V Zastosowanie piezopolimerów do szacowania uszkodze

(1)

Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim

Modern structural mechanics

with applications to civil engineering Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds.

V

Zastosowanie

piezopolimerów do szacowania uszkodze ń konstrukcji

budowlanych

str. 125-150

V

Application of piezopolymers to

estimation of damage in building

structures

pp. 125-150

Jan Kubik, Joachim Rzepka

Politechnika Opolska Wydział Budownictwa Katedra Fizyki Materiałów

Słowa kluczowe: diagnostyka konstrukcji, uszkodzenia, piezoelektryczność,

piezoelektrostrykcja, czujniki piezopolimerowe

Keywords: diagnostics of structure, damage, piezoelectricity,

piezoelectrostriction, piezopolymer sensors

(2)

(3)

125

V ZASTOSOWANIE PIEZOPOLIMERÓW DO SZACOWANIA USZKODZEŃ

KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH

Jan KUBIK, Joachim RZEPKA

Wstęp

Celem opracowania jest matematyczna i fizyczna analiza zastosowania prostego i odwrotnego efektu piezoelektrycznego i elektrostrykcyjnego do diagnostyki narastania

uszkodzeń konstrukcji budowlanych w wyniku eksploatacji. Z uwagi na rozwój technologii materiałowych będą tu wykorzystywane czujniki z piezopolimerów pozwalające na trwałe ich

zastosowanie w diagnostyce narastania uszkodzeń konstrukcji mostowych, kominów i budowli przemysłowych.

We wszystkich przytoczonych sytuacjach, zarówno w problemach konstrukcji mostowych jak i maszynowych, będziemy korzystali z tego samego sposobu oceny uszkodzeń struktury

materiału. Schematycznie wszystkie te przypadki zawarte są w układzie konstrukcji z urządzeniem diagnostycznym przedstawionym na rys.W.1.

V

0 0

=

= t λ

0 0

>>

>

t λ

Konstrukcja w trakcie eksploatacji Konstrukcja bez uszkodzeń

) t ( ) P

t ( P

D

E, E+∆E

∆D D+

V

Rysunek W.1. Konstrukcja z układem diagnostycznym

(4)

126

Na rysunku przedstawiono schemat koncepcji układu diagnostycznego, gdzie zmiany deformacji wynikające z uszkodzeńλ^α generują w foliach piezoelektrycznych zmiany pola elektrycznego E i indukcji D. Pomiar tych pól umożliwia ocenę stanu uszkodzeń konstrukcji.

W pracy naszkicowano podstawy teoretyczne działania czujników piezo polimerowych oraz ich zastosowanie do diagnostyki uszkodzeń konstrukcji budowlanych.

1. Opis narastania uszkodzeń konstrukcji

Rozważania dotyczące wykorzystania czujników piezopolimerowych do oceny uszkodzeń konstrukcji rozpoczniemy od zadań mechanicznych. Sformułujemy w tym zakresie elementarne równania mechaniki układów prętowych, w których narastają uszkodzenia.

Problem ten jest szczególny w stosunku do analizowanego w opracowaniu sprzężenia zjawisk mechanicznych i elektrostatycznych typowych dla piezopolimerów. Sprzężone ujęcie pozwala na ocenę miejsca klasycznej, czysto mechanicznej teorii uszkodzeń konstrukcji w stosunku do ujęcia wykorzystującego symetrię równań piezoelektryczności (por.[9,10,11,15,17]).

s1

s2 s_α

) (t P

=0 λ

ε σ

ε

σ E

ε

σ E

) 1 ( −λ^α E ε ε σ σ' ε α

Rysunek 1.1. Model konstrukcji z lokalnymi uszkodzeniami.

W tym uproszczonym ujęciu (por.[9,10,16]) przyjmujemy jedynie, iż są one zlokalizowane w przekroju konstrukcji

( )

α , w których występują uszkodzenia opisane parametrem uszkodzenia λ^α, który zmienia sztywność przekroju.

Podana zostanie ogólna metoda szacowania uszkodzeń λ^α w przekrojach krytycznych konstrukcji prętowych poddanych obciążeniom statycznym i dystorsjom χ₀^{. Metoda} wykorzystuje symetrie liniowej piezoelektryczności

Analizować będziemy liniowy układ prętowy, który w wyniku eksploatacji doznał w kilku miejscach uszkodzeń od wpływów mechanicznych lub niemechanicznych. W wyniku tego procesu w najprostszym przypadku maleje sztywność E^α I^α przekroju α zgodnie z relacją (por.rys.1.1)

( )

^α Ê^αÎ^α ^→ Ê^αÎ^α

(

¹⁻^λ^α

)

^. ^(1.1)

(5)

127

Najprostszy sposób opisu narastania uszkodzeń wynika z kilku prostych spostrzeżeń, a mianowicie [10,16]:

