Arkusz egzaminacyjny II
Schematy punktowania zada ! do Arkusza II
Zadanie 12.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Zapisanie wyra#enia
2 3
) 2 )(
1 (
2" !
"
"
x x
x x
x w prostszej
postaci.
Odp. . x
1
2. Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x#1.
Odp. 1. 1
3. Obliczenie granicy funkcji f w punkcie x#2.
Odp. 2 1
4.
Sformu$owanie odpowiedzi.
Odp. Funkcja f jest ci%g$a w punkcie ; funkcja f nie jest ci%g$a w punkcie .
#1 x
#2 x
Za ka!d" cz#$% odpowiedzi – 1 punkt.
2
Zadanie 13.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Obliczenie P(B). Odp.
4 ) 1 (B #
P . 1
2.
Obliczenie P(A$B).
) ( ) ( ) ( )
(A B P A P B P A B
P % # ! " $
Odp.
8 ) 1 (A$ B #
P .
1
3.
Porównanie liczb oraz i
zapisanie odpowiedzi, #e zdarzenia A i B s%
niezale#ne.
( )
P A$B P A P B( )& ( )
1
Zadanie 14.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Ustalenie, #e punkt D jest obrazem punktu A oraz punkt C jest obrazem punktu B.
Fakt ten mo!e by% opisany s&ownie, przedstawiony rysunkiem lub wykorzystany podczas rozwi"zania.
1
2. Wyznaczenie równania prostej AD.
Odp. y#0. 1
3. Wyznaczenie równania prostej BC.
Odp. y# x2 "2. 1
4. Wyznaczenie wspó$rz&dnych !rodka jednok$adno!ci.
Odp. (1,0). 1
Arkusz egzaminacyjny II Zadanie 15.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Naszkicowanie wykresu funkcji f.
Odp.
1
2. Wyznaczenie wzoru funkcji f !g. Odp.
'
f !g( ' (
x # 2"x.1
3.
Naszkicowanie wykresu funkcji f !g.
Odp.
1
4. Wyznaczenie wzoru funkcji h! f !g. Odp.
'
h! f !g( ' (
x #2" x "2.1
5.
Naszkicowanie wykresu funkcji h! f !g.
Odp.
1
Zadanie 16.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Zapisanie liczby wszystkich zdarze' elementarnych za pomoc% symbolu Newtona.
Odp. ))* ++. , - . 5
42 1
2. Obliczenie liczby wszystkich zdarze' elementarnych.
Odp. 850668. 1
3.
Zapisanie liczby zdarze' sprzyjaj%cych trafieniu co najmniej 4 spo!ród 5 liczb z wykorzystaniem symbolu Newtona.
Odp. ))*
. 1 1 37 4
5 ++! , )) - . ++* , - .
1
Arkusz egzaminacyjny II 4. Obliczenie liczby zdarze' sprzyjaj%cych.
Odp. 186. 1
5.
Obliczenie prawdopodobie'stwa trafienia co najmniej 4 spo!ród 5 liczb.
0002186 ,
850668 0 186 / Odp. 0,00022.
1
Zadanie 17.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1. Zapisanie równania w postaci 2sin2x"5sinx!2#0. 1 2. Zapisanie równania z niewiadom% t#sinx.
Odp. 2t2" t5 !2#0. 1
3.
Wyznaczenie rozwi%za' równania 2t2" t5 !2#0. Odp. t#2,
2
# 1
t . 1
4. Zapisanie, #e równanie sin #x 2 nie ma rozwi%za'. 1
5.
Zapisanie rozwi%za' równania . 0 4 sin 5 cos
2 2x! x" #
Odp. 2 ,
x#06! k0 k1C lub 5
2 ,
x#60! k0 k1C . (Uznajemy te# wynik zapisany w postaci.
, gdzie lub ,
gdzie ).
0
0 360
30 ! &
# k
x
C k 1
C
k 1 x#1500!k&3600
1
Zadanie 18.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Wykonanie polecenia a).
Odp.
8
#5 y .
Za podanie wspó&czynnika kierunkowego stycznej lub warto$ci pochodnej funkcji f dla x=0 przyznajemy 1 punkt.
2
2.
Podanie argumentu, dla którego funkcja f osi%ga minimum.
Odp. x#3.
1
3. Podanie minimum funkcji f.
Odp. fmin(3)#"1. 1
4. Wykonanie polecenia c).
Odp. Najmniejsza warto!" funkcji f jest równa – 1. 1 Zadanie 19.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Wykonanie polecenia zadania.
