POLA KLASYCZNE

###########################################################################

POLA KLASYCZNE

D. W. Galcow, Ju. W. Grac, W. Cz. Żukowskij

Wydawnictwo Uniwersytetu Moskiewskiego Moskwa 1991 Tytuł oryginału : „Классические поля”

***************************************************************************

tłumaczenie : R. Waligóra

Ostatnia modyfikacja : 2018-10-20 Tłumaczenie całości książki.

//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////

Oznaczenia

Indeksy łacińskie i, j, k itd. numerują trzy współrzędne przestrzenne : x, y, z lub przyjmują wartości :1, 2, 3 Indeksy greckie α, β, γ itd. numerują cztery współrzędne czasoprzestrzenne : t, x, y, z lub przyjmują wartości : 0, 1, 2, 3,

Metryka czasoprzestrzeni Minkowskiego : ηµν = diag ( 1, -1, -1, -1) Metryka przestrzeni Riemanna oznaczono jako : gµν

Pochodną cząstkową oznaczono : ∂/∂xν , ∂µ lub ,µ

= ∂2 / ∂t2 - ∆ : operator D’Alemberta (dalambercjan, delambercjan)

∆ = ∂2 / ∂x2 -∂2 / ∂y2 -∂2 / ∂z2 : operator Laplace'a

xµ = ( t, r ) : współrzędne zdarzenia w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Prawie w całej książce prędkość światła przyjmuje się równą jeden

***************************************************************************

Przedmowa

Książkę napisano na podstawie wykładów, które autorzy prowadzili dla studentów Uniwersytetu Moskiewskiego na przestrzeni kilku lat. Stanowi ona wprowadzenie do współczesnej klasycznej teorii pola, której to poznanie jest konieczne dla dalszej nauki m.in. relatywistycznej kwantowej teorii pola i cząstek. W przedstawionej książce poruszone są zagadnienia dotyczące struktury czasoprzestrzeni, ogólne klasyczne zasady opisu pól oparte na metodach Lagrange’a i Hamiltona, jak również metod teorii grup. Rozpatrzono podstawy elektrodynamiki klasycznej, teorię pól cechowania i teorię grawitacji.

W odróżnieniu od istniejących książek, poświęconych klasycznej teorii pola, w przedstawionej obecnie

czytelnikowi położono nacisk na współczesne metody mające szerokie zastosowanie w różnych obszarach fizyki teoretycznej. Rozpatrzono w pełnej ogólności różne funkcje Greena pól klasycznych , na podstawie ogólnych warunków inwariantności relatywistycznej i cechowania wprowadzono takie całki pól klasycznych jak tensor energii-pędu , momentu pola, prądu itd.

Mając na uwadze relatywistyczną inwariantność rozpatrywane są problemy promieniowania w elektrodynamice klasycznej i promieniowania hamowania. Osobny rozdział poświęcono polom Yanga-Millsa , w którym to w szczególności rozpatrzono takie problemy jak spontaniczne naruszenie symetrii, rozwiązania monopolowe w teorii pól nieabelowych, jak również równania dla klasycznej cząstki nieabelowej, poruszającej się w zewnętrznych polach Yanga-Millsa.

Zaprezentowane przedstawienie teorii grawitacji istotnie odróżnia się od wykładów dostępnych w literaturze naukowej. Pokazano, bowiem jak próby zbudowania teorii pola grawitacyjnego w przestrzeni Minkowskiego prowadzą do koncepcji przestrzeni zdarzeń Riemanna i geometrycznej interpretacji oddziaływania

grawitacyjnego.

Książka może służyć jako wprowadzenie do teorii pól klasycznych i jak mają nadzieje autorzy, może być pomocna zarówno dla studentów specjalizujących się w fizyce teoretycznej jak i specjalistów interesujących się poruszanymi w niej problemami.

******************************************************************************************

Rozdział I Ogólne zasady klasycznej teorii pola

§ 1. Przekształcenia Lorentza

Zarówno pola klasyczne jak i obiekty mechaniki klasycznej przedstawiają sobą układy dynamiczne ewoluujące w czasie i w trójwymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej. Zanim jednak zbadamy ruch takich układów, koniecznie musimy zapoznać się ze strukturą przestrzeni i czasu, w których to rozgrywają się wszystkie zdarzenia.

Podstawowym prawem określającym ruch układu mechanicznego w ramach mechaniki Newtonowskiej , jest drugie prawo Newtona. Matematycznie jest ono sformułowane w postaci równania ruchu dla punktu o masie m, położenie, którego w chwili czasu t określone jest przez wektor wodzący r :

m (dv/dt) = F (1.1.1) gdzie : v = dr/dt

Siła F przedstawia sobą, ogólnie mówiąc, funkcje współrzędnej r , prędkości v i czasu t ; F = F(r, v, t).

Równanie to jest inwariantne (tj. nie zmienia swej postaci ) względem przekształceń Galileusza.

Inwariantność ta leży u podstaw zasady względności Galileusza (1632 rok ), którą formułuje się w następujący sposób.

Wszystkie zjawiska fizyczne przebiegają jednakowo w układach odniesienia poruszających się między sobą ruchem jednostajnym i prostoliniowym tj. w różnych inercjalnych układach odniesienia (w skrócie : IUO – przypis własny ). Przypomnijmy, że fakt istnienia w przyrodzie takich układów odniesienia jest postulowany w pierwszym prawie Newtona, który przy braku zewnętrznych oddziaływań gwarantuje obiektowi fizycznemu ruch prostoliniowy i jednostajny. Przejściu od jednego IUO K do drugiego IUO K’ poruszającego się z prędkością względną V = const. towarzyszy jak wiadomo, przekształcenie wektora wodzącego r → r’ , gdzie wektor r’ określony jest równością :

r’ = r − Vt (1.1.2) Przy czym przyjmujemy , że zarówno w nowym jak i starym układzie czas biegnie jednakowo tj. t = t’.

To oznacza, że zegary w obu układach zsynchronizowane w pewnej chwili początkowej, w chwilach

późniejszych zawsze pokazują jednakowy czas , niezależnie od tego jak poruszają się układy tj. czas z założenia ma charakter absolutny. Równanie (1.1.2) razem z warunkiem niezmienności biegu czasu przedstawiają właśnie przekształcenie Galileusza. Zróżniczkujmy teraz wektor r’ zdefiniowany równaniem (1.1.2) po czasie.

W wyniku tej operacji przychodzimy do znanego w mechanice prawa dodawania prędkości :

v’ = v − V (1.1.3) Po zróżniczkowaniu ostatniej równości względem czasu , uwzględniając stałość prędkości V otrzymujemy równość przyspieszeń :

dv’ /dt = dv /dt (1.1.4) Przyjmując teraz , zgodnie z danymi eksperymentalnymi , że przy przekształceniu (1.1.2) masa m i siła F są inwariantami tj. m= m’ = inv. ; F = F’ = inv. i uwzględniając równość przyspieszeń (1.1.4) otrzymujemy , że równanie drugiego prawa Newtona w układzie primowanym K’ :

m’ (dv’ /dt ) =F’

i równanie w układzie wejściowym (1.1.1) mają taką samą postać i oczywiście wynikają jedno z drugiego tj.

okazują się inwariantne względem przekształcenia Galileusza. To twierdzenie leży u podstaw zasady Galileusza.

Podkreślimy ,że zasada względności Galileusza jest słuszna (działa ) jedynie w ramach mechaniki

newtonowskiej. Przechodząc do zjawisk elektrodynamicznych takich jak np. rozprzestrzenianie się światła przedstawiającego sobą falę elektromagnetyczną , zobaczymy , że zasada ta jest naruszona. Jak pokazały liczne eksperymenty , prędkość rozprzestrzeniania się (propagacji) fal elektromagnetycznych w szczególności i światła ,nie zależy od prędkości ruchu źródła tych fal. Zatem prawo dodawania prędkości (1.1.3) w przypadku światła jest niesłuszne. Dlatego jeśli chcemy zrozumieć zasadę względności w sposób szerszy niż ją rozumiał Galileusz tj. uogólniając ja na zjawiska elektrodynamiczne, musimy dokonać uogólnienia odpowiednie przekształcenia.

Problem ten został rozwiązany w 1905 roku przez A. Einsteina , który wprowadził fizyczną zasadę względności , uogólniając zasadę względności Galileusza czyniąc ją słuszną dla wszystkich zjawisk fizycznych.

Swoją zasadę A. Einstein położył u podstawy zbudowanej przez siebie szczególnej teorii względności (STW) lub inaczej teorii relatywistycznej. Fizyczna zasada względności składa się z następujących dwóch postulatów : 1-szy postulat STW. Zjawiska fizyczne w różnych IUO przebiegają w sposób jednakowy przy jednakowych

warunkach początkowych.

2-gi postulat STW. Prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich kierunkach i z dowolnego miejsca danego IUO , jest również jednakowa we wszystkich IUO. Zauważmy ,że nie uwzględniamy tutaj oddziaływania grawitacyjnego , które będziemy rozpatrywać w ostatnim rozdziale.

Drugi postulat wymaga aby prędkość światła była stała w próżni przy jego propagacji w dowolnym kierunku ( izotropowość przestrzeni) i w dowolnym jej miejscu (jednorodność przestrzeni) oraz przy dowolnym wyborze IUO, co stanowi zupełnie nowe wymaganie , zasadniczo różniące STW od mechaniki Newtonowskiej.

Wyprowadzimy teraz przekształcenia zamieniające przekształcenia Galileusza, zrobimy to w ten sposób aby spełniały one zasadę względności Einsteina. Wyjdziemy od stałości prędkości światła w próżni, którą

oznaczamy – c. Stała ta wchodzi do równania sferycznej fali świetlnej r2 = c2 t2 , gdzie : r – promień czoła fali, t - czas odliczany od momentu wypuszczenia fali świetlnej.

Rozpatrzmy IUO K, przedstawiający sobą układ osi kartezjańskich oraz umieszczony w nim zegar, rozpatrzmy również drugi podobnie skonstruowany IUO K’ (rys. 1.1). Niech układ K’ porusza się z prędkością V= const.

wzdłuż osi x’ zgodnie skierowanej z osią x układu K, osie y i y’ oraz z i z’ pozostają równoległe. Wychodząc poza ramy przekształcenia Galileusza przyjdzie nam włączyć do szukanych przekształceń również czas tj.

uważać odczyty pierwotnie zsynchronizowanych zegarów w układach K i K’ tj. t i t’ za ogólnie mówiąc nie równe.

Dalej, będziemy wymagać aby przekształcenia współrzędnych i czasu (x, y, z, t ) → (x’ , y’ , z’ , t’ ) były liniowe. Tym samym zgodnie z zasadą względności (pierwszy postulat) nie przyspieszone w układzie K ciało będzie również nie przyspieszonym w układzie K’ tj. d2x / dt2 = d2x’ / dt’2.