– uszkodzenia związane są z naprężeniami rozciągającymi,

– najpierw występują pojedyncze, lokalne mikrouszkodzenia, a w miarę rozwoju procesu destrukcji uszkodzenia te łączą się tworząc makroskopowy obszar uszkodzeń,

– miarą tych uszkodzeń może być stosunek powierzchni uszkodzeń w przekroju prostopadłym do naprężeń rozciągających do całej powierzchni przekroju

3 3 2 2 1

1 , ,

F F F

F F

F_I _II _III

=

= λ λ

λ ^. ^(1.2)

x1

x2

x3

FI

F1

FII

FIII

F3

F2

λ2

λ3

λ1

σ3

σ1

σ2

Rysunek 1.2. Tensor uszkodzeń i sprzężone z nim naprężenia główne.

Takie ujęcie problemu prowadzi do tensora uszkodzeń współliniowego z naprężeniami głównymi. Propozycja ta dość wiernie opisuje kruche uszkodzenie materiału konstrukcji, ale prowadzi do złożonych problemów matematycznych (por.[10]).

Duże uproszczenia można uzyskać po wprowadzeniu w miejsce tensora λ_ij jego niezmienników do opisu uszkodzeń. Szczególnie pierwszy niezmiennik

(

1 2 3

)

3

1 λ λ λ

λ = + + (1.3)

będzie wykorzystywany do opisu procesu narastania uszkodzeń w materiale.

Do oceny uszkodzeń w przekroju

( )

α wprowadzamy skalarny parametr λ^α, który spełnia równanie ewolucji uszkodzeń

( )

^α

( )

^α

( )

^α

α α

λ λ

λ λ σ

t kr

t t

dt f

d = ; ,..., 0₊ =0, = ₀ = , (1.4)

gdzie funkcja f^αparametrycznie zależy od naprężeń i czynników wywołujących narastanie uszkodzeń w materiale konstrukcyjnym.

W najprostszym przypadku wprowadzimy uśredniony skalarowy parametr uszkodzenia λ, spełniający równanie ewolucji uszkodzeń:

(

^t

)

dt f

dλ ₌ σ,λ,

, λ

(

t =⁰

)

=⁰⁰≤λ≤¹^. ^(1.5)

(6)

128 λg

λ&≤ & λ&>λ&g

t t0

λ

) λ(t

dopuszczalny

tg

tg - czas zniszczenia t0 -żywotność materiału )

( 1 )

(t λ t ξ = −

Rysunek 1.3. Zależność parametru uszkodzenia od czasu.

Na wykresie przedstawiono typowe krzywe narastania parametru uszkodzenia, aż do zniszczenia ([10,15,16]).

Opisaliśmy proces narastania uszkodzeń mechanicznych materiału w trakcie eksploatacji konstrukcji . W jego strukturze powstają najpierw mikrouszkodzenia, które po skumulowaniu prowadzą do makrouszkodzeń. Proces ten opiszemy w ramach kontynualnej teorii uszkodzeń.

2. Podstawy piezoelektryczności polimerów

Omówimy z kolei elektryczne własności czujników z piezopolimerów (por.[3,5,7,8,12,15]).

Działanie zewnętrznego pola elektrycznego wywołuje w dielektrykach polaryzację, przedstawioną schematycznie na rys 2.1 oraz analitycznie równaniami (2.1)- (2.3)

Rysunek 2.1. Polaryzacja domen; dipol elektryczny w domenach Weiss’a: (1) niespolaryzowana ceramika ferroelektryczna, (2) w czasie polaryzacji, (3) po polaryzacji (ceramika piezoelektryczna).

Zależność między wektorami przesunięcia elektrycznego D (indukcji elektrycznej), natężenia pola elektrycznego E i polaryzacji P jest następująca:

P E

D=∈ + lub D_i =∈_ij E_j+P_i. (2.1)

(7)

129

i

Ei =−Φ_,

j ijE

∈

Di

Pj

Rysunek 2.2. Działanie pola elektrycznego E na dielektryk.

Własności piezo- i piroelektryczne dielektryków są związane z ich strukturą (por. [3,7]).

Piezoelektrykami są dielektryki krystalizujące w układach nie mających środka symetrii, a piroelektrykami- kryształy mające oś polarną.

σ11 σ₁₁

Miernik prądu

Rozmieszczenie ładunków po przeciwnych stronach

jk ijk

i d

P = σ

PROSTY EFEKT PIEZOELEKTRYCZNY Do materiału przyłożona jest siła F – rozciąganie materiału

Ładunki rozdzielone

Źródło Mocy (bateria)

Materiał się deformuje ε^ij =h^ijkE^k

ODWROTNY EFEKT PIEZOELEKTRYCZNY W miejscu miernika prądu umieszczamy źródło mocy

ε11

Rysunek 2.3. Prosty efekt piezoelektryczny oraz odwrotny efekt piezoelektryczny.

