################################################################################
Kwantowa teoria pola w pigułce
Anthony Zee
Tytuł oryginału : Quantum Field theory in a nutshell Princeton University Press 2003
Tłumaczenie wspomagane przekładem rosyjskim – Moskwa-Iżewsk R&C Dynamics 2009
************************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra Pierwsze tłumaczenie : 2013
Ostatnia modyfikacja : 2014 -01-20 Tłumaczenie całości książki.
////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
Wstęp ogólny
1) Skróty i oznaczenia zastosowane w tłumaczeniu (własne ).
CP – czasoprzestrzeń.
CD – czarna dziura HZ – horyzont zdarzeń MQ – mechanika kwantowa MK – mechanika klasyczna
EM – elektromagnetyczna, elektromagnetyzm UO – układ odniesienia
IUO – inercjalny układ odniesienia
NIUO – nieinercjanly układ odniesienia STW – szczególna teoria względności
OTW – ogólna teoria względności TEP – tensor energii-pędu KTP – kwantowa teoria pola
LHC – large hadron collider – wielki zderzacz hadronów ( CERN )
Wielkości wektorowe zapisywane będą czcionką pogrubioną F, a , ...
Dopiski własne oznaczono symbolami (* ... *)
W tłumaczeniu dla stałej Diraca ħ ( zredukowanej stałej Plancka ) przyjęto oznaczenie h
2) Nota o autorze.
Anthony Zee ( Zee is a dialect pronunciation ) (born 1945) is a Chinese American physicist, writer, and currently a professor at the Kavli Institute for Theoretical Physics and the physics department of the University of California, Santa Barbara.
Zee obtained his Ph.D. from Harvard in 1970, supervised by Sidney Coleman. During 1970-72 and 1977–78, he was at the Institute for Advanced Study. From 1973 to 1978, he was an Alfred P. Sloan Fellow. In his first year as assistant professor at Princeton, Zee had Ed Witten as his teaching assistant and grader.
Professor Zee has authored or co-authored more than 200 scientific publications and several books. He has written on particle physics, condensed matter physics, anomalies in physics, random matrix theory, superconductivity, the quantum Hall effect, and other topics in theoretical physics and evolutionary biology, as well as their various interrelations.
Zee is an accomplished teacher, covering both general relativity and quantum field theory. The culmination of his teaching is his text Quantum Field Theory in a Nutshell. He is also the author of several books for general readers about physics and Chinese culture.
Strona domowa autora :
http://www.kitp.ucsb.edu/members/PM/zee/
************************************************************************************************
Przedsłowie.
W latach studenckich po zakończeniu kursu MQ chciałem rozpocząć studiowanie KTP, jednakże wszytskie książki w tym temacie wydawały się mi zbyt odstraszające. Na szczęście znalazłem małą książeczkę Mandla na temat teorii pola, która pomogła mi poczuć przedmiot, po czym mogłem pójść dalej w temacie poznając bardziej złożone zagadnienia.
Dalej przekonałem się, że również na innych fizyków mojego pokolenia wykład Mandla odbił się w pozytywny sposób.
W ostatnich trzech dekadach lub w pobliżu tego okresu, KTP istotnie się rozwinęła, dlatego też klasyczna książka Mandla stałą się zbyt przestarzała, aby rekomendować ją współczesnym studentom. Dlatego też zdecydowałem się napisać książkę dotycząca współczesnej KTP i zaadresować ją do przygotowanych i zainteresowanych w temacie studentów, którzy dopiero, co zakończyli wykład MQ i którzy powinni niezwłocznie rozpocząć studiowanie KTP.
Początkowo chciałem napisać cieniutką książeczkę – w porównaniu z większością opasłych tomów omawiających KTP.
Chciałem napisać ją żywym, luźnym językiem o indywidualnym, a nie encyklopedycznym doborze materiału. Planowałem napisać dużo niewielkich rozdziałów, każdy „na jeden wykład”.
Trudność polega jednakże na tym, że z jednej strony książka powinna być niewielka, co do objętości i dostępna dla czytelnika, ale jednocześnie powinna poruszać maksymalną liczbę aktualnych tematów. Oto jest zadanie !
Przy tym, pozostawiając sobie prawo wyboru materiału, należy konsekwentnie podążać raz obraną droga do końca.
Uwaga dla przyszłego recenzenta niniejszej książki : może on krytykować książkę za brak ulubionych przez siebie zagadnień, jednakże w żadnym wypadku nie będę przepraszał. Dla tego powodu ( i dla całego swojego życia ) wybrałem, bowiem dewizę jako słowa piosenki Ricky Nelsona „Garden party” :
„Nie możesz dogodzić wszystkim, tak, więc dogodź samemu sobie”
Przedstawiona książka różni się od innych książek wydanych w ostatnich latach i związanych z tematem KTP, w kilku aspektach. W pierwszej kolejności, chciałem podkreślić bardzo ważną myśl : zastosowanie KTP nie ogranicza się do ram fizyki wysokich energii, tak jak to uważa to wielu fizyków mojego pokolenia. Taki jest błędny punkt widzenia, który z zadziwiającym uporem prezentują niektóre współczesne podręczniki KTP ( wszytskie napisane przez specjalistów w obszarze fizyki wysokich energii ). Szczególnie jasnym i fizycznym przykładem ważności grupy renormalizacyjnej w KTP jest badanie ukierunkowanego wzrostu powierzchni. W miejsce tego, aby grzęznąć w jakiś drugoplanowych szczegółach, w stylu rozbieżności, można uwzględnić oczywiste pojęcie fizyczne – zmianę skali linijki, wykorzystywanej dla pomiaru fluktuującej powierzchni. Do innego rodzaju przykładu odnosi się teoria macierzy losowych (* random matrix *) i teoria cechowania Cherna-Simonsa w kwantowych cieczach Halla.
Mam nadzieje, że przedstawiona książka okaże się użyteczna dla studentów, poznających teorię ośrodków
skondensowanych ( teorię materii skondensowanej ) (* condensed matter theory *) w planie pierwszego kontaktu z KTP.
Książka zawiera osiem części, dwie, z których w znacznej części poświęciłem teorii materii skondensowanej.
( Murray Gell-Mann mówił o „ścieżce ośmiokrotnej” mądrości i zbawienia w buddyzmie.
M. Gell-Mann and Y. Ne'eman, The Eightfold Way .
Czytelnik zaznajomiony ze współczesną literaturą chińską zapewne wie, że smok niebieski ma osiem części ciała ) (* Murray Gell-Mann used to talk about the eightfold way to wisdom and salvation in Buddhism Readers familiar with contemporary Chinese literature would know that the celestial dragon has eight parts *)
Chciałem również zaznajomić czytelnika ze współczesnymi tendencjami np. z teorią strun, tak, aby rozbudzić jego apetyt.
Szczególną cechą mojej książki jest również to, że teoria grawitacji występuje w niej od samego początku.
Niektóre tematy rozpatruje zupełnie inaczej, w porównaniu z tradycyjnymi podręcznikami.
Przykładowo wykorzystuje metodę Faddeeva-Popova dla kwantowania elektromagnetyzmu oraz posługuje się językiem form różniczkowych przy wyłożeniu teorii Yanga-Millsa.
Szczególną uwagę poświęcam konceptualnym, a nie obliczeniowym aspektom. Jedynym obliczeniem, które podaje szczegółowo, jest to obliczenie magnetycznego momentu elektronu.
Na szczęście istnieje wiele pięknych podręczników, skupiających się na problemach obliczeniowych.
W całej przedstawionej książce oddaje pierwszeństwo konkretnym przykładom, a nie ciężkiemu abstrakcyjnemu formalizmowi. W miejsce przypadku ogólnego, zawsze proponuje rozpatrywanie przypadku najprostszego.
Podczas pisania tej książki zawsze byłem zmuszony wybierać pomiędzy jasnością i objętością wykładu.
Próbowałem uniknąć i sprowadzić do minimum to, co może zbić czytelnika z tropu, często udzielałem danemu zagadnieniu większą uwagę niż to zamierzałem pierwotnie.
Starałem się unikać utartej frazy : „Można pokazać, że ...” w przeciwnym wypadku niniejsza książka stała by się znacznie cieńsza. W istocie istnieją cieńsze książki do KTP – przeglądnąłem kilka z nich i przekonałem się, że właściwie nie wyjaśniają one niczego.