Niech w układzie K źródło fali w chwili t = 0 ,wypuszczenia sygnału znajduje się w początku układu współrzędnych, wtedy promień sferycznej fali świetlnej r i czas propagacji fali spełniają równanie :

r2 = c2 t2 (1.1.5) W układzie K’ analogiczne wielkości odpowiadające danemu sygnałowi , związane są równaniem :

r’2 = c2 t’2 (1.1.6) gdzie prędkość światła c jest taka sama jak w równaniu (1.1.5) zgodnie z drugim postulatem. Wprowadzimy teraz formę kwadratową współrzędnych i czasu :

s2 = c2t2 − r2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 (1.1.7) i nazwiemy ją „interwałem” ( interwałem czasoprzestrzennym – przypis własny ).

Wtedy dla promienia światła zgodnie z (1.1.5) i (1.1.6) w układach K i K’ otrzymamy :

s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 = 0 s’2 = c2t’2 − x’2 – y’2 – z’2 = 0 Zatem mamy :

s2 =s’2 = 0 (1.1.8) tj. interwały w obu układach są równe między sobą i równają się zeru.

W ogólnym przypadku s2 i s’2 związane są ze sobą zależnościami liniowymi , ponieważ między (x, y, z, t ) i (x’ , y’ , z’ , t’ ) zgodnie z założonym warunkiem istnieje zależność liniowa. Związek s2 i s’2 powinien nosić uniwersalny charakter , dlatego z udziałem (1.1.8) w ogólnym przypadku otrzymujemy :

s2 = k(V) s’2 (1.1.9) gdzie k(V) – jest pewnym współczynnikiem, zależny jedynie od prędkości układu K’.

Dokonamy teraz odbicia osi układu tj. x → - x , z → − z i odpowiednio x’ → - x’ z’ → − z’.

Układ K porusza się wzdłuż osi x’ z prędkością V względem układu K’ , a zatem mamy :

s’2 = k(V) s2 (1.1.10) Porównując równości (1.1.9) i (1.1.10) znajdujemy k =1. W takim razie , dochodzimy do warunku :

s2 = s’2 = inv. (1.1.11) Warunek ten wyraża inwariantność interwału przy przekształceniu, związanym z przejściem od jednego IUO do drugiego IUO. Można go w wybranym przez nas przypadku ruchu wzdłuż osi x spełnić biorąc przekształcenie liniowe postaci :

y’ = y ; z’ = z ; x’ = a1x + b1t ; t’ = a2x + b2t

Wtedy warunek (1.1.11) sprowadza się do wymagania aby :

c2t2 − x2 = c2t’2 − x’2 = inv. (1.1.12) które spełnia przekształcenie liniowe :

x’ = x cosh(ϕ) – ct sinh(ψ) (1.1.13) ct’ = - x sinh(ϕ) – ct cosh(ψ) (1.1.13) (gdzie : cosh – cosinus hiperboliczny, sinh – sinus hiperboliczny, tgh – tangens hiperboliczny – przypis własny )

Przekształcenie (1.1.13) przedstawia obrót hiperboliczny lub pseudo obrót na płaszczyźnie (x, ct ) tj. obrót o kąt urojony ϕ = iψ. Przy takiej interpretacji wartości V = 0 odpowiada ψ = 0 i x’ = x, t’ = t. Związek parametru ψ i prędkości V jest ustanowiony następująco : rozpatrzmy początek układu współrzędnych układu K’ tj. punkt x’ = 0 . Dla tego punktu zgodnie z (1.1.13) mamy x = ct tgh(ψ). Widać zatem (biorąc to wszystko pod uwagę ) , że punkt ten porusza się z prędkością V i dlatego x = V/t. Stąd wynika :

tgh (ψ) = V/c ≡ β (1.1.14) i wtedy :

sinh(ψ) = β / sqrt (1−β2) ; cosh(ψ) = 1/sqrt (1 −β2)

Równanie (1.1.14) daje zależność parametru ψ zadającego zależność wejściowych i przekształconych współrzędnych (primowanych i nie primowanych – przypis własny ) z parametrem fizycznym - prędkością układu odniesienia V. W fizyce cząstek elementarnych parametr ψ nazywa się „pospiesznością” (ang. rapidly).

Zatem w danym przypadku ruchu układu odniesienia wzdłuż osi x , znajdujemy :

x’= (x- βct)/sqrt(1 − β2) = γ(x − βct) (1.1.15) y’ = y (1.1.15)

z’ = z (1.1.15)

ct’ = (ct −βx) /sqrt(1 −β2) = γ (ct −βx) (1.1.15) gdzie : γ = [ sqrt(1 − β2)]-1/2 , β = V/c.

Przekształcenia te przedstawiają szczególny przypadek przekształcenia Lorentza (szczególne przekształcenie Lorentza) spełniające warunek inwariantności interwału s2 = inv. Przekształcenia odwrotne od wielkości primowanych do wielkości nie primowanych otrzymujemy zamieniając V → −V tj. ψ → − ψ.

Okazało się zatem ,że czas t i promień wodzący r powiązane są wspólnym liniowym przekształceniem (1.1.15) w którym współrzędne przestrzenne i czasowe (czasowa) są współzależne. Dlatego też celowym wydaje się połączyć te współrzędne wprowadzając wektor czterowymiarowy (4-wektor ):

x = (x0, x1, x2, x3) (1.1.16) w którym: x0 = ct , r = ( x1, x2, x3).

Wektor tego typu jest wektorem w pewnej czterowymiarowej przestrzeni liniowej, której metryka uwzględnia inwariantność interwału (1.1.7) i zadana jest w następujący sposób :

x(1)• x(2) = x0 (1) x0

(2) − r(1) r(2) (1.1.17) gdzie : x(1) = ( x0

(1) , r(1) ) ; x(2) = ( x0

(2) , r(2) ) – dwa 4-wektory należące do tej przestrzeni.

Jeśli ponumerować składowe wektorów postaci (1.1.16) za pomocą indeksu µ = 0, 1, 2, 3 to (1.1.17) można krótko zapisać tak :

3 3 x(1)•x(2) =

Σ Σ

ηµν xµ

(1) xν(2) ≡ ηµν xµ (1) xν

(2) (1.1.18) µ=0 ν=0

W ostatniej części tożsamości zastosowaliśmy ogólnie przyjętą zasadę sumacyjną (zasadę sumacyjną Einsteina – przypis własny) – sumowania po powtarzającym się indeksie bez wypisywania jawnie znaku sumowania.

ηµν - jest tensorem metrycznym o niezerowych elementach diagonalnych :

|| ηµν || = diag( 1, -1, -1, -1) (1.1.19) Pozostałe elementy tensora ηµν są równe zeru. (zatem autorzy stosują metrykę przestrzeni Minkowskiego o sygnaturze – 2, w literaturze spotyka się również metrykę o sygnaturze + 2 gdzie przez sygnaturę metryki w postaci diagonalnej rozumiemy algebraiczna sumę jej elementów – przypis własny )

Wymieniona przestrzeń jest przypadkiem szczególnym przestrzeni pseudo euklidesowych o nieokreślonej metryce. (są to przestrzenie płaskie o metryce z indeksami: przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią czterowymiarową o indeksach (1,3 ) – przypis własny).

Przestrzeń STW jak wspomniano jest nazywana przestrzenią Minkowskiego (tzw. świat Minkowskiego - przypis własny) Przy przekształceniach Lorentza postaci (1.1.15) długość wektora (4-wektora) i iloczyn skalarny wektorów (4-wektorów) w przestrzeni Minkowskiego pozostają niezmienne :

(x)2 = (x0)2 − r2 = (x0)2 - (x1)2 - (x2)2 (x3)2 = inv. (1.1.20) Kwadrat interwału s2 , jak i kwadrat długości wektora (x)2 w przestrzeni Minkowskiego na mocy

pseudoeuklidesowości tej przestrzeni w ogólnym przypadku, ma dowolny (nieokreślony) znak.

Możliwe są trzy przypadki (rys. 1.2) :

1) x2 = s2 = c2t2 − r2 > 0 – wektor czasopodobny (interwał czasopodobny)

2) x2 = s2 = c2t2 − r2 < 0 – wektor przestrzennopodobny (interwał przestrzennopodobny) 3) x2 = s2 = c2t2 − r2 = 0 – wektor (interwał ) izotropowy lub świetlny

Podkreślmy ,że na mocy (1.1.20) wybór znaku jest inwariantem tj. nie zmienia się przy żadnym przekształceniu.

Jeśli x2 < 0, to wektor leży na zewnątrz stożka świetlnego x2 = 0 , jeżeli x2 > 0 to leży wewnątrz tego stożka.

(zobacz rys. 1.2). Sens nazewnictwa wektorów stanie się jasny jeśli rozpatrzymy te trzy przypadki dokładniej.

Niech dany będzie wektor ∆x łączący dwa punkty x(1)i x(2) w przestrzeni Minkowskiego odpowiadające dwóm zdarzeniom zachodzącym w chwilach odpowiednio : t1 i t2

(punktom tym odpowiadają dwa wektory wodzące: r1i r2 ) ; ∆x = x(1) − x(2).

Wtedy jeśli interwał jest przestrzennopodobny (∆s)2 = (∆x)2 < 0 , to można wybrać taki układ odniesienia w którym : ∆t = 0 tj.

(∆x)2 = − (∆r)2 , i zdarzenia zachodzą jednocześnie w różnych punktach przestrzeni: są one absolutnie oddalone od siebie.

Jeżeli (∆s)2 > 0, to zdarzenia poprzez odpowiedni wybór układu odniesienia mogą zachodzić w jednym miejscu w przestrzeni ∆r = 0 i wtedy : (∆x)2 = c2 (∆t)2 ,ale w różnych chwilach czasu. Jeśli prędkość cząstki v ≤ c , to kwadrat interwału odpowiadającego przemieszczeniu cząstki w czasie ∆t o ∆r będzie równy :

(∆s)2 = c2 (∆t)2 − (∆r)2 = c2 (∆t)2 [ 1 − (v2 / c2 ) ] > 0 tj. interwał będzie czasopodobny.

Ruchowi cząstki w przestrzeni Minkowskiego odpowiada tor nazywany „linią świata”. Linia świata jest dana równaniami :

x0 = ct ; x1 =x1(t); x2 =x2(t) ; x3 =x3(t);

gdzie : t – jest parametrem.

§ 2. Kinematyka relatywistyczna

a) Czas własny. Rozpatrzmy odwrotne przekształcenie Lorentza :

ct = γ (ct’ + βx’) (1.2.1) gdzie β = V/c, jak i przedtem oznacza prędkość układu odniesienia K’ w jednostkach prędkości światła.