W przypadku materiałów biologicznych, takich jak drewno i kości, należy rozważać

innego rodzaju symetrię, mianowicie grupy punktowe tekstury. Tekstura składa się z agregatów krystalicznych ułożonych przypadkowo na płaszczyźnie, lecz wykazujących

pewne uporządkowanie w kierunku normalnym do tej płaszczyzny .

(8)

130

Z fizyki kryształów wiadomo, że związki pomiędzy wielkościami fizycznymi a parametrami zewnętrznymi przedstawia się w sposób matematyczny za pomocą tensorów

różnego rzędu. I tak współczynnik piroelektryczny jest tensorem 1-rzędu (wektorem), natomiast współczynnik piezoelektryczny jest tensorem 3-rzędu. Zjawisko piezoelektryczne polega na indukowaniu się ładunków elektrycznych na powierzchni dielektryka pod wpływem zewnętrznych naprężeń mechanicznych. Ponieważ wektor polaryzacji ma trzy składowe P₁, P₂, P₃ w kierunkach x,y,z, natomiast tensor naprężeń ma sześć składowych:

naprężenia σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃ w kierunkach x,y,z oraz naprężenia ścinające σ₂₃, σ₃₁, σ₁₂ w płaszczyznach yz, zx, xy, moduł piezoelektryczny dkij określający proporcjonalność

pomiędzy indukowaną polaryzacją Pi oraz naprężeniami zewnętrznymi σij wyraża się wzorem :

3 , 2 , 1 , ,

, =

=d i j k

P_i _ijkσ_jk ^. ^(2.2)

Odwrotne zjawisko piezoelektryczne, które polega na deformowaniu się kryształu w zewnętrznym polu elektrycznym Ei opisuje równanie

3 , 2 , 1 , ,

, =

=d_ijkE_k i j k

εij ^, ^(2.3)

gdzie: ε_ij- tensor deformacji,

Moduł piezoelektryczny dijk jest tensorem trzeciego rzędu i w ogólności ma 18 składowych. Określa on wielkość polaryzacji Pi wywołanej jednostkowym naprężeniem σ_jk lub deformację ε_ijwywołaną polem elektrycznym E_i o jednostkowym natężeniu, jest on więc zdefiniowany następującą zależnością

3 , 2 , 1 , ,

, =

∂

= ∂

∂

= ∂ i j k

E d D

k ij

jk i ijk

ε

σ ^, ^(2.4)

gdzie: D – jest wektorem przesunięcia elektrycznego.

Stosuje się również moduły piezoelektryczne e_ijk,g_ijk,h_ijk które są określone zależnościami:

k ij

jk i

ijk E

e D

∂

−∂

∂ =

= ∂ σ

ε ^(2.5)

k ij

jk i

ijk D

g E

∂

= ∂

∂

− ∂

= ε

σ (2.6)

k ij

jk i

ijk D

h E

∂

= ∂

∂

− ∂

= σ

ε (2.7)

oraz tzw. hydrostatyczną wartość współczynnika piezoelektrycznego. Dla folii piezoelektrycznych

333 322 311

3 d d d

d _h = + + . (2.8)

Poza modułami piezoelektrycznymi efekt piezoelektryczny jest scharakteryzowany również parametrem k, zwanym współczynnikiem sprzężenia elektromechanicznego. Określa on zależność pomiędzy energią elektryczną i mechaniczną przypadającą na jednostkową deformowaną objętość materiału piezoelektrycznego.

(9)

131

3. Opis efektu elektrostrykcyjnego.

Efekt elektrostrykcyjny polega na zmianie objętości lub gęstości ośrodka pod wpływem działania pola elektrycznego. Jest to zjawisko termodynamiczne, którego teorię sformułował L. Landau. Z punktu widzenia podstaw fizyki elektrostrykcja jest spowodowana przesunięciami chmur elektronowych atomów, przesunięciami jonów oraz obrotami dipoli w dielektryku umieszczonym w zewnętrznym polu elektrycznym. Od odwrotnego efektu piezoelektrycznego elektrostrykcja różni się tym, że jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego a przy zmianie kierunku natężenia pola na przeciwny nie ulega zmianie. W przeciwieństwie do efektu piezoelektrycznego elektrostrykcja występuje we wszystkich substancjach stałych, ciekłych i gazowych (por.[1,3,7]).

W ogólnym przypadku elektrostrykcja nie ma charakteru izotropowego. Nawet w dielektrykach izotropowych, przy dostatecznie dużym natężeniu pola elektrycznego

elektrostrykcja ma charakter anizotropowy. W ogólności zmiana objętości wywołana polem elektrycznym składa się z części izotropowej oraz części anizotropowej, związanej głównie z deformacją kształtu próbki dielektrycznej.