Przyznaje się, miałem nieodparta ochotę wyjaśnić wszystko. W miarę jak rozrastał się mój rękopis, rósł również spis tematów, które zmuszony byłem opuścić. Tak wiele pięknych osiągnięć, a tak mało miejsca !
Prawie się rozchorowałem, myśląc o tym, co zmuszony byłem pominąć ( bozonizacja, instanton, konforemna teoria pola itp. )
Jak zauważył jeden z moich przyjaciół, skorupka orzecha, przemieniła się w skorupę kokosu?!
(* aluzja do angielskiego tytułu przedstawionej książki *)
Shelley Glashow opisał kiedyś proces genezy teorii fizycznych : „Gobelin tworzony jest przez wielu artystów, pracujących razem. Kiedy dzieło jest skończone, nie można ustalić wkładu każdego z nich, a wszytskie fałszywe i ślepe wątki są dokładnie zamaskowane”
(* Tapestries are made by many artisans working together. The contributions of separate workers cannot be discerned in the completed work, and the loose and false threads have been covered over *)
Jest mi bardzo żal, że przedstawiając czytelnikowi ślepe wątki, tu i tam nie mogłem zagłębić się w historię rozwoju KTP ze wszystkimi jej sukcesami i porażkami. Moje cytaty oryginalnych prac unikają jednej cechy ludzkiej psychologii –
uwypuklania własnych osiągnięć. Skłonność do uwypuklania własnych prac – cecha psychologii człowieka – jest być może u mnie większa niż u innych. Oczywiście nie zamierzałem podawać szczegółowej bibliografii.
Zaczątki niniejszej książki pojawiły się wtedy, kiedy jako początkujący asystent profesora na Uniwersytecie Princeton (* assistant professor at Princeton University *) wykładałem KTP. Przy tym miałem wielkie szczęście mając jako asystenta Eda Wittena. Podawał on na tyle jasne i umiejętne rozwiązania zadań, które zadawałem jako prace domowe, że na
początku następnego roku akademickiego zwróciłem się do prowadzącego z pytaniem :
„Jakiegoż, to asystenta przydzielono mi obecnie. Nie posiada on nawet połowy tych umiejętności, co jego poprzednik”
Niektórzy koledzy zaproponowali mi abym spisał swoje notatki, taki zbiór byłyby bardzo oczekiwany ( był to okres, kiedy teorie z cechowaniem, swoboda asymptotyczna i szereg innych tematów było bardzo trudno znaleźć w literaturze ) Jednakże jeden niemłody i doświadczony uczony uprzedził mnie iż może się to okazać końcem mojej kariery.
Minęły dziesiątki lat. Dziękuje w szczególności Murphemu Goldberger’owi, zachęcającego mnie abym poszukiwał nowych zastosowań dla swych skłonności do objaśniania i przeszedł od pisania książek popularnych do pisania podręczników.
Chciałbym powiedzieć również parę słów wspomnień o Samie Treiman’ie – nauczycielu, koledze i współautorze, który będąc członkiem kolegium redakcyjnego wydawnictwa Uniwersytetu Princeton, skłonił mnie do tego, abym poważniej zajął się takim projektem.
Jest mi bardzo żal, że zbyt długo zwlekałem z zakończeniem książki, tak że nie zobaczył jej on w ostatecznym wariancie.
W przeciągu wielu lat moje wiadomości w obszarze KTP umacniały się w dyskusjach z kolegami i współautorami.
Studentom polecałem wykład KTP, który prowadził Arthur Wightman, Julian Schwinger i Sidney Coleman.
Było to pewnym wyzwaniem, ponieważ każdy z tych znamienitych fizyków posiadał swoje własne indywidualne podejście do przedmiotu.
Książka przeszła swój „chrzest bojowy” na wykładach które prowadziłem. Wykorzystywałem ją prowadząc wykład KTP na Uniwersytecie Kalifornijskim i Santa Barbara i jestem wdzięczny moim studentom, w szczególności są to :
Ted Erler, Andrew Frey, Sean Roy, Dean Townsley – dziękuje im za liczne komentarze.
Wielką korzyść przyniosły mi liczne dyskusje z fizykami, którzy przeczytali mój tekst w całości lub we fragmentach.
Są to : Steve Barr, Doug Eardley, Matt Fisher, Murph Goldberger,Victor Gurarie, Steve Hsu, Bei-lok Hu, Clifford Johnson, Mehran Kardar, Ian Low, Joe Polchinski, Arkady Vainshtein, Frank Wilczek, Ed Witten, Szczególnie wdzięczny jestem Joshua Feinberg’owi, który wprowadził wiele ćwiczeń.
Jeśli chodzi o ćwiczenia – w fizyce nie poszlibyśmy daleko, jeśli zaniedbalibyśmy wagę przeprowadzania ćwiczeń teoretycznych przy opracowywaniu i uczeniu się danego zagadnienia. W przedstawionej książce szczególnie ważnym będzie wykonywanie ćwiczeń, ponieważ aby skompensować nieuniknione skróty zmuszony byłem przenieść omówienie szeregu ważnych zagadnień właśnie do ćwiczeń. Niektóre z nich wykorzystuje w dalszych rozdziałach. Dla niektórych z nich podane są rozwiązania.
Istnieje specjalna strona www :
http://www.kitp.ucsb.edu/members/PM/zee/nuts.html
na której umieszczono spis zauważonych błędów wszelkiego rodzaju, które w nieunikniony sposób pojawiły się w tekście.
(* w dalszej kolejności autor dziękuje innym osobom zaangażowanym w napisanie przedstawionej książki *)
**************************************************************************************************
Pewne uzgodnienia związane z wyborem oznaczeń i jednostek pomiarowych.
Z tego samego powodu dla którego nie posługujemy się już dla pomiarów odległości stopą królewską, wykorzystamy jednostki naturalne, w których prędkość światłą c i stała Diraca ħ (* w tekście tłumaczonym będzie to dla wygody po prostu h *) przyjmowana jest równą 1. Planck zauważył iż w jednostkach naturalnych wszytskie wielkości fizyczne można wyrazić poprzez masę Plancka :
MPlanck ≡ 1 / √GNewton ≅ 10 [GeV]
Wielkości c i h nie są zbyt fundamentalne jako czynniki przeliczeniowe. W tym świetle dziwię się specjalistom w obszarze fizyki materii skondensowanej, którzy operują stałą Boltzmanna k, właściwie niczym nie różniącej się od współczynnika przeliczenia stopy na metry.
Współrzędne CP xµ mają indeksy greckie ( µ = 0, 1, 2, 3 ) o współrzędnej czasowej x0 czasami oznaczaną jako t.
Współrzędne przestrzenne xi mają indeksy łacińskie ( i = 1, 2, 3 ) oraz ∂µ ≡ ∂/∂xµ. Wykorzystuje metrykę Minkowskiego ηµν o sygnaturze ( +, −, − ,− ), tak, że η00 = +1.
Wykorzystuje zapis następujący zapis :
ηµν ∂µϕ∂µϕ = ∂µϕ ∂µϕ = (∂ϕ )2 = (∂ϕ/∂t )2 − ΣΣΣΣ(∂ϕ/∂xi )2 i
Metryka w zakrzywionej CP zawsze jest oznaczana jako gµν jednakże będę często oznaczał symbolem gµν metrykę Minkowskiego, jeśli z kontekstu będzie jasne, ze znajdujemy się w płaskiej CP.
Ponieważ w niniejszej książce głownie będziemy mówili o relatywistycznej KTP, będę bez szczególnych wyjaśnień wykorzystywał język fizyki relatywistycznej. Zatem, jeśli będę mówił o pędzie ( za wyjątkiem szczególnych przypadków ), to będę miał na myśli energię i pęd.
Również dlatego, że h = 1, nie będę dokonywał rozróżnienia pomiędzy wektorem falowym k i pędem oraz pomiędzy częstością ω i energią.
W teorii pola lokalnego mamy do czynienia głownie z gęstością lagranżjanu £, a nie z samym lagranżjanem : L = ∫ d3x £
Tak jak to przyjęto w literaturze i swobodnych dyskusjach, często będę wielkość £ nazywał lagranżjanem.
