanie, Īe warunki zadania zostaną speánione wtedy, gdy wyróĪnik

danego trójmianu bĊdzie ujemny. 1

11.2. Obliczenie wyróĪnika trójmianu: ' 2²^k 42^k5. 1 11.3. Wprowadzenie pomocniczej niewiadomej, np.: t i 2^k t!⁰. 1 11.4. Rozwiązanie nierównoĞci t² t4 50: ^t

^1;⁵ ^. ¹

11.5. Zapisanie nierównoĞci 0 2 . ^k 5 1

11

11.6.

Zapisanie zbioru liczb k speániających warunki zadania:

^

^k^{C k}^: ^d²

`

^. ¹

12.1. Zapisanie wielomianu w postaci ^W⁽^x⁾ ^a

^x²

^x¹²^{, gdzie}az⁰. 1 12.2.

Obliczenie wspóáczynnika ^a, w tym:

x 1 punkt, za obliczenie pochodnej ^W^'⁽^x⁾ ^a

^x¹²²^a

^x¹ ^x² ^,

x 1 punkt, za rozwiązanie równania W'(2) 18 z niewiadomą ^a: a 2.

2 12

12.3.

Wyznaczenie równania szukanej stycznej: y 48x104, w tym:

x1 punkt, za obliczenie ^W

³ ⁴⁰^,

x1 punkt, za obliczenie ^W^'

³ ⁴⁸ i zapisanie równania stycznej.

2

13.1. Sporządzenie wykresu funkcji

2 4

x x x

g .

2

13.2. Sporządzenie wykresu funkcji ^f⁽^x⁾ ^g⁽^x⁾. 1 13

13.3.

Odczytanie z wykresu funkcji f szukanych wartoĞci ^k: ^k

^1;² ^,

w tym :

x 1 punkt za obliczenie wartoĞci (0) 2f

2

14.1.

Wykorzystanie wáasnoĞci ^P

^A^B

^P ^A ^P ^B ^P ^A^B

i zapisanie, Īe ^P

^A^B

^P

^A^B

132

139 . 1

14.2. ZauwaĪenie i zapisanie, Īe P(A B)d1. 1 14

14.3. Wywnioskowanie z powyĪszych warunków, Īe ^P

^A^B

^!⁰^. ¹

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

(2)

Strona 2 z 4

14.4. Zapisanie odpowiedzi: zdarzenia A i B nie są rozáączne (A Bz).

1

Inna metoda

1. UĪycie wzoru (P A B) P A( )P B , gdy ( ) AB 1pkt 2. Stwierdzenie, Īe ( )P A P B( ) 1! 1pkt 3. Stwierdzenie sprzecznoĞci (np. z warunku (P A dB) 1)

i wniosek A_zB 2 pkt

4

15.1. Zapisanie warunku zbieĪnoĞci danego ciągu do liczby 0: 1 1

1

p

i pz1.

1

15.2.

Rozwiązanie nierównoĞci 1 1

1

p : ^p

^f^;⁰

²^;^f ^{, w tym:}

x 1 punkt za metodĊ rozwiązania

x 1 punkt za napisanie rozwiązania nierównoĞci

2

15.3.

Zapisanie warunku zbieĪnoĞci ciągu do liczby 2: 1 1 1 p

1 15

15.4 Rozwiązanie równania 1 1 1

p i podanie wartoĞci parametru p: p=2 1 16.1. Podstawienie wartoĞci p 1 do danego równania

i zapisanie alternatywy: cosx 0 lub cosx 1. 1

16.2.

Wypisanie rozwiązaĔ powyĪszych równaĔ elementarnych naleĪących do przedziaáu ⁰^;⁵ :

¿¾

½

¯®

S S

2 ,3 ,2 0

x .

Uwaga:

JeĪeli zdający rozwiąĪe równania ^cos^x ⁰ oraz cosx 1 w zbiorze liczb rzeczywistych, to otrzymuje 1 punkt.

1

16.3. Zapisanie alternatywy: cosx 1 lub cosx p 1. 1 16.4. Zapisanie, Īe ^x ⁰ jest jednym z szukanych rozwiązaĔ (niezaleĪnie od

wartoĞci parametru p ). 1

16.5 Zapisanie ukáadu równaĔ nierównoĞci 1dp11

1 16

16.6.