Tensor odkształcenia wiąże się ze składowymi wektora natężenia pola elektrycznego ogólną zależnością [1,16]:

kl ijkl l k ijkl k ijk

ij d E A E E F σ

ε = + + , (3.1)

) ( _kl _klm _m _klmn _m _n

ijkl

ij = E ε −d E −A E E

σ ^, ^(3.2)

gdzie:

dijk– jest tensorem trzeciego rzędu opisującym odwrotny efekt piezoelektryczny, Aijkl– jest tensorem czwartego rzędu opisującym kwadratowy efekt elektrostrykcyjny, Fijkl– jest tensorem sprężystości,

σij– jest tensorem naprężeń, εij– jest tensorem odkształceń.

W kryształach posiadających symetrię środkową człon liniowy w wyrażeniu (3.1) znika, ponieważ nie występuje tutaj efekt piezoelektryczny, natomiast człon kwadratowy odpowiadający odkształceniu proporcjonalnemu do iloczynu.

4. Zadania początkowo – brzegowe elektrostrykcji i piezoelektryczności

Wzajemnie oddziaływujące na siebie odkształcenia i pole elektryczne prowadzą do sprzężenia zjawisk mechanicznych i elektrycznych. Sprzężenia te występują w równaniach konstytutywnych procesu, natomiast pozostałe równania mają charakter uniwersalny i stąd istnieją niezależnie od siebie (por.[11,16]) W ogólnym przypadku będą to równania elektrostrykcji a w szczególności równania piezo sprężystości lub piezo-lepko-sprężystości.

(10)

132

σ

ij

n

_i

D

_k

n

k

P

_i

E

i

- natężenie pola elektrycznego u

i

, ϕ

A

φ

A

u

ε

ij

A

σ

A

D

φ - potencjał elektryczny E

_i

Rysunek 4.1. Oddziaływanie mechaniczne i elektryczne w ciele stałym.

Problem mechaniczny opisuje układ równań:

– równania ruchu

i i j

ij ρF ρu&&

σ , + = , (4.1)

– równanie geometryczne

i j j i

ij u , u ,

2ε = + ^, ^(4.2)

– równania fizyczne (3.1) oraz przypisane tym równaniom warunki początkowo-brzegowe, przedstawione na rys. 4.1

i A j

ijn _σ =P

σ ^,ui A Uⁱ

u

= 0 , (4.3)

0

0, ( ,0 )

) 0 ,

( _k _i _i _k _i

i x u u x u

u ₊ = & ₊ = & . (4.4)

Problem elektryczny ujmują równanie fizyczne (2.1) i równanie Gaussa

e i i

e D

divD=ρ lub , =ρ , (4.5)

oraz warunki brzegowe:

Φ

=

= φ A_φ

A D

D D ₀ , . (4.6)

Równania te wraz z warunkami brzegowymi opisują efekt elektrostrykcyjny.

Przypadkiem szczególnym zaś są równania klasycznej piezoelektryczności.

Równania fizyczne piezoelektryczności lepkosprężystej określa układ wzajemnie na siebie oddziaływujących pól mechanicznych (σ, ε) i elektrostatycznych (E, D), natomiast relacje konstytutywne uwzględniają własności reologiczne materiałów i zniszczenia. Problem ten opisują równania:

a) Konstytutywne na tensor naprężeń i indukcję elektryczną σ_kl,D_k z uwzględnieniem narastania uszkodzeń mechanicznych i własności reologicznych. Mają one postać:

k ijk kl

ijkl

ij (1 λ)E *dε (1 λ)h *dE

σ = − − − , 2ε_kl =u_k_,_l +u_l_,_k^, ^(4.7)

j ij jk ijk

i h d g dE

D =− (1−λ)* ε + * ^,Ek =−Φ,k,

(11)

133 lub

k ijk kl

ijkl

ij F d d *dE

1

* 1 1

1

σ λ ε λ

+ −

= − , D_i =∈_ij E_j +P_i =∈_ij E_j +b_iklσ_kl, (4.8) gdzie: E_ijkl jest tensorem relaksacji, a F_ijkl pełzania, (*) oznacza operację splotu.

W równaniach konstytutywnych uwzględniliśmy również proces narastania uszkodzeń materiału (por.[10,16]), opisany równaniem (1.4), który nie był poprzednio rozważany.

b) Z omawianych tu równań wynika zadanie początkowo- brzegowe sprzężonej piezoelektryczności lepkosprężystej, które otrzymamy podstawiając (4.7)i (4.8) do (4.1)i (4.5):

i i kj ijk

lj k

ijkl du h d F u

E *(1−λ) , + (1−λ)* Φ, +ρ =ρ&&, (4.9)

0 ,

* ,

* ) 1

( − − Φ =

−hijk λ duj ki gij d ji

Do równań tych należy dołączyć warunki początkowo − brzegowe

. ,

, ) 0 , ( , )

0 , (

, ,

0 0

0

σ φ

σ

φ σ

−

= Φ

=

+ +

D u

A k k A

i k

i i

k i

A i i i

A j ij

n D

u x

u u

x u

U u

P n

&

& (4.10)

Układ równań (4.9) i (4.10) opisuje liniowe zagadnienie piezoelektryczności przy uwzględnieniu własności reologicznych materiału. Jego przypadkami szczególnymi są równania teorii naprężeń piezoelektrycznych i elektrostatyki sprężystej lub lepkosprężystej.

c) Równania rozprzężone otrzymamy analizując szczególne postaci równań fizycznych (4.7) i (4.8), które prowadzą do równania naprężeń piezoelektrycznych. Równania te otrzymamy, kiedy:

j ij jk

ijk g E

h ε << ^, ^(4.11)

gdzie ⋅ - norma euklidesowa.