Niech x’ odpowiada współrzędnej zegara w układzie poruszającym się , przy czym zegar ten spoczywa w tym układzie tj. x’ = const. Wtedy zgodnie z (1.2.1) interwały czasu w układzie laboratoryjnym ∆t i w układzie poruszającym ∆t’ związane są zależnością :

∆t’ = ∆t sqrt( 1 – β2 ) (1.2.2) Wyprowadzimy ten związek w inny sposób. Określony powyżej interwał jest również elementem długości linii świata cząstki ds = ds(t). Niech cząstka porusza się po pewnej linii świata według pewnego prawa r = r(t).

Wtedy w każdej chwili czasu t , można związać z tą cząstką IUO, poruszający się z tą samą prędkością co i cząstka : V = v = dr/dt. W układzie tym v’ = 0. Dla interwałów : ds2 = ds’2 ponieważ dr’ = 0 możemy napisać : ds2 =c2dt2 − dr2 = c2 dt’2 (1.2.3) Wtedy :

dt’ = (1/c)ds = dt sqrt[1 – (dr/dt)2/ c2 ] = dt sqrt[ 1 – (v2/ c2 )] (1.2.4) Czas mierzony w układzie spoczynkowym cząstki , nazywamy „czasem własnym”. Jak widać związek między interwałami - czasu własnego dt’ i czasu laboratoryjnego dt (1.2.4) jest zgodny z wyprowadzonym wcześniej innym sposobem wzorem (1.1.2). Z (1.2.4) wynika ,że czas własny jest relatywistycznym inwariantem dt’ = (1/c)ds. Wprowadzając dla tego inwariantu tj. dla czasu własnego specjalne oznaczenie - dτ , możemy zapisać skończony interwał czasu własnego w następujący sposób :

s t

τ = (1/c)

∫

ds =

∫

sqrt [ 1 – (v2/ c2 )] dt (1.2.5)

0 0

Z definicji czasu własnego wynika , że jego interwał zawsze jest mniejszy od interwału czasu laboratoryjnego tj.

czas dla obiektów poruszających się biegnie wolniej niż dla obserwatora (czasu laboratorium – przypis własny).

Jednym z przejawów tego prawa kinematyki relatywistycznej jest to, że szybko poruszające się , niestabilne cząstki elementarne zdążą przelecieć, nie rozpadając się dostateczny dla ich obserwacji odcinek drogi (tj. ich czas życia mierzony w układzie spoczynkowym cząstki jest dłuższy niż czas życia mierzony w układzie laboratorium – przypis własny ). Zauważmy również , że wprowadzona powyżej linia świata na mocy zależności (1.2.5) między t i τ może być sparametryzowana w inwariantny sposób z wykorzystaniem czasu własnego.

b) Długość własna. Niech w poruszającym się układzie K’ spoczywa linijka o długości ∆L’ , położona wzdłuż osi x’ , tak że : ∆L’ = x’(1) – x’(2) gdzie x’(1,2) – współrzędne końców linijki. Jeśli x(1) i x(2) – są

współrzędnymi końców tej linijki mierzonymi w układzie laboratorium tj. w układzie odniesienia który spoczywa – w chwili czasu t, to na mocy przekształceń Lorentza mamy następujący związek między współrzędnymi x’(1,2) i x(1,2) :

x’(1) = γ (x’(1) - ctβ) (1.2.6) x’(2) = γ (x’(2) - ctβ) (1.2.6) Stąd znajdujemy, że długości linijki w układzie laboratorium ∆L = x(1) – x(2) i w układzie poruszającym się związane zależnością :

∆L’ =γ ∆L (1.2.7) Długość obiektu, mierzoną w układzie w którym on spoczywa nazywamy „długością własną”. Jak widać z ostatniego równania , długość własna ∆L’ jest zawsze większa od długości ∆L tj. rozmiary liniowe poruszającego się obiektu skracają się (mówimy o kontrakcji wymiaru zgodnego z wektorem prędkości poruszającego się obiektu – przypis własny). Poprzeczne wymiary nie zmieniają się.

Zależności dla czasu własnego (1.2.2) i długości własnej (1.2.7) , jak widać są odwracalne. Mnożąc te zależności otrzymujemy :

∆L ∆t = ∆L’ ∆t’ = inv. (1.2.8) Uwzględniając niezmienność wymiarów poprzecznych dla elementu objętości tj. :

d3x’ =γ d3x

dla elementu objętości 4-przestrzeni w przestrzeni Minkowskiego otrzymujemy :

d4x = cdtd3x = d4x’ = cdt’d3x’ = inv. (1.2.9) tj. element 4-objętości jest inwariantem przekształcenia Lorentza (jest relatywistycznie nie zmienniczy).

c) Dodawanie relatywistyczne prędkości. Definicją prędkości cząstki jest zależność : v = dr/dt. W układzie poruszającym się mamy : v’ = dr’/dt’. Niech układ porusza się wzdłuż osi x z prędkością V = βc, wtedy : dx/dt = vx ; dx’/dt’ = v’x ;

Uwzględniając odwrotne przekształcenie Lorentza : dx = γ (dx’ + βcdt’) ; dt = γ [dt’ + (βdx’/c)]

otrzymamy :

vx = dx/dt = ( v’x + V) / [ 1 + (v’xV/ c2)] (1.2.10) Analogicznie dla składowych y, z otrzymujemy :

vy = dy/dt = [v’y sqrt ( 1− β2 )] / [ 1 + (v’xV/ c2 )] (1.2.11) vz = dz/dt = [v’z sqrt ( 1− β2 )] / [ 1 + (v’xV/ c2 )] (1.2.11) Otrzymane zależności (1.2.10) i (1.2.11) definiują relatywistyczne prawo dodawania prędkości. Przy v/c << 1 i V/c << 1wzory te przechodzą w zwykłe nie relatywistyczne prawo dodawania prędkości , odpowiadające przekształceniu Galileusza :

vx = v’x + V ; vy = v’y ; vz= v’z

w których opuszczono człony małego rzędu wielkości względem V2/c2 i vV/ c2 ,co formalnie odpowiada granicznemu przejściu : c → ∞.

Niech v’z= 0 , wtedy vz= 0 tj. wektor prędkości w obu układach leży na płaszczyźnie xy , x’y’. Wprowadzimy kąt nachylenia wektora prędkości θ oraz , odpowiednio w układzie poruszającym się - kąt θ’ :

vx = v cos θ ; vy = v sin θ ; v’x = v’ cos θ’ ; v’y = v’ sin θ’ ;

Wtedy z pomocą (1.2.11) otrzymamy następujący związek między kątami θ i θ’ :

tgθ = [ v’ sin θ’ sqrt ( 1 − β2 )] / (v’ cos θ’ + V) (1.2.12) Interesujący przypadek szczególny zastosowania tego wzoru otrzymujemy , jeśli rozpatrzymy rozprzestrzenianie

się światła tj. v = v’ = c. W tym bowiem wypadku :

tg(θ) = [ sqrt ( V2 / c2 ) sin θ ] / [ (V/c) + cos θ’ ] (1.2.13)

Jak widać, kąt rozprzestrzeniania się promienia świetlnego zależy od prędkości ruchu źródła względem obserwatora. To zjawisko nosi nazwę aberracji. Z (1.2.13) wynika :

cos (θ ) = (β + cos θ’ ) / (1 + β cos θ’ ) ; sin θ = [ sin θ’ sqrt ( 1 − β2 )] / [ 1 + β cos (θ’ ) ] (1.2.14)

Rozpatrzmy teraz dwa przypadki szczególne.

Niech β << 1 tj. prędkość źródła lub obserwatora będzie mała. Taki przypadek ma np. miejsce przy obserwacji gwiazd z powierzchni obracającej się Ziemi. Niech θ – będzie kątem padania promienia świetlnego

dochodzącego z gwiazdy mierzonym w układzie odniesienia związanym z tą gwiazdą , z θ’ = θ + ∆θ – kąt padania promienia światła obserwowany na Ziemi. Jeśli β <<1 to ∆θ << 1 i zgodnie z (1.2.13) mamy :

sin (θ’ ) = sin (θ )(1 + β cos θ ) tj. ∆θ = β sin (θ ) (1.2.15) jest to zależność dla aberracji światła gwiazdy na powierzchni Ziemi. Zgodnie z tym wzorem , gwiazda

znajdująca się w danym momencie w zenicie , będzie widziana na skutek ruchu Ziemi pod kątem niewiele różniącym się od π/2.

W przypadku prędkości ultra relatywistycznych V → c tj. 1 − β2 << 1, zgodnie z (1.2.13) , (1.2.14) mamy : θ’ → π tj. przy prędkości obserwatora bliskiej prędkości światła praktycznie wszystkie gwiazdy (oprócz tych , które znajdują się z tyłu obserwatora lub w takich okolicach ) znajdują się w kierunku ruchu obserwatora. Jeśli źródło porusza się z prędkością V → c to promieniowane przez niego światło zawarte jest w stożku o małym kącie rozwarcia ∆θ ~ sqrt ( 1 −β2 ) i osią skierowaną zgodnie z kierunkiem ruchu. Taki swoisty „efekt projektorowy” jest charakterystyczną cechą promieniowania wysoko energetycznych cząstek.

d) Efekt Dopplera Rozpatrzmy teraz zmianę częstotliwości światła wywołaną ruchem źródła – efekt Dopplera.

Zauważmy, że częstotliwość światła - ω jak i jego wektor falowy k, są charakterystykami płaskiej fali monochromatycznej. Częstotliwość związana jest z okresem T fali ,zależnością : ω = 2π / T, wektor falowy k wskazuje kierunek rozprzestrzeniania się fali n = k / | k | i związany jest z jej długością λ zależnością : k = | k | = 2π / λ = ω / c

Matematycznie falę opisujemy funkcją postaci : A ( r, t) = A0e- iωt + ikr

Faz fali ( ωt - kr ) od której w istocie zależy ta funkcja powinna być relatywistycznym inwariantem , ponieważ w przeciwnym wypadku przeczyłoby to zasadzie względności STW (wybiegając nieco do przodu powiemy ,że ten wniosek jest wynikiem relatywistycznej inwariantności równań Maxwella). Ponieważ ωt -kr = inv. to ω razem z wektorem k , podobnie jak wcześniej t i r , powinny stanowić 4-wektor :

k = ( ω/c , k ) (1.2.16) mający zerową długość (wektor izotropowy), k2 = (ω / c)2 tj. k2 =0.