Stosuje również i inne potoczne oznaczenia np. macierz jednostkową oznaczam jako 1 a nie jako I. Wykorzystuje również ten sam symbol ϕ dla przekształcenia Fouriera ϕ(k) funkcji ϕ(x), za każdym razem, kiedy ryzyko zamieszania jest niewielkie tj. praktycznie zawsze. Według mnie lepiej jest nieco swobodnie wykorzystywać terminologie, niż obciążać tekst za każdym razem innymi oznaczeniami i przejawiać zbytni pedantyzm.
Symbol * oznacza sprzężenie zespolone, a † - sprzężenie hermitowskie - pierwsze stosujemy do liczby, drugie do operatora. Wykorzystuje również skróty dla takich operacji : s.z i s.h
Jednakże jeśli nie ma ryzyka pomyłki, często stosuje symbol † w miejsce *.
Przykładowo, w całce po trajektoriach pola bozonowe mają wartości liczbowe, tym niemniej piszę ϕ†, a nie ϕ*.
Dla macierzy M, należy jednakże wnikliwe rozróżniać pomiędzy M† i M*.
Próbowałem również prawidłowo wprowadzać czynniki typu 2 i π, jednakże mogą pojawiać się tutaj pewne pomyłki.
**************************************************************************************************
Rozdział I.1 Komu jest to potrzebne ?
Komu jest potrzebna KTP ?
KTP pojawiła się z naszej potrzeby opisania efemerycznej natury życia.
A na poważnie – KTP jest potrzebna wtedy, kiedy jednocześnie pracujemy z dwoma wielkimi odkryciami fizyki ostatniego wieku : STW i MQ.
Wyobraźmy sobie rakietę, która porusza się z prędkością, bliską prędkości światła. Jej ruch opisuje STW, a nie MQ. Z drugiej strony, dla badania rozpraszania powolnych elektronów na protonie należy uwzględniać MQ i przy tym można nie mieć najmniejszego pojęcia o teorii względności.
Na przecięciu MQ i STW pojawiają się nowe zjawiska : cząstki mogą się rodzić i umierać.
Właśnie takie zagadnienia, związane z kreacją, życiem i anihilacją powodowały iż rozminięto nową gałąź fizyki – KTP.
Przeprowadźmy pewne rozważania heurystyczne. W MQ istnieje zasada nieokreśloności, która głosi, że energia może doznawać wąskich fluktuacji w przeciągu małego odcinka czasu. Zgodnie z STW, energię można przekształcić w masę i odwrotnie.
Jeśli połączymy zasady MQ i STW, to możemy dojść do wniosku, ze fluktuująca energia może się przekształcić w masę, tj.
we wcześniej nie istniejące cząstki.
Zapiszmy teraz równanie Schrödingera dla rozpraszania elektronu na protonie. Równanie to opisuje funkcje falową jednego elektronu i jakkolwiek byśmy wykorzystywali teorię równań różniczkowych o pochodnych cząstkowych, elektron który obserwujemy, zawsze pozostaje jednym-jedynym elektronem. Jednakże zgodne z STW, energia może być
przekształcona w materię : jeśli elektron posiada wystarczającą energię, to może zostać wykreowana para elektron-pozyton.
Równanie Schrödingera jest zbyt proste, aby opisać takie zjawisko, co świadczy pośrednio o nieadekwatności nierelatywistycznej MQ.
Potrzebę wprowadzenia KTP można również zobaczyć na innym etapie nauki fizyki. Pod koniec podstawowego kursu nierelatywistycznej MQ zazwyczaj omawia się oddziaływanie promieniowania z atomem. Zapewne przypominacie sobie, że pole EM było rozpatrywane jako pole właśnie. Jego składowe obrazu Fouriera są kwantowane jako zbiór oscylatorów harmonicznych, co dalej prowadzi do operatorów kreacji i anihilacji fotonu. Zatem pole EM jest polem kwantowym.
Z tego powodu elektron traktujemy jako biednego kuzyna z jego funkcją falową Ψ(x), opisywaną przez „stare dobre”
równanie Schrödingera. Fotony mogą być kreowane i anihilowane, ale nie elektrony. Dlatego też abstrahując od
elementarnego faktu, że elektrony i pozytony mogą rodzić się parami, z punktu widzenia czystego rozumu było by bardziej estetycznie rozpatrywać elektrony i fotony z jednej pozycji, tj. jako cząstki elementarne.
Jak widać, w pierwszym zdaniu tego rozdziału miałem nieco racji – KTP pojawiła się jako reakcja na efemeryczną naturę życia.
Wszystko to jednakże wygląda bardzo niejednoznacznie, dlatego jednym z podstawowych celów niniejszej książki jest nadać takim rozważaniom większą ścisłość.
Na początku, wypełnimy powyższa treść pewnym konkretem. W tym celu postaramy się przypomnieć sobie, gdzie w fizyce klasycznej, choćby umownie mamy do czynienia z narodzinami i śmiercią cząstek.
Wyobraźmy sobie macierz, która w sposób wyidealizowany będzie reprezentowała dwuwymiarową siatkę mas punktowych, połączonych wzajemnie sprężynami ( rys. I.1.1 )
Rys. I.1.1
Dla uproszczenia skupimy uwagę na przemieszczeniu wertykalnym mas punktowych i oznaczymy go jako qa(t), ignorując nieznaczny ruch horyzontalny. Indeks a wskazuje po prostu o jaką masę nam chodzi w danym momencie czasu.
Lagranżjan takiego układu ma postać:
Jeśli pozostawimy tylko człony drugiego rzędu po q ( „przybliżenie harmoniczne” ), to dojdziemy do równania ruchu o postaci :
m qa•• = − ΣΣΣΣ kab qb
b
Przyjmując q jako współrzędne oscylujące o częstości ω otrzymamy :
ΣΣΣΣ kab qb = mω2qa b
Zatem, częstości własne i mody własne określone są odpowiednio wartościami własnymi i wektorami własnymi k.
Tak jak zwykle, możemy sformować pakiety falowe na drodze superpozycji modów własnych. Przy przejściu do teorii kwantowej takie pakiety falowe zachowują się jak cząstki, podobnie jak elektromagnetyczne pakiety falowe przy kwantowaniu zachowują się jak cząstki – nazywane fotonami.
Ponieważ rozpatrywana teoria jest liniowa, to dwa pakiety falowe mogą swobodnie przechodzić przez siebie.
Jednakże jak tylko włączymy do lagranżjanu (1) człony nieliniowe np. kubiczne, stopnie czwartego itp. względem q, to teoria stanie się anharmoniczna. Mody własne teraz oddziaływują ze sobą. Pakiet falowy może rozpadać się na dwa pakiety, a dwa pakiety falowe, przechodząc blisko siebie mogą się wzajemnie rozpraszać i być może mogą utworzyć nowe pakiety falowe. Dlatego też naturalnie jest założyć, ze fizykę cząstek można opisać z pomocą takiego właśnie podejścia.
KTP pojawiła się właśnie z podobnych fizycznych idei. I co jest zadziwiające, nawet po 75 latach od powstania KTP wciąż jeszcze bazuje na takim harmonicznym paradygmacie – jeśli mogą użyć takiego kontrowersyjnego wyrażenia.
Nie mogliśmy odejść od takich kluczowych pojęć, jak oscylatory i pakiety falowe. W istocie, teoria strun – następczyni KTP – wciąż sztywno przywiązana jest do paradygmatu harmonicznego. Nie wykluczam jednakże możliwości, ze jakiś utalentowany fizyk młodego pokolenia, a nawet ktoś z czytelników tej książki, może wyprowadzić nas poza takie ramy.
Fizyka materii skondensowanej.
Chociaż niniejsza książka poświecona jest relatywistycznej teorii pola, chciałbym jednakże zauważyć, ze jednym z największych osiągnięć fizyki teoretycznej w ciągu ostatnich powiedzmy 30-tu lat jest wciąż narastające wykorzystanie KTP w fizyce materii skondensowanej. Na pierwszy wzgląd wydaje się to dziwne. Przecież cząstka „materii
skondensowanej” składa się z ogromnej liczby nierelatywistycznych elektronów, zanurzonych pośród wszelkich możliwych jonów oddziałujących za pośrednictwem siły EM. Dlaczego nie napiszemy po prostu gigantycznej funkcji falowej Ψ( x1, x2 , ... , xN ) , gdzie xj oznacza położenie j-tego elektronu, a N – jest dużą, ale skończoną liczbą ? I niech Ψ będzie funkcją wielu zmiennych, spełniającą jednakże równanie Schrödingera.