Wtedy w równaniu na indukcję elektryczną D_i pomijamy wpływ mechaniczny.

Uzyskamy

j ij

i g E

D = . (4.12)

W konsekwencji otrzymamy układ 4 równań teorii naprężeń piezoelektrycznych:

i i kj ijk lj k

ijklu h F u

E , + Φ, +ρ =ρ&&, (4.13)

0 , = Φ ji

gij . (4.14)

Natomiast równania elektrostatyki otrzymamy jeżeli zachodzi

kl ijkl k

ijE E

h << ε (4.15)

wtedy dystorsje wywołane polem elektrycznym mogą być pominięte

kl ijkl

ij E ε

σ ≈ , (4.16)

(12)

134 a równania problemu przyjmą formę:

i i l k

ijklu F u

E , +ρ =ρ&&, (4.17)

0 ,

, − =

−h_ijku_j _ki g_ijϕ _ji ^. ^(4.18)

Równania te, a w szczególności (4.17) i (4.18) wykorzystamy w dalszych częściach pracy do wyznaczenia przemieszczeń i pola elektrycznego w piezoelementach uszkodzonej konstrukcji.

5. Symetrie równań elektrostrykcji

Podane poprzednio równania elektrostrykcji (3.1) w ciele sprężystym posiadają określone symetrie, które wykorzystamy do sformułowania twierdzenia o wzajemności. Twierdzenie to uogólnione na materiały elektrostrykcyjne z uszkodzeniami pozwoli na oszacowanie parametru uszkodzenia konstrukcji- co jest celem badań.

Analizować będziemy 2 układy przyczyn i skutków w zadaniach mechanicznych i elektrycznych (por [11]).:

{ }

{

ûûⁱⁱ^'^,^,^ε^εîjîj^,^'^,^P^Pⁱ^,ⁱ^'^σ^,^σîjîj^,^ρ^'^,^F^ρⁱ^F^,ⁱÊ^'^,ⁱÊ⁼ⁱ^'^,⁻^D^φⁱ^,^'ⁱ^,^ρ^,^Dê^'

}

ⁱ^,^,^ρ^e ^, ^(5.1)

gdzie (^') oznacza drugi układ przyczyn i skutków,

Rozpoczniemy najpierw analizę symetrii równań konstytutywnych na część mechaniczną (3.1) z pominięciem efektu uszkodzenia, przemnażając je przez σ_ij^' lub σ_ij, zależnie od układu:

' .

' ' '

'

' , '

' '

ij kl ijkl ij l k ijkl ij k ijk ij ij

F E

E A E

d

F E

E A E

d

σ σ σ

σ ε

σ

σ σ σ

σ ε

σ

+ +

=

+ +

= (5.2)

Z uwagi na symetrię

ij kl ijkl ij kl

ijkl F

F σ σ ^' ≡ σ ^'σ (5.3)

Stąd otrzymamy tożsamość

0 ) (

)

( ^' ^' ^' ^' ^'

'

'− ij ij− ijk k ij − k ij − ijkl k l ij − k l ij =

ij

ijσ ε σ d E σ E σ A E Eσ E E σ

ε ^(5.4)

Całkując otrzymaną tożsamość po objętości ośrodka i stosując twierdzenie Gaussa o dywergencji dostaniemy klasyczną postać twierdzenia o wzajemności

, ) (

) (

.. ' .. '

'

' ' '

'

dV u u F u

u F

dA u P u P dV

i i i i i

V i

i i i A

i ij

ij V

ij ij

−

− +

+

−

=

−

∫

ρ ρ

σ ε σ ε

(5.5)

oraz całki z pozostałych składników. W sumie słuszne jest twierdzenie o wzajemności dla zadania mechanicznego:

(13)

135

. ) (

) (

' ' ' '

'

.. ' .. '

' ' '

dV E

E E

E A E

E d

dV u u F u

u F dA

u P u P

ij l k ij l k ijkl ij

k ij k V

ijk

i i i i i

V i i

i i A

i

σ σ

ρ ρ

− +

−

=

−

− +

−

∫

(5.6)

Badając z kolei symetrie równań elektrycznych (4.5) rozważamy zależności :

. ,

' '

'

' ' '

i jk ijk i j ij i i

E d

E E E

D

E d E E E

D

σ σ +

=∈

+

=∈ (5.7)

Stąd otrzymamy

0 )

( ^' ^'

'

'− i i− ijk jk i − jk i =

i

iE D E d E E

D σ σ

Wykorzystując symetrie funkcji materiałowej d_ijk

d_ijk(E_kσ_ij^'−E_k^'σ_ij)=−d_ijk(σ_jkE_i^'−σ_jk^'E_i)=d_kij(E_kσ_ij^'−E_k^'σ_ij) (5.8) i wstawiając (49.8) do (49.6) uzyskamy

. ) (

) (

' ' ' '

'

.. ' ..