Teraz możemy zastosować do 4-wektora k przekształcenie Lorentza. Jeśli źródło z którym związany jest układ odniesienia porusza się z prędkością V, to dla k’0 = ω’ / c i k0 = ω / c mamy :

k’0 = ( k’0 − βk1 ) / sqrt ( 1− β2 )

Niech k1 = (ω /c) cos (α ) tj. źródło porusza się wzdłuż osi x, a promień światła dochodzi do obserwatora pod kątem α mierzonym od osi x. Wtedy :

ω’ / c = [ (ω/c) - β (ω/c) cos (α) ] / sqrt ( 1 − β2 )

Naturalnym jest określenie częstotliwość promieniowania źródła w jego układzie spoczynkowym tj. ω’ jako częstotliwość własną źródła : ω0 = ω’ – wielkość inwariantna. Zatem ostatecznie otrzymujemy :

ω = { sqrt ( 1 − β2 ) / [ 1 − β − cos (α)] ω0 (1.2.17) jest to częstotliwość promieniowania , widziana pod kątem α do kierunku ruchu źródła.

Jeśli β << 1 to z (1.2.17) mamy : ω ≈ [ 1 + β cos(α ) ] ω0

Przy cos α > 0 (obserwacja prowadzona jest na kierunku ruchu) częstotliwość zwiększa się , a przy cos α < 0 częstotliwość zmniejsza się. Przy α = 2π :

ω = ω0 sqrt ( 1 − β2 ) tj. częstotliwość zmniejsza się.

e) 4-prędkość, 4-pęd Jak widać z wzorów dodawania (1.2.10), (1.2.11) , prędkość σ nie stanowi składowej 4-wektora . Zdefiniujmy 4-wektor, o składowych :

u0 = dx0 /ds = c dt/ds. = 1 / sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.18) u1 = dx1 /ds = dx1 / c dt sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] = v1 / c sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.18) u2 = dx2 /ds = dx2 / c dt sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] = v2 / c sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.18)

u3 = dx3 /ds = dx3 / c dt sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] = v3 / c sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.18) lub w zwartym zapisie :

u0 = 1 / sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] ; u = v / c sqrt [ 1 – (v2 / c2 )]

Oczywiście : (u0)2 − u2 = (uµ )2 = 1

tj. wektor uµ - jest jednostkowy. Wektor ten nazywamy : 4-prędkością. W granicy v/c << 1 , odrzucając człony v2 / c2 , otrzymujemy : u = v/c. Ponieważ u2 = 1 , to różniczkując, otrzymamy:

du2 = 2 u du = 0 (1.2.19) Jeśli wprowadzimy 4-przyspieszenie (jest to 4-wektor) : wµ = duµ /ds = d2xµ / ds2, to jak widać z (1.2.19) jest

ono ortogonalne do wektora 4-prędkości : u • w = 0

Wprowadzimy teraz czterowymiarowe uogólnienie wektora pędu. Przy v << c, jak już pokazano mamy : u = v/c. Pęd nie relatywistyczny : p = mv = mcu , gdzie m – masa cząstki.

Wprowadzimy 4-pęd mnożąc wektor 4-prędkości przez mc :

pµ = mcuµ = m ( dxµ /dt ) {1/ sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] } = ( v1/ c ) { 1/ sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] } (1.2.20) lub :

p0 = mc / sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] ; p = mv / sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.21) Niech v <<c wtedy , rozkładając w szereg , możemy zapisać :

cp0 ≈ mc2 + mv2/2 + ....

Z dokładnością do stałej, wielkość ta przedstawia sobą nierelatywistyczną energię kinetyczną cząstki.

Składnik stały mc2 jest energią wewnętrzną cząstki tj. tak zwaną energią własną lub energią spoczynkową cząstki, którą posiada przy v = 0, energia ta jest uwalniana (przekształcana) tylko przy przemianach tej cząstki.

Naturalnie jest nazwać wielkość :

ε = cp0 = mc2 /sqrt [ 1 – (v2 / c2 )] (1.2.22) energią relatywistyczną cząstki. Zawiera ona zarówno wewnętrzną energię spoczynkową jak i energię ruchu cząstki. Pęd relatywistyczny p zdefiniowany jest wzorem (1.1.21). Wprowadźmy kwadrat 4-pędu :

p2 = ( p0 )2 - p2 = [(mc2 )2 / (1 – β2 )] – (mv)2 / (1 – β2 ) = (mc )2

Zatem , p2 = ( mc)2 > 0 tj. 4-wektor p jest czasopodobny. Zauważmy również , że masa cząstki m – jest inwariantna relatywistycznie. Z równania (1.2.23) , rozwiązując go względem energii ε , znajdujemy : ε2 = c2p2 + m2 c4

jest to równanie wiążące energię relatywistyczną i pęd cząstki.

Przy p = 0 tj. w układzie spoczynkowym cząstki , jej energia jest równa energii własnej.

§ 3. Ogólne przekształcenia Lorentza

W paragrafie 1 wprowadziliśmy 4-wektory w przestrzeni Minkowskiego , łączące czas i współrzędne przestrzenne :

xµ = ( x0, x1, x2, x3 ) = ( ct, r ) (1.3.1) Zastanowimy się teraz dokładniej na przestrzeni w jakiej określono takie wektory.

Zapiszemy wektor x w pewnej bazie : x = xµ eµ = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 + x0 e0 gdzie: eµ - 4-baza przestrzeni Minkowskiego.

Kwadrat tego wektora jest równy :

x2 = x • x = xµ eµ • xν eν = xµ xν eµ eν = (x0)2 - (x1)2 - (x2)2 - (x3)2 lub krótko :

x2 = xµ xν ηµν (1.3.2) gdzie wprowadzono tensor metryczny :

{ 1 , µ = ν 0

ηµν = eµ eν = { -1 , µ =ν =1,2.3 (1.3.3) { 0 , µ ≠ ν

Stąd wynika ,że eµ - jest bazą pseudoortogonalną.

Zadajmy przekształcenie liniowe w przestrzeni współrzędnych x , postaci :

xµ→ x’µ = Λµν xν (1.3.4)

gdzie Λµν to macierz 4 × 4 postaci : ( Λ00 , Λ0

1 , Λ0 2 , Λ0

3 ) (Λ10 , Λ1

1 , Λ1 2 , Λ1

3 ) Λµν = ( Λ20 , Λ2

1 , Λ2 2 , Λ2

3 ) (1.3.5) (Λ30 , Λ3

1 , Λ3 2 , Λ3

3 )

( Macierz Λµν jest nazywana macierzą Lorentza, przekształcenia (1.3.4) są to przekształcenia liniowe i jednorodne, można również rozpatrywać przekształcenia liniowe i niejednorodne postaci :

xµ→ x’µ = Λµν xν + ξµ - przypis własny )

Prawo (1.3.4) definiuje przekształcenie składowych wektora x. Jeśli wektor x = inv. to jednocześnie ze składowymi wektora przekształca się również baza. W istocie ,mamy bowiem :

x = xµ eµ = x’µ e’µ = e’µ Λµν xν Stąd : eν = eµ Λµν i odpowiednio :

e’µ = ( Λνµ ) -1 eν (1.3.6) tj. w tym przypadku baza przekształca się za pomocą macierzy odwrotnej i transponowanej : ( Λ-1)T.

Razem z 4-wektorem współrzędnych istnieją inne 4-wektory , jak również obiekty bardziej złożonej natury ze względu na przekształcenie Λµν .

Wektor kontrawariantny : aµ - jest to zbiór wielkości : a0 , a1 , a2 , a3 , przekształcający się jak składowe wektora współrzędnych xµ tj. :

a’µ = Λµν aν = ( ∂x’µ / ∂xν ) aν

Wektor kowariantny : aµ - jest to zbiór wielkości : a0 , a1, a2, a3 , przekształcający się jak wektory bazy : eµ tj.

a’µ = ( Λµν ) –1 aν = ( ∂xν / ∂x’µ ) aν

Tensor kontrawariantny drugiego rzędu : aµν - przekształcający się jak iloczyn składowych : xµ xν, tj. : a’µν =(Λµλ ) (Λνσ ) aλσ = ( ∂x’µ / ∂xλ ) ( ∂x’ν / ∂xσ ) aλσ

Tensor kowariantny drugiego rzędu : aµν - przekształcający się jak iloczyn : eµ eν tj. : a’µν = ( Λλµ ) –1 ( Λσν ) –1 aλσ = (∂xλ / ∂x’µ ) (∂xσ / ∂x’ν ) aλσ

itd.

Nie będziemy dalej prowadzić klasyfikacji tensorów wyższego rzędu jak również nie będziemy wprowadzali obiektów bardziej złożonych jak np. spinory – w tym celu odsyłamy zainteresowanego czytelnika do odpowiedniej literatury matematycznej.

Rozpatrzmy obiekt : aµ = ηµνaν . Wykorzystując definicję (1.3.3), zapiszemy : aµ = eµ eν aν = eµ a

tj. aµ - przekształca się jak eµ i jest wektorem kowariantnym. Zatem za pomocą tensora metrycznego ηµν ( zauważmy ,że ηµν = ηµν ) można dokonywać opuszczenia indeksu również dla wektora kontrawariantnego współrzędnych : xµ , przekształcając go w wektor kowariantny :

xµ → xµ = ηµν xν gdzie :

xµ = ( x0 , x1 , x2 , x3 ) = ( x0 ,- x1, - x2 , - x3 ) = (ct, - r ) (1.3.7) Przy tym : (x)2 = xµ xν ηµν = xµ xµ.

Skonkretyzujmy przekształcenie liniowe w przestrzeni Minkowskiego, nakładając wymaganie inwariantności długości 4-wektora tj. wymaganie relatywistycznej inwariantności :

(x )2 = (x’ )2 = inv. (1.3.8) Wtedy to wykorzystując (1.3.4) , zapiszemy :

xµ xµ = x’µ x’µ = x’µ x’ν ηµν = ( Λµλ ) ( Λνσ ) xλ xσ ηµν Skąd wynika :

( Λµλ ) (Λνσ ) ηµν = ηλσ (1.3.9) Mnożąc ostatnią równość przez ησρ i zawężając względem σ , oraz uwzględniając równość :

ηλσ ησρ = δρλ

gdzie : δρλ - macierz jednostkowa 4 × 4 , otrzymamy : (Λνλ ) ησρ ( Λνσ ) ηµν = δρλ

tj. : ( Λλµ ) ( Λσν ) –1 = δρλ gdzie macierz :

ησρ ( Λνσ ) ηµν = ( Λσµ ) –1 (1.3.10) jest macierzą odwrotną do macierzy Λ.

Zauważmy, że operacja zawężania macierzy Λ z tensorem ησρ i ηµν przedstawiona w lewej części ostatniego równania, sprowadza się do transpozycji macierzy Λ i zamianie znaków w pierwszej linii i pierwszej kolumnie tej macierzy. Zatem własność macierzy przekształcenia pozostawiającego inwariantną długość wektora (1.3.8) polega na tym ,że macierz odwrotna otrzymywana jest z macierzy wejściowej drogą transpozycji i zamiany znaków elementów pierwszej linii i pierwszej kolumny. Takie macierze nazywamy pseudoortogonalnymi.