Oczywiście, możemy zrobić coś takiego, właśnie takie podejście wykorzystywano się w fizyce ciała stałego, na jej wczesnym heroicznym etapie rozwoju ( również i dzisiaj wykorzystuje się niekiedy taki formalizm )
Zatem po co jest potrzebna KTP teoretykowi specjalizującemu się w fizyce materii skondensowanej ?
Aby odpowiedzieć na to pytanie powróćmy ponownie do rozważań heurystycznych i spróbujmy zobrazować całą ta sytuacje w ogólności – bez wdawania się w szczegóły.
W typowym ciele stałym jony drgają wokół swych punktów położenia równowagowego będąc umiejscowionym w sieci krystalicznej. Dynamika takich drgań najbardziej efektywnie jest opisywana poprzez tzw. fonony, które są mniej lub bardziej równoważne pakietom falowym w modelu macierzy jaki rozpatrywaliśmy wcześniej.
O tym wszystkim można przeczytać w dowolnym standardowym podręczniku do fizyki ciała stałego. Oprócz tego, jeśli znacie teorię ciała stałego, to zapewne wiadomo wam, że z poziomów energetycznych dostępnych elektronom, formowane są pasma energetyczne. Kiedy elektron jest wybijany ( np. przez foton ) z pasma zapełnionego do pasma pustego, to we wcześniej wypełnionym paśmie pojawia się dziura. Dziura taka może się przemieszczać jak cząstka, zachowując swoją indywidualność i istnieje do póki inny elektron nie wpadnie do tego pasma i jej nie wypełni.
W istocie tak właśnie przedstawił Dirac dziurę w „morzu elektronów” – jako antycząstkę elektronu – pozyton.
W następnych rozdziałach skonkretyzujemy takie rozważanie heurystyczne.
Powiązania.
Podsumowując wszystko to co powiedzieliśmy możemy powiedzieć, że KTP narodziła się z konieczności połączenia STW i MQ, tak samo jak narodziła się nowa nauka – teoria strun – jako konieczność połączenia OTW i MQ.
**************************************************************************************************
Rozdział I.2 Sformułowanie fizyki kwantowej w języku całki po trajektorii.
Straszny sen profesora – mądry student w audytorium
Jak mówiłem na wstępie, dobrze wiem, jak bardzo jesteście żądni posmakowania KTP, jednakże pierwszym naszym zadaniem będzie przebrnięcie przez formalizm całki po trajektorii (* path integral formalism *) (* spotyka się również nazwę - suma po historiach *). Formalizm taki nie zawsze jest przedstawiany na początkowych wykładach MQ, jednakże jeśli nawet coś o nim wiecie, to niniejszy rozdział posłuży wam również jako użyteczne przypomnienie.
Powód z jakiego zdecydowałem się rozpocząć właśnie od tego formalizmu jest taka, że jest on szczególnie wygodny dla przejścia od MQ do KTP.
Na początku podam heurystyczne uzasadnienie tego formalizmu, po którym sformułuje bardziej matematycznie ścisłe jego opisanie.
Być może najlepszym sposobem podania pewnego wyobrażenia całek po trajektoriach jest podanie pewnej historii, rozumie się apokryficznej, tak jak i większość takich historyjek fizycznych.
Dawno temu w audytorium, gdzie wykładano akurat MQ, profesor monotonnym stylem opowiadał o eksperymencie z dwoma szczelinami, podając jego standardowe rozwiązanie.
Cząstka wypuszczona przez źródło S ( rys. I.2.1 ) w chwili czasu t = 0, przechodzi przez pierwszą lub drugą szczelinę (* czy też dziurkę *) A1 i A2 i jest zarejestrowana w chwili t = T przez detektor znajdujący się w punkcie O.
Rys. I.1.2
Amplituda dla takiej detekcji określona jest przez podstawowy postulat MQ – zasadę superpozycji – jako sumę amplitudy propagacji cząstki od źródła S poprzez szczelinę A1 do punktu O oraz amplitudę propagacji cząstki od źródła S poprzez szczelinę A2 do punktu O.
Wtem jeden z mądrych studentów – nazwiemy go Feynmanem, zapytał : Panie profesorze, a co będzie jeśli wytniemy w ekranie trzecią szczelinę ?
Profesor odpowiada : Oczywiście amplituda zarejestrowania cząstki w punkcie O będzie określona jako suma trzech amplitud – amplitudy propagacji cząstki od źródła S poprzez szczelinę A1 do punktu O, amplitudę propagacji cząstki od źródła S poprzez szczelinę A2 do punktu O i amplitudy propagacji cząstki od źródła S poprzez szczelinę A3 do punktu O.
Profesor gotów był kontynuować, jednakże Feynman znów zapytał : A co będzie jeśli wytniemy czwartą, piątą szczelinę ?
Profesor stracił cierpliwość : dobrze mądralo, myślę iż wszyscy domyślają się, ze w tym przypadku będziemy sumowani amplitudy po wszystkich szczelinach.
Aby uściślić myśl profesora, oznaczymy amplitudę propagacji cząstki os źródła S poprzez szczelinę Ai do punktu O poprzez S → Ai → O
Wtedy amplituda zarejestrowania cząstki w punkcie O będzie równa :
A( zarejestrowania w O ) = ΣΣΣΣA( S → Ai → O ) (1)
i Jednakże Feynman był uparty :
A co jeśli weźmiemy teraz drugi ekran ( rys. I.2.2 ) z kilkoma szczelinami w nim umieszczonymi ? Teraz profesor stracił cierpliwość na poważnie :
Proszę pomyśleć, po prostu bierzemy amplitudę propagacji os źródła S do szczeliny Ai na pierwszym ekranie, a następnie amplitudę propagacji os źródła Ai do szczeliny Bj na drugim ekranie, oraz amplitudę propagacji od Bj do detektora O, sumując to wszystko po i i j.
Feynman dociekał jednakże dalej :
A co jeśli weźmiemy trzeci, czwarty... ekran ? A co jeśli w ekranie wytniemy nieskończenie wiele szczelin, tak, że ekran praktycznie przestanie istnieć ?
Profesor tylko westchnął : Pójdźmy dalej, mamy jeszcze wiele materiału który muszę przedstawić No, jednakże zapewne drogi czytelniku rozumiesz, do czego dążył genialny Feynman.
Osobiście najbardziej podoba mi się zwrócenie uwagi na to, że jeśli weźmiemy ekran i wytniemy w nim nieskończenie wiele otworów, to sam ekran przestanie istnieć. Feynman pokazał, że jeśli pomiędzy źródłem i detektorem znajduje się pusta przestrzeń, to amplituda propagacji cząstki od źródła do detektora jest sumą amplitud propagacji cząstki przez każdy z otworów w każdym z (nie istniejących ) ekranów. Innymi słowy powinniśmy sumować po amplitudach propagacji cząstki od źródła do detektora, rozważając przy tym wszytskie możliwe trajektorie znajdujące się pomiędzy źródłem i detektorem ( rys. I.2.3 )
Rys. I.2.3
A ( rozprzestrzeniania się cząstki od S do O w czasie T ) =
= ΣΣΣΣA ( rozprzestrzeniania się cząstki od S do O w czasie T po określonej trajektorii ) (2) trajektorie
Teraz wielbiciele ścisłości matematycznej powinni zastanowić się jak powinniśmy określić wielkość : ΣΣΣΣ
trajektorie
Feynman postąpił zgodnie z zasadami Newtona i Leibniza : wziął trajektorie ( rys. I.2.4 ), zaproksymował ją prostoliniowymi segmentami i przeszedł granicznie z długością takich segmentów do zera.
Jak widać jest to równoważne wypełnieniu przestrzeni ekranami, umiejscowionymi w nieskończenie małych odległościach wzajemnych i posiadającymi nieskończenie wiele otworów.