' ' '

'

dV E

E E

E A dV E D E D

dV u u F u

u F dA

u P u P

ij l k V

ij l k ijkl i

i i V

i

i i i i

A V

i i i

σ σ

ρ ρ

−

=

− +

+

−

− +

−

∫

∫ ∫

(5.9)

Analizując całkę

∫

⁻

V

i i i

iE D E dV

D )

( ^' ^' otrzymamy

. , ), ( , ), ( ,

,^'+ ^'Φ =− Φ^' + Φ^' + ^'Φ − ^'Φ

Φ

−Di i Di i Di i Di i Di i Di i (5.10)

Stąd

∫

⁻ ⁼⁻

∫

^Φ ⁻ ^Φ ⁺

∫

^Φ ⁻ ^Φ

V A V

e e

i i i

iE D E dV D D ndA dV

D ) ( ) ( ) .

( ^' ^' ^' ^' ρ ^' ρ ^' ^(5.11)

Ostatecznie twierdzenie o wzajemności przyjmie formę

. ) (

) (

' ' '

' ' ' '

' '

'

∫

∫ ∫

−

=

= Φ

− Φ +

Φ

− Φ

−

− +

−

V

ij l k ij l k ijkl

A V

e e

i i i

i i i i

A V

i i i

dV E

E E

E A

dV dA

n D D

dV u u F u

u F dA

u P u P

σ σ

ρ ρ

ρ

ρ && &&

(5.12)

Ostatnia z całek tej tożsamości zawiera człony nieliniowe związane z elektrostrykcją.

Tożsamość tą można wykorzystać do rozwiązywania zadań brzegowych elektrostrykcji w ciałach sprężystych, a po modyfikacjach do szacowania uszkodzeń konstrukcji.

(14)

136

6. Symetria piezoelektryczności z uszkodzeniami

Znacznie ogólniejsze wyniki uzyskamy analizując równania piezoelektryczności z uwzględnieniem uszkodzeń. Badania te rozpoczniemy od analizy symetrii równania

mechanicznego z uwzględnieniem uszkodzeń (por.[11,12,13,14,16])

k ijk

kl ijkl

ij (1 λ)E ε h (1 λ)E

σ = − + − . (6.1)

Nasuwając tensor ε'ij otrzymamy odpowiednio

k ij ij ijk

kl ij ijkl

ij ^' E ^' h E ^'

1

1 σ ε ε ε ε

λ ⁼ ⁺

− ,

ij k ijk kl ij

ijkl

ijεij E ε ε h E ε

λ σ

' ' '

1 '

1 = +

− . (6.2)

Z porównania członów mechanicznych typu Eijklεklε^'ij wynika tożsamość

k ij ijk ij ij

k ij ij ijk

ij h E σ ε h E ε

ε λ ε

λσ

' '

'

1 1 1

1 −

= −

− − . (6.3)

Po scałkowaniu po objętości i przekształceniach otrzymamy zależność

. ) (

] ) 1 (

1

) 1 (

[ 1 1

1 1

1

' ' '

' '

dV E

E h dV u u F

u u F dA

u P dA

u P

ij k ij k V

ijk i

i i

i i i V

i i i A

i i A

ε ε

λ ρ

λρ λ λ

−

=

− −

−

+

− −

− +

− −

∫

&

(6.4)

Tożsamość ta określa symetrie w teorii niesprzężonej, kiedy wpływy mechaniczne nie zmieniają pola elektrycznego.

'

Pi

'

ui ^'

' 0

Ek

λ =

Pi

ui ^k

E λ≠0

Układ- stan pierwotny Układ z uszkodzeniami

Rysunek 6.1. Konstrukcja w stanie pierwotnym- nieuszkodzonym i w trakcie eksploatacji.

Analizować będziemy teraz przypadek szczególny, kiedy zachodzi proces wywołany tymi samymi siłami P_i =P_i^' w układzie nieuszkodzonym (‘ ) i uszkodzonym ( ).

Uwzględniając, że P_i =P_i^' i λ^' =0 w równaniach (6.4) uzyskamy relację

(15)

137 .