Oczywiste jest , że wyznacznik macierzy (1.3.10) jest zgodny z wyznacznikiem macierzy Λ , dlatego (det Λ )2 = 1 i odpowiednio :

det Λ = ± 1 (1.3.11) Rozpatrzmy równość (1.3.9) w przypadku kiedy : λ = σ = 0 :

( Λµ

0 ) (Λν0 ) ηµν = 1 lub, w jawnej postaci :

( Λ00 )2 - (Λ10 )2 - ( Λ20 )2 - (Λ30 )2 = 1 Stąd wynika nierówność ( Λ00 )2 ≥ 1 lub :

Λ00 ≥ + 1 ; Λ00 ≤ - 1 (1.3.12) Warunki (1.3.11) i (1.3.12) określają cztery zbiory przekształceń które razem stanowią tak zwane – ogólne przekształcenie Lorentza. Zbiory te mają następującą postać :

L↑+ odpowiada : det Λ = +1 , Λ0

0 ≥ + 1 ; L↓

+ odpowiada : det Λ = +1 , Λ0

0 ≤ - 1 ; L↑

- odpowiada : det Λ = -1 , Λ0

0 ≥ + 1 ; L↓

- odpowiada : det Λ = -1 , Λ0

0 ≤ - 1 ; Jak widać , tylko przekształcenie L↑

+ zawiera w sobie przekształcenie jednostkowe , nazywamy je

„przekształceniem właściwym Lorentza”. Do tego zbioru przekształceń ,jak łatwo zauważyć , należy również wprowadzone wcześniej szczególne przekształcenie Lorentza, do którego odnoszą się również zwykłe trójwymiarowe ortogonalne obroty. Zbiory przekształceń : L↓+ , L↑- , L↓- nie zawierają przekształcenia jednostkowego i stanowią przekształcenia tzw. „niewłaściwe”. Dowolny element każdego z tych zbiorów nie może być w sposób ciągły przeprowadzony w inny z tych zbiorów.

Rozpatrzmy przykłady przekształceń Lorentza - właściwych i niewłaściwych.

1)

Λobr = ( 1 | 0 ) ( macierz tę i następną należy rozumieć jako macierze klatkowe – przypis własny ) ( 0 | Ω )

ΩT = Ω-1 ; (Λobr )T = (Λobr )-1 - jest to przekształcenie ortogonalnych obrotów , należących do L↑+ tj.

Λobr ∈L↑ +

2)

Λspec = ( γ , -βγ | O ) ( -βγ , γ | ) ( O | 1 , 0 ) ( | 0 , 1)

Jest to specjalne przekształcenie Lorentza, Λspec ∈L↑

+ , poprzez zmianę : β -> - β przechodzi się ono w przekształcenie odwrotne.

3)

ΛPT = diag (-1, -1,-1,-1) . Jest to odbicie współrzędnych i czasu : r -> -r , t -> -t lub dyskretna operacja PT;

ΛPT ∈L↓

+ (Dyskretna operacja PT – to odbicie współrzędnych przestrzennych P i odbicie współrzędnej czasowej T – przypis własny)

4)

ΛP = diag ( 1, -1,-1,-1). Jest to odbicie współrzędnych (przestrzennych) r -> -r ,lub tzw. inwersja dyskretna P ΛP ∈L↑

-

5)

ΛP = diag ( -1, 1, 1, 1). Jest to odbicie współrzędnej czasowej t -> - t , lub tzw. inwersja dyskretna T ΛT ∈L↓

-. Zauważmy ,że jeśli wektor jest czasopodobny tj. x2 > 0 to przekształcenia ze zbioru L↓ + i L↓

-.

tj. odpowiadające Λ00 ≥ + 1 , nie zmieniają znaku składowej czasowej, sign x0 = inv. i dlatego nazywamy je

„ortochronicznymi”. Rozpatrzmy przykład szczególnych (specjalnych) przekształceń.

Niech x2 > i x0 > 0, wtedy : x’0 = γ (x0 − βx1 )

Na mocy warunku : x2 > 0, mamy : x0 > |x1 |. W danym przypadku Λ00 = γ = (1− β2 )-1/2 ≥ 1 i β = (V/c) =

= [1 – (1/γ )] < 1. Dlatego znak x’0 określony jest przez znak x0. Można pokazać, że wszystkie pozostałe przekształcenia L↑

+ otrzymujemy z przekształcenia szczególnego poprzez zastosowanie odpowiednich obrotów przestrzennych , które nie zmieniają oczywiście znaku składowej czasowej. Przekształcenia L↑

- także mogą być otrzymane z odpowiednich przekształceń L↑

+ drogą inwersji przestrzennych.

Należy podkreślić ,że zarówno ogólne jak i szczególne przekształcenia Lorentza stanowią grupę – jest to tzw.

Grupa Lorentza L ( Zatem L = L↑+ ∪ L↓+ ∪ L↑- ∪ L↓- . Grupa : L↑+ = L+ ∪ L↑ - jest nazywana „właściwą ortochroniczną”, zbiór : L↓

+ = L+ ∪ L↓ - jest nazywany „właściwy antychroniczny” , zbiór : L↑

- = L- ∪ L↑ jest nazywany „niewłaściwy ortochroniczny”, zbiór : L↓

- = L- ∪ L↓ , jest nazywany : „niewłaściwy antychroniczny”. Należy zauważyć ,że jeśli Λ00 ≥ + 1 to przekształcenie Lorentza odpowiadające takiej macierzy zachowuje orientacje czasową tj. przeprowadza wektory skierowane ku przyszłości (czasowe i zerowe) na wektory skierowane ku przyszłości, natomiast wektory skierowane ku przeszłości przeprowadza na wektory skierowane ku przeszłości – przypis własny

( zobacz np. „Czasoprzestrzeń i grawitacja” W. Kopczyński, A. Trautman PWN 1984 str. 106 ) ).

Wszystkie elementy zbioru L↑

+ mogą być sparametryzowane parametrami zmieniającymi się w sposób ciągły:

trzy parametry dla obrotów ortogonalnych i trzy parametry dla pseudo obrotów. Zatem grupa właściwa Lorentza jest to grupa sześcioparametrowa przekształceń ciągłych lub grupa Liego. Oczywiście , że podgrupa obrotów przestrzennych jest również grupą Liego. Dla nieskończenie małych lub infinitezymalnych przekształceń mamy : Λµν = δµν + (Xi )µν δai

gdzie : (Xt )µν - jest generatorem grupy, δai – jest małą zmianą parametrów ai . i = 1...6 Zapiszemy warunek (1.3.9) :

ηµν [ δµσ + (Xi )µσ δai ] [ δνρ + (Xk )νρ δak ] = ησρ Stąd przyrównując człony liniowe , znajdujemy :

(Xi )ρσ + (Xi )σρ = 0 (1.3.13) tj. macierz generatorów grupy powinna być antysymetryczna. Zauważmy ,że sześć generatorów Xi można numerować dwoma indeksami , i → αβ (α, β 1...4 ), tak więc :

(Xαβ )ρσ = - (Xβα )ρσ (1.3.14)

tak więc pozostaje tylko sześć niezależnych generatorów i parametrów aαβ odpowiadających obrotom na płaszczyznach αβ =12 dla i = 3 ; αβ = 23 dla i –1 oraz αβ =31 dla i =2 i pseudo obrotom na płaszczyznach αβ

=01 dla i= 4 ; αβ = 02 dla i = 5 oraz αβ =03 dla i = 6.

Dobrze znany wzór Eulera dla infinitezymalnych obrotów wektora r :

δr = δϕ × r (1.3.15.a) lub:

δri = εijk δϕj rk (i = 1,2,3) (1.3.15.b) gdzie : δϕ = n δϕ , |n | = 1 , n – wektor kierunku osi obrotu , δϕ - kąt obrotu, εijk – absolutnie antysymetryczny tensor jednostkowy (tzw. symbol alternujący Levi-Civity – przypis własny ) unormowany warunkiem : ε123 = 1 Odpowiednio generatory grup trójwymiarowych obrotów O(3) są podgrupą grupy właściwej Lorentza , można zatem zapisać je w postaci :

(Xj )ik = εijk (1.3.16) skąd widać , że (Xj )ik = - (Xj )ki . Wprowadzając w miejsce numeru generatora i podwójny indeks tj. i -> mn, przy czym : (Xmn )ik = - (Xnm )ik , możemy przepisać definicje (1.3.16) w jawnej postaci :

(Xmn )ik = - δmi δnk + δmk δni (1.3.17) Ostatnia równość definiuje generatory podgrupy O(3) grupy właściwej Lorentza L↑+ , spełniające w ogólnym przypadku warunki (1.3.13) (1.3.14). Kowariantnym uogólnieniem definicji (Xmn )ik (1.3.17) dla generatorów (Xαβ)µν będzie równość :

(Xαβ )µν = - ηαµ ηβν + ηαν ηβµ (1.3.18) Łatwo sprawdzić poprzez bezpośredni rachunek , że słuszne są następujące zależności komutacji dla

generatorów grupy L↑ + :

[ (Xαβ , Xγδ] = ηβγ Xαδ - ηαγ Xβδ - ηβδ Xαγ + ηαδ Xβγ (1.3.19) Równość tą należy rozumieć w sensie operatorowym tj. generatory Xαβ - są operatorami , które mogą być zadane w dowolnym przedstawieniu. W szczególności może to być przedstawienie (1.3.18) w postaci macierzy 4×4 określonych w przestrzeni Minkowskiego i działających na odpowiednie 4-wektory.

Skalary nie przekształcają się, dlatego dla nich oczywiście wszystkie generatory grupy są równe zeru.

Jeszcze jedną nie trywialną reprezentacją jest reprezentacja spinorowa, jednak nie będziemy się tutaj nią zajmować. Podkreślmy jeszcze, że przy zadanej parametryzacji elementów grupowych postać komutatorów zbudowanych z generatorów (tak zwana algebra Liego) nie jest zależna od konkretnego wyboru reprezentacji.

Razem z przekształceniami Lorentza, na wektorach w przestrzeni Minkowskiego można dokonać również transformacji translacyjnej, postaci :

xµ → x’µ = xµ + aµ (1.3.20) gdzie : aµ = const – stały 4-wektor.

Przekształcenie to przedstawia sobą przesunięcie w kierunku wektora aµ

W przedstawieniu wektorowym generatory translacji mogą być znalezione w następujący sposób : x’µ = xµ + (Xλ )µν aλ xν = xµ + aµ

tj. (Xλ )µν xν = δµλ ; (Xλ )µν = δµν ∂/∂xλ

Oczywiście , że translacje stanowią grupę Liego , przy czym jest to grupa przemienna tj. abelowa : [ Xν , Xµ ] = 0

Grupa Lorentza razem z grupą translacji stanowi grupę Poincarego.