Rys. I.2.4
Jak jednakże skonstruować amplitudę A ( rozprzestrzeniania się cząstki od S do O w czasie T, po wybranej trajektorii ) ? Można tutaj wykorzystać unitarność MQ : jeśli znana nam jest amplituda dla każdego z infinitezymalnych segmentów, przemnażamy po prostu takie amplitudy otrzymując amplitudę dla całej trajektorii.
W MQ amplituda rozprzestrzeniania się ( np. cząstki ) z punktu qI do punktu qF w czasie T określona jest poprzez operator unitarny e−iHT , gdzie H – jest hamiltonianem. Jeśli chcemy być ściślejsi, to oznaczając przez | q > stan, w którym cząstka znajduje się w punkcie q, wspomniana amplituda będzie miała postać < qF | e−iHT | qI >
Wykorzystujemy tutaj wektory bra i ket Diraca. Oczywiście z filozoficznego punktu widzenia stwierdzenie, ze amplituda jest równa < qF | e−iHT | qI >, jest równoważne postulowaniu postaci H.
Sprawą eksperymentu jest właśnie ustanowienia iż H jest hamiltonianem hermitowskim, mającym formę hamiltonianu klasycznego itp.
W istocie formalizm całki po trajektoriach można w pełni sformułować w języku matematycznym, poczynając od wielkości < qF | e−iHT | qI > i nie wprowadzając feynmanowskiej opowieści o nieskończenie dużej liczbie otworów.
Wielu fizyków przyjmuje jedynie matematyczną wersje tej teorii bez żadnych tego typu dodatków.
Mówiąc takim językiem matematycznym, formalizm całki po trajektoriach został odkryty przez Diraca wcześniej przez Feynmanem.
Muszę teraz podać jedną ważną uwagę odnośnie oznaczeń – współrzędne prostopadłe do osi łączącej źródło z detektorem oznaczamy jako q, a nie jako x, z przyczyny, która stanie się jaśniejsza w następnym rozdziale.
Dla uproszczenia oznaczeń, przyjmiemy q jako wielkość jednowymiarową, będziemy również opuszczali współrzędne wzdłuż osi łączącej źródło z detektorem.
Sformułowanie Diraca.
Podzielimy czas T na N odcinków, każdy o długości δt = T/N. Wtedy będziemy mogli zapisać :
Teraz wykorzystamy fakt, że | q > tworzy zbiór zupełny stanów, tak że :
∫ dq | q > < q | = 1
Wstawimy 1 pomiędzy wszystkimi czynnikami postaci e−iHδT i zapiszemy :
Rozpatrzmy teraz pojedynczy czynnik < qj+1 | e−iHδT | qj >. Kolejny krok polegać będzie na obliczeniu czynników dla cząstek swobodnych, kiedy H = p^2/2m. Daszek ^ oznacza iż dana wielkość jest operatorem.
Jako | p > oznaczymy stan własny p^ : p^ | p > = p | p >
Czy przypominacie sobie z wykładu MQ iż < q | p > = eipq ? Myślę, że tak.
Zapis taki oznacza, że stan własny pędu jest falą płaską w reprezentacji współrzędnościowej.
Normalizacja jest następująca :
∫ ( dp /2π ) | p > < p | = 1
Podstawiając zupełny zbiór stanów, otrzymujemy :
Całka po p znana jest jako całka Gaussa, z którą zapewne jesteście już zaznajomieni. Jeśli nie to odpowiednie wiadomości można znaleźć w dodatku 1.
Obliczając całkę po p, otrzymamy :
Podstawiając to wyrażenie do (3), dochodzimy do :
Teraz możemy przejść do granicy δt → 0.
Newton i Leibniz pokazali, że możemy zamienić : N−1 T [ ( qj+1 – qj )/δt ]2 na q•2 , a δt ΣΣΣΣna ∫ dt j=0 0
W ostatecznym kroku określamy następującą całkę po trajektoriach :
Zatem, otrzymaliśmy reprezentacje w postaci całki po trajektoriach :
Ten wynik o fundamentalnym znaczeniu mówi o tym, że dla otrzymania wielkości < qF | e−iHT | qI > należy scałkować wprost po wszystkich możliwych trajektoriach q(t), takich że q(0) = qI i q(T) = qF.
W charakterze ćwiczenia można sprawdzić, że jeśli rozpoczniemy od hamiltonianu dla cząstki w potencjale H = p^2/2m + V(q^ )
to ostateczny wynik będzie następujący :
W wielkości ½ mq•2 − V(q) rozpoznajemy lagranżjan L( q• ,q ). Lagranżjan ten pojawia się w naturalny sposób z hamiltonianu. W przypadku ogólnym otrzymujemy :
Aby uniknąć możliwej pomyłki, pozwolę sobie uściślić iż t jest zmienną całkowania w wykładniku eksponenty w prawej części ostatniego wzoru. Fakt, że t pojawia się w mierze całki po trajektorii Dq(t), świadczy wprost o tym, że q jest funkcją od t ( jeśli mielibyśmy o tym zapomnieć ). Dla uproszczenia podaną miarę będziemy często oznaczać jako Dq.
Zapewne pamiętacie, że w MK wielkość : T
∫ dt L(q•,q ) 0
nazywamy działaniem S(q). Działanie S jest funkcjonałem od funkcji q(t).
Często, w miejsce ścisłego wyrażenia faktu, że cząstka startuje z punktu początkowego qI i kończy swój ruch w punkcie qF będziemy mówili, że cząstka startuje z pewnego stanu początkowego I i kończy ruch w pewnym stanie końcowym F.
W tym przypadku powinniśmy obliczyć wyrażenie < F | e−iHT | I >, które po podstawieniu zbioru zupełnego stanów możemy przepisać następująco :
lub, jeśli pomieszamy oznaczenia Schrödingera i Diraca w postaci :
W większości przypadków w charakterze | I > i | F > będziemy brali stan podstawowy oznaczany jako | 0 >. Ogólnie przyjęło się oznaczać amplitudę postaci < 0 | e−iHT | 0 > symbolem Z.
Na tym poziomie matematycznej ścisłości z jakim mamy obecnie do czynienia całka po trajektoriach : T
∫ Dq(t) exp{ i ∫ dt [ ½ mq•2 − V(q)] } 0
przyjmowana jest jako zbieżna, ponieważ oscylujące czynniki fazowe pochodzące od różnych trajektorii wzajemnie się skracają. Dla większej ścisłości można byłoby dokonać tzw. obrotu Wicka t → it prowadzącemu do czasu euklidesowego i odpowiadającemu obrotowi konturu całkowania na płaszczyźnie zespolonej t, tak iż całka przekształca się do następującej postaci :
znanej jako euklidesowa całka po trajektoriach. Podobnie jak i dla standardowych całek, rozpatrzonych w dodatku 1 do niniejszego rozdziału, zawsze będziemy zakładali możliwość dokonywania takiej zamiany.
Jednym z szczególnych cech formalizmu całek po trajektoriach jest to, że możemy łatwo ustanowić klasyczną granicę MQ.
W tym celu po prostu w (6) odtwarzamy stałą Plancka h :
i bierzemy granicę h → 0.
Stosując metodę stacjonarnej fazy lub metodę najszybszego spadku (* steepest descent method *) ( jeśli nie są znane wam takie pojęcia, to możecie zaglądnąć do dodatku 2 niniejszego rozdziału ), otrzymujemy :
T
Exp[ (i/h ) ∫ dt L( q•c ,qc )]
0
gdzie qc(t) jest “trajektorią klasyczną”, określoną poprzez rozwiązanie równania Eulkera-Lagrange’a : d/dt (δL/δq• ) ( δL/δq) = 0
z odpowiednimi warunkami brzegowymi.
Dodatek 1
Obecnie pokaże, jak można obliczyć całkę : +∞
G ≡ ∫ dx exp( − ½x2 ) −∞
Trik polega na tym, aby podnieść całkę do kwadratu, oznaczyć fikcyjną zmienną całkowania (*dummy integration variable *) w jednej z całek jako y i przejść do współrzędnych biegunowych :
W wyniku tego otrzymujemy :
Możecie mi wierzyć, że znaczna część literatury związanej z fizyką teoretyczną oparta jest na obliczeniach różnych modyfikacji takiej bazowej całki Gaussa.
Najprostsze uogólnienie jest właściwie natychmiastowe :
co wynika ze skalowania x → x/√a.