Rozwiązanie powyĪszego ukáadu nierównoĞci: ^p

²^;⁰

i stwierdzenie, Īe kaĪda wartoĞü ^p

^{2; 0} ^speánia warunek okreĞlony w zadaniu.

2 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

(3)

Strona 3 z 4

17.1. Sporządzenie rysunku uwzglĊdniającego oznaczenia podane w treĞci

zadania. 1

17.2.

Zapisanie równoĞci pola danego trójkąta i sumy pól trójkątów

powstaáych z podziaáu tego trójkąta odcinkiem ^CD, którego dáugoĞü d

CD : adsin bdsin ab 2 45 1 2

45 1 2

1 _D _D

.

1

17.3. Podstawienie do powyĪszego równania

2 45^D 2

sin oraz wyáączenie niewiadomej d przed nawias.

1

17.4. Zapisanie rozwiązania powyĪszego równania w postaci opisanej

w tezie twierdzenia. 1

17

Inna metoda

x 1 punkt, za sporządzenie rysunku uwzglĊdniającego oznaczenia podane w treĞci zadania,

x 1 punkt, za zauwaĪenie i zapisanie, Īe szukany odcinek ^CD, o dáugoĞci, np.:

d

CD , jest przekątną kwadratu o boku dáugoĞci np.:^c, wpisanego w dany trójkąt

^d ^c ²

^,

x 1 punkt, za wykorzystanie podobieĔstwa odpowiednich trójkątów (lub wykorzystanie tw. Talesa) i zapisanie równania z niewiadomą ^c, np.:

a b c

c

b ,

x 1 punkt, za rozwiązanie równania

b a c ab

: ab 2

d a b

.

18.1.

Sporządzenie pomocniczego rysunku lub wprowadzenie precyzyjnie opisanych oznaczeĔ, np.: )^DAB D, ABC) E , BCD) J ,

CDA G

) .

1

18.2. Zastosowanie wáasnoĞci miar kątów czworokąta wpisanego w okrąg

i zapisanie, Īe np.: J 180^D D

^G ¹⁸⁰^D ^E

^. ¹

18.3.

Wyznaczenie miary kąta D : D 45^D^(lubD ¹³⁵^D) - w tym 1 punkt za skorzystanie z twierdzenia sinusów (lub twierdzenia cosinusów i twierdzenia o kącie wpisanym i Ğrodkowym w kole).

2

Inna metoda

Zamiast czynnoĞci 18.2 i 18.3:

Przekątna tworzy wraz z dwoma promieniami trójkąt prostokątny, poniewaĪ

¹⁰ ²

^{5 2} ² ^{5 2} ²^.

Wyznaczenie miar kątów z twierdzenia o kącie wpisanym i Ğrodkowym.

3

18.4. Wykorzystanie wzorów redukcyjnych i zapisanie, Īe

4

2E 3

sin . 2

18

18.5. Wyznaczenie miary kąta E^:E ⁶⁰^D^(lubE ¹²⁰^D^). ¹

Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl

(4)

Strona 4 z 4 18.6.

Zapisanie odpowiedzi: miary kątów czworokąta ^ABCD to:

D D D

D 60 120 135

45 , , , .

Uwaga: nie jest oceniana kolejnoĞü podawanych miar kątów czworokąta z rozwaĪanej rodziny.

1

19.1. Sprawdzenie, Īe nierównoĞü zachodzi dla ⁿ ⁵. 1

19.2.

Sformuáowanie zaáoĪenia i tezy indukcyjnej, np.:

naleĪy wykazaü, Īe dla kaĪdej liczby naturalnej kt⁵ zachodzi

implikacja: jeĪeli 2^k !k²k1, to ²^k¹^!

^k¹² ^k¹ ¹^. ¹

19

19.3.

Udowodnienie tezy indukcyjnej, w tym:

x 1 punkt, za wykorzystanie zaáoĪenia indukcyjnego,

x 1 punkt, za doprowadzenie do nierównoĞci k²  k3!0, x 2 punkty, za rozwiązanie powyĪszej nierównoĞci w zbiorze liczb

rzeczywistych oraz za zapisanie, Īe kaĪda liczba naturalna kt⁵ speánia nierównoĞü k²  k3!0.

Uwaga: JeĪeli uczeĔ zauwaĪy i zapisze, Īe dla ^k_t⁵ iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych ^k^k

¹ jest liczbą wiĊkszą niĪ 3, to otrzymuje obydwa punkty.

4 Pobrano ze strony www.sqlmedia.pl