§ 4. Zasady wariacyjne

Równania ruchu układu dynamicznego bądź to cząstek materialnych lub pól mogą być otrzymane jako warunek ekstremum pewnego funkcjonału , nazywanego – działaniem. Rozpatrzymy na początku ogólne sformułowanie tej zasady wariacyjnej. Niech omawiany funkcjonał będzie równy :

S = S[η(ξ)] =

∫

dn ξ ₤ (ξ, η, ∂η/∂ξ ) (1.4.1) dla cząstki , o współrzędnych : ηα = ( η1, η2, η3 ) które są funkcjami czasu ηα = ηα (t) , a

₤ (ξ, η, ∂η/∂ξ ) = ₤(t, η, dη/dt ) – jest funkcją Lagrange’a tej cząstki.

Jeśli chodzi o pole, zadane w przestrzeni Minkowskiego, to w przypadku n = 4 : ξµ = (ct, r) = xµ - jest wektorem w przestrzeni Minkowskiego, wielkość : ηA(A= 1... N) , gdzie N – jest składową funkcji pola :

ηA = ηA(x)

jest przynależna określonej reprezentacji grupy Lorentza.

Rozpatrzmy dla uproszczenia oba te przypadki w sposób jednolity, zakładając ogólną postać równań : η =η (ξ ) , ξ = (ξ0, ... , ξn-1) , ∂η/∂ξν = η, ν

Dokonajmy wariacji działania S, zakładając że δS = 0, przy niezmiennych wartościach funkcji η na granicy obszaru całkowania Γ, tj. δη| ξ∈Γ ,a w pozostałej części tego obszaru wybieramy funkcje η (ξ ) w sposób dowolny. Wtedy

δS =

∫

dn ξ ₤ =

∫

dn ξ [ (∂₤/∂ ηA)δηA + (∂₤/∂ ηA, ν )δηA,ν ] (1.4.2) Zauważmy, że : δηA, ν = ∂/∂ξν (δηA) ponieważ δξν = 0.

Wykorzystując wskazaną przemienność operacji wariacji i różniczkowania, scałkujemy w (1.4.2), przez części drugą składową :

∫

(∂₤/∂ ηA,ν ) ∂/∂ξν δηA dn ξ =

∫

∂/∂ξν ( (∂₤/∂ ηA, ν )δηA,ν ) dn ξ −

∫

δηA ∂/∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) dn ξ Ostatnia składowa przedstawia całkę od dywergencji i przekształca się w całkę powierzchniową po granicy obszaru całkowania :

∫

δηA (∂₤/∂ ηA,ν ) dσν = 0 Γ

równą zeru na mocy warunku braku wariacji na granicy.

Dlatego :

δS =

∫

dn ξ [ (∂₤/∂ ηA)δηA − ∂/∂∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) δηA ] = 0 Stąd na mocy dowolności wariacji δηA znajdujemy :

δS/ δηA = (∂₤/∂ ηA) − ∂/∂ξν (∂₤/∂ ηA,ν ) = 0 (1.4.3) Są to równania wariacyjne Eulera-Lagrange’a. Zauważmy, że równania (1.4.3) nie zmieniają się przy

następującej zamianie funkcji ₤ :

₤ → ₤’ = ₤ + ∂/∂ξν Λν (η)

W rzeczywistości , w tym przypadku do działania dodajemy całkę od dywergencji, przekształcając go w całkę powierzchniową a wtedy jego wariacja jest równa zeru.

Rozpatrzmy ruch swobodnej cząstki o masie m. Wtedy dla przypadku nie relatywistycznego : v << c, jak wiadomo , funkcja Lagrange’a tej cząstki jest równa : L =mv2 / 2 , a działanie :

t t

S =

∫

Ldt =

∫

½ mv2 dt (1.4.4) 0 0

Dla cząstki relatywistycznej , jak było pokazane wcześniej mamy : cp0 = ε = mc2 / sqrt[1− (v2 /c2 )] = sqrt ( m2c4 + c2 p2 )

dla nie relatywistycznego przybliżenia mamy : ε ≈ mc2 + p2 /2m

Drugi składnik tego równania przedstawia funkcje Hamiltona cząstki nie relatywistycznej.

Uogólniając ją na przypadek relatywistyczny , znajdujemy :

H = sqrt (m2c4 + c2 p2 ) (1.4.5) tj. otrzymujemy relatywistyczną funkcje Hamiltona.

Wtedy funkcja Lagrange’a zgodnie z definicją będzie równa :

L = pv – H (1.4.5a) gdzie v = ∂H/∂p = c2 p2 /ε.

Dlatego otrzymujemy dalej, że :

L= (ε/c2 ) v2 −ε = −mc2 sqrt[1- (v2 /c2 )] (1.4.6) tj. funkcje Lagrange’a cząstki relatywistycznej.

W granicy v/c << 1 znajdujemy : L ≈ − mc2 + mv2 /2

gdzie drugi składnik jest zgodny z funkcją Lagrange’a dla cząstki nie relatywistycznej i jest równy energii kinetycznej, pierwszy składnik jest energią spoczynkową cząstki ze znakiem minus.

Wykorzystując (1.4.6) dla funkcji Lagrange’a , możemy zapisać działanie w postaci : t t τ s

S =

∫

Ldt = −mc2

∫

sqrt[1- (v2 /c2 )] dt = - mc2

∫

dτ = − mc

∫

ds = inv. (1.4.7) 0 0 0 0

Jak widać działanie jest inwariantem relatywistycznym ponieważ wyraża się poprzez całkę od inwariantnego czasu własnego. W dynamice cząstek w opisie ich ruchu, w miejsce formalizmu Lagrange’a można stosować formalizm Hamiltonowski którego podstawą są zmienne kanoniczne , zamiast r i v oraz L stosujemy :

r, v, L = L(r, v) → r, p, H = H(r, p) = vp – L (1.4.8) gdzie H – jest funkcją Hamiltona, p = ∂L/∂v – jest pędem uogólnionym (kanonicznym) (zobacz (1.4.5a) ).

Również w teorii pola można (podobnie jak w mechanice analitycznej) przejść do formalizmu hamiltonowskiego ,dokonując zamiany zmiennych polowych i lagranżjanu :

ηA, ∇ηA(x), ∂ηA∂t, ₤ = ₤ (ηA, ∇ηA, ∂ηA∂t ) → ηA, ∇ηA , πA , Ĥ = Ĥ ( ηA, ∇ηA, πA ) = (∂ηA/∂t )πA − ₤ (1.4.9) gdzie Ĥ – jest gęstością hamiltonianu pola :

H =

∫

d3x Ĥ (1.4.10) wielkość ta przedstawia sobą energię pola, wielkość : πA – jest gęstością pędu kanonicznego pola :

πA = ∂₤ /∂ ηA, t (1.4.11) Zatem w teorii pola jak i w teorii cząstek pochodne po czasie ηA, t wyeliminowane są za pomocą

przekształcenia Legendre’a i przechodzą do nowych zmiennych πA. Łatwo sprawdzić, że w zmiennych kanonicznych ηA, ∇πA , πA równania pola równoważne są równaniom Lagrange’a i mają postać :

ηA, t = δH/δπA = ∂Ĥ /δπA − ∇ (∂Ĥ /δ∇ πA ) (1.4.12) πA, t = − δH/δηA = - ∂Ĥ /δηA + ∇ (∂Ĥ /δ∇ ηA ) (1.4.12)

§ 5. Twierdzenie E. Noether

Rozpatrzymy teraz dokładniej pytanie o inwariantność względem ciągłych przekształceń w teorii pola.

Niech w rezultacie pewnego ciągłego przekształcenia należącego do grupy Liego przekształcają się 4-wektory współrzędnych i funkcje pola :

x → x’

u(x) → u’(x’) (1.5.1) Rozpatrzmy funkcjonał działania :

S[u (x)] =

∫

₤ (u, ∂u/∂x, x) d4x (1.5.2)

Ω

gdzie obszar całkowania Ω jest dowolny.

Wprowadzimy pojęcie lokalnej wariacji δu(x), związanej z przekształceniem formy funkcji :

u(x) → u’(x) = u(x) = δ’u(x) (1.5.3) Ponieważ :

u’(x’) = u’(x) + ( ∂u/∂xµ ) δxµ (1.5.4) dla całkowitej wariacji otrzymujemy :

δu(x) = u’(x’) – u(x) = δ’u(x) + ( ∂u/∂xµ ) δxµ (1.5.5) Założymy ,że działanie jest inwariantne względem przekształcenia (1.5.1) :

S[u’(x’)] = S[u(x)] = inv. (1.5.6) tj. δS =0

Znajdziemy jawną postać wariacji działania : δS =

∫

[ (δd4x) ₤ + d4x δ₤ ]

Ω

We wzorze tym δd4x = d4x’ − d4x gdzie : d4x’ = | ∂x’/∂x| d4x

Jakobian przekształcenia jest równy :

| ∂x’/∂x | ≡ det (∂x’µ /∂xν ) = det [ δµν + (∂x’µ /∂xν )] (1.5.7) Wykorzystując tożsamość : Tr ln A = ln det A (gdzie symbol Tr – to ślad macierzy ), zapisujemy :

| ∂x’/∂x| = faµν ; eTr ln ( ∂x’/∂x) ≈ eTr ( ∂δx’/∂x) ≈ 1 + (∂δxµ /∂xµ ) dlatego :

δ d4x = (∂δxµ /∂xµ )d4x (1.5.8) Teraz zajmiemy się drugą składową ( 1.5.7) :

δ₤ = ₤ (u’(x’), ∂u’/∂x’ ,x’) − ₤ ( u(x), ∂u/∂x, x) = δ’₤ + (∂₤ /∂xµ ) Gdzie :

δ’₤ = (∂₤ /∂u)δ’u + (∂₤ /∂u, ν )δ’ u, ν = (∂₤ /∂u)δ’u + (∂₤ /∂u, ν ) ∂/∂xν δ’u = [(∂₤ /∂u) - ∂/∂xν (∂₤ /∂u, ν )] δ’u +

∂/∂xν [(∂₤ /∂u, ν ) δ’u]

Jeżeli pole spełnia równania Lagrange’a : δS/δu = (∂₤ /∂u) - ∂/∂xν (∂₤ /∂u, ν ) = 0

to :

δ’₤ = ∂/∂xν [ (∂₤ /∂u, ν ) δ’u]

Całkowita wariacja jest równa : δ₤ = δ’₤ + ∂µ ₤δxµ . Zatem dla wariacji działania otrzymujemy :

δS =

∫

d4x {₤(∂δxµ /∂xµ ) + (∂₤/∂xµ )δxµ + ∂/∂xµ[ (∂₤ /∂u, µ ) δ’u ]} =

∫

d4x ∂/∂xµ {₤δxµ + [(∂₤ /∂u, µ )

Ω

Ω

(δu − u, νδxν )} (1.5.9) Jeśli, jak już założyliśmy objętość Ω jest dowolna a działanie inwariantne δS = 0, to dywergencja pod znakiem całki jest równa zeru :

∂/∂xµ {₤δµν − [(∂₤ /∂u, µ ) u, ν] δxν + (∂₤ /∂u, µ ) δu } = 0 (1.5.10) Przekształcenia te stanowią grupę Liego o parametrach λa (a = 1...r ) i dlatego :

δxν = (δxν/δλa ) δλa ; δu = (δu/δλa ) δλa ;

gdzie : (δxν/δλa ) = ( Xa)νµ xµ ; (δu/δλa ) = Xa u ; gdzie Xa to generatory grupy.