) (

] ) (

) 1 (

[ 1 1 )

( 1

' '

' ' '

'

dV E

E h

dV u u F u

u F dA

u u P

ij k V

ij k ijk

i i i i

i i V

i i A

i

ε ε

ρ λρ

λ

−

=

−

− − +

− −

∫

^&^& ^&^&

(6.5)

Z tożsamości tej przy znajomości obciążeń, pól przemieszczeń i odkształceń oraz pól elektrycznych można wyznaczyć globalny parametr uszkodzenia λ.

Korzystniejsze jest wyznaczenie tego parametru przy znajomości tylko pierwotnego pola odkształceń u_i^'iε_ij^' oraz pomiaru zmian pól elektrycznych.

Analizować będziemy w tym przypadku symetrie związane z polem elektrycznym.

Wektor indukcji elektrycznej D_idany równaniem

j ij jk

ijk

i h g E

D =− ε (1−λ)+ ^, ^(6.6)

uwzględnia wpływ uszkodzeń mechanicznych 1−λ, odkształceń ε_jk i pola elektrycznego E . j

Z równania (6.6) wynika następująca relacja symetrii równań indukcji elektrycznej:

. ] )

1 ( [

, ] )

1 ( [

' ' ' '

'

i j ij jk

ijk i

i

i j ij jk

ijk i

i

E E g h

E D

E E g h

E D

+

−

=

+

−

=

λ ε

λ

ε (6.7)

Stąd odejmując stronami uzyskamy tożsamość

0 ] ) 1 ( )

1 (

[ ^' ^' ^'

'

'− i i+ ijk jk − i− jk − i =

i

iE D E h E E

D ε λ ε λ ^. ^(6.8)

Całkując (6.8) po objętości ciała otrzymamy

.

∫

⁻ ⁻ ⁻ ⁼

∫

⁻

V

i i i i jk

k jk

V k

ijk E E dV DE D E dV

h [ ε ^'(1 λ^') ^'ε (1 λ)] ( ^' ^' ) ^(6.9)

Korzystając z wyrażenia na równanie ruchu, stosując twierdzenie Gaussa o dywergencji oraz eliminując wspólne człony otrzymujemy twierdzenie o wzajemności dla piezoelektryków z uszkodzeniami por.[16]

. ) (

] ) 1 (

) 1 1 (

[ 1 1 )

1 1

( 1

' '

' ' ' '

' ' '

dA n D D

dV u u F u

u F dA

u P u

P

i i A

i

i i i i

i i V

i i i

i A

Φ + Φ

−

=

− −

−

− −

− +

− −

∫

_λ _λ _λ^ρ ^&^& _λ ^ρ ^&^&

(6.10)

Z twierdzenia tego wynika kilka przypadków szczególnych, m.in. teorii naprężeń piezoelektrycznych oraz przepływów wywołanych odkształceniami . Z obu tych twierdzeń będziemy korzystać przy diagnostyce konstrukcji.

(16)

138

7. Zmiany pola elektrycznego wywołane uszkodzeniami konstrukcji

Analizujemy teraz konstrukcję na początku eksploatacji ( ‘) λ^' =0 i po pewnym okresie, z uszkodzeniami λ>0. Z równania (6.9) po zastosowaniu twierdzenia Gaussa o dywergencji otrzymamy poszukiwaną zależność

dV E E g dA n D dV E

h _i _j

V ij i

A i jk

k V

ijk ^' (1 )

∫

^'

∫

( ^')

∫

^ε ⁻^λ ⁻ ^Φ ⁼ ^, ^(7.1)

stąd

∫

⁻

∫

⁻

∫

^Φ

=

V

jk k ijk

V A

i i j V

i ij jk

k ijk

E h

dA n D E

E g dV E h

ε ε

λ _'

' ' '

. (7.2)

Z analizy otrzymanego wzoru wnosimy, że znajomość w stanie pierwotnym pola odkształcenia ε_ij^'(t=0₊), pola elektrycznego ( =0₊)

∂ Φ

−∂

= t

E x

i

i oraz w konstrukcji / układzie z uszkodzeniami odkształceń ε_ij(t) i pola elektrycznego E_i(t) pozwala na oszacowanie parametru uszkodzenia λ. Rezultat ten pozwala szacować uszkodzenia w miejscach przyłożenia czujników z materiałów piezoelektrycznych lub elektrostrykcyjnych.

W praktycznych rozważaniach dotyczących układów prętowych przyjmujemy, iż w przekroju występuje jedynie zginanie, tj. ε_ij ⇒ε₁₁ =χx₃ i ε₁₁^' =χ^'x₃, gdzie χ i χ^' jest aktualnym i początkowym rozkładem krzywizn prętów konstrukcji.

P′i D′ⁱ

σij^′

εij′

=0 λ

=0+

t

>0 λ

>0 t

' i

i P

P = Ei

Di

σij

εij

s s

d χ′ χ

ε11

V χ V0

E′i

Układ - stan pierwotny Układ z uszkodzeniami

Rysunek 7.1. Konstrukcja w stanie pierwotnym i w czasie eksploatacji z wyszczególnieniem pól odkształceń, naprężeń oraz pól elektrycznych w czujnikach.