Stosując do niego powtórnie −2(d/da ), otrzymamy :
Czynnik 1/an wynika z analizy wymiarowej. Aby zapamiętać czynnik (2n − 1)!! ≡ (2n − 1 ) (2n − 3 ) ... 5 • 3 • 1 wyobraźcie sobie 2n punktów i połączcie je parami. Pierwszy punkt może być połączony z jednym z (2n – 1 ) punktów, drugi punkt – z jednym z pozostałych ( 2n − 3 ) punktów itd.
Taka chytra obserwacja, którą przedstawił Gian Carlo Wick, w literaturze nazywa się twierdzeniem Wicka.
Fizycy teoretycy przy obliczeniu np. < x6 > wykorzystują następującą mnemotechniczną zasadę – zapisują < x6 > jako
< xxxxxx > i łączą x-sy , przykładowo :
Taki zbiór połączeń nazywa się zawężeniem Wicka W powyższym prostym przykładzie wszytskie sześć x są tożsame, dlatego każde z różnych zawężeń Wicka daje jeden i ten sam czynnik 1/a−3 i ostateczny wynik dla < x6 > jest równy a−3, pomnożone przez liczbę różnych zawężeń Wicka, a dokładnie 5 • 3 • 1 = 15.
W dalszej kolejności będziemy rozpatrywali mniej trywialny przykład z różnymi x, w którym różne zawężenia Wicka dają różne wartości.
Ważną modyfikacją jest następująca całka :
Aby się o tym przekonać, weźmiemy wyrażenie w wykładniku eksponenty i „uzupełnimy go do pełnego kwadratu” :
− ½ ax2 + Jx = − (a/2) ( x2 − 2Jx/a ) = − (a/2) ( x − J/a )2 + J2/2a
Całkę po x możemy teraz obliczyć z pomocą przekształcenia x → x + J/a , co prowadzi do czynnika (2π/a )½ Zauważcie, że (10) możemy również otrzymać , jeśli powtórnie zróżniczkujemy po J, a następnie przyjmiemy J =0.
Drugą ważną modyfikacje otrzymamy jeśli zamienimy J na iJ :
Aby otrzymać jeszcze jedną modyfikacje, zamienimy a n ia :
Teraz przejdziemy od a do rzeczywistej i symetrycznej macierzy N × N Aij oraz od x do wektora xi ( i, j = 1, ... , N ) Wtedy otrzymamy następujące uogólnienie całki (11) :
gdzie x • A • x = xi Aij xj , J • x = Ji xi ( sumujemy po powtarzającym się indeksie )
Aby przekonać się o słuszności powyższej zależności, zdiagonalizujemy A z pomocą przekształcenia ortogonalnego O : A = O−1 • D • O , gdzie D – macierz diagonalna.
Oznaczmy yi = Oij xj inaczej mówiąc obracamy współrzędne w N-wymiarowej przestrzeni Euklidesa, po którym prowadzimy całkowanie. Wykorzystując :
rozkładamy lewą część wzoru (14) na iloczyn N całek postaci (11). Wynik następnie możemy wyrazić poprzez D−1 i jest on równy O • A−1 • O−1
( aby przekonać się o tym, że wszystko zrozumieliście, wykonajcie wskazane działania jawnie dla N = 2 ) Wstawmy kilka i ( A → −iA , J → iJ ), otrzymamy wtedy uogólnienie (13) :
Łatwo również otrzymamy uogólnienie wzoru (10). Wielokrotnie różniczkujemy (14) po J, a następnie przyjmujemy J → 0. Otrzymamy wtedy :
Wick gdzie zdefiniowaliśmy :
i gdzie zbiór indeksów { a, b, ... , c, d } reprezentuje sobą permutacje zbioru indeksów { i, j, ... , k, ł } Sumowanie we wzorze (16) realizujemy po wszystkich takich permutacjach lub zawężeniach Wicka.
Najprościej jest wyjaśnić wzór (16) na prostym przykładzie < xixjxkxł >. Łączymy parami x ( zawężenia Wicka) i zapisujemy czynnik (A−1 )ab w przypadku, kiedy łączymy składniki xa z xb W ten sposób :
( nie zapominajcie, że A i A−1 są symetryczne )
Należy zwrócić uwagę, że ponieważ <xixj > = (A−1 )ij to prawą cześć wzoru (16) możemy również przepisać z użyciem pojęć <xixj >. Jeśli spróbujecie obliczyć < xixjxkxłxmxn >, zapewne staniecie się ekspertami od zawężeń Wicka.
W sposób naturalny (16) sprowadza się do (10) przy N = 1.
Być może, tak jak ja nie lubicie zapamiętywać wzorów, jednakże niektóre z podanych zależności trzeba zapamiętać, dlatego, że pojawiają się one często w obliczeniach fizycznych ( w tej książce również ).
Dodatek 2
Aby obliczyć całkę postaci : +∞
∫ dq exp[ − (1/h) f(q)]
−∞
często odwołujemy się do przybliżonej metody najszybszego spadku, którą dla waszej wygody teraz właśnie przedstawię.
W granicy małych h całka określona jest przez minimum f(q). Rozkładając : f(q) = f(a) + ½ f’’(a)( q − a )2 + O[ ( q − a )3 ]
i wykorzystując (9), otrzymamy :
Dla funkcji f(q) wielu zmiennych q1, .. . , qN o minimum w qj = aj dochodzimy bezpośrednio do następującego uogólnienia :
gdzie f’’(a) – oznacza N × N – macierz o elementach [ f’’(a)]ij ≡ ( ∂f/∂qi ∂qj ) | q = a
W wielu przypadkach w wyrażeniu (20) nie jest potrzebny czynnik, zawierający wyznacznik. Jeśli jesteście w stanie wyprowadzić wzór (20), to znaczy iż jesteście na dobrej drodze zostania fizykiem teoretykiem w KTP !
Ćwiczenia.
I.2.1 Sprawdzić (5) I.2.2 Wyprowadzić (16)
**************************************************************************************************
Rozdział I.3 Od sieci-macierzy do pola
Macierz w granicy ciągłej.
Reprezentacja z użyciem formalizmu całki po trajektoriach :
którą otrzymaliśmy dla MQ jednej cząstki, może być uogólniona praktycznie bezpośrednio na przypadek N cząstek o hamiltonianie :
W myślach śledzimy położenie cząstki qa dla a = 1, 2, ... , N.
Stosując te kroki co poprzednio, otrzymamy :
z działaniem :
Energia potencjalna V( q1, q2 , ... , qN ) teraz zawiera energię oddziaływania pomiędzy cząstkami, a dokładnie człony postaci v(qa − qb ), a także energię, związaną z zewnętrznym potencjałem, tj. człony o postaci v(qa ).
W szczególności, zapiszemy całkę po trajektorii, opisującą dynamikę kwantową w postaci macierzy o której mówiliśmy w rozdziale I.1, o potencjale :
Brakuje nam już ciut- ciut do KTP !
Załóżmy, że interesują nas tylko zjawiska zachodzące w skalach dużo większych od rozmiaru sieci ł ( rys I.1.1 ) Mówiąc językiem matematycznym, bierzemy granicę ł → 0. W takiej granicy możemy zamienić indeks a dla cząstki na dwuwymiarowy wektor jej położenia x i zapisać q(t, x ) w miejsce qa(t). Zgodnie z tradycją zamienimy literkę łacińską q na grecką ϕ. Funkcja ϕ(t, x ) nazywa się polem.
Energia kinetyczna : ΣΣΣΣ ½ ma qa•2 a
staje się teraz równa :
∫ d2x ½ σ( ∂ϕ/∂t )2
Zamieniamy ΣΣΣΣ na (1/ł2) ∫ d2x i oznaczamy masę m /ł2 przypadającą na jednostkę powierzchni σ.
Przyjmujemy wszystkie ma równe, w przeciwnym wypadku σ będzie funkcją , a cały układ stanie się niejednorodny i trudno nam będzie zapisać lorentzowsko-inwariantne działanie ( zobacz dalej ).