Zdefiniujmy tzw. „prąd Noether” : Jµ

a = [ ₤δµν + (∂₤ /∂u, µ ) u, ν ](δxν/δλa ) − (∂₤ /∂u, µ )(δu/δλa ) (1.5.11) Wtedy z (1.5.10) na mocy niezależności parametrów między sobą , otrzymujemy :

∂Jµ

a / ∂xµ = 0 (1.5.12) Równość zeru dywergencji (czyli wzór (1.5.12) – przypis własny ) prowadzi do prawa zachowania,

tj. całki równań pola. W istocie – stosując twierdzenie Gaussa możemy zapisać :

∫

d4x (∂Jµ

a / ∂xµ ) =

∫

dσν Jν

a = 0 (1.5.13) Ω

Γ

Niech obszar całkowania będzie ograniczony dwoma hiperpłaszczyznami : t = t1 , t = t2 , a w kierunkach przestrzenno podobnych rozciąga się do nieskończoności . Wtedy (1.5.13) prowadzi do równości :

∫

d3x J0a =

∫

d3x J0a = const. (1.5.14) t = t1 t = t2

Otrzymane całki przedstawiają „ładunki Noether” :

Qa =

∫

d3x J0a = const.

t = const.

które na mocy (1.5.14) okazują się być stałe w czasie tj. są całkami ruchu teorii pola.

Na tym polega właśnie twierdzenie Noether. Zauważmy, że wprowadzone powyżej prądy Noether są niejednoznaczne, ponieważ dopuszczają przekształcenie postaci :

Jνa → Jνa + ∂/∂xµ faµν ; faµν = - faνµ (1.5.15) które nie naruszają równości (1.5.12).

§ 6. Pole skalarne

Rozpatrzmy pewne ogólne warunki które powinny spełniać teorie pola. Ponieważ klasyczna dynamika pola określona jest przez jego działanie, to warunki takie powinny odnosić się właśnie do działania:

S[u(x)] =

∫

₤ (u, ∂u /∂x, x) d4x (1.6.1) Wyliczmy takie warunki:

1). Inwariantność relatywistyczna. Działanie powinno być inwariantem grupy Poincarego tj. nie zmieniać się pod działaniem przekształceń Lorentza i translacji. Objętość jest inwariantem względem właściwych przekształceń Lorentza i translacji, dlatego gęstość lagranżjanu ₤ , powinna zależeć od odpowiednich inwariantów.

2). Lokalność. Funkcje pola, od których zależy funkcjonał działania powinny być zależne od jednego i tego samego punktu x – tak jak (1.6.1)

3). Rzeczywistość. Do działania wchodzą tylko rzeczywiste kombinacje funkcji pola oraz ich pochodne. W przeciwnym razie działanie pola obejmowałoby urojoną cześć a zatem energia pola stała by się zespolona, co z punktu widzenia kwantowej teorii pola świadczyłoby o możliwości kreacji i anihilacji cząstek pola „z niczego”

tj. z próżni.

4). Do lagranżjanu wchodzą pochodne nie wyższe niż stopnia pierwszego. Zatem równania pola nie mogą być stopnia wyższego niż drugi.

5). Inwariantność względem tak zwanych symetrii wewnętrznych, określonych przez strukturę teorii. Do takich symetrii należą min. symetria izospinowa pól odpowiadająca nukleonom tj. protonom ,neutronom i mezonom pi

–wchodzących w skład jądra atomowego. Innym ważnym przykładem takiej symetrii jest symetria cechowania określająca charakter oddziaływań pól materii – oddziaływania elektromagnetycznego , słabego (rozpad cząstek) oraz silnego – utrzymującego nukleony w jądrach (chromodynamika oparta na symetrii kolorowej) – zobacz niżej.

Jednym z prostszych przykładów pola relatywistycznego jest rzeczywiste pole skalarne. Jest to pole jedno składnikowe ϕ = ϕ (x) , inwariantne względem przekształceń grupy Poincarego :

x → x’ = Λx + a ; ϕ(x) → ϕ’(x’) = ϕ(x) (1.6.2) Lagranżjan takiego pola spełniający powyżej wymienione warunki może być zapisany w postaci :

*************

*) Obecnie oraz dalej w niniejszym paragrafie wykorzystujemy relatywistyczny układ jednostek , zakładając c = 1

*************

₤ = ½ ( ∂µ ϕ)2 – ½ m2 ϕ2 (1.6.3) Równanie pola :

( + m2 ) ϕ (x) = 0 (1.6.4) gdzie : ≡ ∂µ∂µ = (1/c2 ) ∂t2 − ∇2 jest operatorem D’Alemberta

nazywamy równaniem Kleina-Gordona.

Szczególne rozwiązanie danego równania znajdujemy w postaci płaskiej fali monochromatycznej :

ϕ(x) = Ae– ipx (1.6.5) gdzie : p2 = m2 ; tj. p02 – p2 = m2 , skąd :

p0 = ± sqrt(p2 + m2 ) = ± εp (1.6.6) Właściwie wektor p w danym rozwiązaniu z punktu widzenie teorii klasycznej jest wektorem falowym mającym wymiar (długość)-1 . Korpuskularna interpretacja fali exp[ i (pr − εp t)] oparta jest na pojęciu fali de Broglie’a odzwierciedlającej falową naturę cząstek kwantowych. Taką falę zapisujemy w postaci :

exp[(i/ħ) (pr −εpt )]

gdzie : ħ = h/2π = 6,5820 • 10-22 [MeV s] jest zredukowaną stałą Plancka, przedstawiającą sobą kwant działania.

Wektor p określamy jak pęd, a εp – jest energią cząstki. Przy tym długość odpowiadającej fali de Broglie’a związana jest z pędem zależnością :

χ =λ / 2π = ħ / | p|

Nie wnikając szczegółowo w zależności teorii klasycznej i kwantowej, podkreślimy jedynie, że równanie dla pola klasycznego po przeprowadzeniu procedury kwantowania tego pola interpretuje się jako jednocząsteczkowe równanie dla cząstek – kwantu tego pola. Dowolny stan pola kwantowego przedstawiany jest jako zbiór N, liczby cząstek – kwantów, znajdujących się w różnych możliwych jednocząsteczkowych stanach o energii εi ( pi ) i pędach pi (i = 1...N ). W dalszym ciągu będziemy wykorzystywali układ jednostek w których : ħ = 1, wtedy pęd cząstki będzie miał wymiar wektora falowego tj. (długość)-1 Zatem p może być nazwany 4-wektorem pędu cząstki o masie m , przypisanym danemu polu (1.6.5). Rozpatrzymy teraz przykład bardziej złożony , kiedy gęstość lagranżjanu pola ma postać :

₤ = ½ ( ∂µ ϕ)2 – V(ϕ) (1.6.7) gdzie : V(ϕ) – nie jest funkcją kwadratową tak jak dla pola swobodnego, ale zawiera samo oddziaływanie pola , przykładowo :

V(ϕ) =λ/4 [ ϕ2 – (µ2 /λ)]2 (1.6.8) Jest to tzw. model Higgsa. Parametr λ > 0, a parametr µ2 może mieć dowolny znak. Jeśli µ2 < 0 to „energia potencjalna” V(ϕ) posiada minimum przy ϕ = 0 i wtedy pomijając człony ϕ4 otrzymujemy cząstki swobodne o masie (−µ2 ). Poprawki rzędu ϕ4 określają samo oddziaływanie pola i mogą być uwzględnione w przybliżeniu jako małe perturbacje. Jeśli natomiast µ2 >0 to minimum „energii potencjalnej” osiągane jest przy

ϕ = ϕ1,2 = ± sqrt(µ2 /λ ) (1.6.9) W tym przypadku otrzymujemy dwa minima tj. dwa możliwe rozwiązania przy których energia pola jest

minimalna E =0. Takie rozwiązania (1.6.9) nazywamy , wykorzystując terminologie kwantową, rozwiązaniami próżniowymi. Rozkładając (1.6.8) w pobliżu jednego z rozwiązań (1.6.9), przykładowo :

ϕ(x) = sqrt (µ2 /λ) + η(x) (1.6.10) i uważając człon η(x) za mały , znajdujemy w przybliżeniu kwadratowym :

V ≈ ½ mη2 η2

gdzie : mη =√2µ to masa cząstki odpowiadającej rozwiązaniu (1.6.10) (cząstka Higgsa).

Zauważmy, że wejściowy lagranżjan (1.6.7) jest symetryczny względem odbić tj. zmiany znaku ϕ → −ϕ.

W przypadku µ2 < 0 rozwiązanie zachowuje tą symetrię, a przy µ2 > 0 konieczne jest wybranie rozwiązania próżniowego (1.6.9) i odpowiadającego mu „perturbowanego” rozwiązania typu (1.6.10). Przy tym wspomniana symetria lagranżjanu jest naruszona, ponieważ jego rozwiązanie nie podlega już tej symetrii (spontaniczne naruszenie symetrii)

Rozpatrzymy teraz pole zespolone ϕ = ϕ1 + iϕ2 i przejdziemy od części rzeczywistej ϕ1 i urojonej ϕ2 do pola ϕ(x) oraz zespolenie sprzężonego pola ϕ*(x). Odpowiadający temu swobodnemu polu zespolonemu lagranżjan

₤ = | ∂µ ϕ |2 – m2|ϕ |2 (1.6.11) jest rzeczywisty i symetryczny względem przekształcenia jednoparametrowej grupy unitarnej U(1) :

ϕ(x) → e-iα ϕ(x) ; ϕ*(x) → e-iα ϕ*(x) (1.6.12) Unitarność polega na tym , że kwadrat modułu pola przy działaniu grupy nie zmienia się :

|ϕ(x)|2 = |ϕ’(x)|2

Stosując twierdzenie Noether i uwzględniając to, że przekształcenia (1.6.12) nie dotyczą współrzędnych tj.

δxν/δα = 0, z pomocą (1.5.11) znajdujemy zachowany prąd Noether : jµ = (∂₤ /∂uA, µ )(δuA/δα ) ; ∂jµ /∂xµ = 0

gdzie : uA = u, u*.