Odp. Równanie nie ma rozwi%za' dla 1
'
"2,0'
,!2(
m ;
równanie ma 1 rozwi%zanie dla m1 0 . Po 1 punkcie za ka!dy z rozwa!onych przypadków.
2
2.
Uzasadnienie odpowiedzi.
Odp. Funkcja g okre!lona wzorem g(x)# f(x"1) jest funkcj% ró#nowarto!ciow%. Zbiorem warto!ci
2
Arkusz egzaminacyjny II funkcji g jest przedzia$ (0,!2).
Po 1 punkcie za ka!dy element uzasadnienia.
#1
#2
k 2
) 3
"1 #
) 2 3 ( k!
2( 3
) 2 3 (
!
#
#
! k k Zadanie 20.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Sprawdzenie, czy dla n zachodzi dana równo!".
Odp. Lewa strona równo!ci jest równa 2. Prawa strona jest równa
2 1 23 ! .
1
2.
Zapisanie za$o#enia indukcyjnego.
Odp. k k
2 3 1
( ...
8
5! ! ! 2!
!
2 , gdzie k
jest dowoln% ustalon% liczb% naturaln% wi&ksz% lub równ% 1.
1
3.
Zapisanie tezy indukcyjnej.
Odp.
) 1 2( ) 1 1 2( ) 3
1 3 ( ...
8 5
2! ! ! ! k" ! # k! 2! k!
1
4.
Przeprowadzenie dowodu tezy indukcyjnej.
Odp.
) 1 2( ) 1 2 1
1 2 1 2 3 3 2 3
) 2 3 2 ( 1 2 ) 3
1 3 ( ...
8 5 2
2 2
2
!
!
!
!
!
!
#
#
!
!
!
!
"
!
!
!
!
k k
k k
k k k
k 2
5.
Sformu$owanie odpowiedzi.
Odp. Na mocy zasady indukcji matematycznej dana równo!" jest prawdziwa dla ka#dej liczby ca$kowitej, dodatniej n.
1
Zadanie 21.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Wykonanie rysunku i wprowadzenie oznacze'.
Odp.
1
2.
Zapisanie jak% bry$% jest bry$a po obrocie danego trójk%ta.
Odp. Powsta$a bry$a jest sto#kiem z wyci&tym sto#kiem o tej samej podstawie.
Punkt przyznajemy tak!e je$li zaznaczony jest sto!ek na rysunku.
1
3. Wyznaczenie d$ugo!ci odcinka AB .
Z twierdzenia kosinusów 1
Arkusz egzaminacyjny II ACB BC
AC BC
AC
AB2# ! "2 & cos3 . Odp. AB #7.
4.
Wyznaczenie d$ugo!ci odcinka AD . ACB
AC AD # &sin3 Odp. AD #4 3.
1
5.
Wyznaczenie d$ugo!ci odcinka CD . ACB
AC
CD # &cos3 Odp. CD #4.
1
6.
Obliczenie obj&to!ci powsta$ej bry$y.
BD AD CD
AD
V # 2& " 2&
3 1 3
10 0
Odp. 48 . 0
1
7.
Obliczenie pola powierzchni ca$kowitej.
AB AD AC
AD
P#0 & !0 &
Odp. 60 30.
Je$li wyznaczone zosta&o pole powierzchni bocznej tylko jednego sto!ka przyznajemy 1 punkt.
2
Zadanie 22.
L. p. Wykonana czynno!" L. punktów
1.
Zapisanie warunku jaki musi spe$nia" niewiadoma x.
Odp.
45 46 7
8 8 8
0 log
0 log
0
9 3
x x x
1
2. Wyznaczenie dziedziny równania.
Odp. x1(1,!2). 1
3.
Zapisanie równania w postaci
'
9x(
2 9'
3x .9 log log log
log #
(
Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw – 1 punkt.
2
4. Zapisanie równania w postaci
'
log9x(
2"log3x#0. 1 5. Zapisanie równania w postaci'
log9x(
2"2log9x#0. 16.
Wyznaczenie rozwi%za' równania
'
log9x(
2"2log9x#0. Odp. x#1 lub x#81.Zapisanie w postaci
'
log9x"2(
log9x#0 - 1 punkt.Zapisanie alternatywy: lub log 1 punkt.
0
log9x# 9x#2 - Wyznaczenie rozwi"za' równania - 1 punkt.
3
7.
Wyznaczenie rozwi%za' równania
'
9x(
9'
3x .3 log log log
log #
(
Odp. x#81.
1
Arkusz egzaminacyjny II
Za prawid&owe rozwi"zanie ka!dego z zada' inn" od przedstawionej w schemacie punktowania metod" zgodn" z poleceniem przyznajemy maksymaln" liczb# punktów.