Wprowadzając je do rozważań otrzymamy odpowiednio

∫

⁼

∫ ∫

⁼

∫

⁺ ⁺

V s F s

k k jk

k

ijkE dV h E x dFds h E h E h E Sds

h ε χ ⁽ 113 3^'⁾χ

' 2 112 ' 1 111 3

' 11

' , (7.3)

gdzie: F to pole przekroju pręta a s- długość pręta mierzona wzdłuż osi x1

Podstawiając otrzymane wyrażenie do (7.2) uzyskamy

(17)

139

∫

∫ ∫ ∫

+ +

Φ

−

− +

+

=

s

s V

i A

i i

j ij

Sds E

h E h E h

dA n D dV E E g Sds E

h E h E h

χ χ

λ ( )

) (

' 3 113 ' 2 112 ' 1 111

' ' '

3 113 ' 2 112 ' 1 111

. (7.4)

Z postaci relacji (7.4) wnosimy, iż znajomość pól elektrycznych E_i,E_i^', indukcji elektrycznej D_i i ich zmian w trakcie eksploatacji konstrukcji oraz krzywizny pozwala na wyznaczenie globalnego parametru uszkodzenia λ. Mierzymy tu więc zmiany pól elektrycznych E3 oraz D3 aby oszacować uszkodzenia. Stan ten odpowiada współczesnym tendencjom w diagnostyce konstrukcji, gdzie odchodzi się od pomiarów wielkości mechanicznych na rzecz pól elektrycznych. Prezentowane rozważania pozwalają na jakościową ocenę dokładności metody. Istotnie, wprowadzając w pręcie bezwymiarowy parametr c, możemy równość (7.4) przedstawić w formie zależności globalnego parametru

uszkodzeniaλ>0od parametru krzywizny ϕ =χs^, ^gdzieχjest średnia krzywizną a s- długością pręta (rys.7.2)

(

⁻

)

₌_c

_{[ ]}

₋

E h

s E D E g

' 3 113

' 3 3 ' 3

33 ϕ =χs.

Rysunek 7.2.Zależność globalnego parametru uszkodzenia λ od parametru ϕ=χs

Z rysunku 7.2 wynika, iż dla małych wartości parametru krzywiznyϕ pomiary wielkości elektrycznych będą prowadziły do dokładnych oszacowań parametru uszkodzeńλ, natomiast dla dużych będą nieprecyzyjne.

Podane rozważania odnosiły się do pręta jednorodnego. Natomiast układ konstrukcja z uszkodzeniami i warstwą piezoelektryczną jest warstwowy. Wymaga to kolejnych uogólnień, które podamy w dodatku umieszczonym na zakończeniu pracy .

(18)

140

8. Oszacowanie lokalnych parametrów uszkodzenia konstrukcji

Na zakończenie naszych rozważań wyznaczymy parametry uszkodzenia w przypadku konstrukcji z czujnikami piezoelektrycznymi, umieszczonymi w trzech newralgicznych miejscach [16]. Korzystając z równania (6.10) - twierdzenie o wzajemności dla efektu piezoelektrycznego oraz wynikającej z niego zależności (7.1), rozpatrzymy działanie obciążeń P1, P2, P3 w trzech różnych miejscach. konstrukcji.

W poniższych wzorach, wartość t₀ oznacza czas po poprzednim pomiarze.

Przypadek 1 – obciążenie pionowe P(t₀ +t)=P₁(t)

>0

λ

>0 t

Ei

Di

χ

Ei

Di

Ei

Di

P1(t)

α

β γ

Rysunek 8.1. Obciążona pionowo konstrukcja z trzema czujnikami piezoelektrycznymi.

W przypadku 1 (obciążenie P1(t) ) możemy równanie (7.1) przekształcić do postaci:

. ) (

) (

)]

1 ( )

1 ( [

) ' 1 ' (

) 1 ' (

) 1 (

) 1 ( ' )

1 ( ' )

1 ( '

) 1 ( ' )

1 ( ' )

1 ( '

∫

Φ +

+ +

+

=

− +

−

A

i i

V

j i j

i j

i ij

ij k ijk ij

k ijk ij

k V

ijk

dA n D

n D

dV E

E E

E g

dV E

h E

h

γ γ β β

α α

γ γ β β α α

γ γ β γ

β α β

α

αε λ ε λ ε λ

(8.1)

Przypadek 2- obciążenie poziome z lewej strony P(t₀ +t)=P₂(t)

>0 t

> 0 λ E

i

D

i

α

E_i Di

χ

γ Ei

Di

P₂(t)

β

Rysunek 8.2. Obciążona poziomo konstrukcja z trzema czujnikami piezoelektrycznymi.