Skoncentrujmy się teraz na pierwszym członie zależności : V = ΣΣΣΣ ½ kab qa qb + ...
ab
Zapiszmy :
2qa qb = qa2 + qb2 − ( qa − qb )2
Dla uproszczenia przyjmiemy, że kab wiąże tylko najbliższych sąsiadów na sieci. Dla par najbliższych sąsiadów (qb − qb )2 ≅ ł2 ( ∂ϕ/∂x )2 + ...
w granicy ciągłej pochodną bierzemy oczywiście w kierunku, łączącym węzły sieci a i b.
Zbierając to wszystko, otrzymamy :
gdzie parametry ρ i τ zależą od kab i ł.
Dokładniejsze wyrażenia nie są nam potrzebne.
W dalszej kolejności będziemy brali granicę T → ∞, tak że we wzorze (4) możemy scałkować wszystko po CP.
Możemy nieco „przyczesać” to wyrażenie, zapisując ρ = σa2 i przeskalować ϕ → ϕ/√σ tak, aby w lagranżjanie pojawiła się kombinacja (∂ϕ/∂t )2 − c2 [ (∂ϕ/∂x)2 + ( ∂ϕ/∂y )2 ]
Parametr c oczywiście posiada wymiar prędkości fali na naszej sieci. Interesujące jest to, ze w naturalny sposób otrzymujemy lorentzowską inwariantność, w której c odgrywa rolę prędkości światła.
Rozpoczęliśmy od analizy sieci ze względów pedagogicznych.
Oczywiście nikt nie zakłada, że obserwowalne w przyrodzie pola, powiedzmy pole mezonowe lub pole fotonu, w rzeczywistości składa się z mas punktowych połączonych sprężynami. Współczesny punkt widzenia, który nazwie imieniem Ginzburga i Landaua, polega na tym, iż należy rozpoczynać od wymaganej symetrii, np. lorentzowskiej inwariantności, jeśli interesuje nas fizyka cząstek elementarnych, następnie wybrać potrzebne nam pola, określając przy tym jak one przekształcają się pod działaniem symetrii ( w rozpatrywanym przypadku wybraliśmy pole skalarne ϕ ), a następnie zapisujemy działanie, zawierające nie więcej niż dwie pochodne po czasie ( dlatego, ze nie wiemy jak skwantować działanie, zawierające więcej niż dwie pochodne po czasie )
W ten sposób dochodzimy do lorentzowskiej inwariantności działania ( przyjmując c = 1 ) :
gdzie różne współczynniki liczbowe wprowadzone dla dalszej naszej wygody.
Relatywistyczny zapis postaci ( ∂ϕ )2 ≡ ∂µϕ ∂µϕ = (∂ϕ/∂t )2 − (∂ϕ/∂x )2 − (∂ϕ/∂y )2 został wyjaśniony na wstępie poświęconym stosowanym oznaczeniom.
Wymiar CP d może być wyrażony przez dowolną liczbę całkowitą, chociaż w naszym modelu sieci jest on równy 3.
Piszemy często d = D + 1 i mówimy przy tym o (D+ 1)-wymiarowej CP.
W takim przykładzie widzimy efektywność wprowadzenia symetrii. Lorentzowska inwariantność wraz z wymaganiem, według którego lagranżjan może zawierać ∂/∂t nie większego niż w drugiej potędze, świadczy o tym, że lagranżjan może posiadać formę ( Mówiąc ściśle, człon postaci U(ϕ)(∂ϕ )2 jest również dopuszczalny. W MQ człon postaci U(q) (dq/dt )2 opisywałby cząstkę, masa której zależna jest od położenia, nie będziemy jak na razie rozpatrywali takich członów ) :
£ = ½ (∂ϕ )2 − V(q), gdzie V – wielomian zmiennej ϕ.
Później porozmawiamy nieco dokładniej o symetrii. Tym czasem zauważymy tylko, że moglibyśmy wymagać symetryczności fizyki względem przekształcenia ϕ → − ϕ w tym przypadku funkcja V(ϕ) powinna być wielomianem parzystym.
Teraz, kiedy wiecie już co reprezentuje sobą KTP, powinniście rozumieć, dlaczego w poprzednim rozdziale, przyjąłem wykorzystywać symbol q dla oznaczenia położenia cząstki, a nie bardziej tradycyjny zapis x. W KTP x jest znaczkiem, a nie zmienna dynamiczną x figurujący w ϕ(t, x ), odpowiada indeks a w zapisie qa(t) w MQ.
Zmienna dynamiczna w KTP – to nie położenia, a pole ϕ. Zmienna x wskazuje po prostu o jakiej zmiennej polowej właśnie myślimy. Skupiam się na tym fakcie dlatego, że przy pierwszym zapoznaniu się z KTP niektórzy studenci, przywykli do tego, że x jest operatorem dynamicznym w MQ, popełniają błędy, nie pamiętając o roli, którą teraz odgrywa on w KTP.
Podsumowując sformułujemy następująca tabelę :
Na koniec otrzymaliśmy całkę po trajektoriach, określającą teorię pola skalarnego w d = ( D + 1 )-wymiarowej CP :
Zauważcie, że ( 0 + 1 )-wymiarowa KTP – jest to po prostu MQ.
Granica klasyczna.
Jak już mówiłem, formalizm całki po trajektoriach jest szczególnie wygodny dla przejścia do granicy klasycznej.
Z uwzględnieniem tego, ze stałą Plancka h posiada wymiar energii, pomnożonej przez czas, widzimy, ze występuje ona w unitarnym operatorze ewolucji exp[ −(i/h)HT ]
Prześledziwszy wyprowadzenie całki po trajektoriach, przekonujemy się, że należy po prostu podzielić ogólny czynnik i przez h otrzymując :
W granicy, kiedy h jest dużo mniejsze od odpowiedniego działania, które rozpatrujemy, możemy obliczyć całkę po trajektoriach, wykorzystując przybliżenie stacjonarnej fazy ( lub najszybszego spadku ).
W poprzednim rozdziale wyjaśniałem, jak można to zrobić w kontekście MQ. Po prostu określamy ekstremum :
∫ d4x £(ϕ )
Zgodnie z standardową metodą wariacyjną Eulera-Lagrange’a prowadzi to do równania :
∂µ [ δ£/δ(∂µϕ )] − (δ£/δϕ ) = 0 (9)
W ten sposób dokładnie odtwarzamy klasyczne równanie polowe, które w naszej teorii pola skalarnego ma postać :
( ∂2 + m2 )ϕ(x) + ½ g ϕ(x)2 + 1/6λ ϕ(x)3 + … = 0 (10)
Próżnia.
W MQ cząstek punktowych, omawianej w rozdziale I.2 zapisaliśmy całkę po trajektoriach dla < F | e−iHt | I >, o pewnych stanach początkowym i końcowym, które wybraliśmy według własnego wyboru.
Najbardziej dogodnym i naturalnym byłoby przyjęcie w charakterze | I > = | F > stanu podstawowego. Co możemy wziąć w charakterze stanów początkowego i końcowego w KTP ?
Standardowym wyborem dla stanu początkowego i skończonego jest stan początkowy jest stan podstawowy lub stan próżniowy układu, oznaczany przez | 0 >, w którym najprościej mówiąc, nic nie następuje. Innymi słowami,
obliczalibyśmy amplitudę przejścia kwantowego z próżni w próżnie, która pozwoliłaby nam określić energię stanu podstawowego. Jednakże taka wielkość nie jest interesująca, ponieważ w KTP chcemy mierzyć wszytskie energie względem próżni i dlatego umownie przyjmujemy energię próżni równą zero ( być może odejmując nieskończenie dużą stałą z lagranżjanu ). Obrazowo mówiąc, próżnia w KTP jest podobna do wzburzonego morza fluktuacji kwantowych, ale w ramach naszego pierwszego podejścia z KTP nie będziemy jej omawiali we wszystkich szczegółach.
Wzbudzenie próżni.
Chcielibyśmy zrobić coś bardziej ekscytującego, niż tylko obserwować wzburzone morze fluktuacji kwantowych.
Dobrze byłoby wzbudzić próżnię. Gdzieś w przestrzeni w pewnej chwili czasu umieścilibyśmy cząstkę i
poobserwowalibyśmy jak taka cząstka w ciągu określonego czasu rozprzestrzenia się, a następnie anihiluje w jakimś innym miejscu w późniejszej chwili czasu. Inaczej mówiąc, chcielibyśmy zadać źródło i ściek ( niekiedy wspólnie nazywane źródłami ), w których cząstki mogą być kreowane i anihilowane.