W rezultacie znajdujemy tak zwany prąd elektromagnetyczny :

jµ = i [(∂₤ /∂u, µ )u − (∂₤ /∂u*,µ ) u*] (1.6.13) oraz ładunek elektromagnetyczny :

Q =

∫

d3x j0 =

∫

d3x i [(∂₤ /∂u, t )u - (∂₤ /∂u*, t ) u*] (1.6.14) Otrzymane wyrażenia dla wielkości zachowanych (1.6.13) i (1.6.14) są nadzwyczaj ogólne – pod u można podstawić pola wieloskładnikowe i sumować wkład ich wszystkich składowych.

W przypadku pola skalarnego o lagranżjanie (1.6.11) otrzymamy ( u = ϕ):

jµ = −i ( ϕ*, u ϕ −ϕ , u ϕ* ) gdzie : ϕ , u ≡ ∂ϕ / ∂xµ

lub wypisując oddzielnie część czasową i przestrzenną : j0 =ρ = − i [ (∂ϕ*/∂t) ϕ - (∂ϕ /∂t)ϕ* ]

to gęstość ładunku j = - i ( ϕ*∇ϕ - ϕ∇ϕ* ) to gęstość prądu

Teraz wrócimy do przekształceń grupy Poincarego. W przypadku translacji xµ → xµ + aµ we wzorze dla prądu Noether (1.5.11) mamy :

λa → aµ ; δxν/δaµ = δνµ ; δu/δuµ = 0 (1.6.15) Ostatnia równość w (1.6.15) warunkuje inwariantność pól względem translacji (jednorodność przestrzeni ) u’(x’) = u(x)

Zatem zachowany prąd Noether z (1.5.11) będzie miał postać :

Tµν = − ₤ δµν + (∂₤ /∂uA, µ )uA, ν (1.6.16) Ta definicja jest również nadzwyczaj ogólna tj. można ją stosować dla dowolnego pola.

Daje ona tensor energii-pędu , którego całka od składowej zerowej określa 4-pęd pola :

pν = ∫ Tν0 d3x = ∫d3x [(∂₤ /∂u, t )u , u − ₤ δν0 ] (1.6.17) W istocie – zerowa składowa tego wektora :

p0 =

∫

d3x [(∂₤ /∂u, t )u , t − ₤ ] =

∫

d3x Ĥ (1.6.18) pokrywa się z energią pola, określoną w (1.4.10).

Składowe przestrzenne stanowią wektor pędu pola :

p =

∫

d3x (∂₤ /∂u, t ) ( −∇u ) (1.6.18a) Dla rzeczywistego skalarnego pola mamy : u = ϕ :

Tµν = − δµν ₤ + ϕ , µ ϕ, ν lub, podnosząc indeks : Tνµ = ϕ , νϕ , µ − ηµν

₤ (1.6.19) przez co otrzymujemy symetryczny tensor energii-pędu.

Gęstość energii określa wzór :

Ĥ = T00 = (∂ϕ/∂t)2 − ₤ = ½ (∂ϕ/∂t)2 + ½ (∇ϕ)2 + V(x) (1.6.20) Jeśli V(ϕ) ≥ 0, to gęstość energii jest wielkością o określonym znaku i Ĥ ≥ 0.

Zwrócimy teraz uwagę na właściwe przekształcenia Lorentza. Rozpatrzymy na początku składowe proporcjonalne do δxν/δϕαβ w wyrażeniu dla prądu Noether (1.5.11) :

Lµαβ = − [ ₤ δµν + (∂₤ /∂u, µ )u, ν ] (δxν/δϕαβ ) = Tµν (δxν/δϕαβ ) (1.6.21) Przypomnijmy ,że zgodnie z (1.3.18) :

δxν = (Xαβ)µνxµ δϕαβ = [ −ηµνδνβ + ηβµδνα ]xµ δϕαβ = ( −xαδνβ + xβδνα ) δϕαβ Dlatego :

(δxν/δϕαβ ) = − xαδνβ + xβδνα

Podstawiając ostatnią równość do (1.6.21), otrzymujemy :

Lµαβ = Tµν (xβδνα + xαδνβ ) = Tµαxβ − Tµβ xα (1.6.22) jest to tzw. tensor „orbitalnego momentu pola”.

Jest to tensor antysymetryczny : Lµαβ = −Lµβα.

Całka od zerowej składowej (1.6.22) określa całkowity tensor orbitalnego momentu pola.

Lαβ =

∫

d3x L0βα (1.6.23) Zwróćmy uwagę na odwrotną kolejność dolnych indeksów w wyrażeniu podcałkowym. Trzy składowe tensora (1.6.23) związane są ze składowymi pseudowektora orbitalnego momentu pola poprzez związki :

L12 =L3 ; L23 = L1 ; L31 = L2

Dla pola skalarnego mamy (α,β =1,2,3) :

Lαβ =

∫

d3x ( T0β xα - T0α xβ ) =

∫

d3x ( ϕ, β xα − ϕ, α xβ ) ϕ, t (1.6.24) tj. otrzymujemy tensor orbitalnego momentu pola skalarnego.

W ogólnym przypadku należy rozpatrzyć w prądzie Noether składowe proporcjonalne do δu /δϕαβ :

Sναβ= (∂₤ /∂u, ν )(δu /δϕαβ ) (1.6.25) Określa ona tensor „momentu własnego” lub spinu pola :

Sαβ=

∫

S0βα d3x (1.6.26) Sumarycznie orbitalny i spinowy moment składają się na całkowity moment pola : Jαβ= Lαβ+ Sαβ ,który zgodnie z twierdzeniem Noether, jest zachowany :

∂/∂xν Jναβ = 0 , J = L + S = const. (1.6.27) Ji = ½ εijk Jjk

W przypadku pola skalarnego δϕ /δϕαβ = 0 i Jαβ = Lαβ tj. spin jest równy zeru , S = 0, a moment jest zachowany :

∂Lναβ / ∂xν

= 0 ; L = const. S = 0 (1.6.28) Z pierwszej równości wynika z uwzględnieniem zachowania energii – pędu :

∂ / ∂xν ( Tνα xβ - Tνβ xα ) = Tβα - Tαβ = 0 tj. Tαβ

= Tβα - tensor energii-pędu pola skalarnego jest tensorem symetrycznym.

W ogólnym przypadku pól charakteryzujących się nie trywialnymi własnościami transformacyjnymi względem przekształceń Lorentza, Sναβ ≠ 0i tensor energii-pędu jest nie symetryczny jednak możemy sprawić aby był on symetryczny. Zgodnie z (1.5.15) możemy to osiągnąć poprzez dodanie dywergencji odpowiedniego tensora antysymetrycznego.

W charakterze ćwiczenia pozostawiamy czytelnikowi wyprowadzić odpowiadające otrzymanym wyżej wyrażeniom w przypadku tensorów energii-pędu i momentu naładowanego (zespolonego) pola skalarnego.

Rozdział II Pole elektromagnetyczne

§ 1. Równania Maxwella

Układ równań, opisujący ewolucje pola elektrycznego E i magnetycznego H w przestrzeni, przy zadanych gęstościach ładunku ρ i gęstości prądu j, ma postać :

*************

*) wszędzie w tym rozdziale prędkość światła c, przyjmowana jest jako równa jeden :

*************

div E = 4πρ (2.1.1) rot H = 4πj + ∂tE (2.1.2) div H = 0 (2.1.3) rot E = - ∂tH (2.1.4) Równania (2.1.1) – (2.1.4) noszą nazwę „równań Maxwella” w postaci trójwymiarowej i w tej postaci są one wykorzystywane przy rozwiązywaniu większości zagadnień elektrodynamiki klasycznej.

Jednak w szeregu przypadków, a w szczególności przy badaniu prawa przekształceń pól E i H przy przejściu od jednego IUO do drugiego IUO znacznie wygodniejszą jest czterowymiarowa forma zapisu równań Maxwella.

Przede wszystkim ze współczynników wektorów E i H zbudujemy antysymetryczną macierz 4×4 Fµν w następujący sposób :

( 0, – E1, – E2 , – E3 )

Fµν = ( E1, 0, – H3 , H2 ) (2.1.5) ( E2, H3, 0, – H1 )

( E3 ,– H2, H1, 0 )

Wtedy poprzez bezpośrednie sprawdzenie łatwo upewnić się, że wprowadzenie macierzy Fµν pozwala przepisać równania (2.1.1) i (2.1.2) w postaci :

Fµν,ν = −4π jµ (2.1.6) gdzie wprowadzono następujące oznaczenie : jµ = (ρ, j ) (2.1.7) Przy tym równania (2.1.3) i (2.1.4) przyjmują postać : eµντσ Fτδ, ν = 0 (2.1.8) gdzie : eµντσ -jest symbolem Levi-Civity, określony w następujący sposób :

{ 1 przy warunku , że indeksy µντσ stanowią parzystą permutacje liczb 0,1,2,3 (2.1.9) eµντσ = { -1 jeśli permutacja jest nieparzysta

{ 0 w pozostałych przypadkach

Można pokazać, że wielkość eµντσ przekształca się jak tensor przy przekształceniach właściwych Lorentza.

Przy przekształceniach niewłaściwych składowe tensora powinny zmieniać znak , a zgodnie z definicją eµντσ znaku nie zmienia. Dlatego eµντσ jest pseudotensorem. Pokażemy, że wprowadzony w (2.1.7) uporządkowany zbiór liczb jµ jest 4-wektorem. Rozpatrzymy układ cząstek o ładunkach ea , których położenie w chwili t zadane jest przez wektory wodzące ra (t). W tym przypadku gęstość ładunku i gęstość prądu określona jest w

następujący sposób :

ρ (r, t) =

Σ

_eaδ3 (r - ra (t) ) (2.1.10) j (r, t) =

Σ

ea va (t) δ3(r - ra (t) ) (2.1.11) gdzie δ3(r - ra ) jest funkcją delta Diraca.

Z udziałem definicji (2.1.7) zapiszemy (2.1.10) i (2.1.11) w postaci :

jµ (x) =

Σ

_ea(dx^µ /dt ) δ3(r - ra (t)) (2.1.12) Aby pokazać, że jest to 4-wektor, zauważymy, że wyrażenie (2.1.12) jest tożsamościowo równe następującemu

wyrażeniu :

jµ (x) = Σ ea

∫

ds(dxaµ

/ds ) δ4(x - x (s)) (2.1.13) Funkcja delta δ4(x - x (s)) jest skalarem, a dxaµ

- jest 4 -wektorem, dlatego jµ (x) przedstawia sobą 4-wektor.

Ten fakt pozwala odpowiedzieć na pytanie : w jaki sposób przekształcają się składowe pola elektrycznego i magnetycznego przy przejściu od jednego IUO do drugiego IUO ?.