Aby zrozumieć jak można to zrobić, powróćmy do modelu sieci. Poruszmy ją w górę i w dół, tak aby zadać na niej
odpowiednie wzbudzenia. Oczywiście, że oddziaływanie na masę w tej sieci, znaczonej przez indeks a, odpowiada dodaniu członu Ja(t)qa do potencjału V( q1, q2 , ... , qn ). W bardziej ogólnym przypadku możemy dodać człon postaci :
ΣΣΣΣ Ja(t) qa a
Przy przejściu od teorii pola taki dodatkowy człon przekształca się w człon J(x)ϕ(x) w lagranżjanie teorii pola, zgodnie z tabelą przejścia (6).
Ta tzw. funkcja źródła J(t, x) opisuje sposób w jaki sposób sieć zostaje wzbudzona. Możemy wybrać dowolną odpowiadającą nam funkcje, odpowiadającą naszej swobodzie w jaki możemy wzbudzić sieć.
W szczególności J(x) może być równa zero wszędzie w CP, za wyjątkiem pewnych zlokalizowanych obszarów.
Pobudzając sieć w górę i w dół, możemy wygenerować propagujące się pakiety falowe ( rys. I.3.1 )
Rys. I.3.1
Odpowiadają one źródłom ( i ściekom ) dla cząstek. Zatem, przychodzi nam w istocie obliczyć całkę po trajektoriach o postaci :
Teoria pola swobodnego.
Całka funkcjonalna w zależności (11) nie może być obliczona za wyjątkiem przypadku, kiedy :
Odpowiednia teoria nazywa się teorią swobodną lub gaussowską.
Równanie ruchu (9) mające postać ( ∂2 + m2 )ϕ = 0, znane jest jako równanie Kleina-Gordona.
( w rzeczywistości równanie Kleina-Gordona odkrył Schrödinger, po tym jak wyprowadził on równanie noszące obecnie jego imię. Później w 1926 roku, wyprowadził go niezależnie od Schrödingera Klein, Gordon, Fok, de Donder i
Van Dungen )
Ponieważ jest ono liniowe, to można go bezpośrednio rozwiązać, w wyniku czego otrzymamy ϕ(x, t) = exp[ i(ωt − kx )]
gdzie ω2 = k2 + m2
W wykorzystywanych przez nas jednostkach naturalnych h = 1 i dlatego częstość ω jest to, to samo co energia hω, a wektor falowy k – jest to, to samo co pęd hk. Zatem w wyrażeniu (13) poznajemy zależność dla energii-pędu dla cząstki o masie m, a dokładnie uzgodniony wariant prostszej zależności E = mc2. Można wnioskować, że taka teoria pola opisuje cząstkę relatywistyczną o masie m.
Teraz należy obliczyć (11) dla przypadku szczególnego :
Całkując przez części w ∫ d4x i nie zapominając o możliwych wkładach członów brzegowych na nieskończoności ( niejawnie zakładamy, ze pola po których całkujemy, zanikają wystarczająco szybko ), zapiszmy :
Z podobnymi całkami funkcjonalnymi niejednokrotnie przyjdzie się wam zetknąć w czasie nauki KTP.
Trik polega na wyobrażonym przejściu do dyskretnej CP.
Jednakże w rzeczywistości nic takiego robić nie musicie : po prostu wyobraźcie sobie, że kwantujecie taką CP.
Zamieńmy funkcje ϕ(x) na wektor ϕi = ϕ(ia) o liczbie całkowitej i, oraz okresem sieci a
( dla uproszczenia zapisuje wszystko tak, jakbyśmy się znajdowali w 1-wymairowej CP W przypadku bardziej ogólnym indeksem i numerujemy w jakiś sposób węzły sieci. )
Przy tym operatory różniczkowe przekształcają się w macierze. Przykładowo :
∂ϕ(ia) → (1/a) ( ϕi+1 − ϕi ) ≡ ΣΣΣΣ Mij ϕj j o odpowiedniej macierzy M.
Całki stają się sumami. Przykładowo :
∫ d4x J(x) ϕ(x) → a4 ΣΣΣΣ Ji ϕi i
Teraz całka (15) jest po prostu całką, którą obliczyliśmy w (I.2.15) :
Rolę A z (16) w (15) odgrywa rolę operator − ( ∂2 + m2 ).
Równanie definiujące dla macierzy odwrotnej A A−1 lub Aij Aij−1 = δik w granicy ciągłej sprowadza się do postaci :
Granice ciągłą od Aij−1 D(x − y ) ( który jak wiemy powinien być funkcją od różnicy x − y, ale nie x i y w oddzielności, ponieważ ani jeden punkt CP nie jest osobliwy ).
Zwróćcie uwagę, ze przy przejściu od sieci do kontinuum symbol Kroneckera zamienia się na symbol Diraca. Bardzo wygodnie jest myślowo zrealizować przejście pomiędzy siecią i kontinuum.
Zatem, dochodzimy do ostatecznego wyniku :
w którym D(x) określone jest przez rozwiązanie równania (17).
Ogólny czynnik C, odpowiadający ogólnemu czynnikowi o wyznaczniku w (16), nie zależy od J i jak to wynika jasno z dalszych rozważań, nie jest dla nas dalej interesujący. Zatem w dalszej kolejności będę opuszczał czynnik C.
Oczywiście, że C = Z( J = 0), dlatego W(J) zdefiniujemy następująco :
Zauważcie, że :
jest prostym funkcjonałem kwadratowym od J. W odróżnieniu od niego z(J) zależy od dowolnie wysokiej potęgi J.
Fakt taki będzie nam potrzebny w rozdziale I.7.
Propagator swobodny.
Funkcja D(x) znana jest jako propagator i odgrywa ważną rolę w KTP.
Będąc odwrotną do operatora różniczkowego, jest ona ściśle związana z funkcją Greena, znanej wam zapewne z wykładu elektrodynamiki.
Fizycy zazwyczaj nie zwracają uwagi na ścisłość matematyczną, jednakże od czasu do czasu nawet oni powinni być ostrożni, aby być pewnym iż ich działania w istocie są sensowne. Aby całka (15) była zbieżna dla dużych ϕ, zamienimy m2 → m2 − iε ta, aby wyrażenie podcałkowe zawierało czynnik :
exp( − ε ∫ d4x ϕ2 )
gdzie ε - dodatnia nieskończenie mała wielkość ( tradycyjnie ε przyjmujemy jako nieskończenie małą dlatego będąc mnożona przez dowolną liczbę całkowitą ε, pozostaje ε ), z którą później będziemy dążyli do zera.
(17) możemy łatwo rozwiązać, jeśli przejdziemy do przestrzeni pędów i przypomnimy sobie reprezentacje δ-funkcji Diraca
Rozwiązaniem będzie :
co możemy łatwo sprawdzić, podstawiając go do (17). Zauważcie, że tzw. iε-preskrypcja, którą wykonaliśmy, jest istotna w przeciwnym wypadku k-całka będzie zawierała biegun.
Aby obliczyć D(x), scałkujemy na początku po k0 metodą konturów Zdefiniujmy ω2 = sqrt( k2 + m2 )
Wyrażenie podcałkowe, zawiera dwa bieguny na k0-płaszczyźnie – są to bieguny w ± sqrt( ωk2 − iε ), które w granicy ε → 0 są równe + ωk − iε i − ωk + iε.
Dla dodatniego x0 możemy przedłużyć kontur całkowania biegnący od −∞ do + ∞, wzdłuż osi rzeczywistej, włączając w to nieskończony półokrąg na górnej półpłaszczyźnie tak, aby zawrzeć biegun w punkcie − ωk + iε i otrzymać :
− i ∫ [ d3k /(2π)3 2ωk ] exp[ − i( ωkt − kx )]
Dla ujemnego x0 zamykamy kontur w dolnej półpłaszczyźnie. Zatem :
Z fizycznego punktu widzenia D(x) opisuje amplitudę propagacji wzbudzeń pola z początku współrzędnych do x.
Oczekujemy istotnie różnego zachowania w zależności od tego, czy x znajduje się wewnątrz lub na zewnątrz stożka świetlnego. Możemy ocenić to, co następuje i bez obliczania całki. Dla x = ( t, 0) np. przy t > 0
